8.2: Резольвент

Функція передачі

Одним із засобів, за допомогою якого можна впоратися,$R(s)$ є розглядати його як матричний аналог скалярної функції.

$$\frac{1}{s-b} \nonumber$$

Ця функція є масштабованою версією ще простішої функції$\frac{1}{1-z}$ Ця остання функція задовольняє ідентичність (просто помножте$1-z$ поперек на, щоб перевірити її)

$$\frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}+\frac{z^n}{1-z} \nonumber$$

для кожного натурального числа n Крім того, якщо$|z| < 1$ тоді$z^{n} \rightarrow 0$ як$n \rightarrow \infty$ і так Рівняння стає, в межі,

$$\frac{1}{1-z} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^n \nonumber$$

знайомий геометричний ряд. Повертаючись до Рівняння, пишемо

$$\frac{1}{s-b} = \frac{\frac{1}{s}}{1-\frac{b}{s}} = \frac{1}{s}+\frac{b}{s^2}+ \cdots +\frac{b^{n-1}}{s^n}+\frac{b^n}{s^n} \frac{1}{s-b} \nonumber$$

і, отже, поки$|s|>|b|$ ми знаходимо,

$$\frac{1}{s-b} = \frac{1}{s} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\frac{b}{s}\right)^{n} \nonumber$$

Ця ж лінія міркувань може бути застосована і в матричному випадку. Тобто,

$$(sI-B)^{-1} = s^{-1} \left(I-\frac{B}{s}\right)^{-1} \left(\frac{1}{s}+\frac{B}{s^2}+ \cdots +\frac{B^{n-1}}{s^n}+\frac{B^n}{s^n}(sI-B)^{-1}\right) \nonumber$$

а отже, до тих пір,$||B||$ поки$|s| > ||B||$ де величина найбільшого елемента$B$

$$\frac{1}{sI-B} = s^{-1} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\frac{B}{s}\right)^{n} \nonumber$$

Хоча Рівняння дійсно є формулою для передавальної функції, ви можете, щодо обчислень, не знайти його більш привабливим, ніж метод Гауса-Джордана. Однак ми розглядаємо рівняння як аналітичний, а не обчислювальний інструмент. Точніше, це полегшує обчислення інтегралів$R(s)$. Однак чи$C_{\rho}$ є окружність радіуса$\rho$ центром у початковій точці, а$\rho > ||B||$ потім

$$\begin{align*} \int_{C_{\rho}} (sI-B)^{-1} ds &= \sum_{n = 0}^{\infty} B^n \int_{C_{\rho}} s^{-1-n} ds \\[4pt] &= 2 \pi i I \end{align*}$$

Цей результат є важливим для нашого дослідження проблеми на власні значення. Як і дві реплатоспроможні ідентичності. Щодо першого ми виведемо з простого спостереження

$$(s_{2}I-B)^{-1}-(s_{1}I-B)^{-1} = (s_{2}I-B)^{-1}(s_{1}I-B-s_{2}I+B)(s_{1}I-B)^{-1} \nonumber$$

що

$$R(s_{2})-R(s_{1}) = (s_{1}-s_{2})R(s_{2})R(s_{1}) \nonumber$$

Друга ідентичність - це просто рерайтинг

$$(sI-B)(sI-B)^{-1} = (sI-B)^{-1}(sI-B) = I \nonumber$$

а саме,

$$\begin{align*}BR(s) &=R(s)B \\[4pt] &= sR(s)-I \end{align*}$$