39.3: Використання загальних кратних і загальних факторів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 898

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте використаємо загальні фактори та загальні множинні для вирішення проблем.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Keeping a Steady Beat

Ваш вчитель дасть вам інструкції для гри в ритм гри. Коли ви граєте в гру, подумайте над цими питаннями:

Коли два звуки будуть відбуватися одночасно?
Як ця гра відноситься до загальних факторів або загальних кратних?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Factors and Multiples

Працюйте зі своїм партнером для вирішення наступних проблем.

Вечірка. Олена купує чашки і тарілки для своєї вечірки. Стаканчики продаються в пачках по 8, а тарілки продаються в упаковках по 6 штук. Вона хоче мати однакову кількість тарілок і чашок.
1. Знайдіть кількість тарілок і чашок, яке відповідає її вимогам.
2. Скільки пачок кожного постачання їй потрібно буде купити, щоб отримати цей номер?
3. Назвіть дві інші кількості тарілок і чашок, які вона могла б отримати, щоб задовольнити її вимоги.
Плитка. Власник ресторану замінює підлогу ванної кімнати ресторану квадратною плиткою. Плитка буде укладатися пліч-о-пліч, щоб покрити всю ванну кімнату без зазорів, і жодна плитка не може бути розрізана. Підлога являє собою прямокутник, який вимірює 24 футів на 18 футів.
1. Який найбільший розмір плитки вона могла б використовувати? Напишіть довжину сторони в стопах. Поясніть, як ви знаєте, що це найбільша можлива плитка.
2. Скільки цих плиток найбільшого розміру потрібно?
3. Назвіть більше розмірів плитки, які є цілою кількістю футів, які вона могла б використовувати для покриття підлоги у ванній кімнаті. Напишіть довжини сторін (в футах) квадратних плиток.
Наклейки. Щоб відсвяткувати перший день весни, Лін ставить наклейки на деякі з 100 шафок уздовж однієї сторони коридору своєї середньої школи. Вона кладе наклейку на скейтборд на кожен 4-й шафка (починаючи з шафки 4), а на кожен 5-й шафка наклейку кайта (починаючи з шафки 5).
1. Назвіть три шафки, які отримають обидві наклейки.
2. Після того, як Лін пробирається вниз по залу, чи буде 30-й шафка не матиме наклейок, 1 наклейки або 2 наклейки? Поясніть, як ви знаєте.
Комплекти. Шкільна медсестра збирає аптечки для вчителів. У неї 75 пов'язок і 90 пастилок для горла. Всі комплекти повинні мати однакову кількість кожного запасу, і всі витратні матеріали повинні бути використані.
1. Яку найбільшу кількість наборів може зробити медсестра?
2. Скільки бинтів і пастилок буде в кожному комплекті?
Яка математична робота була задіяна в кожній з попередніх задач? Поставте галочку, щоб показати, про що йшли питання.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
проблема	знаходження кратних	знаходження найменш загальних кратних	знаходження факторів	знаходження найбільшого спільного фактора
Вечірка
Плитка
Наклейки
Комплекти

Ви готові до більшого?

Ви напевно знаєте, як намалювати п'ятикутну зірку, не піднімаючи олівець. Один із способів зробити це - почати з п'яти точок, розташованих по колу, а потім з'єднати кожну другу точку.

Якщо ви спробуєте те ж саме з шістьма крапками, розташованими по колу, вам доведеться підняти свій олівець. Як тільки ви зробите перший трикутник, вам доведеться знайти порожню крапку і почати процес спочатку. Ваша шестикутна зірка має дві частини, кожна з яких намальована, не піднімаючи олівця.

З дванадцятьма крапками, розташованими по колу, ми можемо зробити кілька дванадцятикутних зірок.

Почніть з однієї точки і з'єднайте кожну другу точку, як якщо б ви малювали п'ятикутну зірку. Чи можете ви намалювати дванадцятикутну зірку, не піднімаючи олівець? Якщо ні, то скільки штук має дванадцятикутна зірка?

Цього разу з'єднайте кожну третю точку. Чи можете ви намалювати цю дванадцятикутну зірку, не піднімаючи олівець? Якщо ні, то скільки штук ви отримуєте?

Як ви думаєте, що станеться, якщо з'єднати кожну четверту крапку? Спробуйте. Скільки штук ви отримуєте?

Як ви думаєте, чи є спосіб намалювати дванадцятикутну зірку, не піднімаючи олівець? Спробуйте.

Тепер досліджуйте восьмикутні зірки, дев'ятикутні зірки та десятикутні зірки. Які закономірності ви помічаєте?

Вправа\(\PageIndex{3}\): More Factors and Multiples

Ось ще п'ять проблем. Прочитайте та обговоріть кожен з них зі своєю групою. Не вирішуючи, передбачте, чи кожна проблема включає пошук загальних кратних або пошук загальних факторів. Обведіть один або кілька варіантів, щоб показати свій прогноз.

Футбол. Дієго і Андре обидва в літній футбольній лізі. Протягом серпня, Дієго має гру кожен 3-й день, починаючи з 3 серпня, а Андре має гру кожен 4-й день, починаючи з 4 серпня.

загальні кратні
найменш поширене кратне
загальні фактори
найбільший загальний фактор

Яке перше побачення обидва хлопчики матимуть гру?
Скільки їх ігор припадає на одну дату?

Виступи. Під час фестивалю виконавських мистецтв учні початкових та середніх шкіл будуть згруповані разом для різних виступів. Є 32 учні початкової та 40 учнів середньої школи. Художній директор хоче однакових груп для виступів, з учнями обох шкіл у кожній групі. Кожен учень може бути частиною тільки однієї групи.

загальні кратні
найменш поширене кратне
загальні фактори
найбільший загальний фактор

Назвіть всі можливі угруповання.
Яка найбільша кількість груп, які можуть бути сформовані? Скільки учнів початкової школи і скільки учнів середньої школи буде в кожній групі?

Світло. Існує рядок святкових вогнів з червоними, золотими та синіми вогнями. Червоні вогні налаштовані на блимання кожні 12 секунд, золоті вогні налаштовані на блимання кожні 8 секунд, а сині вогні налаштовані на блимання кожні 6 секунд. Світло працює на автоматичному таймері, який запускається щодня о 19:00 і зупиняється опівночі.

загальні кратні
найменш поширене кратне
загальні фактори
найбільший загальний фактор

Через скільки часу з усіма 3 вогнями блимають в той же час?
Скільки разів це станеться за один день?

Банери. Ной має два шматки тканини. Він робить квадратні банери для студентів, щоб провести під час гри в день відкриття. Один шматок тканини шириною 72 дюйма. Інший шириною 90 дюймів. Він хоче використовувати все полотно, причому кожен квадратний банер повинен бути однакової ширини і якомога ширше.

загальні кратні
найменш поширене кратне
загальні фактори
найбільший загальний фактор

Наскільки широко він повинен різати банери?
Скільки банерів він може вирізати?

Танцюристи. На танцювальному концерті Олени її виступ починається з лінії з 48 танцюристів, які виступають у темряві з чорним світлом, що висвітлює білий одяг. Всі 48 танцюристів виходять на сцену по прямій лінії. Кожен 3-й танцюрист носить білу пов'язку на голову, кожен 5-й танцюрист носить білий пояс, а кожен 9-й танцюрист носить набір білих рукавичок.

загальні кратні
найменш поширене кратне
загальні фактори
найбільший загальний фактор

Якщо Олена 30-а танцівниця, які аксесуари вона буде носити?
Чи буде хтось із танцюристів носити всі 3 аксесуари? Якщо так, то який з них?
Скільки кожного аксесуара потрібно буде замовити вчителю танців?

Ваш викладач призначить вашій групі проблему. Працюйте зі своєю групою, щоб вирішити проблему. Покажіть свої міркування. Пауза тут, щоб ваш викладач міг переглянути вашу роботу.
Працюйте зі своєю групою, щоб створити візуальний дисплей, який включає діаграму, рівняння та словникове слово з математики, яке допоможе пояснити ваше математичне мислення під час вирішення проблеми.
Підготуйте коротку презентацію, в якій беруть участь всі учасники групи. Ваша презентація повинна включати в себе: задачу (читати вголос), прогноз вашої групи про те, яке математичне поняття бере участь у проблемі, і пояснення кожного етапу процесу розв'язання.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Factors and Multiples Bingo

Ваш вчитель пояснить напрямки для гри в бінго. Ось деякі речі, про які слід пам'ятати:

Поділіться однією дошкою бінго та деякими фішками для бінго з партнером.
Щоб грати в гру, ваш вчитель буде читати висловлювання вголос. Ви можете допомогти один одному вирішити, які цифри підходять для кожного твердження, але говорити тільки пошепки. Якщо вчитель чує що-небудь вище шепоту, ви поза.
Перша особа, яка зателефонує бінго, повинна зателефонувати кожному номеру та визначити твердження, якому він відповідає. Якщо є помилка в ідентифікації заяв, цей гравець виходить і раунд триває.

Удачі, і отримуйте задоволення!

Резюме

Якщо завдання вимагає ділення двох цілих чисел на одне і те ж ціле число, її вирішення передбачає пошук спільного фактора. Якщо потрібно знайти найбільше число, яке можна розділити на два цілих числа, ми шукаємо найбільший спільний фактор.

Припустимо, у нас є 12 бубликів та 18 кексів, і ми хочемо зробити сумки, щоб кожна сумка мала однакову комбінацію бубликів та кексів. Загальні фактори 12 та 18 говорять нам про можливу кількість мішків, які можна виготовити.

Загальними факторами 18 є 1, 2, 3 і 6. Для цих чисел мішків, ось кількість бубликів і кексів на мішок.

1 мішок: 12 бубликів і 18 кексів
2 пакети: 6 бубликів і 9 кексів
3 пакетика: 4 бублики та 6 кексів
6 пакетиків: 2 бублика і 3 кекси

Ми бачимо, що найбільша кількість сумок, які можна виготовити, 6, є найбільшим загальним фактором.

Якщо проблема вимагає пошуку числа, кратного двом заданих чисел, її вирішення передбачає пошук спільного кратного. Якщо потрібно знайти перший екземпляр, два числа мають спільне кратне, ми шукаємо найменш загальне кратне.

Припустимо, вилки продаються в коробках по 9, а ложки продаються в коробках по 15, а ми хочемо купити рівну кількість кожної. Кратні 9 говорять нам, скільки вилок ми могли б придбати, а кратні 15 говорять нам, скільки ложок ми могли б придбати, як показано тут.

Вила: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 90.
Ложок: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

Якщо ми хочемо стільки виделок, скільки ложок, наші варіанти - 45, 90, 135 тощо, але найменша кількість посуду, яку ми могли б придбати, - 45, найменш поширена кратна. Це означає купити 5 коробок вилок (\(5\cdot 9=45\)) і 3 коробки ложок (\(3\cdot 15=45\)).

Записи глосарію

Визначення: Загальний фактор

Загальний множник двох чисел - це число, яке ділиться рівномірно на обидва числа. Наприклад, 5 є загальним фактором 15 і 20, тому що\(15\div 5=3\) і\(20\div 5=4\). Обидва частки, 3 і 4, є цілими числами.

Факторами 15 є 1, 3, 5 і 15.
Факторами 20 є 1, 2, 4, 5, 10 і 20.

Визначення: Спільне множинне

Загальне кратне двох чисел - це твір, який ви можете отримати, помноживши кожне з двох чисел на деяке ціле число. Наприклад, 30 є загальним кратним 3 і 5, тому що\(3\cdot 10=30\) і\(5\cdot 6=30\). Обидва фактори, 10 і 6, є цілими числами.

Кратні 3 - 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33.
Кратні 5 - 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

Загальні кратні 3 і 5 - 15, 30, 45, 60.

Визначення: Найбільший спільний фактор

Найбільший спільний множник двох чисел - це найбільше число, яке ділиться рівномірно на обидва числа. Іноді ми називаємо це GCF. Наприклад, 15 - найбільший загальний фактор 45 і 60.

Факторами 45 є 1, 3, 5, 9, 15 і 45.
Факторами 60 є 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60.

Визначення: Найменш поширене кратне

Найменш поширене кратне двох чисел - це найменший добуток, який ви можете отримати, помноживши кожне з двох чисел на деяке ціле число. Іноді ми називаємо це LCM. Наприклад, 30 є найменш поширеним кратним 6 і 10.

Кратні 6 - 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.
Кратні 10 - 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Май, Клер і Ной роблять знаки для реклами шкільного танцю. Щоб завершити знак, потрібно 6 хвилин, щоб завершити знак, Клер займає 8 хвилин, а Ной займає 5 хвилин, щоб завершити знак. Вони продовжують працювати з однаковою швидкістю протягом півгодини.

Чи будуть Мі і Клер завершити знак одночасно? Поясніть свої міркування.
Чи виконають Май і Ной знак одночасно? Поясніть свої міркування.
Чи виконають Клер і Ной знак одночасно? Поясніть свої міркування.
Чи всі троє студентів завершать табличку одночасно? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Дієго має 48 шоколадних печива, 64 ванільних печива, і 100 ізюм печиво для продажу випічки. Він хоче зробити мішки, які мають всі три смаки печива і однакову кількість кожного аромату на мішок.

Скільки мішків він може зробити, не залишивши печива?
Знайдіть інше рішення цієї проблеми.

(З блоку 7.4.1)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайдіть товар 12 і 8.
Знайдіть найбільший спільний коефіцієнт 12 і 8.
Знайдіть найменш поширене кратне 12 і 8.
Знайдіть добуток найбільшого спільного фактора і найменш спільного кратного 12 і 8.
Що ви помічаєте з приводу відповідей на питання 1 і питання 4?
Виберіть 2 інших числа і повторіть попередні кроки. Чи отримуєте ви однакові результати?

Вправа\(\PageIndex{8}\)

З огляду на точку\((5.5,-7)\), назвіть другу точку так, щоб дві точки утворювали вертикальний відрізок. Яка довжина відрізка?
З огляду на точку\((3,3.5)\), назвіть другу точку так, щоб дві точки утворювали горизонтальний відрізок. Яка довжина відрізка?

(Від блоку 7.3.1)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Знайти значення кожного виразу подумки.

\(\frac{1}{2}\cdot 37-\frac{1}{2}\cdot 7\)
\(3.5\cdot 40+3.5\cdot 60\)
\(999\cdot 5\)

(Від блоку 6.2.4)