8: Назад до серії Power
- Page ID
- 62467
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 8.1: Рівномірна конвергенція
- Тепер ми повернемо нашу увагу на питання, яке спочатку мотивувало ці визначення: «Чому серії Тейлора добре поводяться, але серії Фур'є не обов'язково?» Точніше, ми згадували, що всякий раз, коли силовий ряд сходиться, то все, до чого він сходився, було безперервним. Більше того, якщо ми розрізняємо або інтегруємо ці ряди за терміном, то отриманий ряд буде сходитися з похідною або інтегралом початкового ряду. Так було не завжди для рядів Фур'є.
- 8.2: Рівномірна збіжність - інтеграли та похідні
- У попередньому розділі ми бачили, що якщо f (n) є послідовністю неперервних функцій, яка рівномірно сходиться до f на інтервалі, то f повинен бути безперервним і на інтервалі. Це не обов'язково було вірно, якщо збіжність була лише точковою, оскільки ми бачили послідовність неперервних функцій, визначених на (−∞, ∞), що збігаються точково до ряду Фур'є, який не був безперервним на дійсній прямій. Рівномірна конвергенція гарантує і деякі інші приємні властивості.
- 8.3: Радіус збіжності степеневого ряду
- Ми розробили достатньо машин, щоб подивитися на конвергенцію силових рядів.
- 8.4: Граничні питання та теорема Абеля
- Інтеграції, які ми виконали в главі 2, є законними завдяки теоремі Абеля, яка розширює рівномірну збіжність до кінцевих точок інтервалу збіжності, навіть якщо збіжність в кінцевій точці є лише умовною. Авель не використовував термін рівномірна конвергенція, оскільки він ще не був визначений, але ідеї, що беруть участь, є його.
Мініатюра: Нільс Хенрік Абель. (суспільне надбання).