1: Розділи
- Page ID
- 64542
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 1.1: Що таке теорія чисел?
- Простіше кажучи, теорія чисел стосується питань та властивостей цілих чисел..., −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,... та тісно пов'язаних чисел. Оскільки ви майже все життя мали справу з цілими числами того чи іншого виду, деякі з того, що ми побачимо в тексті, здадуться знайомими, і багато чого може здатися простим і легким на перший погляд. Тим не менш, теорія чисел є напрочуд глибоким предметом, і цей текст лише заглиблюється в те, що відомо як елементарна теорія чисел.
- 1.5: Алгоритм поділу
- Мета цієї глави полягає в тому, щоб представити і довести наступний важливий результат.
- 1.6: База b Представлення п
- У цьому розділі ми показуємо, як алгоритм поділу пов'язаний з концепцією, яка торкалася з початкової школи математики.
- 1.7: Найбільший спільний дільник та найменш спільний кратний
- В останніх кількох розділах ми обговорювали подільність та алгоритм поділу, коли одне число ділиться на інше. У цьому розділі ми починаємо розглядати дільники та кратні, які мають спільні два числа.
- 1.8: Алгоритм Евкліда
- Евклідовий алгоритм названий на честь Евкліда Олександрійського, який жив близько 300 до н.е. Алгоритм 1, описаний в цьому розділі, був записаний і виявився успішним в Елементах Евкліда, тому цьому алгоритму більше двох тисяч років. Він надає простий метод обчислення gcd (a, b), навіть якщо ми не знаємо багато про дільники a та b.
- 1.10: Обчислювальні коефіцієнти для леми Безута
- Хоча доказ Леми Безута в останньому розділі просто показав, що, задані цілі числа a і b, коефіцієнти s і t існують такі, що gcd (a, b) = sa+tb, відповідні модифікації евклідового алгоритму дають нам способи обчислення цих коефіцієнтів. У цьому розділі ми обговорюємо два такі способи, відомі як Розширений евклідовий алгоритм і метод Бланкіншип.
- 1.12: Унікальна факторизація
- Наша мета в цьому розділі - довести фундаментальну теорему арифметики.
- 1.13: Цілі числа Гаусса
- У цьому розділі ми вивчаємо спеціальну підмножину комплексних чисел, відоме як гаусові цілі числа.
- 1.14: Прості числа Ферма та Прості числа Мерсенна
- Знайти великі прості числа і довести, що вони дійсно прості, непросто. Довгий час люди шукали формули для отримання простих чисел, з різним ступенем успіху. У цьому розділі ми дізнаємося про пов'язані питання та відповіді, внесені багатьма людьми протягом останніх кількох століть і навіть у поточному.
- 1.15: Теоретичні функції чисел
- Функція підрахунку простих чисел π (x), що фігурує в теоремі простих чисел, і функції, що генерують прості, аж ніяк не є єдиними функціями, що вивчаються в теорії чисел. Математики через історію вигідно розглянули кілька додаткових функцій, пов'язаних з нашими ключовими питаннями про цілі числа. У цьому розділі ми представляємо три з них.
- 1.20: Більше властивостей конгруенцій
- У цьому розділі ми представляємо важливу ідею в роботі з конгруенціями. Це матиме корисні наслідки і проілюструє ще одну причину важливої леми Безута.
- 1.23: Китайська теорема про залишок
- Китайська теорема про залишок є важливою теоремою з'являється можливо вперше в Сунці Суанцзін, китайський математичний текст, написаний десь протягом 3-5 століть нашої ери.
- 1.24: Теореми Вільсона, Ейлера та Ферма
- Як проілюстрована китайська теорема про залишок в останньому розділі, деякі корисні та цікаві теоретичні результати чисел стосуються конгруенцій. У цьому розділі ми представляємо ще кілька відомих теорем, що стосуються конгруенцій.
- 1.25: Тести на первинність
- Дві теореми з попереднього розділу, Теорема Вільсона та Маленька теорема Ферма, з'єднують прості числа та конгруенції, можливо, дивовижними способами. У цьому розділі ми розглянемо, як ці теореми можна перетворити на методи перевірки того, чи є число n простим.