1.R: Функції (огляд)

1.1: Функції та позначення функцій

Для вправ 1-4 визначте, чи є відношення функцією.

1)$\{(a,b),(c,d),(e,d)\}$

Відповідь

функція

2)$\{(5,2),(6,1),(6,2),(4,8)\}$

3)$y^2+4=x$, для$x$ незалежної змінної та$y$ залежної змінної

Відповідь

не є функцією

4) Чи є графік на малюнку нижче функцією?

Для вправ 5-6 оцініть функцію за вказаними значеннями:$f(-3); f(2); f(-a); -f(a); f(a+h)$

5)$f(x)=-2x^2+3x$

Відповідь

$f(-3)=-27; f(2)=-2;f(-a)=-2a^2-3a;-f(a)=2a^2-3a;f(a+h)=-2a^2+3a-4ah+3h-2h^2$

6)$f(x)=2|3x-1|$

Для вправ 7-8 визначте, чи є функції один-на-один.

7)$f(x)=-3 x+5$

Відповідь

один-на-один

8)$f(x)=|x-3|$

Для вправ 9-11 використовуйте тест вертикальної лінії, щоб визначити, чи є відношення, графік якого надається функцією.

9)

Відповідь

функція

10)

11)

Відповідь

функція

Для вправ 12-13 наведіть графік функцій.

12)$f(x)=|x+1|$

13)$f(x)=x^{2}-2$

Відповідь

Для вправ 14-17 використовуйте малюнок нижче, щоб наблизити значення.

14)$f(2)$

15)$f(-2)$

Відповідь

$2$

16) Якщо$f(x)=-2$, то вирішуйте для$x$

17) Якщо$f(x)=1$, то вирішуйте для$x$

Відповідь

$x=-1.8$або$x=1.8$

Для вправ 18-19 скористайтеся$h(t)=-16 t^{2}+80t$ функцією пошуку значень.

18)$\dfrac{h(2)-h(1)}{2-1}$

19)$\dfrac{h(a)-h(1)}{a-1}$

Відповідь

$\dfrac{-64+80 a-16 a^{2}}{-1+a}=-16 a+64$

1.2: Домен і діапазон

Для вправ 1-4 знайдіть область кожної функції, висловлюючи відповіді за допомогою інтервальних позначень.

1)$f(x)=\dfrac{2}{3 x+2}$

2)$f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-4 x-12}$

Відповідь

$(-\infty,-2) \cup(-2,6) \cup(6, \infty)$

3)

4) Графік цієї кускової функції:$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x+1} & {x<-2} \\ {-2 x-3} & {x \geq-2}\end{array}\right.$

Відповідь

1.3: Швидкі зміни та поведінка графіків

Для вправ 1-3 знайдіть середню швидкість зміни функцій від$x=1$ до$x=2$

1)$f(x)=4 x-3$

2)$f(x)=10 x^{2}+x$

Відповідь

$31$

3)$f(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}$

Для вправ 4-6 використовуйте графіки для визначення інтервалів, на яких функції збільшуються, зменшуються або постійні.

4)

Відповідь

збільшення$(2, \infty)$; зменшення$(-\infty, 2)$

5)

6)

Відповідь

наростаюча$(-3,1)$; постійна$(-\infty,-3) \cup(1, \infty)$

7) Знайдіть локальний мінімум функції, розміщеної у вправі 4.

8) Знайдіть локальну крайність для функції, графічної у вправі 5.

Відповідь

локальний мінімум$(-2,-3)$; локальний максимум$(1,3)$

9) Для графіка на малюнку у вправі 10 область функції дорівнює$[-3,3]$. Асортимент є$[-10,10]$. Знайти абсолютний мінімум функції на цьому інтервалі.

10) Знайдіть абсолютний максимум функції, зображеної на малюнку нижче.

Відповідь

$(-1.8,10)$

1.4: Склад функцій

Для вправ 1-5 знайдіть$(f \circ g)(x)$ і$(g \circ f)(x)$ для кожної пари функцій.

1)$f(x)=4-x, g(x)=-4x$

2)$f(x)=3 x+2, g(x)=5-6x$

Відповідь

$(f \circ g)(x)=17-18 x ;(g \circ f)(x)=-7-18x$

3)$f(x)=x^{2}+2 x, g(x)=5 x+1$

4)$f(x)=\sqrt{x+2}, g(x)=\dfrac{1}{x}$

Відповідь

$(f \circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}+2} ;(g \circ f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$

5)$f(x)=\dfrac{x+3}{2}, g(x)=\sqrt{1-x}$

Для вправ 6-9 знайдіть$(f \circ g)$ і домен$(f \circ g)(x)$ для кожної пари функцій.

6)$f(x)=\frac{x+1}{x+4}, g(x)=\frac{1}{x}$

Відповідь

$(f \circ g)(x)=\dfrac{1+x}{1+4 x}, x \neq 0, x \neq-\dfrac{1}{4}$

7)$f(x)=\dfrac{1}{x+3}, g(x)=\dfrac{1}{x-9}$

8)$f(x)=\dfrac{1}{x}, g(x)=\sqrt{x}$

Відповідь

$(f \circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, x>0$

9)$f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}, g(x)=\sqrt{x+1}$

Для вправ 10-11 висловіть кожну функцію$H$ як склад з двох функцій$f$ і$g$ де$H(x)=(f \circ g)(x)$

10)$H(x)=\sqrt{\frac{2 x-1}{3 x+4}}$

Відповідь

зразок:$g(x)=\dfrac{2 x-1}{3 x+4}; f(x)=\sqrt{x}$

11)$H(x)=\dfrac{1}{\left(3 x^{2}-4\right)^{-3}}$

1.5: Трансформація функцій

Для вправ 1-8 накидайте графік заданої функції.

1)$f(x)=(x-3)^{2}$

Відповідь

2)$f(x)=(x+4)^{3}$

3)$f(x)=\sqrt{x}+5$

Відповідь

4)$f(x)=-x^{3}$

5)$f(x)=\sqrt[3]{-x}$

Відповідь

6)$f(x)=5 \sqrt{-x}-4$

7)$f(x)=4[|x-2|-6]$

Відповідь

8)$f(x)=-(x+2)^{2}-1$

Для вправ 9-10 намалюйте графік функції,$g$ якщо графік функції$f$ показаний на малюнку нижче.

9)$g(x)=f(x-1)$

Відповідь

10)$g(x)=3 f(x)$

Для вправ 11-12 напишіть рівняння для стандартної функції, представленої кожним з наведених нижче графіків.

11)

Відповідь

$f(x)=|x-3|$

12)

Для вправ 13-15 визначте, чи кожна функція нижче парна, непарна чи ні.

13)$f(x)=3 x^{4}$

Відповідь

навіть

14)$g(x)=\sqrt{x}$

15)$h(x)=\frac{1}{x}+3 x$

Відповідь

дивно

Для вправ 16-18 проаналізуйте графік і визначте, чи є графічна функція парною, непарною чи ні.

16)

17)

Відповідь

навіть

18)

1.6: Функції абсолютних значень

Для вправ 1-3 напишіть рівняння для перетворення$f(x)=|x|$.

1)

Відповідь

$f(x)=\dfrac{1}{2}|x+2|+1$

2)

3)

Відповідь

$f(x)=-3|x-3|+3$

Для вправ 4-6 наведіть графік функції абсолютного значення.

4)$f(x)=|x-5|$

5)$f(x)=-|x-3|$

Відповідь

6)$f(x)=|2 x-4|$

Для вправ 7-8 вирішуємо рівняння абсолютного значення.

7)$|x+4|=18$

Відповідь

$x=-22, x=14$

8)$\left|\dfrac{1}{3} x+5\right|=\left|\dfrac{3}{4} x-2\right|$

Для вправ 9-10 розв'яжіть нерівність і висловіть рішення за допомогою інтервальних позначень.

9)$|3 x-2|<7$

Відповідь

$\left(-\dfrac{5}{3}, 3\right)$

10)$\left|\dfrac{1}{3} x-2\right| \leq 7$

1.7: Зворотні функції

Для вправ 1-2 знайдіть$f^{-1}(x)$ для кожної функції.

1)$f(x)=9+10 x$

2)$f(x)=\dfrac{x}{x+2}$

Відповідь

$f^{-1}(x)=\dfrac{-2 x}{x-1}$

3) Для наступної вправи знайдіть домен, на якому функція$f$ один-на-один і не зменшується. Запишіть домен в інтервальне позначення. Потім знайдіть зворотне$f$ обмежене для цього домену. $$f(x)=x^{2}+1$$

4) Дано$f(x)=x^{3}-5$ і$g(x)=\sqrt[3]{x+5}$:

1. Знайти$f(g(x))$ і$g(f(x))$.
2. Що говорить нам відповідь про відносини між$f(x)$ і$g(x) ?$

Відповідь

1. $f(g(x))=x$і$g(f(x))=x$
2. Це говорить нам про те, що$f$ і$g$ є зворотними функціями

Для вправ 5-8 використовуйте утиліту графіків, щоб визначити, чи кожна функція є один до одного.

5)$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Відповідь

Функція один-на-один.

6)$f(x)=-3 x^{2}+x$

Відповідь

Функція не є один-на-один.

7) Якщо$f(5)=2,$ знайти$f^{-1}(2)$

Відповідь

$5$

8) Якщо$f(1)=4,$ знайти$f^{-1}(4)$

Практика Тест

Для вправ 1-2 визначте, чи є кожне з наступних відносин функцією.

1)$y=2 x+8$

Відповідь

Відношення - це функція.

2)$\{(2,1),(3,2),(-1,1),(0,-2)\}$

Для вправ 3-4 оцініть функцію$f(x)=-3 x^{2}+2 x$ на заданому вході.

3)$f(-2)$

Відповідь

$-16$

4)$f(a)$

5) Покажіть, що функція$f(x)=-2(x-1)^{2}+3$ не один-на-один.

Відповідь

Графік є параболою, і графік не проходить тест горизонтальної лінії.

6) Запишіть область функції$f(x)=\sqrt{3-x}$ в інтервальне позначення.

7) Дана$f(x)=2 x^{2}-5 x,$ знахідка$f(a+1)-f(1)$

Відповідь

$2 a^{2}-a$

8) Графік функції$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x+1} & {\text { if }} & {-2<x<3} \\ {-x} & {\text { if }} & {x \geq 3}\end{array}\right.$

9) Знайти середню швидкість зміни функції$f(x)=3-2 x^{2}+x$ шляхом знаходження$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Відповідь

$-2(a+b)+1$

Для вправ 10-11 використовуйте функції$f(x)=3-2 x^{2}+x$ і$g(x)=\sqrt{x}$ знайдіть складові функції.

10)$(g \circ f)(x)$

11)$(g \circ f)(1)$

Відповідь

$\sqrt{2}$

12)$H(x)=\sqrt[3]{5 x^{2}-3 x}$ Висловити склад з двох функцій,$f$ і$g,$ де$(f \circ g)(x)=H(x)$

Для вправ 13-14 графуйте функції шляхом перекладу, розтягування та/або стиснення функції інструментарію.

13)$f(x)=\sqrt{x+6}-1$

Відповідь

14)$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-1$

Для вправ 15-17 визначте, чи є функції парними, непарними або ні.

15)$f(x)=-\dfrac{5}{x^{2}}+9 x^{6}$

Відповідь

навіть

16)$f(x)=-\dfrac{5}{x^{3}}+9 x^{5}$

17)$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Відповідь

дивно

18) Графік функції абсолютного значення$f(x)=-2|x-1|+3$.

19) Вирішити$|2 x-3|=17$.

Відповідь

$x=-7$і$x=10$

20) Вирішити$-\left|\dfrac{1}{3} x-3\right| \geq 17$. Висловіть рішення в інтервальних позначеннях.

Для вправ 21-22 знайдіть зворотну функцію.

21)$f(x)=3 x-5$

Відповідь

$f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}$

22)$f(x)=\dfrac{4}{x+7}$

Для вправ 23-26 скористайтеся графіком,$g$ показаним на малюнку нижче.

23) На яких інтервалах збільшується функція?

Відповідь

$(-\infty,-1.1)$і$(1.1, \infty)$

24) На яких інтервалах відбувається зменшення функції?

25) Приблизний локальний мінімум функції. Висловіть відповідь як впорядковану пару.

Відповідь

$(1.1,-0.9)$

26) Приблизний локальний максимум функції. Висловіть відповідь як впорядковану пару.

Для вправ 27-29 використовуйте графік кускової функції, показаний на малюнку нижче.

27) Знайти$f(2)$.

Відповідь

$f(2)=2$

28) Знайти$f(-2)$.

29) Напишіть рівняння для кускової функції.

Відповідь

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}{|x|} & {\text { if } x \leq 2} \\ {3} & {\text { if } x>2}\end{array}\right.$

Для вправ 30-35 використовуйте значення, наведені в таблиці нижче.

$x$	$F(x)$
0	1
1	3
2	5
3	7
4	9
5	11
6	13
7	15
8	17

30) Знайти$F(6)$.

31) Розв'яжіть рівняння$F(x)=5$

Відповідь

$x=2$

32) Чи збільшується чи зменшується графік на своїй області?

33) Функція представлена графіком один до одного?

Відповідь

так

34) Знайти$F^{-1}(15)$.

35) Дана$f(x)=-2 x+11,$ знахідка$f^{-1}(x)$.

Відповідь

$f^{-1}(x)=-\dfrac{x-11}{2}$

Автори та авторства

• Template:ContribOpenStaxPreCalc