8.2: Резольвент

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62808

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Функція передачі

Одним із засобів, за допомогою якого можна впоратися,\(R(s)\) є розглядати його як матричний аналог скалярної функції.

\[\frac{1}{s-b} \nonumber\]

Ця функція є масштабованою версією ще простішої функції\(\frac{1}{1-z}\) Ця остання функція задовольняє ідентичність (просто помножте\(1-z\) поперек на, щоб перевірити її)

\[\frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}+\frac{z^n}{1-z} \nonumber\]

для кожного натурального числа n Крім того, якщо\(|z| < 1\) тоді\(z^{n} \rightarrow 0\) як\(n \rightarrow \infty\) і так Рівняння стає, в межі,

\[\frac{1}{1-z} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^n \nonumber\]

знайомий геометричний ряд. Повертаючись до Рівняння, пишемо

\[\frac{1}{s-b} = \frac{\frac{1}{s}}{1-\frac{b}{s}} = \frac{1}{s}+\frac{b}{s^2}+ \cdots +\frac{b^{n-1}}{s^n}+\frac{b^n}{s^n} \frac{1}{s-b} \nonumber\]

і, отже, поки\(|s|>|b|\) ми знаходимо,

\[\frac{1}{s-b} = \frac{1}{s} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\frac{b}{s}\right)^{n} \nonumber\]

Ця ж лінія міркувань може бути застосована і в матричному випадку. Тобто,

\[(sI-B)^{-1} = s^{-1} \left(I-\frac{B}{s}\right)^{-1} \left(\frac{1}{s}+\frac{B}{s^2}+ \cdots +\frac{B^{n-1}}{s^n}+\frac{B^n}{s^n}(sI-B)^{-1}\right) \nonumber\]

а отже, до тих пір,\(||B||\) поки\(|s| > ||B||\) де величина найбільшого елемента\(B\)

\[\frac{1}{sI-B} = s^{-1} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(\frac{B}{s}\right)^{n} \nonumber\]

Хоча Рівняння дійсно є формулою для передавальної функції, ви можете, щодо обчислень, не знайти його більш привабливим, ніж метод Гауса-Джордана. Однак ми розглядаємо рівняння як аналітичний, а не обчислювальний інструмент. Точніше, це полегшує обчислення інтегралів\(R(s)\). Однак чи\(C_{\rho}\) є окружність радіуса\(\rho\) центром у початковій точці, а\(\rho > ||B||\) потім

\[\begin{align*} \int_{C_{\rho}} (sI-B)^{-1} ds &= \sum_{n = 0}^{\infty} B^n \int_{C_{\rho}} s^{-1-n} ds \\[4pt] &= 2 \pi i I \end{align*}\]

Цей результат є важливим для нашого дослідження проблеми на власні значення. Як і дві реплатоспроможні ідентичності. Щодо першого ми виведемо з простого спостереження

\[(s_{2}I-B)^{-1}-(s_{1}I-B)^{-1} = (s_{2}I-B)^{-1}(s_{1}I-B-s_{2}I+B)(s_{1}I-B)^{-1} \nonumber\]

що

\[R(s_{2})-R(s_{1}) = (s_{1}-s_{2})R(s_{2})R(s_{1}) \nonumber\]

Друга ідентичність - це просто рерайтинг

\[(sI-B)(sI-B)^{-1} = (sI-B)^{-1}(sI-B) = I \nonumber\]

а саме,

\[\begin{align*}BR(s) &=R(s)B \\[4pt] &= sR(s)-I \end{align*}\]