Передмова

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64438

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цей текст має на меті дати вступ до вибору тем з дискретної математики на рівні, відповідному для першого або другого курсу студентських математичних спеціальностей, особливо тих, хто має намір викладати математику середньої та середньої школи. Книга розпочалася як набір заміток для курсу дискретної математики в Університеті Північного Колорадо. Цей курс служить як опитуванням тем з дискретної математики, так і «мостовим» курсом для математичних спеціальностей, оскільки UNC не пропонує окремого курсу «введення в докази». Більшість студентів, які беруть курс, планують викладати, хоча є кілька студентів, які будуть йти в аспірантуру або вивчати прикладну математику або інформатику. Для цих студентів поточний текст, сподіваюся, все ще цікавий, але намір полягає не в тому, щоб забезпечити міцну математичну основу для інформатики, на відміну від більшості підручників з цього питання.

Інша відмінність між цим текстом та більшістю інших дискретних математичних книг полягає в тому, що ця книга призначена для використання в класі, який викладається за допомогою методів, орієнтованих на проблеми або на основі запиту. Коли я викладаю клас, я призначу розділи для читання після першого введення їх у класі, використовуючи поєднання групової роботи та обговорення класу з кількох цікавих проблем. Текст призначений для консолідації того, що ми виявляємо на заняттях, і служить орієнтиром для студентів, коли вони освоюють поняття та методи, що охоплюються в підрозділі. Не менше, кожна спроба була зроблена, щоб зробити текст достатнім для самостійного вивчення, а також, таким чином, що, сподіваюся, імітує клас на основі запиту.

Теми, висвітлені в цьому тексті, були обрані відповідно до потреб студентів, яких я викладаю в UNC. Основними напрямками дослідження є комбінаторика, послідовності, логіка та докази та теорія графів у такому порядку. Індукція розглядається в кінці глави про послідовності. Більшість дискретних книг ставлять логіку на перше місце як попередню, що, безумовно, має свої переваги. Однак я хотів обговорити логіку та докази разом, і виявив, що робити обидва ці перед чимось іншим було переважним для моїх студентів, враховуючи, що вони ще не мали контексту інших проблем у цій темі. Крім того, витративши пару тижнів на докази, ми навряд чи використовували б це взагалі при висвітленні комбінаторики, тому значна частина прогресу, який ми досягли, була швидко втрачена. Натомість є короткий вступний розділ про математичні твердження, який повинен забезпечити достатньо спільної мови для обговорення логічного змісту комбінаторики та послідовностей.

Залежно від швидкості класу, можливо, можна включити додатковий матеріал. У минулих семестрах я включив генеруючі функції (після послідовностей) та деяку основну теорію чисел (або після глави логіки та доказів, або в самому кінці курсу). Ці додаткові теми розглядаються в останньому розділі.

Хоча я (в даний час) вважаю, що цей вибір та порядок тем є оптимальним, ви повинні сміливо переходити до того, що вас цікавить. Іноді трапляються приклади та вправи, які покладаються на попередній матеріал, але я намагався звести їх до мінімуму, і зазвичай їх можна або пропустити, або зрозуміти без зайвого додаткового вивчення. Якщо ви викладач, не соромтеся редагувати джерело LATEX або Mathbook XML відповідно до ваших потреб.

Попередні та майбутні видання

Це поточне 2-е видання приносить кілька серйозних поліпшень, а також безліч незначних виправлень. Основні моменти включають:

Частина матеріалу з глави 3 (про логіку) тепер є частиною вступного розділу про математичні твердження.
Вміст з розділу про функції підрахунку (раніше 1.7) тепер інтегрований з рештою глави 1.
Для розміщення інструкторів деякі рішення вправ були прибрані, а більш задіяні «домашні» проблеми були інтегровані в основні вправи. Були додані нові вправи та приклади. В даний час існує близько 360 вправ, з яких приблизно 2/3 мають рішення або відповіді.
За лаштунками джерело тексту перейшло з LATEX на Mathbook XML, що дозволяє конвертувати на LATEX, а також створити інтерактивну онлайн-версію.

Попереднє видання осені 2015 року було по суті першим виданням книги. Раніше я склав багато розділів у форматі книги для зручного розповсюдження, але це були здебільшого лише конспекти лекцій та вправи (не було індексу або досліджувати проблеми; дуже мало на шляху послідовного форматування).

Мій намір полягає в тому, щоб скласти нове видання перед кожним осіннім семестром, які включають доповнення та виправлення, запропоновані викладачами та студентами, які використовують текст попередніх семестрів. Таким чином, я закликаю вас надсилати будь-які пропозиції та зауваження, оскільки вони у вас є.

Оскар Левін, доктор філософії
Університету Північного Колорадо, 2016