3.4: Теорема про множник та теорема про залишок
В останньому розділі ми обмежилися пошуком перехоплень, або нулів, поліномів, які були враховані просто, або ми звернулися до технології. У цьому розділі ми розглянемо алгебраїчні методи знаходження нулів многочленів на кшталтh(t)=t3+4t2+t−6.
Довгий дивізіон
В останньому розділі ми побачили, що ми могли б написати многочлен як добуток факторів, кожен з яких відповідає горизонтальному перехопленню. Якби миx=2 знали, що це перехоплення многочленаx3+4x2−5x−14, ми могли б здогадатися, що многочлен може бути врахований якx3+4x2−5x−14=(x−2) (щось). Щоб знайти це «щось», ми можемо використовувати поліноміальне ділення.
Приклад3.4.1
Розділитиx3+4x2−5x−14 наx−2.
Рішення
Почніть з написання проблеми у формі довгого поділу
Тепер розділимо провідні терміни:x3÷x=x2. Найкраще вирівняти його вище того ж терміну в дивідендах. Тепер помножте цеx2 наx−2 і напишіть результат нижче дивідендів.
Знову ділимо провідний член залишку на провідний член дільника. 6x2÷x=6x. Додаємо це до результату, множимо 6 х наx−2, і віднімаємо.
Це говорить нам,x3+4x2−5x−14x−2 розділене на єx2+6x+7, з залишком нуля. Це також означає, що ми можемо враховуватиx3+4x2−5x−14 як(x−2)(x2+6x+7).
Це дає нам спосіб знайти перехоплення цього многочлена.
Приклад3.4.2
Знайдіть горизонтальні перехопленняh(x)=x3+4x2−5x−14.
Рішення
Щоб знайти горизонтальні перехоплення, нам потрібно вирішитиh(x)=0. З попереднього прикладу ми знаємо, що функція може бути врахована якh(x)=(x−2)(x2+6x+7).
h(x)=(x−2)(x2+6x+7)=0колиx=2 або колиx2+6x+7=0. Це не фактор красиво, але ми могли б використовувати квадратичну формулу, щоб знайти інші два нулі.
x=−6±√62−4(1)(7)2(1)=−3±√2
Горизонтальні перехоплення будуть при(2,0)(−3−√2,0), і(−3+√2,0).
Вправа3.4.1
Розділіть2x3−7x+3 заx+3 допомогою довгого поділу.
- Відповідь
-
Теореми про коефіцієнт і залишок
Коли ми ділимо многочлен,p(x) на якийсь дільник многочленаd(x), ми отримаємо частний многочленq(x) і, можливо, залишокr(x). Іншими словами,
p(x)=d(x)q(x)+r(x)
Через ділення залишок буде або дорівнює нулю, або многочлен нижчого ступеня, ніж d (x). Через це, якщо розділити многочлен на член видуx−c, то залишок буде дорівнює нулю або константі.
Якщоp(x)=(x−c)q(x)+r, тоp(c)=(c−c)q(c)+r=0+r=r, який встановлює теорему про залишок.
Теорема про залишок
Якщоp(x) многочлен ступеня 1 або більше, а c - дійсне число, то коли p (x) ділиться наx−c, залишок дорівнюєp(c).
Якщоx−c є множником многочленаp, тоp(x)=(x−c)q(x) для деякого многочленаq. Потімp(c)=(c−c)q(c)=0, показc - це нуль многочлена. Це не повинно нас дивувати - ми вже знали, що якщо поліноміальні фактори виявляють коріння.
Якщоp(c)=0, то теорема про залишок говорить нам, що якщо p розділити наx−c, то залишок буде дорівнює нулю, а значитьx−c - множникp.
теорема про множник
Якщоp(x) є ненульовим многочленом, то дійсне числоc дорівнює нулюp(x) if і тільки якщоx−c є множникомp(x).
Синтетичний поділ
Оскільки ділення наx−c - це спосіб перевірити, чи є число нулем многочлена, було б непогано мати більш швидкий спосіб ділення на,x−c ніж використовувати довгий ділення кожного разу. На щастя, більш швидкі шляхи були виявлені.
Давайте подивимося назад на довгий поділ, який ми зробили в прикладі 1, і спробуємо його впорядкувати. Для початку давайте змінимо всі віднімання на додавання, розподіляючи через негативи.
Далі, зверніть увагу−x3, що терміни−6x2, і−7x є повною протилежністю термінам вище них. Алгоритм, який ми використовуємо, гарантує, що це завжди так, тому ми можемо опустити їх, не втрачаючи жодної інформації. Також зауважте, що терміни, які ми «збиваємо» (а саме− 5x та− 14), насправді не потрібні для повторного копіювання, тому ми їх також опускаємо.
Тепер давайте трохи перемістимо речі вгору і, з причин, які стануть зрозумілими через мить, скопіюємоx3 їх в останній рядок.
Зверніть увагу, що, розташувавши речі таким чином, кожен член в останньому рядку виходить шляхом додавання двох членів над ним. Зауважте також, що частковий многочлен можна отримати, розділивши кожне з перших трьох членів в останньому рядку наx і додаючи результати. Якщо ви витратите час, щоб повернутися до початкової задачі поділу, ви виявите, що саме так ми визначили частний многочлен.
Це означає, що нам більше не потрібно записувати частний многочлен вниз, ніx в дільник, щоб визначити нашу відповідь.
Поки що ми впорядкували речі, але ми все ще можемо зробити більше. Давайте візьмемо хвилинку, щоб нагадати собі2x2, звідки взялися,12x і 14 у другому ряду. Кожен з цих членів був отриманий множенням долі в частціx2, 6x і 7 відповідно на -2 in, потім на -1x−2, коли ми змінили віднімання на додавання. Множення на -2 потім на -1 - це те саме, що і множення на 2, тому замінюємо -2 в дільнику на 2. Крім того, коефіцієнти часткового многочлена збігаються з коефіцієнтами перших трьох членів в останньому рядку, тому ми тепер беремо занурення і запишемо тільки коефіцієнти членів, щоб отримати
Ми побудували синтетичну таблицю поділу для цієї многочленної задачі ділення. Давайте повторно опрацюємо нашу проблему поділу, використовуючи цю таблицю, щоб побачити, як вона значно спрощує процес поділу. Для поділуx3+4x2−5x−14 наx−2, запишемо 2 на місці дільника і коефіцієнтиx3+4x2−5x−14 in для дивіденду. Потім «збийте» перший коефіцієнт дивідендів.
Далі візьміть 2 з дільника і помножте на 1, який був «збитий», щоб отримати 2. Напишіть це під 4, потім додайте, щоб отримати 6.
Тепер візьміть 2 з дільника раз 6, щоб отримати 12, і додати його до -5, щоб отримати 7.
Нарешті, візьміть 2 в дільник раз 7, щоб отримати 14, і додати його до -14, щоб отримати 0.
Перші три числа в останньому рядку нашої таблиці - це коефіцієнти частного многочлена. Пам'ятайте, ми почали з полінома третього ступеня і розділили на многочлен першого ступеня, тому частка є поліном другого ступеня. Звідси частка єx2+6x+7. Число в коробці - це залишок. Синтетичне ділення - наш інструмент вибору для ділення многочленів на дільники видуx−c. Важливо відзначити, що він працює тільки для цих видів дільників. Також врахуйте, що коли многочлен (ступеня не менше 1) ділиться наx−c, результатом буде многочлен рівно на один менший ступінь. Нарешті, варто витратити час, щоб простежити кожен крок у синтетичному поділі назад до відповідного кроку в довгому поділі.
Приклад3.4.3
Використовуйте синтетичне поділ, щоб розділити5x3−2x2+1 наx−3.
Рішення
При налаштуванні таблиці синтетичного поділу нам потрібно ввести 0 для коефіцієнтаx в дивідендах. Роблячи це дає
Оскільки дивіденд був поліном третього ступеня, частка - квадратичний многочлен з коефіцієнтами 5, 13 і 39. Наш коефіцієнт є,q(x)=5x2+13x+39 а решта -r(x)=118. Це означає
5x3−2x2+1=(x−3)(5x2+13x+39)+118
Це також означає,x−3 що не є фактором5x3−2x2+1.
Приклад3.4.4
Розділитиx3+8 наx+2.
Рішення
Для цього поділу переписуємоx+2 якx−(−2) і чинимо як раніше.
Частка дорівнює,x2−2x+4 а залишок дорівнює нулю. Так як залишок дорівнює нулю,x+2 є коефіцієнтомx3+8.
x3+8=(x+2)(x2−2x+4)
Вправа3.4.2
Розділіть4x4−8x2−5x заx−3 допомогою синтетичного поділу.
- Відповідь
-
4x4−8x2−5xділиться наx−3 є4x3+12x2+28x+79 з залишком 237
Використання цього процесу дозволяє знайти дійсні нулі поліномів, припускаючи, що ми можемо з'ясувати хоча б один корінь. Ми розглянемо, як це зробити, у наступному розділі.
Приклад3.4.5
Многочленp(x)=4x4−4x3−11x2+12x−3 має горизонтальний перехопленняx=12 при кратності 2. Знайдіть інші перехопленняp(x).
Рішення
Так якx=12 є перехоплення з кратністю 2, тоx−12 є множником двічі. Використовуйте синтетичне поділ, щоб розділити наx−12 два рази.
З першого дивізіону отримуємо4x4−4x3−11x2+12x−3=(x−12)(4x3−2x2−x−6) Другий дивізіон говорить нам
4x4−4x3−11x2+12x−3=(x−12)(x−12)(4x2−12)
Щоб знайти залишилися перехоплення, встановлюємо4x2−12=0 і дістаємоx=±√3.
Зверніть увагу, що це теж означає4x4−4x3−11x2+12x−3=4(x−12)(x−12)(x−√3)(x+√3).
Важливі теми цього розділу
- Довге ділення многочленів
- Теорема про залишок
- Теорема про коефіцієнт
- Синтетичний поділ поліномів