5.4: Тригонометрія прямокутного трикутника

Цілі навчання

• Використовуйте правильні трикутники для оцінки тригонометричних функцій.
• Знайдіть значення функцій для 30° (\(\dfrac{\pi}{6}\)), 45° (\(\dfrac{\pi}{4}\)) та 60° (\(\dfrac{\pi}{3}\)).
• Використовуйте рівні співфункції взаємодоповнюючих кутів.
• Використовуйте визначення тригонометричних функцій будь-якого кута.
• Використовуйте тригонометрію прямокутника для вирішення прикладних задач.

Mt. Еверест, який перетинає кордон між Китаєм і Непалом, є найвищою горою в світі. Вимірювання його висоти - непросте завдання, і насправді фактичне вимірювання є джерелом суперечок протягом сотень років. Процес вимірювання передбачає використання трикутників та галузі математики, відомої як тригонометрія. У цьому розділі ми визначимо нову групу функцій, відомих як тригонометричні функції, і з'ясуємо, як їх можна використовувати для вимірювання висот, таких як найвищі гори.

Раніше ми визначили синус і косинус кута через координати точки на одиничному колі, що перетинається кінцевою стороною кута:

\[ \begin{align*} \cos t &= x \\ \sin t &=y \end{align*} \]

У цьому розділі ми побачимо ще один спосіб визначення тригонометричних функцій за допомогою властивостей прямих трикутників.

Використання правильних трикутників для оцінки тригонометричних функцій

У попередніх розділах ми використовували одиничне коло для визначення тригонометричних функцій. У цьому розділі ми розширимо ці визначення, щоб ми могли застосувати їх до правильних трикутників. Значення синусоїдної або косинусної функції\(t\) є її значенням в\(t\) радіанах. Для початку нам потрібно створити наш прямокутний трикутник. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показана точка на одиниці окружності радіусом 1. Якщо відкинути відрізок вертикальної лінії від точки\((x,y)\) до осі x, у нас є прямокутний трикутник, вертикальна сторона якого має довжину\(y\) і горизонтальна сторона якого має довжину\(x\). Ми можемо використовувати цей прямокутний трикутник, щоб перевизначити синус, косинус та інші тригонометричні функції як співвідношення сторін прямокутного трикутника.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Ми знаємо

\[ \cos t= \frac{x}{1}=x \]

Так само ми знаємо

\[ \sin t= \frac{y}{1}=y \]

Ці співвідношення все ще застосовуються до сторін прямокутного трикутника, коли жодна одинична окружність не задіяна і коли трикутник не знаходиться в стандартному положенні і не графується за допомогою\((x,y)\) координат. Щоб мати можливість вільно використовувати ці співвідношення, ми дамо сторонам більш загальні назви: Замість того\(x\), ми будемо називати сторону між заданим кутом і прямим кутом сусідню сторону до кута\(t\). (Суміжні означає «поруч».) Замість того\(y\), ми будемо називати сторону, найбільш віддалену від заданого кута, протилежну від кута сторону\(t\). А замість того\(1\), ми будемо називати сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту гіпотенузою. Ці сторони позначені на рис\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Сторони прямокутного трикутника по відношенню до кута\(t\).

Розуміння правого трикутника відносини

Задано прямокутний трикутник з гострим кутом\(t\),

\[\begin{align} \sin (t) &= \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \label{sindef}\\ \cos (t) &= \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \label{cosdef}\\ \tan (t) &= \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \label{tandef}\end{align}\]

Поширеною мнемонікою для запам'ятовування цих відносин є сохахтоа, утворена з перших літер «S лінія» або протилежна над h гіпотенузою, C озин є суміжним над h гіпотенузою, Т. сусідній».

як: За даними довжини сторін прямокутного трикутника та одного з гострих кутів знайдіть синус, косинус та тангенс цього кута

1. Знайти синус як відношення протилежної сторони до гіпотенузи.
2. Знайти косинус як відношення сусідньої сторони до гіпотенузи.
3. Знайти тангенс - це відношення протилежної сторони до сусідньої сторони.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Evaluating a Trigonometric Function of a Right Triangle

З огляду на трикутник\(\PageIndex{3}\), показаний на малюнку, знайдіть значення\(\cos α\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Сторона, що прилягає до кута, дорівнює 15, а гіпотенуза трикутника дорівнює 17, тому через Equation\ ref {cosdef}:

\[\begin{align*} \cos (α) &= \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\[4pt] &= \dfrac{15}{17} \end{align*}\]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

З огляду на трикутник\(\PageIndex{4}\), показаний на малюнку, знайдіть значення\(\sin t\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Відповідь

\(\frac{7}{25}\)

Пов'язані кути та їх функції

При роботі з прямими трикутниками застосовуються ті ж правила незалежно від орієнтації трикутника. Фактично, ми можемо оцінити шість тригонометричних функцій будь-якого з двох гострих кутів у трикутнику на малюнку\(\PageIndex{5}\). Сторона, протилежна одному гострому куту, є стороною, прилеглою до іншого гострим кутом, і навпаки.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Сторона, прилегла до одного кута, протилежна іншому.

Нам буде запропоновано знайти всі шість тригонометричних функцій для заданого кута в трикутнику. Наша стратегія полягає в тому, щоб спочатку знайти синус, косинус і тангенс кутів. Потім ми можемо знайти інші тригонометричні функції легко, тому що ми знаємо, що зворотний синус є косекансним, зворотний косинус - секансний, а зворотний тангенс - котангенс.

how to: З огляду на довжини сторін прямокутного трикутника, оцініть шість тригонометричних функцій одного з гострих кутів

1. Якщо потрібно, намалюйте прямокутний трикутник і позначте передбачений кут.
2. Визначте кут, сусідню сторону, сторону, протилежну куту, і гіпотенузу прямокутного трикутника.
3. Знайдіть необхідну функцію:
   • синус як відношення протилежної сторони до гіпотенузи
   • косинус як відношення сусідньої сторони до гіпотенузи
   • тангенс як відношення протилежної сторони до сусідньої сторони
   • секантний як відношення гіпотенузи до сусідньої сторони
   • косеканс як відношення гіпотенузи до протилежної сторони
   • котангенс як відношення сусідньої сторони до протилежної сторони

Приклад\(\PageIndex{2}\): Evaluating Trigonometric Functions of Angles Not in Standard Position

Використовуючи трикутник, показаний на малюнку\(\PageIndex{6}\), оцінюють\( \sin α, \cos α, \tan α, \sec α, \csc α,\) і\( \cot α\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Рішення

\[ \begin{align*} \sin α &= \dfrac{\text{opposite } α}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{4}{5} \\ \cos α &= \dfrac{\text{adjacent to }α}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{3}{5} \\ \tan α &= \dfrac{\text{opposite }α}{\text{adjacent to }α}=\dfrac{4}{3} \\ \sec α &= \dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent to }α}= \dfrac{5}{3} \\ \csc α &= \dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite }α}=\dfrac{5}{4} \\ \cot α &= \dfrac{\text{adjacent to }α}{\text{opposite }α}=\dfrac{3}{4} \end{align*}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Використовуючи трикутник, показаний на малюнку\(\PageIndex{7}\), оцінюють\( \sin t, \cos t,\tan t, \sec t, \csc t,\) і\(\cot t\).

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Відповідь

\[\begin{align*} \sin t &= \frac{33}{65}, \cos t= \frac{56}{65},\tan t= \frac{33}{56}, \\ \\ \sec t &= \frac{65}{56},\csc t= \frac{65}{33},\cot t= \frac{56}{33} \end{align*}\]

Пошук тригонометричних функцій спеціальних кутів з використанням довжин сторін

Тригонометричні функції ми вже обговорювали, оскільки вони стосуються спеціальних кутів на одиничному колі. Тепер ми можемо використовувати ці відносини для оцінки трикутників, які містять ці спеціальні кути. Ми робимо це тому, що коли ми оцінюємо спеціальні кути в тригонометричних функціях, вони мають відносно дружні значення, значення, які містять або немає, або тільки один квадратний корінь у співвідношенні. Тому ці кути часто використовуються в математичних і наукових задачах. Ми будемо використовувати кратні\(30°, 60°,\) і\(45°\), однак, пам'ятайте, що при роботі з прямими трикутниками ми обмежені кутами між ними\(0° \text{ and } 90°\).

Припустимо, у нас є\(30°,60°,90°\) трикутник, який також можна описати як\(\frac{π}{6}, \frac{π}{3},\frac{π}{2}\) трикутник. Сторони мають довжини в\(s,\sqrt{3}s,2s.\) співвідношенні Сторони\(45°,45°,90° \) трикутника, який також можна описати як\(\frac{π}{4},\frac{π}{4},\frac{π}{2}\) трикутник, мають довжини в відношенні\(s,s,\sqrt{2}s.\) Ці відносини показані на малюнку\(\PageIndex{8}\).

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Довжини сторін спеціальних трикутників

Потім ми можемо використовувати співвідношення довжин сторін для оцінки тригонометричних функцій спеціальних кутів.

Дано тригонометричні функції спеціального кута, оцінюють за допомогою довжин сторін.

1. Використовуйте довжини сторін, показані\(\PageIndex{8}\) на малюнку, для спеціального кута, який ви хочете оцінити.
2. Використовуйте співвідношення довжин сторін, відповідне функції, яку ви хочете оцінити.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Evaluating Trigonometric Functions of Special Angles Using Side Lengths

Знайти точне значення тригонометричних функцій\(\frac{π}{3}\), використовуючи довжини сторін.

Рішення

\[\begin{align*} \sin (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{\sqrt{3}s}{2s}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\dfrac{s}{2s}=\dfrac{1}{2} \\ \tan (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} =\dfrac{\sqrt{3}s}{s}=\sqrt{3} \\ \sec (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{hyp}}{\text{adj}} = \dfrac{2s}{s}=2 \\ \csc (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{hyp}}{\text{opp}} =\dfrac{2s}{\sqrt{3}s}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\ \cot (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{adj}}{\text{opp}}=\dfrac{s}{\sqrt{3}s}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}\]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть точне значення тригонометричних функцій\(\frac{π}{4}\) за допомогою довжин сторін.

Відповідь

\( \sin (\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan (\frac{π}{4})=1,\)

\( \sec (\frac{π}{4})=\sqrt{2}, \csc (\frac{π}{4})=\sqrt{2}, \cot (\frac{π}{4}) =1 \)

Використання рівної співфункції доповнень

Якщо уважніше подивитися на зв'язок між синусом і косинусом спеціальних кутів щодо одиничного кола, то помітимо закономірність. У прямокутному трикутнику з кутами\(\frac{π}{6}\) і\(\frac{π}{3}\), ми бачимо, що синус\(\frac{π}{3}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а саме, також є косинусом\(\frac{π}{6}\), тоді як синус\(\frac{π}{6}\), а\(\frac{1}{2},\) саме - також косинус\(\frac{π}{3}\) (рис.\(\PageIndex{9}\)).

\[\begin{align*} \sin \frac{π}{3} &= \cos \frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}s}{2s}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \frac{π}{6} &= \cos \frac{π}{3}=\frac{s}{2s}=\frac{1}{2} \end{align*}\]

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Синус\(\frac{π}{3}\) дорівнює косинусу\(\frac{π}{6}\) і навпаки.

Цей результат не повинен дивуватися тому, що, як ми бачимо з малюнка\(\PageIndex{9}\), сторона, протилежна куту,\(\frac{π}{3}\) це також сторона\(\frac{π}{6}\), прилегла до, так\(\sin (\frac{π}{3})\) і\(\cos (\frac{π}{6})\) знаходяться точно таке ж співвідношення двох сторін,\(\sqrt{3} s\) і\(2s.\) аналогічно,\( \cos (\frac{π}{3})\) і\( \sin (\frac{π}{6})\) також є однаковим співвідношенням, використовуючи ті ж дві сторони,\(s\) і\(2s\).

Взаємозв'язок між синусами та косинусами,\(\frac{π}{6}\) а\(\frac{π}{3}\) також утримується для двох гострих кутів у будь-якому прямокутному трикутнику, оскільки в кожному випадку співвідношення однакових двох сторін становитиме синус одного кута та косинуса іншого. Оскільки три кути трикутника додають до π, а прямий кут -\(\frac{π}{2}\), що залишилися два кути також повинні скласти до\(\frac{π}{2}\). Це означає, що прямокутний трикутник може бути сформований з будь-якими двома кутами, які додають до\(\frac{π}{2}\) —іншими словами, будь-яких двох додаткових кутів. Таким чином, ми можемо констатувати ідентичність співфункції: якщо будь-які два кути є доповнюючими, синус одного є косинусом іншого, і навпаки. Ця ідентичність проілюстрована на рис\(\PageIndex{10}\).

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Співфункціональна ідентичність синуса та косинуса комплементарних кутів

Використовуючи цю ідентичність, ми можемо констатувати без обчислення, наприклад, що синус\(\frac{π}{12}\) дорівнює косинусу\(\frac{5π}{12}\), і що синус\(\frac{5π}{12}\) дорівнює косинусу\(\frac{π}{12}\). Ми також можемо констатувати, що якщо, під певним кутом\( \sin (\frac{π}{2}−t)=\frac{5}{13}\),\(t, \cos t= \frac{5}{13},\) то також.

ПОСВІДЧЕННЯ СПІВФУНКЦІЙ

Тотожності співфункцій в радіанах наведені в табл\(\PageIndex{1}\).

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

\( \cos t= \sin (\frac{π}{2}−t)\)	\( \sin t= \cos (\dfrac{π}{2}−t)\)
\( \tan t= \cot (\dfrac{π}{2}−t) \)	\( \cot t= \tan (\dfrac{π}{2}−t)\)
\( \sec t= \csc (\dfrac{π}{2}−t) \)	\( \csc t= \sec (\dfrac{π}{2}−t)\)

how to: За допомогою синуса і косинуса кута знайдіть синус або косинус його доповнення.

1. Щоб знайти синус додаткового кута, знайдіть косинус початкового кута.
2. Щоб знайти косинус взаємодоповнюючого кута, знайдіть синус початкового кута.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Using Cofunction Identities

Якщо\( \sin t = \frac{5}{12},\) знайти\(( \cos \frac{π}{2}−t)\).

Рішення

Відповідно до ідентичностей кофункції для синуса і косинуса,

\[ \sin t= \cos (\dfrac{π}{2}−t). \nonumber\]

Так

\[ \cos (\dfrac{π}{2}−t)= \dfrac{5}{12}. \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Якщо\(\csc (\frac{π}{6})=2,\) знайти\( \sec (\frac{π}{3}).\)

Рішення

2

Використання тригонометричних функцій

У попередніх прикладах ми оцінювали синус і косинус у трикутниках, де ми знали всі три сторони. Але реальна сила тригонометрії прямокутника виникає, коли ми дивимося на трикутники, в яких ми знаємо кут, але не знаємо всіх сторін.

Як: Задано прямокутний трикутник, довжину однієї сторони та міру одного гострого кута, знайдіть інші сторони

1. Для кожної сторони виберіть тригонометричну функцію, яка має невідому сторону як чисельник або знаменник. Відома сторона буде в свою чергу знаменником або чисельником.
2. Напишіть рівняння, що встановлює значення функції відомого кута, рівного співвідношенню відповідних сторін.
3. Використовуючи значення тригонометричної функції та відому довжину сторони, вирішіть для відсутньої довжини сторони.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Finding Missing Side Lengths Using Trigonometric Ratios

Знайдіть невідомі сторони трикутника на малюнку\(\PageIndex{11}\).

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Рішення

Ми знаємо кут і протилежну сторону, тому ми можемо використовувати дотичну, щоб знайти сусідню сторону.

\[ \tan (30°)= \dfrac{7}{a} \nonumber\]

Переставляємо, щоб вирішити для\(a\).

\[\begin{align} a &=\dfrac{7}{ \tan (30°)} \\ & =12.1 \end{align} \nonumber\]

Ми можемо використовувати синус, щоб знайти гіпотенузу.

\[ \sin (30°)= \dfrac{7}{c} \nonumber\]

Знову переставляємо, щоб вирішити для\(c\).

\[\begin{align*} c &= \dfrac{7}{\sin (30°)} =14 \end{align*}\]

Вправа\(\PageIndex{5}\):

Прямокутний трикутник має один кут,\(\frac{π}{3}\) а гіпотенуза дорівнює 20. Знайдіть невідомі сторони і кут трикутника.

Відповідь

\(\mathrm{adjacent=10; opposite=10 \sqrt{3}; }\)відсутній кут\(\frac{π}{6}\)

Використання тригонометрії прямокутного трикутника для вирішення прикладних задач

Тригонометрія прямокутного трикутника має безліч практичних застосувань. Наприклад, вміння обчислювати довжини сторін трикутника дає можливість знайти висоту високого предмета, не піднімаючись на вершину або необхідності протягувати рулетку по його висоті. Ми робимо це, вимірюючи відстань від основи об'єкта до точки на землі на деякій відстані, де ми можемо дивитися на вершину високого об'єкта під кутом. Кут піднесення об'єкта над спостерігачем щодо спостерігача - це кут між горизонталлю і лінією від об'єкта до ока спостерігача. Прямокутний трикутник, який створює це положення, має сторони, які представляють невідому висоту, виміряну відстань від основи та кутову лінію зору від землі до вершини об'єкта. Знаючи виміряну відстань до основи об'єкта і кут прямої видимості, ми можемо використовувати тригонометричні функції для обчислення невідомої висоти. Аналогічно, ми можемо сформувати трикутник з вершини високого предмета, дивлячись вниз. Кут натискання об'єкта нижче спостерігача щодо спостерігача - це кут між горизонталлю і лінією від об'єкта до ока спостерігача. Див\(\PageIndex{12}\). Малюнок.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

як: Враховуючи високий предмет, виміряйте його висоту побічно

1. Складіть ескіз проблемної ситуації, щоб відстежувати відому і невідому інформацію.
2. Викладіть виміряну відстань від підстави предмета до точки, де добре видно верх предмета.
3. На іншому кінці виміряної відстані дивимося вгору на вершину предмета. Виміряйте кут прямої видимості з горизонталлю.
4. Напишіть рівняння, що стосується невідомої висоти, виміряної відстані та тангенса кута прямої видимості.
5. Розв'яжіть рівняння для невідомої висоти.

Приклад\(\PageIndex{6}\): Measuring a Distance Indirectly

Щоб знайти висоту дерева, людина йде до точки 30 футів від основи дерева. Вона вимірює кут 57° 57° між прямою видимості до вершини дерева і землею, як показано на малюнку\(\PageIndex{13}\). Знайдіть висоту дерева.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Рішення

Ми знаємо, що кут піднесення є,\(57°\) а сусідня сторона має довжину 30 футів. Протилежна сторона - невідома висота.

Тригонометрична функція, що стосується сторони, протилежної куту, і сторону, прилеглу до кута, є дотичною. Таким чином, ми будемо констатувати нашу інформацію з точки зору дотичної\(57°\), дозволяючи\(h\) бути невідомою висотою.

\[\begin{array}{cl} \tan θ = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \text{} \\ \tan (57°) = \dfrac{h}{30} & \text{Solve for }h. \\ h=30 \tan (57°) & \text{Multiply.} \\ h≈46.2 & \text{Use a calculator.} \end{array} \]

Дерево має висоту приблизно 46 футів.

Вправа\(\PageIndex{6}\):

Скільки потрібно сходи, щоб досягти підвіконня 50 футів над землею, якщо сходи впираються в будівлю, роблячи кут\(\frac{5π}{12}\) з землею? Округлити до найближчої ноги.

Відповідь

Близько 52 футів

ЗМІ:

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з тригонометрії прямокутного трикутника.

• Пошук функцій Trig на калькуляторі
• Пошук функцій Trig за допомогою прямокутного трикутника
• Пов'язати функції трига зі сторонами прямокутного трикутника
• Визначте шість тригових функцій з трикутника
• Визначте довжину прямокутного трикутника

Відвідайте цей веб-сайт для додаткових питань практики від Learningpod.

Ключові рівняння

Співфункціональні ідентичності

\[\begin{align*} \cos t &= \sin ( \frac{π}{2}−t) \\ \sin t &= \cos (\frac{π}{2}−t) \\ \tan t &= \cot (\frac{π}{2}−t) \\ \cot t &= \tan (\frac{π}{2}−t) \\ \sec t &= \csc (\frac{π}{2}−t) \\ \csc t &= \sec (\frac{π}{2}−t) \end{align*}\]

Ключові концепції

• Тригонометричні функції ми можемо визначити як співвідношення довжин сторін прямокутного трикутника. Див. Приклад.
• Ті ж довжини сторін можуть бути використані для оцінки тригонометричних функцій будь-якого гострого кута в прямокутному трикутнику. Див. Приклад.
• Ми можемо оцінити тригонометричні функції спеціальних кутів, знаючи довжини сторін трикутників, в яких вони відбуваються. Див. Приклад.
• Будь-які два додаткові кути можуть бути двома гострими кутами прямокутного трикутника.
• Якщо два кути взаємодоповнюють, ідентичності співфункції стверджують, що синус одного дорівнює косинусу іншого і навпаки. Див. Приклад.
• Ми можемо використовувати тригонометричні функції кута, щоб знайти невідомі довжини сторін.
• Виберіть тригонометричну функцію, що представляє відношення невідомої сторони до відомої сторони. Див. Приклад.
• Тригонометрія прямокутного трикутника дозволяє вимірювати недоступні висоти та відстані.
• Невідому висоту або відстань можна знайти, створивши прямокутний трикутник, в якому невідома висота або відстань є однією зі сторін, а інша сторона і кут відомі. Див. Приклад.

Глосарій

прилегла сторона

в прямокутному трикутнику, сторона між заданим кутом і прямим кутом

кут заглиблення

кут між горизонталлю і лінією від об'єкта до ока спостерігача, припускаючи, що об'єкт розташований нижче, ніж спостерігач

кут піднесення

кут між горизонталлю і лінією від об'єкта до ока спостерігача, припускаючи, що об'єкт розташований вище, ніж спостерігач

протилежна сторона

в прямокутному трикутнику, сторона, найбільш віддалена від заданого кута

гіпотенуза

сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту