2.7: Контрприклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65208

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Контрприклади

Не всі відрахування дійсні. Щоб показати, що той чи інший відрахування не є дійсним, потрібно показати, що його висновок може бути помилковим при цьому, що всі його гіпотези вірні. Для цього слід знайти присвоєння змінним, яке робить всі гіпотези правдивими, але робить висновок помилковим.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Покажіть, що\[A \lor B, \quad A \Rightarrow B, \quad \therefore\ A\] відрахування не дійсний.

Підказка:

Щоб зробити висновок помилковим, ми дозволяємо\(A\) бути помилковим. Тоді, щоб зробити першу гіпотезу правдою, ми повинні дозволити\(B\) бути правдою. На щастя, це також робить другу гіпотезу правдивою.

Рішення

\(A\)Дозволяти бути помилковим, і нехай\(B\) буде правдою. Тоді

\[A \lor B = \mathsf{F} \lor \mathsf{T} = \mathsf{T} \]

і\[A \Rightarrow B = \mathsf{F} \Rightarrow \mathsf{T} = \mathsf{T},\]

тому обидві гіпотези вирахування вірні. Однак висновок відрахування (а саме\(A\)) є помилковим.

Оскільки ми маємо ситуацію, при якій обидві гіпотези відрахування вірні, але висновок відрахування помилковий, відрахування не є дійсним.

Будь-яка ситуація, при якій всі гіпотези відрахування вірні, але висновок помилковий, називається зустрічним прикладом до відрахування.

\[\text{To show that a deduction is not valid, find a counterexample.}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Покажіть, що кожен з цих відрахувань недійсний, знайшовши контрприклад.

\(A \lor B\),\(A \Rightarrow B\)
\(P \lor Q\),\(P \& Q\)
\(A \Rightarrow (B \& C)\),\(\lnot A \Rightarrow (B \lor C)\),\(C\)
\(P \Rightarrow Q\),\(\lnot P \Rightarrow R\),\(Q \& (P \lor R)\)