Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.8: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65100

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    1. Наша банда з семи (Аліса, Боб, Карлос, Дейв, Сін, Йоланда і Зорі) - це студенти в класі із загальним зарахуванням 35. Професор вибирає трьох студентів навмання, щоб піти на дошку, щоб працювати з проблемами виклику.

    а Яка ймовірність того, що Іоланда обрана?

    б Яка ймовірність того, що Іоланда обрана, а Зорі - ні?

    c Яка ймовірність того, що вибрано рівно двох членів клубу?

    d) Яка ймовірність того, що жоден з семи членів клубу не обраний?

    2. Боб не каже нікому зокрема: «Чи знаєте ви, що ймовірність того, що ви отримаєте принаймні один «7" у трьох кидках пари кубиків трохи менше 1/2. З іншого боку, ймовірність того, що ви отримаєте принаймні один «5" у шести кидках кубиків, становить трохи більше 1/2». Боб на цілі, або на обід?

    3. Розглянемо спиннер, показаний на малюнку 10.1 на початку глави.

    а Яка ймовірність отримання хоча б одного «5» в трьох спинив?

    б. яка ймовірність отримати хоча б одну «3» в трьох спинив?

    c Якщо ви продовжуєте обертатися, поки не отримаєте або «2» або «5», яка ймовірність того, що ви отримаєте «2» першим?

    d Якщо ви отримуєте\(i\) долари, коли вертушка зупиняється в регіоні\(i\), яка очікувана вартість? Оскільки три прямо в середині можливих результатів, чи розумно заплатити три долари, щоб грати в цю гру?

    4. Аліса пропонує Бобу наступну гру. Боб платить один долар, щоб грати. П'ятдесят кульок, позначених 1,2,... ,50, поміщають у велику банку, перемішують навколо, а потім витягують один за іншим Зорі, який носить пов'язку на очі. Результатом є випадкова перестановка σ цілих чисел 1, 2,... ,50. Боб виграє з виплатою в два долари і п'ятдесят центів, якщо перестановка\(\sigma \) є розбіжністю, тобто\(\sigma (i) \neq i\) для всіх\(i=1,2,…,n\). Це чесна гра для Боба? Якщо ні, як слід скорегувати виграш, щоб зробити її справедливою?

    5. Випадковий граф з набором вершин\(\{1,2,…,10\}\) будується наступним методом. Для кожного\(\{i,j\}\) підмножини двох елементів\(\{1,2,…,10\}\), справедлива монета кидається,\(\{i,j\}\) а ребро потім належить до графіка, коли результат «голови». Для кожного 3-елементного\(S⊆\{1,2,…,n\}\) підмножини, нехай\(E_S\) буде подія, яка\(S\) є повним підграфом в нашому випадковому графіку.

    а Поясніть, чому\(P(E_S)=1/8\) для кожного 3-елементного підмножини\(S\).

    б Поясніть, чому\(E_S\) і\(E_T\) є незалежними, коли\(|S∩T| \leq 1\).

    с. нехай\(S=\{1,2,3\}, T=\{2,3,4\}\) і\(U=\{3,4,5\}\). Покажіть, що

    \(P(E_S|E_T) = P(E_S|E_TE_U)\).

    6. Десять кульок з позначкою 1,2,... ,10 поміщають у велику банку, а потім перемішують. Зорі, одягнувши зав'язку на очі, витягує їх з баночки по два за раз. Гравцям дозволяється робити ставки щодо того, чи сума двох мармурів у парі становить 11. Існують\(C(10,2)=45\) різні пари і рівно 5 з цих пар становить одинадцять.

    Припустимо, Зорі витягує пару; результати спостерігаються; потім вона повертає дві кульки в банку і всі десять кульок перемішують перед тим, як буде взято наступний зразок. Оскільки ймовірність того, що сума «11» становить 5/45 = 1/9, то було б справедливо заплатити один долар, щоб грати в гру, якщо виплата за «11» становить дев'ять доларів. Аналогічно, виплата за ставку в сто доларів повинна становити дев'ятсот доларів.

    Тепер розглянемо альтернативний спосіб гри. Тепер Зорі витягує пару; результати спостерігаються; і кульки відкладені в сторону. Далі вона малює ще одну пару з решти восьми мармурів, а потім пара, вибрана з решти шести і т.д. нарешті, п'ята пара - це лише пара, яка залишається після того, як була обрана четверта пара. Тепер гравці можуть бути вільними, щоб зробити ставку на результат будь-якого або всіх або тільки деякі з п'яти раундів. Поясніть, чому або кожен повинен, або ніхто не повинен робити ставку на п'ятий раунд. Відповідно, останній раунд пропускаємо і всі кульки повертаємо в банку і починаємо спочатку.

    Також поясніть, чому спостережливий гравець може заробити багато грошей із співвідношенням виплат дев'ять до одного. Тепер для більш складної проблеми, який мінімальний коефіцієнт виплат вище якого гравець має виграшну стратегію?