Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.2: Інтервальні позначення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59503

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Нерівності нарізають і кубики дійсної числової лінії на сегменти, що представляють інтерес або інтервали. Інтервал - це безперервна, безперервна підмножина дійсних чисел. Як ми можемо відмітити інтервали з простотою? У таблиці нижче наведено інтервальне позначення.

    Нерівність Асоційоване коло Пов'язані закриття кінцевих точок

    Або\(<\) або\(>\)

    clipboard_ea43aad3358d129021fdca988a4b93451.png

    Ліва дужка: (або права дужка:)

    Або\(≤\) або\(≥\)

    clipboard_e2e4cf904d07dc1241b9e2632c37e681a.png

    Ліва квадратна дужка: [або права квадратна дужка:]

    Нерівності мають\(4\) можливі інтервальні замикання:

    \((A,B)\) \((A,B]\) \([A,B)\) \([A,B]\)

    clipboard_ef4d418cfbf59895619f0546ad98eaf4f.png

    clipboard_e510d65b9070b6f966181489fb9235b67.png

    clipboard_edce393fed1ea667df1f70b28c7dbb00e.png

    clipboard_e9bbd934e732ad52963b83f2dac9d6bed.png

    Найменше число в інтервалі\(A\), завжди вказується першим. Ставляється кома. Найбільше число в інтервалі\(B\),, вказується після коми. Відповідне закриття розглядається для кожного значення\(A\) і\(B\).

    Чотири приклади інтервальних позначень

    \(−2 < x < 3\) \(−2 < x ≤ 3\) \(– 2 ≤ x < 3\) \(– 2 ≤ x ≤ 3\)

    clipboard_eb02fe1b987d2d7aeb60c8fea96ed2803.png

    clipboard_e019534632b13aa8f1cc8d1d9d3d569d9.png

    clipboard_edea90ab320a9712b9de1bd8371585e1b.png

    clipboard_e8b9543e4ca42fb42ac9e7d44a55396c3.png
    \((−2, 3)\) \((−2, 3]\) \([−2, 3)\) \([−2, 3]\)

    Нескінченності

    Існує дві нескінченності: позитивна і негативна. Кожен визначає напрямок на числовій лінії:

    clipboard_e5b29aa7ac89e2b9ce0b9a83ff14aa23a.png

    Нескінченність не є дійсним числом. Він вказує напрямок. Тому при використанні інтервальних позначень завжди підкладайте\(∞\) і\(−∞\) з дужками. Ми ніколи не підкладаємо нескінченності квадратною дужкою.

    У таблиці нижче наведено чотири приклади інтервальних позначень, які вимагають використання нескінченності.

    \(x < 2\) \(x ≤ 2\) \(x > 2\) \(x ≥ 2\)

    clipboard_e5734c942cda8d2c4a2fc66d380d43045.png

    clipboard_e02fd4cce2c4fdbda973bec7ec7cea27d.png

    clipboard_eaf1970b524b0ed982616d4f351aef523.png

    clipboard_ed53713ef79ac5f76e978d135bba630af.png
    \((−∞, 2)\) \((−∞, 2]\) \((2, ∞)\) \([2, ∞)\)

    комбінації інтервалів

    Якщо два або більше інтервалів перериваються з проміжком у числовому рядку, для зшивання інтервалів між собою символічно використовуються встановлені позначення. Символ, який ми використовуємо для об'єднання інтервалів, є символом об'єднання:\(∪\). У таблиці нижче наведено чотири приклади:

    Інтервальні позначення Графік
    \((−∞, −2) ∪ [1, ∞)\) clipboard_ee59da9758674b8fbf6ec2276685e5423.png
    \((−∞, −1) ∪ (−1, ∞)\) clipboard_ed827350d30be0e842f3deae80c6892f7.png
    \(\left(−\dfrac{3 \pi}{2} , −\dfrac{\pi}{2} \right) ∪ \left( \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2} \right)\) clipboard_ebbcf3adffba82a210520564b5a4782e1.png
    \(\left[−2 \pi, − \dfrac{\pi}{2} \right) ∪ \left[ \dfrac{3 \pi}{2} , ∞ \right)\) clipboard_ef225c28a7a5773a54ade751969064732.png

    Складні нерівності

    Інтервали, які мають прогалини, як і показані вище, переводяться в складні нерівності. Реальні рішення належать в тому чи іншому інтервалі. Слово «або» грає ключову роль при перекладі. Наприклад: інтервал\((−∞, −2) ∪ [1, ∞)\) перекладається на пов'язану з ним складну нерівність:

    \(x < -2\)або\(x ≥ 1\)

    Слово «і» не може бути використано між нерівностями, оскільки число не може належати обом інтервалам одночасно. Наприклад,\(x = 5\) це рішення, оскільки\(5\) належить до інтервалу\(x ≥ 1\), але\(5\) не належить до інтервалу\(x < −2\). Проте через слова «або»\(x = 5\) є рішенням інтервалу\((−∞, −2) ∪ [1, ∞)\).

    Спробуйте! (Вправи)

    Для вправ #1 -6 встановіть нерівність та інтервальні позначення, пов'язані з графіком.

    Графік Нерівність Інтервальні позначення
    clipboard_e141ee93db0e0b1fcece04011d50b027c.png    
    clipboard_ee998ec64608d5197c3eb0225a8dabfb4.png    
    clipboard_e387a79a4c9d9a3c5536f90ca06cc706a.png    
    clipboard_e520b9807a5ebbd773c86cc029f9dd4cd.png    
    clipboard_e90ef48553dcc2b631e06459ee8b7d36b.png    
    clipboard_e82c969b77994d0dd174ccb04a54f7dec.png    

    Для вправ #7 -10 встановіть інтервальні позначення та намалюйте графік, пов'язаний з нерівністю.

    Графік Нерівність Інтервальні позначення
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \(−3 ≤ x ≤ 1\)  
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \(x < 4\)  
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \(x ≥ −2\)  
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \(0 ≤ x < 3\)  

    Для вправ #11 -17 намалюйте графік, пов'язаний із заданим інтервальним позначенням.

    Графік Інтервальні позначення
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \((−∞, 4)\)
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \((−∞, −3) ∪ [0, ∞)\)
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \([−1, 1) ∪ [2, ∞)\)
    clipboard_e6f4396cd9637db53d4e6f58af2818e6b.png \((−∞, −5] ∪ (−1, 5)\)
    clipboard_e1fb276fa8366c7f92f1422621f9dcbef.png \(\left[−\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right]\)
    clipboard_e1fb276fa8366c7f92f1422621f9dcbef.png \((−∞, −\pi] ∪ [\pi, ∞)\)
    clipboard_e1fb276fa8366c7f92f1422621f9dcbef.png \(\left(−\dfrac{3\pi}{2} , −\dfrac{\pi}{2} \right) ∪ \left(-\dfrac{\pi}{2} , 0\right)\)

    Для #18 -21

    а. намалюйте графік складної нерівності.

    b. станьте інтервал, використовуючи інтервальне позначення.

    1. \(x ≥ 4\)або\(x ≤ 0\)
    2. \(x ≤ – 2\pi\)або\(x > \pi\)
    3. \(−1 > x\)або\(2 ≤ x\)
    4. \(x > 3\pi\)або\(x < – \pi\)