4: власні значення та власні вектори

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.5.1: Вправи 3.5
- 4.1: власні значення та власні вектори

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми часто досліджували нові ідеї в матричній алгебрі, встановлюючи зв'язки з нашим попереднім алгебраїчним досвідом. Додавання двох чисел $x + y$ , привело нас до додавання векторів $\vec{x}+\vec{y}$ і додавання матриць $A + B$ . Ми досліджували множення, яке потім привело нас до розв'язання матричного рівняння $A\vec{x}=\vec{b}$ , яке нагадувало розв'язування рівняння алгебри $ax = b$ .

Ця глава мотивована ще однією аналогією. Розглянемо: коли ми множимо невідоме число $x$ на інше число типу $5$ , що ми знаємо про результат? Хіба що $x = 0$ , ми знаємо, що в деякому сенсі $5x$ буде «в $5$ рази більше, ніж» $x$ . Застосовуючи це до векторів, ми готові погодитися, що $5\vec{x}$ дає вектор, який «в $5$ рази більший за» $\vec{x}$ . Кожен запис $\vec{x}$ множиться на $5$ .

Однак у контексті матричної алгебри ми маємо два типи множення: скалярне та матричне множення. Що відбувається, $\vec{x}$ коли ми помножимо його на матрицю $A$ ? Наша перша відповідь, швидше за все, відповідає рядку «Ви просто отримаєте інший вектор. Немає визначених відносин». Ми можемо задатися питанням, чи є коли-небудь випадок, коли матриця - векторне множення дуже схоже на скалярне - векторне множення. Тобто, чи є у нас коли-небудь випадок де $A\vec{x}=a\vec{x}$ , $a$ де якийсь скаляр? Це мотивуюче питання цієї глави.

4.1: власні значення та власні вектори
- 4.1.1: Вправи 4.1
4.2: Властивості власних значень та власних векторів
У цьому розділі ми розглянемо, як власні значення та власні вектори матриці співвідносяться з іншими властивостями цієї матриці. Цей розділ по суті є мішаниною цікавих фактів про власні значення; мета тут - не запам'ятовувати різні факти про матричну алгебру, а знову дивуватися безлічі зв'язків між математичними поняттями.
- 4.2.1: Вправи 4.2

Мініатюра: реальна і симетрична матриця 2 × 2 являє собою розтягнення та зсув площини. власні вектори матриці (червоні лінії) - це два спеціальні напрямки, такі, що кожна точка на них буде просто ковзати по ним. (CC0; Якопо Бертолотті через Вікіпедію)