7: Проміжні та екстремальні значення
- 7.1: Повнота системи дійсних чисел
- Нагадаємо, що при отриманні форм залишку Лагранжа та Коші для рядів Тейлора ми використовували теорему про екстремальні значення (EVT) та теорему проміжних значень (IVT). У главі 6 ми створили аналітичне визначення безперервності, яке ми можемо використовувати для доведення цих теорем. Щоб забезпечити решту необхідних інструментів, нам потрібно вивчити склад реальної системи числення.
- 7.2: Доказ теореми про проміжні значення
- Теорема проміжних значень стверджує, що якщо безперервна функція f з інтервалом, [a, b], як її область, приймає значення f (a) і f (b) на кожному кінці інтервалу, то вона також приймає будь-яке значення між f (a) і f (b) в деякій точці інтервалу. Тепер у нас є всі інструменти для доведення теореми про проміжні значення.
- 7.3: Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- Теорема Больцано—Вейєрштрасса є фундаментальним результатом збіжності у скінченновимірному евклідовому просторі Rn. Теорема стверджує, що кожна обмежена послідовність в Rn має збіжну підпослідовність. Еквівалентна формулювання полягає в тому, що підмножина Rn послідовно компактна тоді і лише тоді, коли вона замкнута та обмежена.
- 7.4: Супремум та теорема про екстремальне значення
- Неперервна функція на замкнутому обмеженому інтервалі повинна бути обмежена. Обмеженість, сама по собі, не забезпечує існування максимуму або мінімуму. У нас також повинен бути замкнутий обмежений інтервал.
Мініатюра: Бернард Больцано. (Громадське надбання).