18.12: Ймовірність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

1. а. $\frac{6}{13}$ б. $\frac{2}{13}$ 3. $\frac{150}{335}=44.8 \%$

5. $\frac{1}{6}$ 7. $\frac{26}{65}$

9. $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ 11. $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

13. $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$ 15. $1-\frac{25}{65}=\frac{40}{65}$

17. $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ 19. $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

21. $\frac{17}{49} \cdot \frac{16}{48}=\frac{17}{49} \cdot \frac{1}{3}=\frac{17}{147}$

23.

$\frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52}=\frac{16}{2704}=\frac{1}{169}$
$\frac{4}{52} \cdot \frac{48}{52}=\frac{192}{2704}=\frac{12}{169}$
$\frac{48}{52} \cdot \frac{48}{52}=\frac{2304}{2704}=\frac{144}{169}$
$\frac{13}{52} \cdot \frac{13}{52}=\frac{169}{2704}=\frac{1}{16}$
$\frac{48}{52} \cdot \frac{39}{52}=\frac{1872}{2704}=\frac{117}{169}$

25. $\frac{4}{52} \cdot \frac{4}{51}=\frac{16}{2652}$

27.

$\frac{11}{25} \cdot \frac{14}{24}=\frac{154}{600}$
$\frac{14}{25} \cdot \frac{11}{24}=\frac{154}{600}$
$\frac{11}{25} \cdot \frac{10}{24}=\frac{110}{600}$
$\frac{14}{25} \cdot \frac{13}{24}=\frac{182}{600}$
немає самців = дві самки. Те ж саме, що і частина d.

29. $P(F \text { and } A)=\frac{10}{65}$

31. $P(\text { red or odd })=\frac{6}{14}+\frac{7}{14}-\frac{3}{14}=\frac{10}{14}$ . Або 6 червоних та 4 непарних синіх кульок - це 10 з 14.

33. $P(F \text { or } B)=\frac{26}{65}+\frac{22}{65}-\frac{4}{65}=\frac{44}{65}$ . Або $P(F \text { or } B)=\frac{18+4+10+12}{65}=\frac{44}{65}$

35. $\mathrm{P}(\mathrm{King} \text { of Hearts or Queen })=\frac{1}{52}+\frac{4}{52}=\frac{5}{52}$

37. а. $P(\text { even } \mid \mathrm{red})=\frac{2}{5}$ б. $P(\text { even } \mid \text { red })=\frac{2}{6}$

39. $\mathrm{P}(\text { Heads on second } \mid \text { Tails on first })=\frac{1}{2}$ . Вони є самостійними заходами.

41. $\mathrm{P}(\text { speak French } \mid \text { female })=\frac{3}{14}$

43. З 4000 людей 10 мали б цю хворобу. З цих 10, 9 випробували б позитивний результат, тоді як 1 помилково перевіряв негативний. Із 3990 незаражених людей 399 помилково випробували б позитивний результат, тоді як 3591 - негативний.

а. $P(\text { virus } \mid \text { positive })=\frac{9}{9+399}=\frac{9}{408}=2.2 \%$

б. $\mathrm{P}(\text { no virus } \mid \text { negative })=\frac{3591}{3591+1}=\frac{3591}{3592}=99.97 \%$

45. З 100 000 людей 300 мали б цю хворобу. З них 18 помилково тестували б негативно, тоді як 282 випробували б позитивно. З 99 700 без захворювання 3988 помилково випробували б позитивний, а інші 95 712 випробували б негативно.

$P(\text { disease } \mid \text { positive })=\frac{282}{282+3988}=\frac{282}{4270}=6.6 \%$

47. З 100 000 жінок 800 мали б рак молочної залози. З них 80 помилково тестували б негативно, тоді як 720 - позитивний. З 99 200 без раку 6,944 помилково випробували б позитивний результат.

$P(\text { cancer } \mid \text { positive })=\frac{720}{720+6944}=\frac{720}{7664}=9.4 \%$

49. $2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 2=96$ наряди

51. а. $4 \cdot 4 \cdot 4=64$ б. $4 \cdot 3 \cdot 2=24$

53. $26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=17,576,000$

55. $_{4} \mathrm{P}_{4}$ або $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24$ можливі замовлення

57. Порядок має значення. $_7 \mathrm{P}_{4}=840$ можливі команди

59. Порядок має значення. $_{12} \mathrm{P}_{5}=95,040$ можливі теми

61. Порядок не має значення. $_{12} \mathrm{C}_{4}=495$

63. $_{50} \mathrm{C}_{6}=15,890,700$

65. $_{27} \mathrm{C}_{11} \cdot 16=208,606,320$

67. Існує лише 1 спосіб розташувати 5 компакт-дисків в алфавітному порядку. Імовірність того, що компакт-диски знаходяться в алфавітному порядку, ділиться на загальну кількість способів розташування 5 компакт-дисків. Оскільки алфавітний порядок є лише одним з усіх можливих порядків, ви можете або використовувати перестановки, або просто використовувати 5!. $P(\text { alphabetical })=1 / 5 !=1 /(5 P 5)=\frac{1}{120}$ .

69. Є $_{48} \mathrm{C}_{6}$ загальні квитки. Щоб відповідати 5 з 6, гравець повинен вибрати 5 з цих 6 $_6 \mathrm{C}_{5}$ , і один з 42 невиграшних чисел, $_{42} \mathrm{C}_{1}$ . $\frac{6 \cdot 42}{12271512}=\frac{252}{12271512}$

71. Всі можливі руки є $_{52} \mathrm{C}_{5}$ \). Руками будуть всі серця є $_{13} \mathrm{C}$ \). $\frac{1287}{2598960}$ .

73. $\$ 3\left(\frac{3}{37}\right)+\$ 2\left(\frac{6}{37}\right)+(-\$ 1)\left(\frac{28}{37}\right)=-\$ \frac{7}{37}=-\$ 0.19$

75. Є $_{23} \mathrm{C}_{6}=100,947$ \) можливі квитки.

Очікувана вартість $=\$ 29,999\left(\frac{1}{100947}\right)+(-\$ 1)\left(\frac{100946}{100947}\right)=-\$ 0.70$

77. $\$ 48(0.993)+(-\$ 302)(0.007)=\$ 45.55$