4: Нескінченні послідовності та серії
- Page ID
- 62597
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ розглядаються нескінченні послідовності та ряди констант і функцій дійсної змінної.
- РОЗДІЛ 4.1 вводить нескінченні послідовності дійсних чисел. Визначено поняття межі послідовності, як і поняття розбіжності послідовності до\(\pm\infty\). Обговорюються обмежені послідовності та монотонні послідовності. Визначено граничну нижчу та граничну вищу послідовності. Доведено критерій збіжності Коші для послідовностей дійсних чисел.
- РОЗДІЛ 4.2 визначає підпослідовність нескінченної послідовності. Ми показуємо, що якщо послідовність сходиться до межі або розходиться до\(\pm\infty\), то так роблять всі підпослідовності послідовності. Граничні точки та обмеженість множини дійсних чисел обговорюються в терміні послідовностей членів множини. Неперервність і обмеженість функції обговорюються в терміні значень функції в послідовності точок її області.
- РОЗДІЛ 4.3 вводить поняття конвергенції та розбіжності\(\pm\infty\) для нескінченних рядів констант. Доведено критерій збіжності Коші для ряду констант. У зв'язку з низкою позитивних членів ми розглядаємо тест порівняння, інтегральний тест, тест співвідношення та тест Раабе. Для загальних рядів розглянуто абсолютну та умовну збіжність, тест Діріхле, перестановку членів та множення одного нескінченного ряду на інший.
- РОЗДІЛ 4.4 стосується точкової та рівномірної збіжності послідовностей та рядів функцій. Доведено рівномірні критерії збіжності Коші для послідовностей та рядів, як і тест Діріхле на рівномірну збіжність ряду. Наведено достатні умови для того, щоб межа послідовності функцій або сума нескінченного ряду функцій була неперервною, інтегровною або диференційовною.
- РОЗДІЛ 4.5 розглядає силові ряди. Показано, що степеневий ряд, який сходиться на відкритому інтервалі, визначає нескінченно диференційовну функцію на цьому інтервалі. Визначено ряд Тейлора нескінченно диференційовної функції та наведено достатні умови для зближення ряду Тейлора до функції на деякому інтервалі. Обговорюються арифметичні операції з степеневими рядами.