Передмова

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58667

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Геометрія з Вступом до космічної топології наближається до геометрії через об'єктив питань, які запалили уяву зоряників ще з давніх-давен. Яка форма Всесвіту? Чи є у Всесвіту край? Він нескінченно великий?

Цей текст розвиває неевклідову геометрію та геометрію на поверхнях на рівні, відповідному для студентів, які закінчили багатоваріантний курс обчислення та готові до курсу, в якому практикувати звички думки, необхідні в просунутих курсах навчальної програми з математики. Текст також підходить для самостійного вивчення, з нарисами та дискусіями на всьому протязі.

Математики і космологи витратили значну кількість зусиль на дослідження форми Всесвіту, і ця область досліджень називається космічною топологією. Геометрія відіграє фундаментальну роль у цьому дослідженні. За основними припущеннями про природу простору існує проста залежність між геометрією Всесвіту і її формою, і існує лише три можливості для типу геометрії: гіперболічна геометрія, еліптична геометрія та евклідова геометрія. Це геометрії, які ми вивчаємо в цьому тексті.

Розділи з 2 по 7 містять основний математичний зміст. Текст слідує програмі Ерлангена, яка розвиває геометрію з точки зору простору та групи перетворень цього простору. Глава 2 зосереджена на складній площині, просторі, на якій ми будуємо двовимірну геометрію. У главі 3 детально описано перетворення площини, включаючи перетворення Мебіуса. Цей розділ позначає серце тексту, а інверсії в розділі 3.2 позначають серце глави. Всі неевклідові перетворення в тексті будуються з інверсій. Ми формально визначаємо геометрію в главі 4 і переслідуємо гіперболічну та еліптичну геометрію в розділах 5 та 6 відповідно. Глава 7 починається з розширення цих геометрій до різних масштабів кривизни. Розділ 7.4 представляє уніфіковане сімейство геометрій за всіма масштабами кривизни, підкреслюючи ключові результати, загальні для них усіх. Розділ 7.5 забезпечує неформальний розвиток топології поверхонь, а розділ 7.6 пов'язує топологію поверхонь з геометрією, кульмінацією якої є формула Гаусса-Бонне. Розділ 7.7 обговорює часткові простори та представляє важливий інструмент космічної топології, область Діріхле.

Два довших есе закладають основний зміст. У главі 1 представлена геометрична перспектива, взята в цьому тексті. З мого досвіду, дуже корисно витратити час на обговорення цього вмісту на уроці. Діяльність Coneland та Saddleland (приклад 1.3.2 та приклад 1.3.3) виявилася особливо корисною для мотивації змісту тексту. У розділі 8, розробивши двовимірну неевклідову геометрію та топологію поверхонь, ми осмислено поглядаємо на сучасний стан досліджень космічної топології. Розділ 8.1 пропонує короткий огляд тривимірної геометрії та 3-многовидів, які забезпечують можливі форми Всесвіту. Розділи 8.2 та 8.3 представляють дві програми досліджень космічної топології: космічна кристалографія та кола в небі. Вимірювання, зроблені та проаналізовані протягом останніх двадцяти років, значно змінили спосіб розгляду Всесвіту багатьма космологами, і текст закінчується обговоренням нашого теперішнього розуміння стану Всесвіту.

Конструкції компаса та лінійки відіграють видиму роль у тексті, перш за все тому, що інверсії підкреслюються як основні будівельні блоки перетворень. Конструкції використовуються в деяких доказах (наприклад, фундаментальна теорема перетворень Мебіуса) та як керівництво до визначень (наприклад, диференціал довжини дуги в гіперболічній площині). Ми заохочуємо читачів практикувати конструкції, коли вони читають разом, або з компасом та лінійкою на папері, або з програмним забезпеченням, таким як Sketchpad Geometer або Geogebra. Деякі шаблони Sketchpad від Geometer і заходи, пов'язані з текстом, можна знайти на веб-сайті тексту.

Читання тексту в Інтернеті.

Інтернет-текст є казковим у посиланнях на вміст, але ми підкреслюємо, що цей текст призначений для читання. Він був написаний, щоб розповісти математичну історію. Це не має на увазі сукупність теорем та прикладів, з якими слід ознайомитися як посилання. Таким чином, онлайн-читачам цього тексту рекомендується перевертати сторінки за допомогою кнопок «стрілки» на сторінці на відміну від натискання на посилання на розділ. Читайте зміст повільно, беріть участь у прикладах і працюйте над вправами. Боріться з ідеями і задавайте питання. Сміливо пишіть автору з питаннями або коментарями щодо матеріалу.

Зміни в порівнянні з раніше опублікованою версією.

Для тих, хто знайомий з оригінальною версією тексту, опублікованого Jones & Bartlett, відзначимо кілька змін у поточній редакції. По-перше, змінилася схема нумерації, тому Приклад і Теорема і цифри чисел не будуть збігатися зі старою друкованою копією. Звичайно, схеми нумерації на веб-сайті та нові варіанти друку тексту згодні. По-друге, додано кілька вправ. У розділах з додатковими вправами нові зазвичай з'являються в кінці секції. Нарешті, глава 7 була реорганізована, намагаючись більше акцентувати увагу на сім'ї та ключових теоремах\((X_k,G_k)\), загальних для всіх цих геометрій. Тепер ця сім'я отримує власний розділ, Розділ 7.4. Попередній розділ 7.4 (Спостереження за кривизною у Всесвіті) був складений у Розділ 7.3. Нарешті, нариси в розділі 8 про космічну топологію та наше розуміння Всесвіту були оновлені, щоб включити дослідження, проведені з моменту первинної публікації цього тексту, деякі з яких обумовлені більш чіткими вимірюваннями температури космічного мікрохвильового фонового випромінювання, отриманого з запуском супутник Планка в\(2009\).