7.2: Діагоналізація

Результати

1. Визначте, коли можна діагоналізувати матрицю.
2. Коли це можливо, діагоналізуйте матрицю.

Подібність і діагоналізація

Починаємо цей розділ з згадки визначення подібних матриць. Нагадаємо, що якщо$A,B$ дві$n\times n$ матриці, то вони схожі якщо і тільки в тому випадку, якщо існує оборотна матриця$P$ така, що $$A=P^{-1}BP\nonumber$$

В даному випадку пишемо$A \sim B$. Поняття подібності є прикладом співвідношення еквівалентності.

Лемма$\PageIndex{1}$: Similarity is an Equivalence Relation

Подібність - відношення еквівалентності, тобто для$n \times n$ матриць$A,B,$ і$C$,

1. $A \sim A$(рефлексивний)
2. Якщо$A \sim B$, то$B \sim A$ (симетричний)
3. Якщо$A \sim B$ і$B \sim C$, то$A \sim C$ (перехідний)

Доказ

Зрозуміло$A\sim A$, що, беручи$P=I$.

Тепер, якщо$A\sim B,$ тоді для деяких$P$ обертається, $$A=P^{-1}BP\nonumber$$ і так $$PAP^{-1}=B\nonumber$$ Але тоді, $$\left( P^{-1}\right) ^{-1}AP^{-1}=B\nonumber$$ який показує, що$B\sim A$.

Тепер припустимо$A\sim B$ і$B\sim C$. Тоді існують оборотні матриці$P,Q$ такі, що $$A=P^{-1}BP,\ B=Q^{-1}CQ\nonumber$$ потім, $$A=P^{-1} \left( Q^{-1}CQ \right)P=\left( QP\right) ^{-1}C\left( QP\right)\nonumber$$ показуючи,$A$ що схоже на$C$.

Ще одним важливим поняттям, необхідним для цього розділу, є слід матриці. Розглянемо визначення.

Визначення$\PageIndex{1}$: Trace of a Matrix

Якщо$A=[a_{ij}]$$n\times n$ матриця, то слід$A$ є $$\mathrm{trace}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}.\nonumber$$

У словах слід матриці - це сума записів на головній діагоналі.

Лемма$\PageIndex{2}$: Properties of Trace

Для$n\times n$ матриць$A$ і$B$, і будь-яких$k\in\mathbb{R}$,

1. $\mathrm{trace}(A+B)=\mathrm{trace}(A) + \mathrm{trace}(B)$
2. $\mathrm{trace}(kA)=k\cdot\mathrm{trace}(A)$
3. $\mathrm{trace}(AB)=\mathrm{trace}(BA)$

Наступна теорема включає посилання на характеристичний многочлен матриці. Нагадаємо, що для будь-якої$n \times n$ матриці$A$ характерний многочлен$A$ є$c_A(x)=\det(xI-A)$.

Теорема$\PageIndex{1}$: Properties of Similar Matrices

Якщо$A$ і$B$ є$n\times n$ матрицями і$A\sim B$, то

1. $\det(A) = \det(B)$
2. $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$
3. $\mathrm{trace}(A)= \mathrm{trace}(B)$
4. $c_A(x)=c_B(x)$
5. $A$і$B$ мають однакові власні значення

Тепер перейдемо до основної концепції цього розділу. Коли матриця схожа на діагональну матрицю, матриця, як кажуть, є діагональною. Діагональну матрицю ми визначаємо$D$ як матрицю, яка містить нуль у кожному записі, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі. Точніше, якщо$d_{ij}$ це$ij^{th}$ запис діагональної матриці$D$, то$d_{ij}=0$ хіба$i=j$. Виглядають такі матриці наступним чином. $$D = \left[ \begin{array}{ccc} \ast & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \ast \end{array} \right]\nonumber$$ де число,$\ast$ яке не може бути нулем.

Далі наведено формальне визначення діагональної матриці.

Визначення$\PageIndex{2}$: Diagonalizable

$A$Дозволяти бути$n\times n$ матрицею. Тоді$A$, як кажуть, діагонально, якщо існує оборотна матриця$P$ така, що $$P^{-1}AP=D\nonumber$$ де$D$ діагональна матриця.

Зверніть увагу, що вищевказане рівняння можна переставити як$A=PDP^{-1}$. Припустимо, ми хотіли обчислити$A^{100}$. По діагоналі$A$ спочатку досить потім обчислити$\left(PDP^{-1}\right)^{100}$, що зводиться до$PD^{100}P^{-1}$. Це останнє обчислення набагато простіше, ніж$A^{100}$. Хоча цей процес докладно описаний далі, він забезпечує мотивацію для діагоналізації.

Діагоналізація матриці

Найважливішою теоремою про діагональності є наступний основний результат.

Теорема$\PageIndex{2}$: Eigenvectors and Diagonalizable Matrices

$n\times n$$A$Матриця може бути діагональна тоді і тільки тоді, коли є оборотна матриця,$P$ задана $$P=\left[\begin{array}{cccc} X_{1} & X_{2} & \cdots & X_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ де$X_{k}$ є власні вектори$A$.

Крім того,$A$ якщо діагонально, відповідні власні значення є$A$ діагональними записами діагональної матриці$D$.

Доказ

Припустимо,$P$ наведено як вище, як обернена матриця, стовпці якої є власними векторами$A$. Тоді$P^{-1}$ має форму, $$P^{-1}=\left[\begin{array}{c} W_{1}^{T} \\ W_{2}^{T} \\ \vdots \\ W_{n}^{T} \end{array} \right]\nonumber$$ де$W_{k}^{T}X_{j}=\delta _{kj},$ є символом Кронекера, визначеним $$\delta _{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1 \text{ if }i=j \\ 0\text{ if }i\neq j \end{array} \right.\nonumber$$

Тоді $$\begin{aligned} P^{-1}AP & = \left[\begin{array}{c} W_{1}^{T} \\ W_{2}^{T} \\ \vdots \\ W_{n}^{T} \end{array} \right] \left[\begin{array}{cccc} AX_{1} & AX_{2} & \cdots & AX_{n} \end{array} \right] \\ & = \left[\begin{array}{c} W_{1}^{T} \\ W_{2}^{T} \\ \vdots \\ W_{n}^{T} \end{array} \right] \left[\begin{array}{cccc} \lambda _{1}X_{1} & \lambda _{2}X_{2} & \cdots & \lambda _{n}X_{n} \end{array} \right] \\ &= \left[\begin{array}{ccc} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \end{array} \right] \end{aligned}$$

І навпаки,$A$ припустимо, діагонально так що$P^{-1}AP=D.$ Нехай $$P=\left[\begin{array}{cccc} X_{1} & X_{2} & \cdots & X_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ де стовпці є$X_{k}$ і $$D=\left[\begin{array}{ccc} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \end{array} \right]\nonumber$$ Тоді $$AP=PD=\left[\begin{array}{cccc} X_{1} & X_{2} & \cdots & X_{n} \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \end{array} \right]\nonumber$$ і так $$\left[\begin{array}{cccc} AX_{1} & AX_{2} & \cdots & AX_{n} \end{array} \right] =\left[\begin{array}{cccc} \lambda _{1}X_{1} & \lambda _{2}X_{2} & \cdots & \lambda _{n}X_{n} \end{array} \right]\nonumber$$ показуючи$X_{k}$ є власні вектори$A$ і$\lambda _{k}$ є власними векторами.

Зверніть увагу, що оскільки матриця,$P$ визначена вище, є оборотною, випливає, що набір власних векторів$A$$\left\{ X_1, X_2, \cdots, X_n \right\}$,, утворюють основу$\mathbb{R}^n$.

Ми демонструємо поняття, наведене у вищезгаданій теоремі в наступному прикладі. Зверніть увагу, що не тільки стовпці матриці$P$ утворені власними векторами, але$P$ повинні бути оборотними, тому повинні складатися з найрізноманітніших власних векторів. Ми досягаємо цього за допомогою базових власних векторів для стовпців$P$.

Приклад$\PageIndex{1}$: Diagonalize a Matrix

Дозвольте $$A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -1 \\ -2 & -4 & 4 \end{array} \right]\nonumber$$ знайти оборотну матрицю$P$ і діагональну матрицю$D$ таку, що$P^{-1}AP=D$.

Рішення

За теоремою$\PageIndex{2}$ ми використовуємо власні вектори$A$ як стовпчики$P$, а відповідні власні значення$A$ як діагональні записи$D$.

Спочатку знайдемо власні значення$A$. Для цього вирішуємо$\det \left( \lambda I -A \right) =0$ наступним чином. $$\det \left( \lambda \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] - \left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -1 \\ -2 & -4 & 4 \end{array} \right] \right) = 0\nonumber$$

Це обчислення залишається як вправа, і ви повинні переконатися, що власні значення$\lambda_1 =2, \lambda_2 = 2$, і$\lambda_3 = 6$.

Далі нам потрібно знайти власні вектори. Спочатку знайдемо власні вектори для$\lambda_1, \lambda_2 = 2$. Розв'язуючи,$\left(2I - A \right)X = 0$ щоб знайти власні вектори, ми виявимо, що власні$t,s$ вектори $$t\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +s\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber$$ - це скаляри. Звідси є два основних власних вектора, які задаються $$X_1 = \left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], X_2 = \left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Ви можете переконатися, що основним власним вектором для$\lambda_3 =6$ є$X_3 = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right]$

Потім будуємо матрицю$P$ наступним чином. $$P= \left[\begin{array}{rrr} X_1 & X_2 & X_3 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right]\nonumber$$ Тобто стовпці є$P$ основними власнимивекторами$A$. Потім ви можете перевірити, що $$P^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \end{array} \right]\nonumber$$ Таким чином, $$\begin{aligned} P^{-1}AP &=\left[\begin{array}{rrr} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \end{array} \right] \left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -1 \\ -2 & -4 & 4 \end{array} \right] \left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right] \\ &=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right] \end{aligned}$$

Ви можете бачити, що результатом тут є діагональна матриця, де записи на головній діагоналі є власними значеннями$A$. Ми очікували цього на основі теореми$\PageIndex{2}$. Зверніть увагу, що власні значення на головній діагоналі повинні бути в тому ж порядку, що і відповідні власні вектори в$P$.

Розглянемо наступну важливу теорему.

Теорема$\PageIndex{3}$: Linearly Independent Eigenvectors

$A$Дозволяти$n\times n$ матриця, і припустимо, що$A$ має різні власні значення$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$. Для кожного$i$, нехай$X_i$ буде$\lambda_i$ -власним вектором$A$. Потім$\{ X_1, X_2, \ldots, X_m\}$ лінійно незалежний.

Наслідок, який випливає з цієї теореми, дає корисний інструмент для$A$ визначення діагоналізації.

Слідство$\PageIndex{1}$: Distinct Eigenvalues

$A$Дозволяти$n \times n$ матриця і припустимо, що вона має$n$ різні власні значення. Потім випливає,$A$ що діагонально.

Можливо, що матриця$A$ не може бути діагоналізована. Іншими словами, ми не можемо знайти оборотну матрицю$P$ так$P^{-1}AP=D$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$: A Matrix which cannot be Diagonalized

Нехай $$A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ Якщо можливо, знайдіть оборотну матрицю$P$ і діагональну матрицю$D$ так, щоб$P^{-1}AP=D$.

Рішення

За допомогою звичайної процедури ми знаходимо, що власні значення$A$ є$\lambda_1 =1, \lambda_2=1.$ Щоб знайти власні вектори, вирішуємо рівняння$\left(\lambda I - A \right) X = 0$. $\left(\lambda I -A \right)$Матриця задається $$\left[\begin{array}{cc} \lambda - 1 & -1 \\ 0 & \lambda - 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Підставляючи в$\lambda = 1$, ми маємо матрицю $$\left[\begin{array}{cc} 1 - 1 & -1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Потім рішення рівняння$\left(\lambda I - A\right) X = 0$ передбачає перенесення наступної доповненої матриці до її зменшеної рядково-ешелонної форми. $$\left[\begin{array}{rr|r} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[\begin{array}{rr|r} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Тоді власні вектори мають вигляд, $$t\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \right]\nonumber$$ а основний власний вектор - $$X_1 = \left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \right]\nonumber$$

У цьому випадку матриця$A$ має одне власне значення кратності два, але тільки один основний власний вектор. Для того щоб діагоналізувати$A$, нам потрібно побудувати оборотну$2\times 2$ матрицю$P$. Однак, оскільки має$A$ лише один базовий власні вектори, ми не можемо побудувати це$P$. Зверніть увагу, що якби ми повинні були використовувати$X_1$ як обидва стовпці$P$, не$P$ буде обертається. З цієї причини ми не можемо повторити власні вектори в$P$.

Отже, ця матриця не може бути діагоналізована.

Ідея про те, що матриця не може бути діагональною, свідчить про те, що існують умови, щоб визначити, коли можна діагоналізувати матрицю. Ми бачили раніше в Слідство,$\PageIndex{1}$ що$n \times n$ матриця з$n$ різними власними значеннями діагонально. Виявляється, є й інші корисні тести на діагональність.

Для початку нам знадобиться наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{3}$: Eigenspace

$A$Дозволяти$n\times n$ матриці і$\lambda\in\mathbb{R}$. У власному просторі$A$ відповідного$\lambda$, записаного$E_{\lambda}(A)$ є множиною всіх власних векторів, що відповідають$\lambda$.

Іншими словами, власне простір$E_{\lambda}(A)$ - це все$X$ таке, що$AX = \lambda X$. Зверніть увагу, що цей набір може бути записаний$E_{\lambda}(A) = \mathrm{null}(\lambda I - A)$, показуючи, що$E_{\lambda}(A)$ є підпростором$\mathbb{R}^n$.

Нагадаємо, що кратність власноївеличини$\lambda$ - це кількість разів, яке воно зустрічається як корінь характеристичного многочлена.

Розглянемо тепер наступну лему.

Лемма$\PageIndex{3}$: Dimension of the Eigenspace

Якщо$A$$n\times n$ матриця,$\lambda$ то $$\dim(E_{\lambda}(A))\leq m\nonumber$$ де - власне значення$A$ кратності$m$.

Цей результат говорить нам, що якщо$\lambda$ є власним значенням$A$, то кількість лінійно незалежних$\lambda$ -власних векторів ніколи не перевищує кратність$\lambda$. Тепер ми використовуємо цей факт, щоб забезпечити корисну умову діагональності.

Теорема$\PageIndex{4}$: Diagonalizability Condition

$A$Дозволяти бути$n \times n$ матрицею$A$. Потім$A$ діагонально, якщо і тільки якщо для кожного власне значення$\lambda$$A$,$\dim(E_{\lambda}(A))$ дорівнює кратності$\lambda$.

Складні власні значення

У деяких додатках матриця може мати власні значення, які є комплексними числами. Наприклад, це часто відбувається в диференціальних рівняннях. До цих питань підходять так само, як і вище.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{3}$: A Real Matrix with Complex Eigenvalues

Дозвольте $$A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right ]\nonumber$$ знайти власні значення та власні вектори$A$.

Рішення

Спочатку ми знайдемо власні значення, як зазвичай, вирішивши наступне рівняння.

$$\det \left( \lambda \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ] - \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] \right) =0\nonumber$$ Це зводиться$\left( \lambda -1\right) \left( \lambda^{2}-4 \lambda +5\right) =0.$ до Рішення є$\lambda_1 =1,\lambda_2 = 2+i$ і$\lambda_3 =2-i.$

Немає нічого нового в пошуку власних векторів,$\lambda_1 =1$ тому це залишається як вправа.

Розглянемо тепер власне значення.$\lambda_2 =2+i.$ Як завжди, ми вирішуємо рівняння,$\left(\lambda I -A \right) X = 0$ як задано. $$\left( \left( 2+i\right) \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ] - \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] \right) X =\left [ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber$$ Іншими словами, нам потрібно вирішити систему, представлену доповненою матрицею. $$\left [ \begin{array}{crr|r} 1+i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 & 0 \\ 0 & -1 & i & 0 \end{array} \right ]\nonumber$$

Тепер ми використовуємо наші операції рядків для вирішення системи. Розділіть перший ряд на,$\left( 1+i\right)$ а потім візьміть$-i$ раз другий ряд і додайте до третього ряду. Це дає $$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber$$ Тепер множимо другий рядок на,$-i$ щоб отримати зменшену форму рядка-ешелону, задану $$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber$$ Отже, власні вектори мають вигляд, $$t\left [ \begin{array}{r} 0 \\ i \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber$$ а основний власний вектор задається $$X_2 = \left [ \begin{array}{r} 0 \\ i \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber$$

В якості вправи переконайтеся, що власні$\lambda_3 =2-i$ вектори для мають вигляд $$t\left [ \begin{array}{r} 0 \\ -i \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber$$ Отже, основний власний вектор задається $$X_3 = \left [ \begin{array}{r} 0 \\ -i \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber$$

Як завжди, обов'язково перевірте свої відповіді! Щоб перевірити, ми перевіряємо це$AX_3 = \left(2 - i \right) X_3$ наступним чином. $$\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{r} 0 \\ -i \\ 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ -1-2i \\ 2-i \end{array} \right ] =\left( 2-i\right) \left [ \begin{array}{r} 0 \\ -i \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber$$

Тому ми знаємо, що це власне вектор і власне значення є правильними.

Зверніть увагу$\PageIndex{3}$, що в прикладі два власних значення були задані$\lambda_2 = 2 + i$ і$\lambda_3 = 2-i$. Ви можете згадати, що ці два комплексних числа є сполученими. Виявляється, що всякий раз, коли матриця, що містить реальні записи$\lambda$, має складне власне значення, вона також має власне значення, яке дорівнює$\overline{\lambda}$, сполучений з$\lambda$.