Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.4: Теорема про множник та теорема про залишок

В останньому розділі ми обмежилися пошуком перехоплень, або нулів, поліномів, які були враховані просто, або ми звернулися до технології. У цьому розділі ми розглянемо алгебраїчні методи знаходження нулів многочленів на кшталтh(t)=t3+4t2+t6.

Довгий дивізіон

В останньому розділі ми побачили, що ми могли б написати многочлен як добуток факторів, кожен з яких відповідає горизонтальному перехопленню. Якби миx=2 знали, що це перехоплення многочленаx3+4x25x14, ми могли б здогадатися, що многочлен може бути врахований якx3+4x25x14=(x2) (щось). Щоб знайти це «щось», ми можемо використовувати поліноміальне ділення.

Приклад3.4.1

Розділитиx3+4x25x14 наx2.

Рішення

Почніть з написання проблеми у формі довгого поділу

2019-06-23 5.41.34.png

Тепер розділимо провідні терміни:x3÷x=x2. Найкраще вирівняти його вище того ж терміну в дивідендах. Тепер помножте цеx2 наx2 і напишіть результат нижче дивідендів.

2019-06-23 5.42.53.png

Знову ділимо провідний член залишку на провідний член дільника. 6x2÷x=6x. Додаємо це до результату, множимо 6 х наx2, і віднімаємо.

2019-06-23 5.43.34.png

Це говорить нам,x3+4x25x14x2 розділене на єx2+6x+7, з залишком нуля. Це також означає, що ми можемо враховуватиx3+4x25x14 як(x2)(x2+6x+7).

Це дає нам спосіб знайти перехоплення цього многочлена.

Приклад3.4.2

Знайдіть горизонтальні перехопленняh(x)=x3+4x25x14.

Рішення

Щоб знайти горизонтальні перехоплення, нам потрібно вирішитиh(x)=0. З попереднього прикладу ми знаємо, що функція може бути врахована якh(x)=(x2)(x2+6x+7).

h(x)=(x2)(x2+6x+7)=0колиx=2 або колиx2+6x+7=0. Це не фактор красиво, але ми могли б використовувати квадратичну формулу, щоб знайти інші два нулі.

x=6±624(1)(7)2(1)=3±2

Горизонтальні перехоплення будуть при(2,0)(32,0), і(3+2,0).

Вправа3.4.1

Розділіть2x37x+3 заx+3 допомогою довгого поділу.

Відповідь

2019-06-23 6.07.45.png

Теореми про коефіцієнт і залишок

Коли ми ділимо многочлен,p(x) на якийсь дільник многочленаd(x), ми отримаємо частний многочленq(x) і, можливо, залишокr(x). Іншими словами,

p(x)=d(x)q(x)+r(x)

Через ділення залишок буде або дорівнює нулю, або многочлен нижчого ступеня, ніж d (x). Через це, якщо розділити многочлен на член видуxc, то залишок буде дорівнює нулю або константі.

Якщоp(x)=(xc)q(x)+r, тоp(c)=(cc)q(c)+r=0+r=r, який встановлює теорему про залишок.

Теорема про залишок

Якщоp(x) многочлен ступеня 1 або більше, а c - дійсне число, то коли p (x) ділиться наxc, залишок дорівнюєp(c).

Якщоxc є множником многочленаp, тоp(x)=(xc)q(x) для деякого многочленаq. Потімp(c)=(cc)q(c)=0, показc - це нуль многочлена. Це не повинно нас дивувати - ми вже знали, що якщо поліноміальні фактори виявляють коріння.

Якщоp(c)=0, то теорема про залишок говорить нам, що якщо p розділити наxc, то залишок буде дорівнює нулю, а значитьxc - множникp.

теорема про множник

Якщоp(x) є ненульовим многочленом, то дійсне числоc дорівнює нулюp(x) if і тільки якщоxc є множникомp(x).

Синтетичний поділ

Оскільки ділення наxc - це спосіб перевірити, чи є число нулем многочлена, було б непогано мати більш швидкий спосіб ділення на,xc ніж використовувати довгий ділення кожного разу. На щастя, більш швидкі шляхи були виявлені.

Давайте подивимося назад на довгий поділ, який ми зробили в прикладі 1, і спробуємо його впорядкувати. Для початку давайте змінимо всі віднімання на додавання, розподіляючи через негативи.

2019-06-23 5.51.23.png

Далі, зверніть увагуx3, що терміни6x2, і7x є повною протилежністю термінам вище них. Алгоритм, який ми використовуємо, гарантує, що це завжди так, тому ми можемо опустити їх, не втрачаючи жодної інформації. Також зауважте, що терміни, які ми «збиваємо» (а саме 5x та 14), насправді не потрібні для повторного копіювання, тому ми їх також опускаємо.

2019-06-23 5.51.5.png

Тепер давайте трохи перемістимо речі вгору і, з причин, які стануть зрозумілими через мить, скопіюємоx3 їх в останній рядок.

2019-06-23 5.52.19.png

Зверніть увагу, що, розташувавши речі таким чином, кожен член в останньому рядку виходить шляхом додавання двох членів над ним. Зауважте також, що частковий многочлен можна отримати, розділивши кожне з перших трьох членів в останньому рядку наx і додаючи результати. Якщо ви витратите час, щоб повернутися до початкової задачі поділу, ви виявите, що саме так ми визначили частний многочлен.

Це означає, що нам більше не потрібно записувати частний многочлен вниз, ніx в дільник, щоб визначити нашу відповідь.

2019-06-23 5.52.46.png

Поки що ми впорядкували речі, але ми все ще можемо зробити більше. Давайте візьмемо хвилинку, щоб нагадати собі2x2, звідки взялися,12x і 14 у другому ряду. Кожен з цих членів був отриманий множенням долі в частціx2, 6x і 7 відповідно на -2 in, потім на -1x2, коли ми змінили віднімання на додавання. Множення на -2 потім на -1 - це те саме, що і множення на 2, тому замінюємо -2 в дільнику на 2. Крім того, коефіцієнти часткового многочлена збігаються з коефіцієнтами перших трьох членів в останньому рядку, тому ми тепер беремо занурення і запишемо тільки коефіцієнти членів, щоб отримати

Ми побудували синтетичну таблицю поділу для цієї многочленної задачі ділення. Давайте повторно опрацюємо нашу проблему поділу, використовуючи цю таблицю, щоб побачити, як вона значно спрощує процес поділу. Для поділуx3+4x25x14 наx2, запишемо 2 на місці дільника і коефіцієнтиx3+4x25x14 in для дивіденду. Потім «збийте» перший коефіцієнт дивідендів.

2019-06-23 5.55.20.png

Далі візьміть 2 з дільника і помножте на 1, який був «збитий», щоб отримати 2. Напишіть це під 4, потім додайте, щоб отримати 6.

2019-06-23 5.58.18png

Тепер візьміть 2 з дільника раз 6, щоб отримати 12, і додати його до -5, щоб отримати 7.

2019-06-23 5.59.04.png

Нарешті, візьміть 2 в дільник раз 7, щоб отримати 14, і додати його до -14, щоб отримати 0.

2019-06-23 5.59.43.png

Перші три числа в останньому рядку нашої таблиці - це коефіцієнти частного многочлена. Пам'ятайте, ми почали з полінома третього ступеня і розділили на многочлен першого ступеня, тому частка є поліном другого ступеня. Звідси частка єx2+6x+7. Число в коробці - це залишок. Синтетичне ділення - наш інструмент вибору для ділення многочленів на дільники видуxc. Важливо відзначити, що він працює тільки для цих видів дільників. Також врахуйте, що коли многочлен (ступеня не менше 1) ділиться наxc, результатом буде многочлен рівно на один менший ступінь. Нарешті, варто витратити час, щоб простежити кожен крок у синтетичному поділі назад до відповідного кроку в довгому поділі.

Приклад3.4.3

Використовуйте синтетичне поділ, щоб розділити5x32x2+1 наx3.

Рішення

При налаштуванні таблиці синтетичного поділу нам потрібно ввести 0 для коефіцієнтаx в дивідендах. Роблячи це дає

2019-06-23 6.01.07png

Оскільки дивіденд був поліном третього ступеня, частка - квадратичний многочлен з коефіцієнтами 5, 13 і 39. Наш коефіцієнт є,q(x)=5x2+13x+39 а решта -r(x)=118. Це означає

5x32x2+1=(x3)(5x2+13x+39)+118

Це також означає,x3 що не є фактором5x32x2+1.

Приклад3.4.4

Розділитиx3+8 наx+2.

Рішення

Для цього поділу переписуємоx+2 якx(2) і чинимо як раніше.

2019-06-23 6.02.55.png

Частка дорівнює,x22x+4 а залишок дорівнює нулю. Так як залишок дорівнює нулю,x+2 є коефіцієнтомx3+8.

x3+8=(x+2)(x22x+4)

Вправа3.4.2

Розділіть4x48x25x заx3 допомогою синтетичного поділу.

Відповідь

2019-06-23 6.06.29.png

4x48x25xділиться наx3 є4x3+12x2+28x+79 з залишком 237

Використання цього процесу дозволяє знайти дійсні нулі поліномів, припускаючи, що ми можемо з'ясувати хоча б один корінь. Ми розглянемо, як це зробити, у наступному розділі.

Приклад3.4.5

Многочленp(x)=4x44x311x2+12x3 має горизонтальний перехопленняx=12 при кратності 2. Знайдіть інші перехопленняp(x).

Рішення

Так якx=12 є перехоплення з кратністю 2, тоx12 є множником двічі. Використовуйте синтетичне поділ, щоб розділити наx12 два рази.

2019-06-23 6.04.51.png

З першого дивізіону отримуємо4x44x311x2+12x3=(x12)(4x32x2x6) Другий дивізіон говорить нам

4x44x311x2+12x3=(x12)(x12)(4x212)

Щоб знайти залишилися перехоплення, встановлюємо4x212=0 і дістаємоx=±3.

Зверніть увагу, що це теж означає4x44x311x2+12x3=4(x12)(x12)(x3)(x+3).

Важливі теми цього розділу

  • Довге ділення многочленів
  • Теорема про залишок
  • Теорема про коефіцієнт
  • Синтетичний поділ поліномів