1: Запрошення до геометрії

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- Зміст
- 1.1: Вступ

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Як може бути, що математика, будучи все-таки продуктом людської думки, яка не залежить від досвіду, настільки чудово підходить об'єктам реальності?

— Альберт Ейнштейн

З нічого я створив дивну нову всесвіт.

— Янош Боляй

1.1: Вступ
Нескінченна плоска модель двовимірного Всесвіту працює досить добре для більшості цілей, але космологи і математики, які помічають, що все всередині Всесвіту є кінцевим, вважають можливість того, що сама Всесвіт є кінцевою. Чи мав би кінцевий Всесвіт межу? Чи може він мати край, точку, за яку не можна подорожувати? Двовимірний математик припускає, що Всесвіт виглядає як прямокутна область з ідентифікованими протилежними краями.
1.2: Коротка історія геометрії
Геометрія є однією з найстаріших галузей математики, і найважливішою серед текстів є елементи Евкліда. Його текст починається з 23 визначень, 5 постулатів і 5 загальних понять. Звідти Евклід починає доводити результати щодо геометрії за допомогою суворого логічного методу, і багатьох з нас попросили зробити те ж саме в середній школі.
1.3: Геометрія на поверхнях - перший погляд
Подумайте на хвилинку про простір, в якому ми живемо. Подумайте про об'єкти, які живуть у нашому просторі. Чи змінюються особливості предметів при їх переміщенні в нашому просторі? Якщо я візьму цей папір і переміщу його по кімнаті, чи буде вона стискатися? Чи стане це мітлою? Якщо ви намалюєте трикутник на цій сторінці, кути трикутника додадуть до 180°. Насправді будь-який трикутник, намальований в будь-якому місці сторінки, має цю властивість. Таким чином, евклідова геометрія на цій плоскій сторінці вважається однорідною.