4.2: Векторна алгебра
- Page ID
- 63126
- Зрозумійте векторне додавання та скалярне множення, алгебраїчно.
- Ввести поняття лінійної комбінації векторів.
Додавання та скалярне множення - дві важливі алгебраїчні операції, виконані з векторами. Зверніть увагу, що ці операції застосовуються до векторів в\(\mathbb{R}^{n}\), для будь-якого значення\(n\). Ми розглянемо ці операції більш детально в наступних розділах.
Додавання векторів в\(\mathbb{R}^n\)
Додавання векторів в\(\mathbb{R}^n\) визначається наступним чином.
Якщо\(\vec{u}=\left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ],\; \vec{v}= \left [ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{n}\) то\(\vec{u}+\vec{v}\in \mathbb{R}^{n}\) і визначається
\[\begin{aligned} \vec{u}+\vec{v} &= \left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right ]\\ & = \left [ \begin{array}{c} u_{1}+v_{1} \\ \vdots \\ u_{n}+v_{n} \end{array} \right ]\end{aligned}\]
Щоб додати вектори, ми просто додаємо відповідні компоненти. Тому, щоб додати вектори, вони повинні бути однакового розміру.
Додавання векторів задовольняє деяким важливим властивостям, які викладені в наступній теоремі.
Наступні властивості утримуються для векторів\(\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^{n}\).
- Комутативний закон додавання\[\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\nonumber \]
- Асоціативний закон додавання\[\left( \vec{u}+\vec{v}\right) +\vec{w}=\vec{u}+\left( \vec{v}+\vec{w}\right)\nonumber \]
- Існування адитивної ідентичності\[\vec{u}+\vec{0}=\vec{u} \label{vectoridentity}\]
- Існування зворотної добавки\[\vec{u}+\left( -\vec{u}\right) =\vec{0}\nonumber \]
Аддитивна ідентичність, показана в Рівнянні, також\(\eqref{vectoridentity}\) називається нульовим\(n \times 1\) вектором, вектором, в якому всі складові рівні\(0\). Крім того,\(-\vec{u}\) це просто вектор з усіма компонентами, що мають таке ж значення, як і у знака,\(\vec{u}\) але протилежного; це просто\((-1)\vec{u}\). Це буде більш явним у наступному розділі, коли ми досліджуємо скалярне множення векторів. Зверніть увагу, що віднімання визначається як\(\vec{u}-\vec{v} = \vec{u}+\left( -\vec{v} \right)\).
Скалярне множення векторів в\(\mathbb{R}^n\)
Скалярне множення векторів в\(\mathbb{R}^n\) визначається наступним чином.
Якщо\(\vec{u}\in \mathbb{R}^{n}\) і\(k\in \mathbb{R}\) є скаляром, то\(k\vec{u}\in \mathbb{R}^{n}\) визначається\[k\vec{u}=k\left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} ku_{1} \\ \vdots \\ ku_{n} \end{array} \right ]\nonumber \]
Так само, як і при додаванні, скалярне множення векторів задовольняє декільком важливим властивостям. Вони викладені в наступній теоремі.
Наступні властивості утримуються для векторів\(\vec{u},\vec{v}\in \mathbb{R}^{n}\) і\(k,p\) скалярів.
- Розподільний закон над векторним додаванням\[k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) = k\vec{u}+ k\vec{v}\nonumber\]
- Розподільний закон про скалярне додавання\[\left( k + p \right)\vec{u} = k \vec{u}+p \vec{u}\nonumber\]
- Асоціативний закон скалярного множення\[k \left( p \vec{u}\right) = \left(k p \right)\vec{u}\nonumber\]
- Правило множення на\(1\)\[1\vec{u}=\vec{u}\nonumber\]
- Доказ
-
Ми покажемо доказ:\[k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) = k \vec{u}+ k \vec{v}\nonumber\] Зверніть увагу, що:\[\begin{array}{ll} k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) & =k \left [ u_{1}+v_{1} \cdots u_{n}+v_{n}\right ]^T \\ & = \left [ k \left( u_{1}+v_{1}\right) \cdots k \left( u_{n}+v_{n}\right) \right ]^T \\ & = \left [ k u_{1}+ k v_{1} \cdots k u_{n}+ k v_{n}\right ]^T \\ & = \left [ k u_{1} \cdots k u_{n} \right ]^T + \left [ k v_{1} \cdots k v_{n} \right ]^T \\ & = k \vec{u}+k \vec{v} \\ \end{array}\nonumber\]
Тепер ми представляємо корисне поняття, яке ви, можливо, бачили раніше, поєднуючи додавання векторів та скалярне множення.
Вектор\(\vec{v}\) називається лінійною комбінацією векторів,\(\vec{u}_1,\cdots , \vec{u}_n\) якщо існують скаляри,\(a_{1},\cdots ,a_{n}\) такі, що\[\vec{v} = a_1 \vec{u}_1 + \cdots + a_n \vec{u}_n\nonumber \]
Наприклад,\[3 \left [ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] + 2 \left [ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right ].\nonumber \] Таким чином можна сказати, що\[\vec{v}= \left [ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \] це лінійна комбінація векторів\[\vec{u}_1 = \left [ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] \mbox{ and } \vec{u}_2 = \left [ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right ]\nonumber \]