10: Функції Бесселя та двовимірні задачі
- Page ID
- 60998
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 10.1: Температура на диску
- Перейдемо тепер до іншої двовимірної задачі. Круглий диск готується таким чином, щоб його початкова температура була радіально симетричною,
- 10.2: Рівняння Бесселя
- Рівняння Бесселя виникає при знаходженні роздільних розв'язків рівняння Лапласа та рівняння Гельмгольца в циліндричних або сферичних координатах. Тому функції Бесселя особливо важливі для багатьох проблем поширення хвиль і статичних потенціалів.
- 10.3: Гамма-функція
- Для ν не цілого числа рекурсійне відношення для функції Бесселя генерує щось дуже схоже на факторіали. Ці величини найлегше виражаються в чомусь, званому гамма-функцією.
- 10.4: Функції Бесселя загального порядку
- Відношення повторення функції Бесселя загального порядку ±ν тепер можна вирішити за допомогою гамма-функції.
- 10.5: Властивості функцій Бесселя
- Функції Бесселя мають багато цікавих властивостей.
- 10.6: Теорія Штурма-Ліувіля
- Зрештою, ми хочемо написати розв'язок рівняння у вигляді ряду функцій Бесселя. Для цього нам потрібно зрозуміти ортогональність функції Бесселя — так само, як синуси і косинуси були ортогональними. Це найпростіше зробити, розробивши математичний інструмент під назвою теорія Штурма-Ліувіля.
- 10.7: Наша початкова проблема та функції Бесселя
- Ми почали дискусію з проблеми температури на круговому диску, вирішеному в полярних координатах, Оскільки початкові умови не залежать від\(\phi\), ми очікуємо, що рішення буде радіально симетричним, а також.
- 10.8: Серія Фур'є-Бесселя
- Ряди Фур'є — Бесселя — це особливий вид узагальнених рядів Фур'є, заснованих на функціях Бесселя і використовуються при розв'язанні рівнянь з частинними похідними, зокрема в циліндричних системах координат.