4: власні значення та власні вектори

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63364

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми часто досліджували нові ідеї в матричній алгебрі, встановлюючи зв'язки з нашим попереднім алгебраїчним досвідом. Додавання двох чисел\(x + y\), привело нас до додавання векторів\(\vec{x}+\vec{y}\) і додавання матриць\(A + B\). Ми досліджували множення, яке потім привело нас до розв'язання матричного рівняння\(A\vec{x}=\vec{b}\), яке нагадувало розв'язування рівняння алгебри\(ax = b\).

Ця глава мотивована ще однією аналогією. Розглянемо: коли ми множимо невідоме число\(x\) на інше число типу\(5\), що ми знаємо про результат? Хіба що\(x = 0\), ми знаємо, що в деякому сенсі\(5x\) буде «в\(5\) рази більше, ніж»\(x\). Застосовуючи це до векторів, ми готові погодитися, що\(5\vec{x}\) дає вектор, який «в\(5\) рази більший за»\(\vec{x}\). Кожен запис\(\vec{x}\) множиться на\(5\).

Однак у контексті матричної алгебри ми маємо два типи множення: скалярне та матричне множення. Що відбувається,\(\vec{x}\) коли ми помножимо його на матрицю\(A\)? Наша перша відповідь, швидше за все, відповідає рядку «Ви просто отримаєте інший вектор. Немає визначених відносин». Ми можемо задатися питанням, чи є коли-небудь випадок, коли матриця - векторне множення дуже схоже на скалярне - векторне множення. Тобто, чи є у нас коли-небудь випадок де\(A\vec{x}=a\vec{x}\),\(a\) де якийсь скаляр? Це мотивуюче питання цієї глави.

4.1: власні значення та власні вектори
- 4.1.1: Вправи 4.1
4.2: Властивості власних значень та власних векторів
У цьому розділі ми розглянемо, як власні значення та власні вектори матриці співвідносяться з іншими властивостями цієї матриці. Цей розділ по суті є мішаниною цікавих фактів про власні значення; мета тут - не запам'ятовувати різні факти про матричну алгебру, а знову дивуватися безлічі зв'язків між математичними поняттями.
- 4.2.1: Вправи 4.2

Мініатюра: реальна і симетрична матриця 2 × 2 являє собою розтягнення та зсув площини. власні вектори матриці (червоні лінії) - це два спеціальні напрямки, такі, що кожна точка на них буде просто ковзати по ним. (CC0; Якопо Бертолотті через Вікіпедію)