Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6: Еліптична геометрія

Еліптична геометрія - це другий тип неевклідової геометрії, який може описувати геометрію Всесвіту. У цьому розділі ми зосереджуємо свою увагу на двовимірній еліптичній геометрії, і сфера буде нашим орієнтиром. Розділ починається з огляду стереографічної проекції, і того, як ця карта використовується для перенесення інформації про сферу на розширену площину. Ми розробляємо еліптичну геометрію в розділах 6.2 та 6.3, а потім призупиняємо нашу історію в розділі 6.4, щоб задуматися над тим, що ми встановили, з точки зору геометрії, перш ніж перейти до геометрії на поверхнях у розділі 7.

  • 6.1: Антиподальні бали
    Дві різні точки на сфері називаються діаметрально протилежними точками, якщо вони знаходяться на одній лінії через центр сфери. Діаметрально протилежні точки на сфері ще називають антиподальні точками.
  • 6.2: Еліптична геометрія
    Як і в гіперболічній геометрії, простір в еліптичній геометрії походить від C +, а група перетворень складається з певних перетворень Мебіуса.
  • 6.3: Вимірювання еліптичної геометрії
    Замість того, щоб отримати формулу довжини дуги тут, як ми зробили для гіперболічної геометрії, ми констатуємо наступне визначення і відзначаємо різницю одного знака від гіперболічного випадку. Ця різниця знаків узгоджується з різницею знаків в алгебраїчних описах перетворень у відповідних геометріях.
  • 6.4: Повторний огляд постулатів Евкліда
    Без особливого фанфару ми показали, що геометрія (P ^ 2, S) задовольняє перші чотири постулати Евкліда, але не задовольняє п'ятий. Це також стосується гіперболічної геометрії (D, H). Більш того, еліптичний варіант п'ятого постулату відрізняється від гіперболічного варіанту. Метою цього розділу є надання належного фанфару для цих фактів.