7: Ряди розв'язків лінійних рівнянь другого порядку
- Page ID
- 62015
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми вивчаємо клас диференціальних рівнянь другого порядку, які зустрічаються у багатьох додатках, але не можуть бути розв'язані в замкнутому вигляді з точки зору елементарних функцій.
- 7.1: Прелюдія до рядів розв'язків лінійних рівнянь другого порядку
- Диференціальні рівняння другого порядку зустрічаються у багатьох додатках, але не можуть бути розв'язані в замкнутому вигляді з точки зору елементарних функцій, включаючи рівняння Бесселя, Ейрі та Лангендре, які можна записати у вигляді P0 (x) Y′+P1 (x) Y′+P2 (x) y=0. Ці рівняння, як правило, не мають замкнутої форми розв'язків, ми шукаємо послідовні уявлення для розв'язків.
- 7.2: Огляд серії Power
- Багато застосувань породжують диференціальні рівняння з розв'язками, які не можуть бути виражені через елементарні функції, такі як поліноми, раціональні функції, експоненціальні та логарифмічні функції та тригонометричні функції. Розв'язки деяких найважливіших з цих рівнянь можуть бути виражені термінами степеневих рядів. Ми вивчимо такі рівняння в цьому розділі. У цьому розділі ми розглянемо відповідні властивості силових рядів.
- 7.3: Рішення серії поблизу звичайної точки I
- Багато фізичних застосувань породжують однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку у вигляді P( x) Y″+Pα (x) Y′+P₂ (x) y=0.
- 7.4: Рішення серії поблизу звичайної точки II
- У цьому розділі ми продовжуємо знаходити послідовні розв'язки задач початкового значення. Для розглянутих тут рівнянь важко або неможливо отримати явну формулу для a через n. Проте, ми можемо обчислити скільки завгодно коефіцієнтів. Наступні три приклади ілюструють це.
- 7.5: Регулярні сингулярні точки рівняння Ейлера
- Цей розділ вводить відповідні припущення щодо Pта P₂ у випадку, коли P( 0) =0, і розглядається рівняння Ейлера ax²y′′+bxy′+cy=0, де a, b та c є константами. Це найпростіше рівняння, яке задовольняє цим припущенням.
- 7.6: Метод Фробеніуса I
- У цьому розділі ми починаємо вивчати ряди розв'язків однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з правильною особливою точкою x0=0, тому його можна записати як x²A (x) Y″+xB (x) Y′+c (x) y=0, де A, B, C - поліноми, а A (0) 0.
- 7.7: Метод Фробенія II
- У цьому розділі розглянуто метод знаходження двох лінійно незалежних розв'язків Фробеніуса однорідного лінійного рівняння другого порядку поблизу правильної сингулярної точки у випадку, коли індиціальне рівняння має повторюваний дійсний корінь.
- 7.8: Метод Фробенія III
- Раніше розглядалися методи знаходження розв'язків Фробеніуса однорідного лінійного рівняння другого порядку поблизу правильної сингулярної точки у випадку, коли індиціальне рівняння має повторюваний корінь або чіткі дійсні корені, які не відрізняються цілим числом. У цьому розділі ми розглянемо випадок, коли індиціальне рівняння має чіткі дійсні корені, які відрізняються цілим числом.