6.6: темп

Інтеграл Рімана - Штілтьєса

FIXME: нам потрібно було б переробити купу речей з інтеграла Riemann. Можливо, корисно, але ті відсутні нижче, і начебто зробити це все більше і більше поза сферою книги.

Загальним корисним узагальненням інтеграла Рімана є інтеграл Рімана — Штілтьєса ¹. Якщо ми думаємо про інтеграл Рімана як про суму, де всі члени зважуються однаково, природно, що ми можемо захотіти зробити зважену суму. Тобто ми, можливо, побажаємо надати деяким пунктам «більшу вагу», ніж іншим пунктам. Конкретний простий приклад того, що ми могли б хотіти досягти є інтеграл, який оцінює функцію в точці. Можливо, ви бачили цю концепцію у своєму класі обчислення як дельта-функцію.

Ми знову визначимо цей інтеграл, використовуючи підхід Дарбу для простоти.

$f \colon [a,b] \to \R$Дозволяти бути обмеженою функцією і нехай$\alpha \colon [a,b] \to \R$ бути монотонна зростаюча функція. Дозволяти$P$ бути розділом$[a,b]$, потім визначити\ [\ begin {вирівняний} & m_i: =\ inf\ {f (x): x_ {i-1}\ leq x\ leq x_i\},\\ & m_i: =\ sup\ {f (x): x_ {i-1}\ leq x\ leq x_i\},\\ & L (P, f,\ альфа) := \ sum_ {i=1} ^n m_i\ bigl (\ альфа (x_i) -\ альфа (x_ {i-1})\ великий),\\ & U ( P, f,\ альфа) := \ sum_ {i=1} ^n m_i\ bigl (\ альфа (x_i) -\ альфа (x_ {i-1})\ бігр). \ end {aligned}\]$L(P,f,\alpha)$ $U(P,f,\alpha)$Викликаємо і. Потім визначте\ [\ begin {вирівняний} &\ підкреслення {\ int_a^b} f~d\ альфа: =\ sup\ {L (P, f,\ альфа): P\ text { розділ $ [a, b] $}\},\\ &\ overline {\ int_a^b} f~d\ alpha: =\ inf\ {U (P, f,\ alpha): P\ text { розділ $ [a, b] $}\}. \ end {aligned}\] І ми$\underline{\int}$$\overline{\int}$ називаємо і. Нарешті, якщо

$$\underline{\int_a^b} f~d\alpha = \overline{\int_a^b} f~d\alpha .$$ Тоді ми говоримо, що$f$ це стосовно$\alpha$.

Коли нам потрібно вказати змінну інтеграції, ми можемо написати

$$\int_a^b f(x) ~d\alpha(x) .$$

Коли ми$\alpha(x) := x$ встановимо, ми відновлюємо інтеграл Рімана. Позначення$d\alpha$ передбачає похідну, в цьому випадку$\alpha'(x) = 1$ і, як ми вже говорили, інтеграл Рімана - це коли всі точки зважуються однаково.

Якщо$\alpha(x) := x$, то обмежена функція$f \colon [a,b] \to \R$ є інтегровною Рімана тоді і тільки тоді, коли вона є інтегровною по Ріманна-Стілтьєсу відносно$\alpha$. В даному випадку

$$\int_a^b f = \int_a^b f~d\alpha .$$

Просто$\alpha(x) = x$ підключіть до визначення і зверніть увагу, що визначення тепер точно таке ж, як для інтеграла Рімана.

Припустимо, що$f \colon [a,b] \to \R$ це безперервно. Задано$c \in (a,b)$, нехай\ [\ альфа (x) := \ begin {випадки} 1 &\ text {якщо $x\ geq c$,}\\ 0 &\ text {якщо $x < c$.} \ end {cases}\] Ми стверджуємо,$f$ що Riemann-Stieltjes диференційований відносно$\alpha$ і що

$$\int_a^b f~d\alpha = f(c) .$$

Доказ: Дано$\epsilon > 0$ взяти$\delta > 0$ таке, що$\abs{f(x)-f(c)} < \epsilon$ для всіх$x \in [a,b]$ с$\abs{x-c} < \delta$. Візьмемо розділ\ (P =\ {a, c-\ дельта, c+\ дельта, b\}\). Потім\ [\ почати {спліт} L (P, f,\ альфа) & = m_1\ bigl (\ альфа (c-\ дельта) -\ альфа (a)\ bigr) + m_2\ bigl (\ альфа (c+\ дельта) -\ альфа (c-\ дельта)\ bigr) + m_3\ bigl (\ альфа (b) -\ альфа (c+\ дельта)) \ великий)\\ & = m_2\ bigl (1 - 0) = m_2 =\ inf\ {f (x): х\ in [c-\ дельта, с+\ дельта] \} \\ & > f (c) -\ епсилон. \ end {split}\] Аналогічно$U(P,f,\alpha) < f(c)+\epsilon$. Тому

$$U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) < 2 \epsilon .$$

Поняття про інтеграбельність дійсно залежить від$\alpha$. Для дуже тривіального прикладу неважко побачити, що якщо$\alpha(x) = 0$, то всі обмежені функції$f$ на$[a,b]$ інтегруються щодо цього$\alpha$ і

$$\int_a^b f~d \alpha = 0.$$

$\alpha$Це дуже приємно, ми можемо відновити інтеграл Ріманна-Штієса, використовуючи інтеграл Рімана.

Припустимо, що$f \colon [a,b] \to \R$ це інтегровна Рімана і$\alpha \colon [a,b] \to \R$ є постійно диференційованою зростаючою функцією. Тоді$f$ є Rieman-Stieltjes інтегрується стосовно$\alpha$ і

$$\int_a^b f(x)~d\alpha(x) = \int_a^b f(x) \alpha'(x)~dx .$$

ФІКСУВАТИ

Вправи

Безпосередньо з визначення інтеграла Ріманна-Стілтьеса доводять$p \geq 0$, що якщо$\alpha(x) = px$ для деяких, то If$f$ є інтегровним Ріманом, то він є інтегровним по відношенню до$\alpha$ і$p \int_a^b f = \int_a^b f~d\alpha$.

$\beta \colon [a,b] \to \R$Дозволяти$\alpha \colon [a,b] \to \R$ і бути збільшення функцій і припустимо, що$\alpha(x) = \beta(x) + C$ для деякої константи$C$. Якщо$f \colon [a,b] \to \R$ інтегрується по відношенню до$\alpha$, показати, що він інтегрується по відношенню до$\beta$ і$\int_a^b f~d\alpha = \int_a^b f~d\beta$.

---

1. Названий на честь... ↩