Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7: Геометрія на поверхнях

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58679

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У гіперболічної геометрії (\(\mathbb{D}, \mathcal{H}\)) і еліптичної геометрії (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)) площа трикутника визначається сумою його кутів. Це суттєва відмінність від евклідової геометрії, в якій трикутник з трьома заданими кутами може бути побудований, щоб мати будь-яку бажану площу. Чи означає це, що якщо помилка живе у світі, що дотримується еліптичної геометрії, вона ніколи не може наштовхнутися на трикутник з трьома прямими кутами, що мають площу\(3π\)? Так і ні. У еліптичній геометрії, визначеній у розділі 6, такого трикутника не існує, оскільки трикутник з\(3\) прямими кутами повинен мати площу\((\dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{2}) − π = \dfrac{π}{2}\). Тож відповідь, здається, так. Однак еліптична геометрія (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)) моделює геометрію одиничної сфери, і цей вибір радіуса сфери є дещо умовним. Що робити, якщо радіус сфери змінюється? Уявіть собі трикутник з трьома прямими кутами, що мають одну вершину на північному полюсі і дві вершини на екваторі. Якщо сфера рівномірно розширюється, кути трикутника залишаться колишніми, але площа трикутника збільшиться. Отже, якщо помилка переконана, що вона живе у світі з еліптичною геометрією, але також переконана, що вона знайшла трикутник з трьома прямими кутами та площею\(3π\), помилку можна зробити висновок, що вона живе у світі, змодельованому на більшій сфері, ніж одиниця\(2\) -сфера.

    Ключова геометрична властивість простору, що диктує зв'язок між кутами трикутника і його площею, називається кривизною. Кривизна також диктує залежність між окружністю кола і його радіусом.

    • 7.1: Кривизна
      Кривизна кривої в точці - це міра того, наскільки різко крива відгинається від своєї дотичної лінії, і ця кривизна часто вивчається в багатоваріантному курсі числення. Радіус кривизни в точці відповідає радіусу кола, який найкраще наближає криву в цій точці.
    • 7.2: Еліптична геометрія з кривизною k > 0
      Можна моделювати еліптичну геометрію на сферах змінних радіусів, а зміна радіуса призведе до зміни кривизни простору, а також зміни взаємозв'язку між площею трикутника та його кутовою сумою.
    • 7.3: Гіперболічна геометрія з кривизною k < 0
    • 7.4: Сімейство геометрій (X, G)
    • 7.5: Поверхні
      У топології вивчають ті особливості простору, які залишаються незмінними, якщо простір розтягується або іншим чином безперервно деформується. Такі особливості простору називаються топологічними ознаками.
    • 7.6: Геометрія поверхонь
      Якщо у вас є поверхня в руці, ви можете знайти гомеоморфну версію поверхні, на якій можна побудувати гіперболічну геометрію, еліптичну геометрію або евклідову геометрію. І вибір геометрії унікальний: жодна поверхня не допускає більше однієї з цих геометрій. Як ми побачимо, з нескінченно багатьох поверхонь всі, крім чотирьох, допускають гіперболічну геометрію (дві визнають евклідову геометрію, а дві допускають еліптичну геометрію).
    • 7.7: Частні простори
      Відношення на множині S - це підмножина R з S x S. Іншими словами, відношення R складається з безлічі впорядкованих пар виду (a, b), де a і b знаходяться в S. Розділ множини складається з колекції непорожніх підмножин A, які взаємно незв'язані і мають об'єднання рівне А. відношення еквівалентності на a set A служить для поділу A за класами еквівалентності.