6: Еліптична геометрія
- Page ID
- 58674
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Еліптична геометрія - це другий тип неевклідової геометрії, який може описувати геометрію Всесвіту. У цьому розділі ми зосереджуємо свою увагу на двовимірній еліптичній геометрії, і сфера буде нашим орієнтиром. Розділ починається з огляду стереографічної проекції, і того, як ця карта використовується для перенесення інформації про сферу на розширену площину. Ми розробляємо еліптичну геометрію в розділах 6.2 та 6.3, а потім призупиняємо нашу історію в розділі 6.4, щоб задуматися над тим, що ми встановили, з точки зору геометрії, перш ніж перейти до геометрії на поверхнях у розділі 7.
- 6.1: Антиподальні бали
- Дві різні точки на сфері називаються діаметрально протилежними точками, якщо вони знаходяться на одній лінії через центр сфери. Діаметрально протилежні точки на сфері ще називають антиподальні точками.
- 6.2: Еліптична геометрія
- Як і в гіперболічній геометрії, простір в еліптичній геометрії походить від C +, а група перетворень складається з певних перетворень Мебіуса.
- 6.3: Вимірювання еліптичної геометрії
- Замість того, щоб отримати формулу довжини дуги тут, як ми зробили для гіперболічної геометрії, ми констатуємо наступне визначення і відзначаємо різницю одного знака від гіперболічного випадку. Ця різниця знаків узгоджується з різницею знаків в алгебраїчних описах перетворень у відповідних геометріях.
- 6.4: Повторний огляд постулатів Евкліда
- Без особливого фанфару ми показали, що геометрія (P ^ 2, S) задовольняє перші чотири постулати Евкліда, але не задовольняє п'ятий. Це також стосується гіперболічної геометрії (D, H). Більш того, еліптичний варіант п'ятого постулату відрізняється від гіперболічного варіанту. Метою цього розділу є надання належного фанфару для цих фактів.