4.2: Векторна алгебра

Результати

1. Зрозумійте векторне додавання та скалярне множення, алгебраїчно.
2. Ввести поняття лінійної комбінації векторів.

Додавання та скалярне множення - дві важливі алгебраїчні операції, виконані з векторами. Зверніть увагу, що ці операції застосовуються до векторів в$\mathbb{R}^{n}$, для будь-якого значення$n$. Ми розглянемо ці операції більш детально в наступних розділах.

Додавання векторів в$\mathbb{R}^n$

Додавання векторів в$\mathbb{R}^n$ визначається наступним чином.

Визначення$\PageIndex{1}$: Addition of Vectors in $\mathbb{R}^n$

Якщо$\vec{u}=\left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ],\; \vec{v}= \left [ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{n}$ то$\vec{u}+\vec{v}\in \mathbb{R}^{n}$ і визначається

$$\begin{aligned} \vec{u}+\vec{v} &= \left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right ]\\ & = \left [ \begin{array}{c} u_{1}+v_{1} \\ \vdots \\ u_{n}+v_{n} \end{array} \right ]\end{aligned}$$

Щоб додати вектори, ми просто додаємо відповідні компоненти. Тому, щоб додати вектори, вони повинні бути однакового розміру.

Додавання векторів задовольняє деяким важливим властивостям, які викладені в наступній теоремі.

Теорема$\PageIndex{1}$: Properties of Vector Addition

Наступні властивості утримуються для векторів$\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^{n}$.

• Комутативний закон додавання $$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\nonumber$$
• Асоціативний закон додавання $$\left( \vec{u}+\vec{v}\right) +\vec{w}=\vec{u}+\left( \vec{v}+\vec{w}\right)\nonumber$$
• Існування адитивної ідентичності $$\vec{u}+\vec{0}=\vec{u} \label{vectoridentity}$$
• Існування зворотної добавки $$\vec{u}+\left( -\vec{u}\right) =\vec{0}\nonumber$$

Аддитивна ідентичність, показана в Рівнянні, також$\eqref{vectoridentity}$ називається нульовим$n \times 1$ вектором, вектором, в якому всі складові рівні$0$. Крім того,$-\vec{u}$ це просто вектор з усіма компонентами, що мають таке ж значення, як і у знака,$\vec{u}$ але протилежного; це просто$(-1)\vec{u}$. Це буде більш явним у наступному розділі, коли ми досліджуємо скалярне множення векторів. Зверніть увагу, що віднімання визначається як$\vec{u}-\vec{v} = \vec{u}+\left( -\vec{v} \right)$.

Скалярне множення векторів в$\mathbb{R}^n$

Скалярне множення векторів в$\mathbb{R}^n$ визначається наступним чином.

Визначення$\PageIndex{2}$: Scalar Multiplication of Vectors in $\mathbb{R}^n$

Якщо$\vec{u}\in \mathbb{R}^{n}$ і$k\in \mathbb{R}$ є скаляром, то$k\vec{u}\in \mathbb{R}^{n}$ визначається

$$k\vec{u}=k\left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} ku_{1} \\ \vdots \\ ku_{n} \end{array} \right ]\nonumber$$

Так само, як і при додаванні, скалярне множення векторів задовольняє декільком важливим властивостям. Вони викладені в наступній теоремі.

Теорема$\PageIndex{2}$: Properties of Scalar Multiplication

Наступні властивості утримуються для векторів$\vec{u},\vec{v}\in \mathbb{R}^{n}$ і$k,p$ скалярів.

• Розподільний закон над векторним додаванням $$k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) = k\vec{u}+ k\vec{v}\nonumber$$
• Розподільний закон про скалярне додавання $$\left( k + p \right)\vec{u} = k \vec{u}+p \vec{u}\nonumber$$
• Асоціативний закон скалярного множення $$k \left( p \vec{u}\right) = \left(k p \right)\vec{u}\nonumber$$
• Правило множення на$1$ $$1\vec{u}=\vec{u}\nonumber$$

Доказ

Ми покажемо доказ: $$k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) = k \vec{u}+ k \vec{v}\nonumber$$ Зверніть увагу, що: $$\begin{array}{ll} k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) & =k \left [ u_{1}+v_{1} \cdots u_{n}+v_{n}\right ]^T \\ & = \left [ k \left( u_{1}+v_{1}\right) \cdots k \left( u_{n}+v_{n}\right) \right ]^T \\ & = \left [ k u_{1}+ k v_{1} \cdots k u_{n}+ k v_{n}\right ]^T \\ & = \left [ k u_{1} \cdots k u_{n} \right ]^T + \left [ k v_{1} \cdots k v_{n} \right ]^T \\ & = k \vec{u}+k \vec{v} \\ \end{array}\nonumber$$

Тепер ми представляємо корисне поняття, яке ви, можливо, бачили раніше, поєднуючи додавання векторів та скалярне множення.

Визначення$\PageIndex{3}$: Linear Combination

Вектор$\vec{v}$ називається лінійною комбінацією векторів,$\vec{u}_1,\cdots , \vec{u}_n$ якщо існують скаляри,$a_{1},\cdots ,a_{n}$ такі, що

$$\vec{v} = a_1 \vec{u}_1 + \cdots + a_n \vec{u}_n\nonumber$$

Наприклад,

$$3 \left [ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] + 2 \left [ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right ].\nonumber$$ Таким чином можна сказати, що $$\vec{v}= \left [ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber$$ це лінійна комбінація векторів $$\vec{u}_1 = \left [ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] \mbox{ and } \vec{u}_2 = \left [ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right ]\nonumber$$