Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Що таке доказ?

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65235

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Я не знаю - доказ є доказом. Що за доказ? Це доказ. Доказ є доказом, і коли у вас є хороший доказ, це тому, що це доведено.

    Жан Крітьєн (нар. 1934), прем'єр-міністр Канади

    Мета математичного доказу - надати цілком переконливе пояснення того, що відрахування є дійсним. Його потрібно так ретельно написати, що б він протримався в суді назавжди, навіть проти вашого найлютішого ворога, в будь-якій країні світу, і без будь-яких додаткових пояснень. На щастя, правила логіки прийняті у всьому світі, тому при правильному застосуванні вони створюють незаперечний випадок.

    У попередніх розділах цієї глави ми писали наші докази у форматі двох стовпців. Зараз ми почнемо перехід до написання доказів в англійській прозі; наші ідеї будуть виражатися в пропозиціях і абзацах, використовуючи правильну граматику, поєднуючи слова з відповідними математичними позначеннями. Доказ, написаний у прозі, повинен передавати ту саму інформацію, яка була б знайдена в доказі з двох стовпців, тому по суті ті ж правила та стратегії все ще застосовуватимуться, але написання звичайною англійською мовою забезпечує більше свободи і часто призводить до коротших доказів, які є більш зручними для читачів.

    Зауваження\(2.6.1\).

    Великою перевагою доказів з двома стовпцями є те, що правила дуже чіткі, тому немає неясностей, які вимагають гарного судження для вирішення. Це полегшує їх початківцям, які можуть мати труднощі з вирішенням того, що їм дозволено робити. Недоліком є те, що необхідність записувати кожну деталь кожного кроку робить докази дуже багатослівними, тому їх не можна розумно використовувати у складних ситуаціях, що виникають при вивченні вищої математики.

    Так само, як і при використанні двоколонкового формату, наші докази будуть послідовністю тверджень, які ведуть від гіпотез до бажаного висновку. Кожне твердження повинно мати логічне обгрунтування, засноване на твердженнях, які були викладені раніше в доказі. Будь-яке доказ (для\(\Rightarrow\) -введення або доказ протиріччя) буде формувати власний абзац в межах доказу.

    Перш ніж почнеться доказ, ми завжди надаємо твердження теореми, яка буде доведена.

    • Заяві передує ярлик «Теорема» (або відповідний замінник).
    • Постановка результату починається з переліку всіх гіпотез. Щоб зрозуміти, що це припущення, а не висновки, цей список тверджень вводиться відповідним словом або фразою, такою як «Припустимо...», або «Припустимо, що...», або «Якщо...», або «Нехай...»
    • Висловлювання результату закінчується висловлюванням бажаного висновку, введеного відповідним словом або фразою типу «Тоді...» або «Отже,...»

    Слідуючи заяву результату, починаємо наше доказ в новому абзаці.

    • Доказ позначений одним словом: «Доказ».
    • Потім ми продовжуємо давати добре організовану серію тверджень, які логічно ведуть від наших гіпотез до бажаного висновку.
    • Невеликий квадрат малюється на правому краю в кінці доказу, що означає, що доказ завершений.

    Наприклад, ось як можна лікувати перший відрахування:

    Теорема

    Припустимо:

    1. якщо Папа Римський тут, то Королева і Секретар і тут, і
    2. Папа Римський тут.

    Тоді реєстратор тут.

    Доказ

    З Успіння 2, ми знаємо, що Папа Римський тут. Тому Успіння говорить нам, що Королева і Секретар обидва тут. Зокрема, тут знаходиться Реєстратор.

    Ось ще один приклад:

    Приклад\(2.6.2\).

    Гіпотеза:

    1. Якщо Папа Римський тут, а Королеви тут немає, то Секретар тут.

    Висновок: Якщо Папа Римський тут, то або Королева, або Секретар теж тут.

    Рішення

    Доказ протиріччям.

    Припустимо, висновок помилковий. (Це призведе до протиріччя.) Це означає, що Папа Римський тут, але ні Королева, ні Секретар тут немає. Зокрема, Папа Римський тут, а Королеви тут немає, тому Гіпотеза говорить нам, що Секретар тут. Однак, оскільки тут ні Королева, ні Реєстратор, ми також знаємо, що Реєстратора тут немає. Тому реєстратор є і тут, і не тут. Це протиріччя.

    Альтернативний доказ.

    Припустимо, тут Папа Римський. (Ми хочемо показати, що або Королева, або Реєстратор також тут.) З Закону виключеного середнього ми знаємо, що Королева тут або немає, і ми розглядаємо ці дві можливості як окремі випадки.

    Випадок 1.
    Припустимо, королева тут. Тоді це правда, що або Королева, або Реєстратор тут, за бажанням.

    Випадок 2.
    Припустимо, королеви тут немає. Тоді Папа Римський тут, а Королеви тут немає. З гіпотези ми робимо висновок, що Реєстратор тут. Тому або Королева, або Реєстратор тут, за бажанням.

    Зауваження\(2.6.3\).

    Відзначимо, що деякі правила двоколонкового формату розслаблені для доказів, написаних в прозі:

    1. Ми більше не будемо перераховувати всі гіпотези на початку нашого доказу. Замість цього ми посилаємося на список, який знаходиться в твердженні теореми.
    2. Ми більше не будемо практикувати нумерацію всіх тверджень у наших доказах. Однак, якщо є певне твердження, яке буде використано неодноразово, ми можемо позначити його номером для зручності довідки.
    3. Зазвичай ми не будемо цитувати основні правила по імені кожного разу, коли вони використовуються. Однак ми повинні бути в змозі обґрунтувати будь-яке твердження правилом, якщо це потрібно зробити.

    Вправа\(2.6.4\).

    Перекладіть обидва докази з Example\(2.6.2\). у формат двох стовпців (використовуючи наш звичайний ключ символізації).

    Вправа\(2.6.5\).

    Напишіть доказ кожної з цих теорем в англійській прозі.

    Registrar" label="1stPfInEnglish-Pope->Registrar">1. Registrar">Гіпотеза:

    1. Якщо Папа Римський тут, то тут цариця.
    2. Якщо Королева тут, то реєстратор тут.

    Висновок: Якщо Папа Римський тут, то Секретар тут.

    2.

    Теорема.

    Припустимо:

    1. Якщо Папа Римський тут, то Секретар тут.
    2. Якщо Королева тут, то Шпигун тут.
    3. Папа Римський і Королева обидва тут.

    Тоді Реєстратор і Шпигун обидва тут.

    3.

    Теорема.

    Припустимо:

    1. Якщо Адам тут, то Бетті тут.
    2. Якщо Бетті тут немає, то Чарлі тут.
    3. Або Адам тут, або Чарлі тут немає.

    Тоді Бетті тут.

    4.

    Теорема.

    Припустимо:

    1. Якщо Джек і Джилл пішли в гору, то щось піде не так.
    2. Якщо Джек піднявся на пагорб, то Джилл пішла в гору.
    3. Нічого не піде не так.

    Тоді Джек не пішов в гору.