7.3.6: Застосування об'єму та площі поверхні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57877

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте вивчимо речі, пропорційні об'єму або площі поверхні.

Вправа$\PageIndex{1}$: You Decide

Для кожної ситуації вирішуйте, чи потрібен Ной для обчислення площі поверхні або обсягу. Поясніть свої міркування.

Ной планує пофарбувати будинок для птахів, який він побудував. Він не впевнений, чи вистачить йому фарби.
Ной планує використовувати ящик з трапецієподібною основою для проведення ліплення з глини. Він не впевнений, чи вся глина поміститься в коробці.

Вправа$\PageIndex{2}$: Foam Play Structure

У дитячому садку Кіран бачить дітей, що піднімаються на цю пінну ігрову конструкцію.

Кіран думає про те, щоб побудувати таку структуру для своїх молодших двоюрідних братів.

Вся конструкція виготовлена з м'якої піни, щоб діти не шкодили собі. Скільки піни потрібно Кірану, щоб побудувати цю ігрову конструкцію?
Вся конструкція покрита вінілом, тому її легко протирати в чистоті. Скільки вінілу потрібно Кірану для побудови цієї ігрової структури?
Піна коштує 0.8¢ за ³. Ось таблиця, в якій перераховані витрати на різні кількості вінілу. Яка загальна вартість всієї пінопласту та вінілу, необхідних для побудови цієї ігрової конструкції?

Таблиця$\PageIndex{1}$
вініловий (в ²)	вартість ($)
$75$	$0.45$
$125$	$0.75$

Ви готові до більшого?

Коли він розглядає структуру гри більш уважно, Кіран розуміє, що це дійсно дві окремі частини, які знаходяться поруч один з одним.

Як це впливає на кількість піни в ігровій структурі?
Як це впливає на кількість вінілового покриття ігрової структури?

Вправа$\PageIndex{3}$: Filling the Sandbox

У дитячому садку є дві пісочниці, які є обома призмами з правильними шестикутниками в якості основи. Менша пісочниця має площу основи 1,146 в ² і заповнена піском глибиною 10 дюймів.

Знадобилося 14 мішків піску, щоб заповнити невелику пісочницю на цю глибину. Який обсяг піску поставляється в одному мішку? (Округлити до найближчого цілого кубічного дюйма.)
Менеджер дитячого саду хоче додати ще 3 дюйми до глибини піску в маленькій пісочниці. Скільки мішків з піском їх потрібно буде купити?
Менеджер дитячого саду також хоче додати ще 3 дюйми до глибини піску у великій пісочниці. Основа великої пісочниці - це масштабована копія основи маленької пісочниці, з коефіцієнтом масштабування 1,5. Скільки мішків з піском їм потрібно буде купити для великої пісочниці?
Газонно-садовий магазин продає 6 мішків піску за $19,50. Скільки вони витратять, щоб купити весь новий пісок для обох пісочниць?

Резюме

Припустимо, ми хотіли зробити бетонну лавку, подібну до тієї, що зображена на цій картинці. Якщо ми знаємо, що готова лавка має об'єм 10 футів ³ та площу поверхні 44 фути ², ми можемо використовувати цю інформацію для вирішення проблем щодо лавки.

Малюнок$\PageIndex{4}$: «Бетонні сидіння, кишеньковий парк Balfour Street», автор Didiunsw (Власна робота). КУБ.СМ ПО-СА 4.0. Вікісховище. Джерело.

Наприклад,

Скільки важить лава?
Скільки часу потрібно, щоб протерти всю лавку в чистоті?
У скільки обійдуться матеріали, щоб побудувати лавку і пофарбувати її?

Щоб розібратися, скільки важить лава, ми можемо використовувати її обсяг, 10 футів ³. Бетон важить близько 150 фунтів на кубічний фут, тому ця лавка важить близько 1500 фунтів, тому що$10\cdot 150=1,500$.

Щоб з'ясувати, скільки часу потрібно, щоб протирати лавку чистою, ми можемо використовувати її площу поверхні, 44 фути ². Якщо людині потрібно близько 2 секунд на квадратний фут, щоб протерти поверхню чистою, то для очищення цієї лавки знадобиться близько 88 секунд, тому що$44\cdot 2=88$. Це може зайняти трохи менше 88 секунд, так як поверхні, де лавка торкається землі, не потрібно протирати.

Ви б використали обсяг або площу поверхні лавки для розрахунку вартості бетону, необхідного для побудови цієї лавки? А за вартістю фарби?

Записи глосарію

Визначення: Основа (призми або піраміди)

Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

Призма або піраміда названа за формою її підстави.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Ліворуч фігура позначена п'ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п'ятикутника. Кожна вершина п'ятикутника з'єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п'ятикутників. П'ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з'єднаний з вершиною шестикутника.

Визначення: Поперечний переріз

Поперечний переріз - це нове обличчя, яке ви бачите, коли розрізаєте тривимірну фігуру.

Наприклад, якщо ви нарізаєте прямокутну піраміду паралельно основі, ви отримаєте менший прямокутник як поперечний переріз.

Визначення: Призма

Призма - це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з'єднуються прямокутниками або паралелограмами.

Ось деякі малюнки призм.

Визначення: Піраміда

Піраміда - це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

Ось деякі малюнки пірамід.

Визначення: Площа поверхні

Площа поверхні багатогранника - це кількість квадратних одиниць, що охоплює всі грані багатогранника, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см ², то площа поверхні куба дорівнює$6\cdot 9$, або 54 см ².

Визначення: Обсяг

Обсяг - це кількість кубічних одиниць, які заповнюють тривимірну область, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, обсяг цієї прямокутної призми становить 60 одиниць ³, тому що вона складається з 3 шарів, які кожен 20 одиниць ³.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

Ландшафтний архітектор проектує басейн, який має такий вид зверху:

Скільки води знадобиться для заповнення цього басейну глибиною 4 фути?
Перед заповненням басейну його облицьовують пластиковим вкладишем. Скільки лайнера потрібно для цього басейну?
Ось ціни на різну кількість пластикового вкладиша. Скільки буде коштувати весь пластиковий вкладиш для басейну?

Таблиця$\PageIndex{2}$
пластиковий вкладиш (фути ²)	вартість ($)
$25$	$3.75$
$50$	$7.50$
$75$	$11.25$

Вправа$\PageIndex{5}$

Абажур в основі трапецієподібної призми. (Основа не така, як дно.)

Знайдіть область підстави, яку ви затінювали.
Знайдіть обсяг цієї трапецієподібної призми.

(З блоку 7.3.3)

Вправа$\PageIndex{6}$

Для кожної діаграми вирішіть, чи$y$ є збільшення або зменшення$x$. Потім визначте відсоток, який$x$ збільшився або зменшився в результаті$y$.

(Від блоку 4.2.4)

Вправа$\PageIndex{7}$

Ной відвідує свою тітку в Техасі. Він хоче купити пряжку ременя, ціна якої становить 25 доларів. Він знає, що податок з продажів в Техасі становить 6,25%.

Скільки буде податок на пряжку ременя?
Скільки витратить Ной на пряжку ременя, включаючи податок?
Напишіть рівняння, яке представляє загальну вартість$c$, елемента, ціна якого є$p$.

(Від блоку 4.3.1)

вініловий (в ²)	вартість ($)
\(75\)	\(0.45\)
\(125\)	\(0.75\)

пластиковий вкладиш (фути ²)	вартість ($)
\(25\)	\(3.75\)
\(50\)	\(7.50\)
\(75\)	\(11.25\)