5.2: Абстрактна алгебра - комутативні групи
- Page ID
- 65315
Кожен школяр дізнається про додавання (\(+\)), віднімання (\(−\)) та множення (\(\times\)). Кожен з них є «двійковою операцією» на множині дійсних чисел, що означає, що вона приймає два числа, і повертає деяке інше число. У цьому розділі ми обговоримо бінарні операції над довільною множиною; тобто розглянемо різні способи взяття двох елементів множини і повернення деякого іншого елемента множини. (Офіційне визначення терміна «бінарна операція» знаходиться в Прикладі\(6.3.6\), але для теперішніх цілей достатньо неформального розуміння.)
Нехай\(A\) буде набір. Ми говоримо, що\(+\) це двійкова операція на\(A\) якщо\(a, b \in A\), для кожного, у нас є відповідний елемент\(a + b\)\(A\).
(Елемент\(a + b\) повинен існувати для всіх\(a, b \in A\). Крім того, сума\(a + b\) повинна залежати тільки від значень\(a\) і\(b\), а не від будь-якої іншої інформації.)
- Додавання (\(+\)), віднімання (\(−\)) та множення (\(\times\)) є прикладами двійкових операцій на\(\mathbb{R}\). Вони також забезпечують бінарні операції на\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{Z}\). Однак віднімання (\(−\)) не забезпечує двійкову операцію on\(\mathbb{N}\), оскільки не\(x − y\) знаходиться у when\(x < y\) (\(\mathbb{N}\)тоді як значення бінарної операції на множині повинні належати до заданої множини).
- Division (\(\div\)) не є двійковою операцією на\(\mathbb{R}\). Це пов'язано з тим, що\(x \div y\) не існує, коли\(y = 0\) (тоді як бінарна операція над множиною повинна бути визначена для всіх пар елементів множини). (З іншого боку, ділення - це двійкова операція на\(\mathbb{R} \backslash\{0\}\) множині всіх ненульових дійсних чисел.)
- Union (\(\cup\)), intersection (\(\cap\)) та set difference (\(\backslash\)) є двійковими операціями над колекцією всіх множин.
- Якщо множина не має занадто багато елементів, то бінарну операцію на ньому можна вказати, надавши «таблицю додавання». Наприклад, наступна таблиця визначає двійкову операцію\(+\) на\(\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}, \mathrm{f}\}\):\ [\ begin {масив} {c|ccccccc}
+ &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c} &\ mathrm {e} &
\ mathrm {f}\\ hline\ mathrm {a}} &\ математика {b} & amp;\ математика {c} &\ математика {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {f}\
\ mathrm {b} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a} &\ mathrm {e} &\ mathrm {d}\
\ mathrm therm {c} &\ математика {c} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} &\ mathrm {f} &\ математика {d} &\ математика {e}\
\ mathrm {d} &\ математика {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {f} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c}
\\ mathrm {e} &\ mathrm {f} &\ математика {d} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a}\\
\ mathrm {f} &\ mathrm {f} &\ mathrm {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b}
\ end {масив}\]
Щоб обчислити\(x + y\), знайдіть рядок, який має\(x\) в лівому кінці, і знайдіть стовпець, який має\(y\) вгорі. Значення\(x + y\) є записом таблиці, яка знаходиться в цьому рядку і в цьому стовпці. Наприклад,\(f\) знаходиться ліворуч від нижнього рядка і\(e\) знаходиться у верхній частині другого до останнього стовпця, так\(f + e = a\), тому що a - це другий до останнього запису нижнього рядка.
\(+\)Дозволяти двійкову операцію на множині\(G\).
- \(+\)є комутативним\(g + h = h + g\) вимкненням для всіх\(g, h \in G\).
- \(+\)є асоціативним iff\(g + (h + k) = (g + h) + k\) для всіх\(g, h, k \in G\).
- Елемент 0 of\(G\) - це елемент ідентичності iff\(g + 0 = g\), для всіх\(g \in G\).
- Бо\(g \in G\), негатив з\(g\) є\(−g\) елементом\(G\), такий\(g + (−g) = 0\), що, де\(0\) є елемент ідентичності\(G\).
- Ми говоримо (\(G, +\)) є комутативною групою, якщо всі три наступні умови (або «аксіоми») задовольняються:
- \(+\)є комутативним і асоціативним,
- є елемент ідентичності, і
- кожен елемент\(G\) має негатив.
З історичних причин більшість математиків використовують термін «абелінова група», а не «комутативна група», але вони погодяться, що «комутативна група» також прийнятна.
- (\(\mathbb{R}, +\)) - це комутативна група: ми всі дізналися в початковій школі, що додавання є комутативним та асоціативним\(g + 0 = g\), що і те\(g + (−g) = 0\). (Те ж саме стосується (\(\mathbb{Q}, +\)) і (\(\mathbb{Z}, +\)).)
- (\(\mathbb{N}, +\)) не є комутативною групою (навіть якщо додавання є комутативним і асоціативним, а 0 є елементом ідентичності), тому що жоден ненульовий елемент не має негативного в\(\mathbb{N}\).
- (\(\mathbb{R}, −\)) не є комутативною групою, тому що віднімання не є\(g − h\) комутативним: зазвичай не дорівнює\(h − g\). (Інша причина (\(\mathbb{R}, −\)) не комутативна група полягає в тому, що віднімання не\((g − h) − k\) є асоціативним: зазвичай не дорівнює\(g − (h − k)\).)
- (\(\mathbb{R}, \times\)) не є комутативною групою (навіть якщо додавання є комутативним і асоціативним, а 1 - елемент ідентичності для множення), тому що 0 не має «негативного» або «мультиплікативного зворотного»: там не існує\(h \in \mathbb{R}\), такого що\(0 \times h = 1\).
Наша умова бути елементом ідентичності - це те, що зазвичай називають «правильним елементом ідентичності». Щоб 0 був елементом ідентичності, він повинен бути істинним не тільки це\(g + 0 = g\), але і те\(0 + g = g\). Однак єдиними бінарними операціями, що цікавлять нас, є комутативні групи, де також виконується друга умова (див. Вправа\(5.2.11(1)\) нижче), тому нам не потрібно робити це розмежування.
Для двійкової операції\(\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}, \mathrm{f}\}\) у прикладі переконайтеся\(5.2.2(4)\), що:
- \(a\)є елементом ідентичності, і
- кожен елемент має негатив, а саме:\(-\mathrm{a}=\mathrm{a},-\mathrm{b}=\mathrm{c},-\mathrm{c}=\mathrm{b},-\mathrm{d}=\mathrm{d},-\mathrm{e}=\mathrm{f}, -\mathrm{f}=\mathrm{e}\).
Наступний результат говорить нам, що замість елемента ідентичності комутативної групи ми можемо говорити про елемент ідентичності.
Елемент ідентичності будь-якої комутативної групи унікальний.
- Доказ
-
Припустимо, 0 і\(\theta\) є будь-якими елементами ідентичності комутативної групи (\(G, +\)). Потім\ [\ begin {вирівняний}
0 &=0+\ theta & & (\ theta\ text {є елементом ідентичності)}\\
&=\ theta+0 & (+\ text {є комутативним)}\\
&=\ theta & & (0\ text {є елементом ідентичності).}
\ end {вирівняний}\]
Оскільки 0 і\(\theta\) є довільними елементами ідентичності of (\(G, +\)), це означає, що всі елементи ідентичності рівні один одному, тому елемент ідентичності унікальний (є тільки один з них).
У цьому розділі символ 0 завжди представлятиме елемент ідентичності будь-якої комутативної групи, яка розглядається.
Попередження: Це означає, що 0 зазвичай не буде представляти число нуль. Наприклад, у\(5.2.2(4)\) прикладі ми маємо\(0 = a\).
Аналогічно, замість негативу ми можемо говорити про негатив елемента\(G\):
Дозволяти (\(G, +\)) бути комутативною групою. Для кожного\(g \in G\) негатив\(g\) унікальний.
- Доказ
-
Припустимо\(−g\) і\(h\) є будь-які негативи\(g\). Потім\ [\ begin {вирівняний}
-g &=-g+0 & & (0\ text {є елементом ідентичності)}\\
&=-g+ (g+h) & (h\ text {є негативом} g)\\
& =( -g+g) +h & (+\ text {асоціативний})\\
&= h + (-g) & (+\ text {є комутативним)}\\
&=h+0 & (-g\ text {є негативом} g)\\
&=h & (0\ text {є елементом ідентичності).}
\ end {вирівняний}\]
Отже, всі негативи\(g\) однакові, тому негатив є унікальним .
Для кожної комутативної групи (\(G, +\)) ми маємо\(−0 = 0\).
- Доказ
-
Нехай\(g = 0\). Тоді\(g\) є елемент ідентичності, так\(0 + g = 0\). За визначенням негативу це означає, що\(g = −0\). З тих пір\(g = 0\), ми робимо висновок, що\(0 = −0\).
Припустимо (\(G, +\)) - комутативна група. Для\(g, h \in G\), ми використовуємо\(g − h\) в якості абревіатури для\(g + (−h)\).
Припустимо (\(G, +\)) - комутативна група, і\(g, h \in G\).
Ретельно обґрунтуйте кожен крок своїх доказів, використовуючи лише аксіоми, зазначені у Визначенні\(5.2.3\). Не припускайте ніяких інших властивостей додавання, яким вас вчили в школі.
- Показати\(0 + g = g\).
- Показати\((−g) + g = 0\).
- Показати\(g − g = 0\).
- Показати\(−(−g) = g\).
- Показати\((−g) + h = h − g\).
- Показати\((g − h) + h = g\).
Про це нам говорить асоціативний закон\((g +h)+k = g + (h+k)\). Тому вчимося в початковій школі просто писати\(g+h+k\), адже неважливо, куди йдуть дужки. Офіційно асоціативний закон Насправді (як ми також вчимося в початковій школі) немає необхідності включати дужки в будь-яку суму (навіть якщо вона має більше трьох членів). Також про це говорить комутативний закон\(g + h = h + g\). Ми дізнаємося в початковій школі, що це дозволяє нам переставляти терміни в суму будь-якої довжини, і те ж саме стосується комутативних груп. Наприклад:\[g_{1}+g_{2}+g_{3}+g_{4}+g_{5}=g_{4}+g_{3}+g_{1}+g_{5}+g_{2} .\]
Ось офіційна заява цих спостережень:
Якщо (\(G, +\)) - комутативна група\(n \in \mathbb{N}^{+}\), і\(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n} \in G\), то:
- (\(+\)асоціативний) Вираз\(g_{1}+g_{2}+\cdots+g_{n}\) являє собою чітко визначений елемент\(G\), який не залежить від того, як вираз знаходиться в дужках.
- (\(+\)Комутативний) Якщо\(h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n}\) список тих же елементів\(G\), але, можливо, в іншому порядку, то\[h_{1}+h_{2}+\cdots+h_{n}=g_{1}+g_{2}+\cdots+g_{n} .\]
Припустимо (\(G, +\)) - комутативна група, і\(g, h \in G\). Показати\[-(g+h)=(-g)+(-h) .\]
- Доказ
-
У нас є\ [\ begin {вирівняний}
(g+h) + ((-g) + (-h)) &=g+h + (-g) + (-h) & (+\ текст {асоціативний})\\
&=g+ (-g) +h + (-h) & (+\ текст {комутативний})\\ & =( g+ (-g) +h (-h)
& (+\ текст {комутативний})\\ & =( g+ (-g) + (h+ (-h)) &\ текст {(+ асоціативний)}\\
& amp; =0+0 &\ text {(визначення} -g\ text {і} -h)\\
&=0 & (0\ text {є елементом ідентичності)}
\ end {\((−g) + (−h)\)вирівняний}\]
Так і мінус\(g + h\). Іншими словами,\((−g) + (−h) = −(g + h)\).
Припустимо (\(G, +\)) - комутативна група, і\(g, h, a \in G\).
- Показати\(−(g − h) = h − g\).
- Покажіть, що якщо\(g + a = h + a\), то\(g = h\).
Дозволяти (\(G, +\)) бути комутативною групою. \(H\)Підмножина\(G\) є підгрупою (\(G, +\)) iff
- \(H \neq \varnothing\),
- (закритий під негативами)\(−h \in H\), для всіх\(h \in H\), і
- (Закритий під доповнення)\(h_{1} + h_{2} \in H\), для всіх\(h_{1}, h_{2} \in H\).
\(\mathbb{Z}\)і\(\mathbb{Q}\) є підгрупами of (\(\mathbb{R}, +\)), але не\(\mathbb{N}\) є підгрупою (оскільки вона не закрита під негативами).
Якщо\(H\) є підгрупою комутативної групи (\(G, +\)), то\(0 \in H\) (де, як зазвичай, 0 - елемент ідентичності (\(G, +\))).
- Доказ
-
Ми знаємо, що\(H \neq \varnothing\) (з визначення підгрупи), тому є деякі\(h \in H\). Так як\(H\) закривається під негативами (тому що це підгрупа) це означає\(−h \in H\). Потім, оскільки\(H\) закривається під додавання (тому що це підгрупа), у нас є\(h + (−h) \in H\). Так як\(h + (−h) = 0\) (за визначенням\(−h\)), це означає\(0 \in H\).
Припустимо\(H\) - це підгрупа комутативної групи (\(G, +\)), і\(h, k \in H\).
- Показати\(h − k \in H\).
- Для всіх покажіть\(a \in G\), що якщо\(a \notin H\), то\(a+h \notin H\).
Припустимо\(H\) - це підгрупа комутативної групи (\(G, +\)), і\(a, b \in G\). Нехай\(a+H=\{a+h \mid h \in H\}\) і\(b+H=\{b+h \mid h \in H\}\).
- Показати, що якщо\(a + H\) є підгрупою\(G\), то\(a \in H\). [Підказка: Кожна підгрупа містить 0.]
- Покажіть, що якщо\(a \in H\), то\(a + H = H\).
- Покажіть, що\(a + H = b + H\) якщо\(a − b \in H\).
- Покажіть, що якщо\((a+H) \cap(b+H) \neq \varnothing\), то\(a + H = b + H\).
Припустимо (\(G, +\)) є комутативною групою, і нехай\(T=\{t \in G \mid t+t=0\}\). Тоді\(T\) є підгрупою\(G\).
- Доказ
-
Досить показати, що\(T\) це: непорожній, закритий під негативи, і закритий під додавання.
(непорожній) У нас є\(0 \in T\) (тому що це негайно\(0 + 0 = 0\)), так\(T \neq \varnothing\).
(закритий під негативами) З огляду на\(t \in T\), ми маємо\ [\ begin {вирівняний}
(-t) + (-t) &=- (t+t)\\
&= -0\\
&=0
\ end {вирівняний}\]
(Перший рядок: Приклад\(5.2.13\), Другий рядок:\(t \in T\), Третя лінія: Пропозиція\(5.2.9\))
Це означає\(−t \in T\), що\(T\) закривається під негативами.
(Закрито під доповненням) З огляду\(s, t \in T\), у нас є\(s + s = 0\) і\(t + t = 0\). Тому\ [\ почати {вирівняний}
(с+т) + (с+т) & =( с+т) + (t+s) & (+\ текст {комутативний})\\
&= s+ (t+ (t+s)) &\ текст {(} +\ текст {асоціативний)}\\
&= s+ ((t+t) +s) &\ текст {+ асоціативний)}\\
& amp; =s+ (0+s) & (t\ in T)\\
&=s+s & (0\ text {є елементом ідентичності)}\\
&=0 & (s\ in T)
\ end {вирівняний}\]
так що\(s + t \in T\(). Therefore \(T\) закривається під додавання.
Припустимо\(H\) і\(K\) є підгрупами комутативної групи (\(G, +\)).
- Показати, що\(H \cap K\) є підгрупою (\(G, +\)).
- Нехай\(H+K=\{h+k \mid h \in H, k \in K\}\). Показати, що\(H + K\) є підгрупою (\(G, +\)).