Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Основні властивості

Вступ

Про цю книгу

Ця книга є односеместровим курсом з базового аналізу. Він почав своє життя як мої конспекти лекцій для викладання математики 444 в Університеті штату Іллінойс в Урбана-Шампейн (UIUC) в осінньому семестрі 2009 року. Пізніше я додав розділ метричного простору, щоб викладати математику 521 в Університеті Вісконсин-Медісон (UW). Обов'язковою умовою цього курсу є базовий доказ курсу, використовуючи, наприклад, або.

Повинна бути можливість використовувати книгу як для базового курсу для студентів, які не обов'язково хочуть йти до аспірантури (наприклад, UIUC 444), а також як більш просунутий односеместровий курс, який також охоплює такі теми, як метричні простори (наприклад, UW 521). Ось мої пропозиції щодо того, що покрити в семестровому курсі. Для більш повільного курсу, такого як UIUC 444:

§0.3, §1.1—§1.4, §2.1—§2.5, §3.1—§3.4, §4.1—§4.2, §5.1—§5.3, §6.1-§6.3

Для більш суворого курсу, що охоплює метричні простори, який працює трохи швидше (наприклад, UW 521):

§0.3, §1.1—§1.4, §2.1—§2.5, §3.1—§3.4, §4.1—§4.2, §5.1—§5.3, §6.1—§6.2, §7.1—§7.6

Також має бути можливим запустити більш швидкий курс без метричних пробілів, що охоплюють всі розділи глав від 0 до 6. Приблизна кількість лекцій, прочитаних у розділі примітки через главу 6, є дуже приблизною оцінкою і були розроблені для більш повільного курсу. Перші кілька розділів книги можуть бути використані у вступному курсі доказів, як це, наприклад, зроблено в Університеті штату Айова Математика 201, де ця книга використовується разом з книгою доказів Хаммака.

Книга, яка зазвичай використовується для класу в UIUC, - це Бартл і Шерберт, Вступ до реального аналізу третє видання. Структура початку книги дещо відповідає стандартній програмі UIUC Math 444 і тому має деяку схожість з. Основна відмінність полягає в тому, що ми визначаємо інтеграл Рімана, використовуючи суми Дарбу, а не розділи з тегами. Підхід Дарбу набагато більш підходить для курсу цього рівня.

Наш підхід дозволяє нам вписати такий курс, як UIUC 444 протягом семестру і все ж витратити деякий додатковий час на обмін меж і закінчити теоремою Пікара про існування та єдиність розв'язків звичайних диференціальних рівнянь. Ця теорема є чудовим прикладом, який використовує багато результатів, доведених у книзі. Для більш просунутих студентів матеріал може бути покритий швидше, так що ми прийдемо до метричних просторів і довести теорему Пікара, використовуючи теорему фіксованої точки, як це зазвичай.

Інші чудові книги існують. Мій улюблений - чудові принципи математичного аналізу Рудіна або, як його зазвичай і любляче називають малюка Рудін (щоб відрізнити його від його іншого великого підручника аналізу). Я взяв багато натхнення та ідей у Рудіна. Однак Рудін трохи більш просунутий і амбітний, ніж цей теперішній курс. Для тих, хто бажає продовжити математику, Рудін - прекрасна інвестиція. Недорога і дещо простіша альтернатива Рудіну - Вступ Розенліхта до аналізу. Існує також вільно завантажуваний Вступ до реального аналізу Вільяма Тренча.

Примітка про стиль деяких доказів: Багато доказів традиційно робляться протиріччям, я вважаю за краще робити прямим доказом або контрапозитивним. Хоча книга включає докази протиріччя, я роблю це лише тоді, коли контрапозитивне твердження здавалося занадто незручним, або коли протиріччя слід досить швидко. На мій погляд, протиріччя швидше втягне початківців студентів в біду, так як мова йде про предмети, яких не існує.

Я намагаюся уникати непотрібного формалізму там, де це не корисно. Крім того, докази та мова стають трохи менш формальними, коли ми просуваємось у книзі, оскільки все більше деталей залишаються поза увагою, щоб уникнути безладу.

Як правило, я використовую:= замість того,= щоб визначити об'єкт, а не просто показати рівність. Я використовую цей символ досить ліберально, ніж зазвичай для акценту. Я використовую його навіть тоді, коли контекст є «локальним», тобто я можу просто визначити функціюf(x):=x2 для однієї вправи або прикладу.

Нарешті, я хотів би визнати Яну Маржикову, Глен П'ю, Пола Войту, Френка Беатуса, Сонмеза Шахутоглу, Джима Брандта, Кенджі Козая та Артура Буша за навчання з книгою та надання мені багато корисних відгуків. Френк Бітроус написав розширення версії Піттсбурзького університету, яка послужила натхненням для багатьох останніх доповнень. Я також хотів би подякувати Ден Стоунхем, Джеремі Саттер, Елія Гветта, Даніель Піментель-Аларкон, Стів Хернінг, Йі Чжан, Ніколь Кавіріс, Крістофер Лі, Баоюе Бі, Ханна Лунд, Тревор Маннелла, Мітчел Мейєр, Грегорі Борегард, Чейз Меадорс, Андреас Джаннопулос, анонімний читач і взагалі на учні в моїх класах для пропозицій і пошуку помилок і помилок.

Про аналіз

Аналіз - це галузь математики, яка займається нерівностями та обмеженнями. У цьому курсі розглядаються найосновніші поняття в аналізі. Мета курсу - ознайомити читача зі строгими доказами в аналізі, а також встановити тверду основу для обчислення однієї змінної.

Обчислення підготувало вас, студент, до використання математики, не кажучи вам, чому те, що ви дізналися, є правдою. Щоб ефективно використовувати або навчати математику, ви не можете просто знати, що є правдою, ви повинні знати, чому це правда. Цей курс показує вам, чому обчислення вірно. Саме тут, щоб дати вам гарне розуміння поняття межі, похідної та інтеграла.

Скористаємося аналогією. Автомеханік, який навчився міняти масло, виправляти зламані фари і заряджати акумулятор, зможе виконувати тільки ті прості завдання. Він не зможе самостійно працювати для діагностики та усунення неполадок. Вчитель середньої школи, який не розуміє визначення інтеграла Рімана або похідної, може не бути в змозі належним чином відповісти на всі запитання учнів. До цього дня я пам'ятаю кілька безглуздих висловлювань, які я чув від свого вчителя обчислення в старших класах, який просто не розумів поняття межі, хоча міг «робити» всі проблеми в обчисленні.

Почнемо з обговорення реальної системи числення, головне її властивості повноти, яке є основою для всього, що приходить після. Потім ми обговорюємо найпростішу форму обмеження, межа послідовності. Після цього вивчаються функції однієї змінної, неперервності та похідної. Далі ми визначимо інтеграл Рімана і доведемо фундаментальну теорему числення. Обговорюються послідовності функцій та обмін лімітами. Нарешті, ми наведемо введення в метричні простори.

Наведемо найважливішу різницю між аналізом і алгеброю. В алгебрі ми доводимо рівності безпосередньо; доведено, що об'єкт, число, можливо, дорівнює іншому об'єкту. При аналізі ми зазвичай доводимо нерівності. Щоб проілюструвати цей момент, розглянемо наступне твердження.

xДозволяти бути дійсним числом. Якщо0x<ϵ вірно для всіх дійсних чиселϵ>0, тоx=0.

Це твердження є загальним уявленням про те, що ми робимо в аналізі. Якщо ми хочемо показати цеx=0, ми показуємо це0x<ϵ для всіх позитивнихϵ.

Термін реальний аналіз є трохи неправильним. Я вважаю за краще використовувати просто аналіз. Інший тип аналізу, комплексний аналіз, дійсно будується на теперішньому матеріалі, а не є різним. Крім того, більш просунутий курс з реального аналізу часто говорив би про складні числа. Підозрюю, що номенклатура - це історичний багаж.

Давайте почнемо з шоу...

Основна теорія множин

Примітка: 1-3 лекції (деякі матеріали можна пропустити або покрити злегка)

Перш ніж ми почнемо говорити про аналіз, нам потрібно виправити якусь мову. Сучасний аналіз 1 використовує мову множин, і тому саме з цього ми починаємо. Ми говоримо про множини досить неформально, використовуючи так звану «теорію наївних множин». Не хвилюйтеся, саме цим користується більшість математиків, і важко потрапити в неприємності.

Ми припускаємо, що читач бачив основну теорію множин і пройшов курс базового написання доказів. Цей розділ слід розглядати як перепідготовку.

Набори

Набір - це сукупність об'єктів, які називаються елементами або членами. Множина без об'єктів називається порожньою множиною і позначається (або іноді є{}).

Подумайте про набір як про клуб з певним членством. Наприклад, учні, які грають в шахи, є членами шахового клубу. Однак не варто брати аналогію занадто далеко. Набір визначається лише членами, що утворюють множину; два набори, які мають однакові члени, є однаковими.

Велику частину часу ми будемо розглядати набори чисел. Наприклад, множинаS:={0,1,2} - це множина, що містить три елементи 0, 1 і 2. Пишемо,1S щоб позначити, що число 1 належить до безлічіS. Тобто 1 є членомS. Аналогічно пишемо,7S щоб позначити, що числа 7 немає вS. Тобто 7 не є членомS. Елементи всіх розглянутих множин походять з якогось набору, який ми називаємо Всесвітом. Для простоти ми часто вважаємо Всесвіт сукупністю, яка містить тільки ті елементи, які нас цікавлять. Всесвіт, як правило, розуміється з контексту і не згадується прямо. У цьому курсі наш Всесвіт найчастіше буде сукупністю дійсних чисел.

Хоча елементи множини часто є числами, інші об'єкти, такі як інші множини, можуть бути елементами набору. Набір також може містити деякі з тих самих елементів, що й інший набір. Наприклад,T:={0,2} містить цифри 0 і 2. У цьому випадку всі елементиT також належать доS. ПишемоTS. Більш формально зробимо наступне визначення.

  1. НабірA є підмножиною множини,B якщоxA має на увазіxB, і ми пишемоAB. Тобто всі члени такожA є членамиB.
  2. ДвіAB множини і рівні, якщоAB іBA. ПишемоA=B. ТобтоA іB містять точно такі ж елементи. Якщо не правда, щоA іB рівні, то пишемоAB.
  3. НабірA є належним підмножиноюB ifAB іAB. ПишемоA.

Наприклад, дляS іT визначено вищеT \subset S, алеT \not= S. ТакT є належним підмножиноюS. ЯкщоA = B, тоA іB просто два імена для одного і того ж точного набору. Згадаймо множинні позначення будівлі,\{ x \in A : P(x) \} . Це позначення відноситься до підмножини множини,A що містить всі елементиA, які задовольняють властивістьP(x). Позначення іноді скорочується, неA згадується, коли розуміється з контексту. Крім того,x \in A іноді замінюється формулою, щоб полегшити читання позначення.

Нижче наведені набори, включаючи стандартні позначення.

  1. Безліч натуральних чисел,{\mathbb{N}}:= \{ 1, 2, 3, \ldots \}.
  2. Множина цілих чисел,{\mathbb{Z}}:= \{ 0, -1, 1, -2, 2, \ldots \}.
  3. Набір раціональних чисел,{\mathbb{Q}}:= \{ \frac{m}{n} : m, n \in {\mathbb{Z}} \text{ and } n \not= 0 \}.
  4. Безліч парних натуральних чисел,\{ 2m : m \in {\mathbb{N}}\}.
  5. Безліч дійсних чисел,{\mathbb{R}}.

Зауважте, що{\mathbb{N}}\subset {\mathbb{Z}}\subset {\mathbb{Q}}\subset {\mathbb{R}}.

Є багато операцій, які ми хочемо зробити з наборами.

  1. Об'єднання двох множинA іB визначається якA \cup B := \{ x : x \in A \text{ or } x \in B \} .
  2. Перетин двох множинA іB визначається якA \cap B := \{ x : x \in A \text{ and } x \in B \} .
  3. ДоповненняB відносноA (або множинно-теоретичної різниціA іB) визначається якA \setminus B := \{ x : x \in A \text{ and } x \notin B \} .
  4. Ми говоримо, що доповненняB і писатиB^c замість того,A \setminus B якщо набірA є або весь Всесвіт, або є очевидним наборомB, що містить, і розуміється з контексту.
  5. Ми говоримо множиниA іB розмежовуються, якщоA \cap B = \emptyset.

У цей момент позначенняB^c може бути трохи розпливчастим. Якщо множинаB є підмножиною дійсних чисел{\mathbb{R}}, тоB^c значить{\mathbb{R}}\setminus B. Якщо природноB є підмножиною натуральних чисел, тоB^c є{\mathbb{N}}\setminus B. Якщо неоднозначність коли-небудь виникне, ми будемо використовувати множинні позначення різниціA \setminus B.

Проілюструємо операції на діаграмах Венна в. Давайте тепер встановимо одну з найбільш основних теорем про множини і логіку.

НехайA, B, C будуть набори. Тоді\begin{aligned} {(B \cup C)}^c &= B^c \cap C^c , \\ {(B \cap C)}^c &= B^c \cup C^c ,\end{aligned} або, якщо говорити загалом,\begin{aligned} A \setminus (B \cup C) &= (A \setminus B) \cap (A \setminus C) , \\ A \setminus (B \cap C) &= (A \setminus B) \cup (A \setminus C) .\end{aligned}

Перше твердження доведено другим твердженням, якщо припустити, що множинаA - це наш «Всесвіт».

ДоведемоA \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C). Пам'ятайте про визначення рівності множин. По-перше, ми повинні показати, що якщоx \in A \setminus (B \cup C), тоx \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C). По-друге, ми також повинні показати, що якщоx \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C), тоx \in A \setminus (B \cup C).

Отже, припустимоx \in A \setminus (B \cup C). Тодіx знаходиться вA, але не вB ніC. Звідсиx є вB,A а не в, тобтоx \in A \setminus B. Аналогічноx \in A \setminus C. Таким чиномx \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C).

З іншого боку припустимоx \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C). Зокремаx \in (A \setminus B), такx \in A іx \notin B. Теж якx \in (A \setminus C), тоx \notin C. Звідсиx \in A \setminus (B \cup C).

Доказ іншої рівності залишають як вправу.

Нам також потрібно буде перетинати або об'єднати відразу кілька наборів. Якщо їх тільки скінченно багато, то просто кілька разів застосовуємо операцію союзу або перетину. Однак припустимо, що у нас є нескінченна колекція множин (набір наборів)\{ A_1, A_2, A_3, \ldots \}. визначаємо\begin{aligned} & \bigcup_{n=1}^\infty A_n := \{ x : x \in A_n \text{ for some $n \in {\mathbb{N}}$} \} , \\ & \bigcap_{n=1}^\infty A_n := \{ x : x \in A_n \text{ for all $n \in {\mathbb{N}}$} \} .\end{aligned}

Ми також можемо мати множини, проіндексовані двома цілими числами. Наприклад, ми можемо мати набір наборів\{ A_{1,1}, A_{1,2}, A_{2,1}, A_{1,3}, A_{2,2}, A_{3,1}, \ldots \}. Потім пишемо\bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{m=1}^\infty A_{n,m} = \bigcup_{n=1}^\infty \left( \bigcup_{m=1}^\infty A_{n,m} \right) . І аналогічно з перехрестями.

Неважко помітити, що ми можемо приймати профспілки в будь-якому порядку. Однак перемикання порядку об'єднань і перетинів, як правило, не допускається без доказів. Наприклад:\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=1}^\infty \{ k \in {\mathbb{N}}: mk < n \} = \bigcup_{n=1}^\infty \emptyset = \emptyset . Однак,\bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{n=1}^\infty \{ k \in {\mathbb{N}}: mk < n \} = \bigcap_{m=1}^\infty {\mathbb{N}} = {\mathbb{N}}.

Іноді набір індексів не є натуральними числами. В даному випадку нам знадобляться більш загальні позначення. Припустимо,I є якийсь набір і для кожного\iota \in I, у нас є набірA_\iota. Потім визначаємо\bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{ x : x \in A_\iota \text{ for some $\iota \in I$} \} \qquad \bigcap_{\iota \in I} A_\iota := \{ x : x \in A_\iota \text{ for all $\iota \in I$} \} .

Індукційні

Коли твердження включає в себе довільне натуральне число, поширеним методом доказування є принцип індукції. Ми починаємо з набору натуральних чисел{\mathbb{N}}= \{ 1,2,3,\ldots \}, і ми даємо їм їх природне впорядкування, тобто1 < 2 < 3 < 4 < \cdots. S \subset {\mathbb{N}}Маючи найменший елемент, ми маємо на увазі, що існує такийx \in S, що для кожногоy \in S, у нас єx \leq y.

Натуральні числа,{\mathbb{N}} впорядковані природним способом, мають так звану властивість порядку добре. Ми сприймаємо цю властивість як аксіому; ми просто припускаємо, що це правда.

Кожна непорожня підмножина{\mathbb{N}} має найменший (найменший) елемент.

Принцип індукції полягає в наступній теоремі, яка еквівалентна властивості впорядкування свердловин натуральних чисел.

[induction: thm]P(n) Дозволяти бути твердженням залежно від натурального числаn. Припустимо, що

  1. (підставу твердження)P(1) вірно,
  2. (крок індукції) якщоP(n) істинно, тоP(n+1) є істинним.

ТодіP(n) вірно для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Припустимо,S це набір натуральних чисел,m для яких неP(m) відповідає дійсності. SПрипустимо, непорожній. ТодіS має найменший елемент властивістю порядку свердловини. Назвемоm найменший елементS. Ми знаємо1 \notin S за припущенням. Томуm > 1 іm-1 є натуральним числом. Оскількиm був найменшим елементомS, ми знаємо, щоP(m-1) це правда. Але індукційним кроком ми бачимо, щоP(m-1+1) = P(m) це правда, суперечить твердженню, щоm \in S. ТомуS порожній іP(n) вірний для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Іноді зручно починати з іншого числа, ніж 1, але все, що змінюється, - це маркування. Припущення,P(n) яке вірно в «якщоP(n) вірно, тоP(n+1) істинно», зазвичай називають індукційною гіпотезою.

Доведемо, що для всіхn \in {\mathbb{N}},2^{n-1} \leq n! . Ми дозволимоP(n) бути твердженням, яке2^{n-1} \leq n! є істинним. Підключившисьn=1, ми бачимо, щоP(1) це правда.

ПрипустимоP(n), це правда. Тобто, припустимо,2^{n-1} \leq n! тримає. Помножте обидві сторони на 2, щоб отримати2^n \leq 2(n!) . Як2 \leq (n+1) колиn \in {\mathbb{N}}, ми маємо2(n!) \leq (n+1)(n!) = (n+1)!. Тобто,2^n \leq 2(n!) \leq (n+1)!, а значить,P(n+1) вірно. За принципом індукції ми бачимо,P(n) що вірно для всіхn, а значить,2^{n-1} \leq n! вірно для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Ми стверджуємо, що для всіхc \not= 1,1 + c + c^2 + \cdots + c^n = \frac{1-c^{n+1}}{1-c} .

Доказ: Легко перевірити, чи тримається рівнянняn=1. Припустимо, це вірно дляn. Тоді\begin{split} 1 + c + c^2 + \cdots + c^n + c^{n+1} & = ( 1 + c + c^2 + \cdots + c^n ) + c^{n+1} \\ & = \frac{1-c^{n+1}}{1-c} + c^{n+1} \\ & = \frac{1-c^{n+1} + (1-c)c^{n+1}}{1-c} \\ & = \frac{1-c^{n+2}}{1-c} . \end{split}

Існує еквівалентний принцип, який називається сильною індукцією. Доказ того, що сильна індукція еквівалентна індукції, залишається як вправа.

P(n)Дозволяти бути твердженням в залежності від натурального числаn. Припустимо, що

  1. (підставу твердження)P(1) вірно,
  2. (крок індукції)P(k) якщо вірно для всіхk = 1,2,\ldots,n,P(n+1) то вірно.

ТодіP(n) вірно для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Функції

Неофіційно теоретична множина функція, щоf приймає набірA до множини,B - це відображення, яке кожномуx \in A присвоює унікальнеy \in B. Пишемоf \colon A \to B. Наприклад, ми визначаємо функцію,f \colon S \to T яка приймаєS = \{ 0, 1, 2 \} доT = \{ 0, 2 \} шляхом присвоєнняf(0) := 2f(1) := 2, іf(2) := 0. Тобто функція -f \colon A \to B це чорний ящик, в який ми встромляємо елементA і функція випльовує елементB. Інодіf його називають картографуванням, і ми говоримо проf картиAB.

Часто функції визначаються за якоюсь формулою, однак, ви дійсно повинні думати про функцію як просто дуже велику таблицю значень. Тонка проблема полягає в тому, що одна функція може мати кілька різних формул, всі дають одну і ту ж функцію. Також для багатьох функцій не існує формули, яка виражає її значення.

Щоб чітко визначити функцію, спочатку давайте визначимо декартовий добуток.

НехайA іB будуть набори. Декартовий твір - це сукупність кортежів, визначених якA \times B := \{ (x,y) : x \in A, y \in B \} .

Наприклад, множина[0,1] \times [0,1] - це множина в площині, обмежена квадратом з вершинами(0,0),(0,1),(1,0), і(1,1). КолиA іB є однаковим набором, ми іноді використовуємо верхній індекс 2 для позначення такого твору. Наприклад[0,1]^2 = [0,1] \times [0,1], або{\mathbb{R}}^2 = {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}} (декартова площина).

Функціяf \colon A \to B - це підмножинаfA \times B таких, що для кожноїx \in A, існує своя унікальна(x,y) \in f. Потім ми пишемоf(x) = y. Інодіf множиною називають графіком функції, а не самою функцією.

МножинаA називається доменомf (а іноді і заплутано позначаєтьсяD(f)). НабірR(f) := \{ y \in B : \text{there exists an $x$ such that %$(x,y) \in f$ $f(x)=y$ } \} називається діапазономf.

Зауважте, щоR(f) може бути належним підмножиноюB, тоді як домен завждиf дорівнюєA. Зазвичай ми припускаємо, що доменf непорожній.

З числення ви найбільш знайомі з функціями, що приймають дійсні числа до дійсних чисел. Тим не менш, ви бачили деякі інші типи функцій, а також. Наприклад, похідна - це функція, що відображає множину диференційовних функцій на множину всіх функцій. Іншим прикладом є перетворення Лапласа, яке також приймає функції до функцій. Ще одним прикладом є функція, яка приймає неперервну функцію,g визначену на інтервалі,[0,1] і повертає число\int_0^1 g(x) dx.

f \colon A \to BДозволяти бути функцією, іC \subset A. Визначте зображення (або пряме зображення)C якf(C) := \{ f(x) \in B : x \in C \} . LetD \subset B. Визначте зворотне зображення якf^{-1}(D) := \{ x \in A : f(x) \in D \} .

Визначте функціюf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} поf(x) := \sin(\pi x). Потімf([0,\nicefrac{1}{2}]) = [0,1]f^{-1}(\{0\}) = {\mathbb{Z}}, і т.д...

[st:propinv] Нехайf \colon A \to B. C, DДозволяти бути підмножиниB. Тоді\begin{aligned} & f^{-1}( C \cup D) = f^{-1} (C) \cup f^{-1} (D) , \\ & f^{-1}( C \cap D) = f^{-1} (C) \cap f^{-1} (D) , \\ & f^{-1}( C^c) = {\left( f^{-1} (C) \right)}^c .\end{aligned}

Прочитайте останній рядок якf^{-1}( B \setminus C) = A \setminus f^{-1} (C).

Почнемо з союзу. Припустимоx \in f^{-1}( C \cup D). Це означає, щоx карти вC абоD. Таким чиномf^{-1}( C \cup D) \subset f^{-1} (C) \cup f^{-1} (D). І навпакиx \in f^{-1}(C), якщо, тоx \in f^{-1}(C \cup D). Аналогічно дляx \in f^{-1}(D). Значитьf^{-1}( C \cup D) \supset f^{-1} (C) \cup f^{-1} (D), і ми маємо рівність.

Решта докази залишають як вправу.

Пропозиція не тримається за прямі образи. У нас є наступний слабший результат.

[st:propfor] Нехайf \colon A \to B. C, DДозволяти бути підмножиниA. Тоді\begin{aligned} & f( C \cup D) = f (C) \cup f (D) , \\ & f( C \cap D) \subset f (C) \cap f (D) .\end{aligned}

Доказ залишають як вправу.

f \colon A \to BДозволяти бути функцією. fФункція, як кажуть, ін'єкційна або один-на-один, якщоf(x_1) = f(x_2) мається на увазіx_1 = x_2. Іншими словами, для всіхy \in B безлічf^{-1}(\{y\}) порожній або складається з одного елемента. Називаємо такийf укол.

fФункція, як кажуть, є суб'єктивною або на якщоf(A) = B. Ми називаємоf таке здиркування.

Функціяf, яка є одночасно ін'єкцією і відсмоктуванням, як кажуть, є двооб'єктивною, і ми говоримо, щоf це біекція.

Колиf \colon A \to B це біекція, то завждиf^{-1}(\{y\}) є унікальним елементомA, і ми можемо розглядатиf^{-1} як функціюf^{-1} \colon B \to A. У цьому випадку миf^{-1} викликаємо зворотну функціюf. Наприклад, для біекції,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} визначеної уf(x) := x^3 нас єf^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}.

Завершальним фрагментом позначення функцій, які нам потрібні, є склад функцій.

Нехайf \colon A \to B,g \colon B \to C. Функціяg \circ f \colon A \to C визначається як(g \circ f)(x) := g\bigl(f(x)\bigr) .

Кардинальність

Тонке питання в теорії множин і один породжує значну кількість плутанини серед студентів є те, що кардинальність, або «розмір» наборів. Поняття кардинальності має важливе значення в сучасній математиці загалом і в аналізі зокрема. У цьому розділі ми побачимо першу дійсно несподівану теорему.

НехайA іB будуть набори. Ми говоримоA іB маємо таку ж кардинальність, коли існує біекціяf \colon A \to B. Позначимо\left\lvert {A} \right\rvert класом еквівалентності всіх множин з тією ж кардинальністю, щоA і ми просто\left\lvert {A} \right\rvert називаємо кардинальністьA.

Зауважте, щоA має ту саму кардинальність, що і порожній набір, якщо і тільки тоді, колиA сам є порожнім набором. Потім ми пишемо\left\lvert {A} \right\rvert := 0.

Припустимо,A має таку ж кардинальність, як і\{ 1,2,3,\ldots,n \} для деякихn \in {\mathbb{N}}. Потім ми пишемо\left\lvert {A} \right\rvert := n, і ми говоримо, щоA є кінцевим. КолиA порожній набір, ми також називаємоA скінченним.

Ми говоримоA, що нескінченна або «нескінченна кардинальність»A, якщо не кінцева.

Щоб позначення\left\lvert {A} \right\rvert = n виправдано, ми залишаємо як вправу. Тобто для кожної непорожньої скінченноїA множини існує унікальне натуральне числоn таке, що існує біекція відA до\{ 1,2,3,\ldots,n \}.

У нас можна замовити набори за розміром.

[def:comparecards] Ми пишемо,\left\lvert {A} \right\rvert \leq \left\lvert {B} \right\rvert якщо існує ін'єкція відA доB. Пишемо\left\lvert {A} \right\rvert = \left\lvert {B} \right\rvert якщоA іB маємо однакову кардинальність. Пишемо\left\lvert {A} \right\rvert < \left\lvert {B} \right\rvert якщо\left\lvert {A} \right\rvert \leq \left\lvert {B} \right\rvert, алеA іB не маємо такої ж кардинальності.

Ми заявляємо без доказів, що\left\lvert {A} \right\rvert = \left\lvert {B} \right\rvert мають однакову кардинальність тоді і тільки тоді\left\lvert {A} \right\rvert \leq \left\lvert {B} \right\rvert і\left\lvert {B} \right\rvert \leq \left\lvert {A} \right\rvert. Це так звана теорема Кантора-Бернштейна-Шредера. Крім того, якщоA іB є будь-якими двома множинами, ми завжди можемо написати\left\lvert {A} \right\rvert \leq \left\lvert {B} \right\rvert або\left\lvert {B} \right\rvert \leq \left\lvert {A} \right\rvert. Питання, пов'язані з цим останнім твердженням, дуже тонкі. Оскільки ми не вимагаємо жодного з цих двох тверджень, ми опускаємо докази.

Воістину цікаві випадки кардинальності - це нескінченні множини. Почнемо з наступного визначення.

Якщо\(\left\lvert {A} \right\rvert = \left\lvert

ParseError: invalid DekiScript (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[1]/div[3]/div[4]/p[11]/span[1]/span, line 1, column 1
\right\rvert\),A то, як кажуть, незліченно нескінченно. ЯкщоA є кінцевим або незліченно нескінченним, то ми говоримо, щоA підраховується. ЯкщоA неA підраховується, то, як кажуть, незліченні.

Кардинальність зазвичай{\mathbb{N}} позначається як\aleph_0 (читається як aleph-naught) 2.

Безліч парних натуральних чисел має ту ж кардинальність, що і{\mathbb{N}}. Доказ: З огляду на парне натуральне число, напишіть його як2n для деякихn \in {\mathbb{N}}. Потім створіть біекцію, приймаючи2n доn.

Насправді, згадаємо без доказів наступну характеристику нескінченних множин: множина нескінченна тоді і лише тоді, коли вона перебуває у відповідності один до одного з належною підмножиною себе.

{\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}є незліченно нескінченним набором. Доказ: Розташуйте елементи{\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}} наступним чином(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),... Тобто завжди записуйте спочатку всі елементи, дві записи яких підсумовуютьсяk, потім записуйте всі елементи, чиї записиk+1 підсумовуються і так далі. Потім визначте біекцію з,{\mathbb{N}} відпустивши 1 йти до(1,1), 2 йти(1,2) і так далі.

Безліч раціональних чисел піддається підрахунку. Доказ: (неформальний) Дотримуйтесь тієї ж процедури, що і в попередньому прикладі\nicefrac{1}{1}\nicefrac{1}{2}\nicefrac{2}{1}, написання тощо... Однак залиште будь-яку фракцію (наприклад\nicefrac{2}{2}), яка вже з'явилася.

Для повноти згадаємо наступне твердження. ЯкщоA \subset B іB підраховується, тоA підраховується. AАналогічно якщо незліченна,B то незліченна. Оскільки нам не знадобиться це твердження в продовженні, і оскільки доказ вимагає згадана вище теорема Кантора-Бернштейна-Шредера, ми не будемо її наводити тут.

Даємо перший по-справжньому вражаючий результат. По-перше, нам потрібно позначення множини всіх підмножин множини.

ЯкщоA є множиною, ми визначаємо потужністьA множини, позначається{\mathcal{P}}(A), бути множиною всіх підмножинA.

Наприклад, якщоA := \{ 1,2\}, то{\mathcal{P}}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \}. ДляA кінцевого набору кардинальностіn, кардинальність{\mathcal{P}}(A) є2^n. Цей факт залишають як вправу. Отже, для скінченних множин{\mathcal{P}}(A) кардинальність строго більше, ніж кардинальністьA. Що є несподіваним і вражаючим фактом, це твердження все ще вірно для нескінченних множин.

\left\lvert {A} \right\rvert < \left\lvert {{\mathcal{P}}(A)} \right\rvert. Зокрема, не існує всмоктування зA на{\mathcal{P}}(A).

Існує ін'єкціяf \colon A \to {\mathcal{P}}(A). Для будь-якогоx \in A визначтеf(x) := \{ x \}. Тому\left\lvert {A} \right\rvert \leq \left\lvert {{\mathcal{P}}(A)} \right\rvert.

Щоб закінчити доказ, ми повинні показати, що жодна функція неf \colon A \to {\mathcal{P}}(A) є surjection. Припустимо,f \colon A \to {\mathcal{P}}(A) це функція. Так дляx \in A,f(x) є підмножиноюA. Визначити набірB := \{ x \in A : x \notin f(x) \} . Ми стверджуємо, що неB знаходиться в діапазоніf і, отже, неf є surjection. Припустимо, існуєx_0 таке, щоf(x_0) = B. Абоx_0 \in B абоx_0 \notin B. Якщоx_0 \in B, тоx_0 \notin f(x_0) = B, що є протиріччям. Якщоx_0 \notin B, тоx_0 \in f(x_0) = B, що знову є протиріччям. При цьому такогоx_0 не існує. Тому неB знаходиться в діапазоні діїf, і неf є відривом. Як іf довільна функція, не існує жодної surjection.

Одним з конкретних наслідків цієї теореми є те, що існують незліченні множини, як і{\mathcal{P}}({\mathbb{N}}) повинно бути незліченним. Пов'язаний факт полягає в тому, що безліч дійсних чисел (які ми вивчаємо в наступному розділі) незліченна. Існування незліченних множин може здатися неінтуїтивним, і теорема викликала досить суперечки на момент її оголошення. Теорема не тільки говорить про те, що існують незліченні множини, але й про те, що насправді існують поступово більші та більші нескінченні{\mathcal{P}}({\mathbb{N}}) множини{\mathbb{N}}{\mathcal{P}}({\mathcal{P}}({\mathbb{N}})),{\mathcal{P}}({\mathcal{P}}({\mathcal{P}}({\mathbb{N}}))),, тощо...

Вправи

ПоказатиA \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C).

Доведіть, що принцип сильної індукції еквівалентний стандартній індукції.

Закінчіть доказ.

  1. Доведіть.
  2. Знайдіть приклад, для якого рівність множин вf( C \cap D) \subset f (C) \cap f (D) не вдається. Тобто знайти,,f,,AB, іD такеC, щоf( C \cap D) є належним підмножиноюf(C) \cap f(D).

Доведіть, що якщоA є кінцевим, то існує унікальне число,n таке, що існує біекція міжA і\{ 1, 2, 3, \ldots, n \}. Іншими словами, позначення\left\lvert {A} \right\rvert := n виправдано. Підказка: Покажітьn > m, що якщо, то немає ін'єкції від\{ 1, 2, 3, \ldots, n \} до\{ 1, 2, 3, \ldots, m \}.

Довести

  1. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  2. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

ДавайтеA \Delta B позначимо симетричну різницю, тобто сукупність всіх елементів, які належатьA абоB, але не обомA іB.

  1. Намалюйте діаграму Венна дляA \Delta B.
  2. ПоказатиA \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).
  3. ПоказатиA \Delta B = (A \cup B) \setminus ( A \cap B).

Для кожногоn \in {\mathbb{N}} нехайA_n := \{ (n+1)k : k \in {\mathbb{N}}\}.

  1. ЗнайтиA_1 \cap A_2.
  2. Знайти\bigcup_{n=1}^\infty A_n.
  3. Знайти\bigcap_{n=1}^\infty A_n.

Визначте{\mathcal{P}}(S) (набір потужності) для кожного з наступних дій:

  1. S = \emptyset,
  2. S = \{1\},
  3. S = \{1,2\},
  4. S = \{1,2,3,4\}.

g \colon B \to CДозволятиf \colon A \to B і бути функції.

  1. Доведіть,g \circ f що якщо ін'єкційний,f то ін'єкційний.
  2. Доведіть, що якщоg \circ f є суб'єктивним, тоg є суб'єктивним.
  3. Знайдіть явний приклад, деg \circ f є двооб'єктивним, але ніf ніg є біктивним.

Доведіть цеn < 2^n шляхом індукції.

Покажіть, що дляA кінцевого набору кардинальностіn, кардинальність{\mathcal{P}}(A) є2^n.

Доведіть\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Доведіть1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = {\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)}^2 для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Доведіть,n^3 + 5n що ділиться6 на всіхn \in {\mathbb{N}}.

Знайдіть найменшийn \in {\mathbb{N}} такий, що2{(n+5)}^2 < n^3 і назвіть йогоn_0. Покажіть, що2{(n+5)}^2 < n^3 для всіхn \geq n_0.

Знайти всеn \in {\mathbb{N}} таке, щоn^2 < 2^n.

Завершіть доказ того, що це еквівалентно властивості замовлення свердловини{\mathbb{N}}. Тобто довести властивість упорядкування свердловин за{\mathbb{N}} допомогою принципу індукції.

Наведіть приклад обчислювальної колекції скінченних множинA_1, A_2, \ldots, об'єднання яких не є скінченною множиною.

Наведіть приклад обчислювальної колекції нескінченних множинA_1, A_2, \ldots, зA_j \cap A_k нескінченним для всіхj іk, таким, що\bigcap_{j=1}^\infty A_j є непорожнім і скінченним.

Реальні числа

Основні властивості

Примітка: 1,5 лекції

Основним об'єктом, з яким ми працюємо в аналізі, є набір дійсних чисел. Оскільки ця множина настільки фундаментальна, часто багато часу витрачається на формальне побудова множини дійсних чисел. Однак ми беремо простіший підхід тут і просто припускаємо, що набір з правильними властивостями існує. Почати потрібно з визначень цих властивостей.

Впорядкована множина - цеS множина, разом з< таким відношенням, що

  1. Для будь-якогоx, y \in S, точно одного зx < yx=y, абоy < x тримає.
  2. Якщоx < y іy < z, тоx < z.

Пишемоx \leq y якщоx < y абоx=y. Визначаємо> і\geq в очевидний спосіб.

Наприклад, множина раціональних чисел{\mathbb{Q}} - це впорядкована множина,x < y якщо і тільки якщоy-x є додатним раціональним числом, тобто якщоy-x = \nicefrac{p}{q} деp,q \in {\mathbb{N}}. Точно так само{\mathbb{N}} і{\mathbb{Z}} впорядковані набори.

Є й інші впорядковані набори, ніж набори чисел. Наприклад, безліч країн можна замовити по сухопутних масах, так наприклад Індія> Ліхтенштейн. Кожного разу, коли ви сортуєте набір якимось чином, ви робите впорядкований набір. Типовий впорядкований набір, який ви використовували з початкової школи, - це словник. Це впорядкований набір слів, де порядок - так зване лексикографічне впорядкування. Такі впорядковані набори з'являються часто, наприклад, в інформатиці. Однак у цьому класі нас найбільше цікавить впорядкований набір чисел.

НехайE \subset S, деS є упорядкований набір.

  1. Якщо існуєb \in S таке, щоx \leq b для всіхx \in E, то ми говоримоE обмежена вище іb є верхньою межеюE.
  2. Якщо існуєb \in S таке, щоx \geq b для всіхx \in E, то ми говоримоE обмежена нижче іb є нижньою межеюE.
  3. Якщо існує верхняb_0 межаE таких, що всякий раз, коли будь-яка верхня межа дляE насb єb_0 \leq b, тоb_0 називається найменшою верхньою межею або супремумомE. пишемо\sup\, E := b_0 .
  4. Аналогічно, якщо існує нижня межаb_0E такого, що всякий раз, колиb є будь-яка нижня межа дляE насb_0 \geq b, тоb_0 називається найбільшою нижньою межею або нефімумE. пишемо\inf\, E := b_0 .

Коли набірE як обмежений вище, так і обмежений нижче, ми говоримо просто,E що обмежений.

Супремум або інфімум дляE (навіть якщо вони існують) не повинні бути вE. Наприклад, набірE := \{ x \in {\mathbb{Q}}: x < 1 \} має найменшу верхню межу 1, але 1 немає вE самому наборі. З іншого боку, якщо взятиG := \{ x \in {\mathbb{Q}}: x \leq 1 \}, то найменша верхня межаG явно теж 1, і в цьому випадку1 \in G. З іншого боку, набір неP := \{ x \in {\mathbb{Q}}: x \geq 0 \} має верхньої межі (чому?) і тому він може мати не останню верхню межу. З іншого боку 0 є найбільшою нижньою межеюP.

[defn:lub] Впорядкована множинаS має властивість найменшої верхньої межі, якщо кожна непорожня підмножинаE \subset S, яка обмежена вище, має найменшу верхню межу, яка\sup\, E існує вS.

Найменшу верхню межу властивість іноді називають властивістю повноти або властивістю повноти Dedekind.

Набір{\mathbb{Q}} раціональних чисел не має властивості найменшої верхньої межі. Підмножина\{ x \in {\mathbb{Q}}: x^2 < 2 \} не має supremum in{\mathbb{Q}}. Очевидний супремум не\sqrt{2} є раціональним. Припустимоx \in {\mathbb{Q}} таке, щоx^2 = 2. Пишітьx=\nicefrac{m}{n} в найнижчих вираженнях. Так{(\nicefrac{m}{n})}^2 = 2 чиm^2 = 2n^2. Отжеm^2, ділиться на 2 іm так ділиться на 2. Пишітьm = 2k і так{(2k)}^2 = 2n^2. Розділіть на 2 і зверніть увагу2k^2 = n^2, що,n а значить ділиться на 2. Але це протиріччя, як\nicefrac{m}{n} було в найнижчих показниках.

Те, що{\mathbb{Q}} не має властивості найменшої верхньої межі, є однією з найважливіших причин, з якими ми працюємо{\mathbb{R}} в аналізі. Набір просто{\mathbb{Q}} відмінно підходить для алгебраїстів. Але аналітики вимагають найменш верхньої межі власності для виконання будь-якої роботи. Ми також вимагаємо, щоб наші дійсні числа мали багато алгебраїчних властивостей. Зокрема, ми вимагаємо, щоб вони були полем.

МножиноюF називається поле, якщо на ньому визначено дві операції, додаванняx+y і множенняxy, і якщо воно задовольняє наступним аксіомам.

  1. Якщоx \in F іy \in F, тоx+y \in F.
  2. (Комутативність додавання)x+y = y+x для всіхx,y \in F.
  3. (асоціативність додавання)(x+y)+z = x+(y+z) для всіхx,y,z \in F.
  4. Існує0 \in F такий елемент, що0+x = x для всіхx \in F.
  5. Для кожного елементаx\in F існує-x \in F такий елемент, щоx + (-x) = 0.
  1. Якщоx \in F іy \in F, тоxy \in F.
  2. (Комутативність множення)xy = yx для всіхx,y \in F.
  3. (асоціативність множення)(xy)z = x(yz) для всіхx,y,z \in F.
  4. Існує елемент1 \in F1 \not= 0) такий, що1x = x для всіхx \in F.
  5. Для кожногоx\in F такого, щоx \not= 0 існує елемент\nicefrac{1}{x} \in F такий, щоx(\nicefrac{1}{x}) = 1.
  6. (розподільний закон)x(y+z) = xy+xz для всіхx,y,z \in F.

Безліч{\mathbb{Q}} раціональних чисел - це поле. З іншого боку,{\mathbb{Z}} це не поле, оскільки воно не містить мультиплікативних інверсів. Наприклад, немаєx \in {\mathbb{Z}} такого, що2x = 1, значить (М5) не влаштовує. Ви можете перевірити, що (M5) є єдиною властивістю, яка не вдається 3.

Будемо вважати основні факти про поля, які легко доведені з аксіом. Наприклад,0x = 0 легко довести, зазначившиxx = (0+x)x = 0x+xx, що, використовуючи (A4), (D) і (M2). Потім за допомогою (A5) наxx, разом з (A2), (A3) і (A4), отримуємо0 = 0x.

ПолеF називається впорядкованим полем, якщо такожF є впорядкованим набором, таким чином, що:

  1. [defn:ordfield:i] Дляx,y,z \in F,x < y має на увазіx+z < y+z.
  2. [defn:ordfield:ii] Дляx,y \in F,x > 0 іy > 0 має на увазіxy > 0.

Якщоx > 0, скажемоx, позитивно. Якщоx < 0, скажемо,x негативний. Ми також говоримо, щоx це ненегативний якщоx \geq 0, іx є непозитивним, якщоx \leq 0.

Наприклад, можна перевірити, що раціональні числа{\mathbb{Q}} при стандартному замовленні є впорядкованим полем.

[prop:bordfield]F Дозволяти бути впорядкованим полем іx,y,z \in F. Потім:

  1. [prop:bordfield:i] Якщоx > 0, то-x < 0 (і навпаки).
  2. [prop:bordfield:ii] Якщоx > 0 іy < z, тоxy < xz.
  3. [prop:bordfield:iii] Якщоx < 0 іy < z, тоxy > xz.
  4. [prop:bordfield:iv] Якщоx \not= 0, тоx^2 > 0.
  5. [prop:bordfield:v] Якщо0 < x < y, то0 < \nicefrac{1}{y} < \nicefrac{1}{x}.

Зауважте, що [prop:bordfield:iv] передбачає, зокрема, це1 > 0.

Доведемо [prop:bordfield:i]. Нерівністьx > 0 має на увазі елемент [defn:ordfield:i] визначення впорядкованого поля, щоx + (-x) > 0 + (-x). Тепер застосуємо алгебраїчні властивості полів для отримання0 > -x. За аналогічним розрахунком слід «навпаки».

Для [prop:bordfield:ii] перше повідомлення, якеy < z передбачає0 < z - y застосування елемента [defn:ordfield:i] визначення впорядкованих полів. Тепер застосуйте елемент [defn:ordfield:ii] визначення впорядкованих полів для отримання0 < x(z-y). За алгебраїчними властивостями отримуємо0 < xz - xy, і знову застосовуємо елемент [defn:ordfield:i] отриманого визначенняxy < xz.

Частина [prop:bordfield:iii] залишається як вправа.

Щоб довести частину [prop:bordfield:iv] спочатку припустимоx > 0. Потім за пунктом [defn:ordfield:ii] визначення впорядкованих полів отримуємо цеx^2 > 0 (usey=x). Якщоx < 0, ми використовуємо частину [prop:bordfield:iii] цієї пропозиції. Підключітьy=x іz=0.

Нарешті, щоб довести частину [prop:bordfield:v], зверніть увагу, що\nicefrac{1}{x} не може бути дорівнює нулю (чому?). Припустимо\nicefrac{1}{x} < 0, тоді\nicefrac{-1}{x} > 0 за допомогою [prop:bordfield:i]. Потім застосуйте частину [prop:bordfield:ii] (asx > 0), щоб отриматиx(\nicefrac{-1}{x}) > 0x або-1 > 0, що1 > 0 суперечить використанню частини [prop:bordfield:i] знову. Звідси\nicefrac{1}{x} > 0. Аналогічно\nicefrac{1}{y} > 0. Таким чином,(\nicefrac{1}{x})(\nicefrac{1}{y}) > 0 за визначенням впорядкованого поля і по частині [prop:bordfield:ii](\nicefrac{1}{x})(\nicefrac{1}{y})x < (\nicefrac{1}{x})(\nicefrac{1}{y})y . За алгебраїчними властивостями ми отримуємо\nicefrac{1}{y} < \nicefrac{1}{x}.

Добуток двох позитивних чисел (елементів впорядкованого поля) є додатним. Однак неправда, що якщо продукт позитивний, то кожен з двох факторів повинен бути позитивним.

Нехайx,y \in F деF - упорядковане поле. Припустимоxy > 0. Тоді або обидваx іy позитивні, або обидва негативні.

Зрозуміло, що обидва висновки можуть статися. Якщо абоx іy дорівнюють нулю, тоxy дорівнює нулю і, отже, не позитивним. Звідси ми припускаємо, щоx іy є ненульовими, і нам просто потрібно показати, що якщо вони мають протилежні знаки, тоxy < 0. Без втрати спільності припустимоx > 0 іy < 0. y < 0Помножте наx, щоб отриматиxy < 0x = 0. Результат випливає за контрапозитивним.

Читач може знати і про комплексних числах, зазвичай позначаються{\mathbb{C}}. Тобто{\mathbb{C}} сукупність чисел видуx + iy, деx іy є дійсними числами, іi є уявним числом, числом таким, щоi^2 = -1. Читач може пам'ятати з алгебри, що також{\mathbb{C}} є полем, однак, це не впорядковане поле. Хоча можна зробити{\mathbb{C}} в упорядкований набір якимось чином, можна довести, що неможливо поставити замовлення на те{\mathbb{C}}, що зробить його впорядкованим полем.

Вправи

Доведіть частину [prop:bordfield:iii] з.

[Вправа: finitesethasminmax] ДозвольтеS бути впорядкованим набором. A \subset SДозволяти бути непорожнім скінченним підмножиною. ПотімA обмежується. Крім того,\inf\, A існує, єA і\sup\, A існує і знаходиться вA. Підказка: Використовуйте.

Нехайx, y \in F, деF є упорядковане поле. Припустимо0 < x < y. Покажіть, щоx^2 < y^2.

SДозволяти бути впорядкованим набором. B \subset SДозволяти бути обмеженим (зверху і знизу). A \subset BДозволяти бути непорожнім підмножиною. Припустимо,\inf що всі і\sup існують. Покажіть, що\inf\, B \leq \inf\, A \leq \sup\, A \leq \sup\, B .

SДозволяти бути впорядкованим набором. НехайA \subset S і припустимоb є верхньою межею дляA. Припустимоb \in A. Покажіть, щоb = \sup\, A.

SДозволяти бути впорядкованим набором. A \subset SДозволяти бути непорожній підмножина, яка обмежена вище. Припустимо\sup\, A, існує і\sup\, A \notin A. Показати, щоA містить незліченно нескінченну підмножину. Зокрема,A нескінченно.

Знайдіть (нестандартне) впорядкування множини натуральних чисел{\mathbb{N}} таким чином, що існує непорожня належна підмножинаA \subsetneq {\mathbb{N}} і така, яка\sup\, A існує в{\mathbb{N}}, але\sup\, A \notin A.

ДозвольтеF = \{ 0, 1, 2 \}. а) Довести, що існує точно один спосіб визначити додавання і множення, так щоF це поле якщо0 і1 мають їх звичайне значення (A4) і (M4). б) Показати, щоF не може бути впорядкованим полем.

[exercise:dominatingb]S Дозволяти бути впорядкованоюA множиною і є непорожньою підмножиною, яка\sup \, A існує. Припустимо, єB \subset A таке, що всякий раз, колиx \in A єy \in B таке, щоx \leq y. Показати, що\sup \, B існує і\sup \, B = \sup \, A.

DДозволяти бути впорядкованим набором всіх можливих слів (не тільки англійських слів, всіх рядків букв довільної довжини) з використанням латинського алфавіту, використовуючи лише малі літери. Порядок є лексикографічним порядком, як у словнику (наприклад,< двері< собаки ааа). AДозволяти бути підмножиною,D що містить слова, перша літера яких є 'a' (наприклад\in A, a, abcd\in A). Покажіть, щоA має супремум і знайдіть, що це таке.

Безліч дійсних чисел

Примітка: 2 лекції, розширені дійсні числа необов'язкові

Безліч дійсних чисел

Ми, нарешті, дістаємося до реальної системи числення. Щоб спростити питання, замість побудови дійсного числа, встановленого з раціональних чисел, ми просто констатуємо їх існування як теорему без доказів. Зверніть увагу, що{\mathbb{Q}} це впорядковане поле.

Існує унікальне впорядковане поле 4{\mathbb{R}} з таким, що{\mathbb{Q}}\subset {\mathbb{R}}.

Зверніть увагу, що також{\mathbb{N}}\subset {\mathbb{Q}}. Ми це бачили1 > 0. За допомогою (вправи) ми можемо довести, щоn > 0 для всіхn \in {\mathbb{N}}. Так само ми можемо легко перевірити всі відомі нам твердження про раціональні числа та їх природне впорядкування.

Доведемо один з найголовніших, але корисних результатів про реальні числа. Наступна пропозиція - це по суті те, як аналітик доводить, що число дорівнює нулю.

Якщоx \in {\mathbb{R}} таке, щоx \geq 0 іx \leq \epsilon для всіх\epsilon \in {\mathbb{R}} де\epsilon > 0, тоx = 0.

Якщоx > 0, то0 < \nicefrac{x}{2} < x (навіщо?). Взяття\epsilon = \nicefrac{x}{2} отримує протиріччя. Таким чиномx=0.

Пов'язаний простий факт полягає в тому, що будь-який час у нас є два дійсних числаa < b, то є ще одне дійсне числоc таке, щоa < c < b. Просто візьмемо для прикладуc = \frac{a+b}{2} (чому?). Насправді існує нескінченно багато дійсних чисел міжa іb.

Найбільш корисною властивістю{\mathbb{R}} для аналітиків є не просто те, що це впорядковане поле, але і те, що воно має. По суті ми хочемо{\mathbb{Q}}, але ми також хочемо прийняти супрему (і інфіму) волею-неволею. Так що ми робимо, це кинути в достатній кількості, щоб отримати{\mathbb{R}}.

Ми вже згадували, що{\mathbb{R}} повинні містити елементи, яких немає в{\mathbb{Q}} з-за. Ми побачили, що немає раціонального квадратного кореня з двох. Безліч\{ x \in {\mathbb{Q}}: x^2 < 2 \} має на увазі наявність дійсного числа\sqrt{2}, хоча цей факт вимагає трохи роботи.

[example:sqrt2] Заява: Існує унікальне додатне дійсне число,r таке, щоr^2 = 2. Позначимоr по\sqrt{2}.

Візьміть набірA := \{ x \in {\mathbb{R}}: x^2 < 2 \}. Спочатку якщоx^2 < 2, тоx < 2. Щоб побачити цей факт, зверніть увагу, щоx \geq 2 має на увазіx^2 \geq 4 (використання, ми не будемо явно згадувати його використання відтепер), отже, будь-яке числоx таке, щоx \geq 2 немає вA. ТакимA чином обмежується вище. З іншого боку1 \in A, такA непорожньо.

Давайте визначимосяr := \sup\, A. Ми покажемо це,r^2 = 2 показавши, щоr^2 \geq 2 іr^2 \leq 2. Таким чином аналітики показують рівність, показуючи дві нерівності. Ми це вже знаємоr \geq 1 > 0.

Далі може здатися, що ми витягуємо певні вирази з капелюха. При написанні такого доказу, як це, ми б, звичайно, придумували вирази лише після того, як погралися з тим, що ми хочемо довести. Порядок, в якому ми пишемо доказ, не обов'язково той порядок, в якому ми придумуємо доказ.

Давайте спочатку це покажемоr^2 \geq 2. Візьміть позитивне числоs таке, щоs^2 < 2. Бажаємо знайтиh > 0 таке, що{(s+h)}^2 < 2. Як2-s^2 > 0, у нас є\frac{2-s^2}{2s+1} > 0. Вибираємоh \in {\mathbb{R}} таку, що0 < h < \frac{2-s^2}{2s+1}. Крім того, ми припускаємоh < 1.

\begin{aligned} {(s+h)}^2 - s^2 & = h(2s + h) \\ & < h(2s+1) & & \quad \,\bigl(\text{since } h < 1\bigr) \\ & < 2-s^2 & & \quad \left(\text{since } h < \frac{2-s^2}{2s+1} \right) . \end{aligned}

Тому,{(s+h)}^2 < 2. Звідсиs+h \in A, але як уh > 0 нас єs+h > s. Отжеs < r = \sup\, A. Якs було довільне додатне число такеs^2 < 2, що, з цього випливаєr^2 \geq 2.

Тепер візьміть позитивне числоs таке, щоs^2 > 2. Бажаємо знайтиh > 0 таке, що{(s-h)}^2 > 2. Як уs^2-2 > 0 нас є\frac{s^2-2}{2s} > 0. Вибираємоh \in {\mathbb{R}} таку, що0 < h < \frac{s^2-2}{2s} іh < s. \begin{split} s^2 - {(s-h)}^2 & = 2sh - h^2 \\ & < 2sh \\ & < s^2-2 \qquad \left( \text{since } h < \frac{s^2-2}{2s} \right) . \end{split}Віднімаючиs^2 з обох сторін і помноживши на-1, знаходимо{(s-h)}^2 > 2. Томуs-h \notin A.

Крім того, якщоx \geq s-h, тоx^2 \geq {(s-h)}^2 > 2 (якx > 0 іs-h > 0) і такx \notin A. Таким чиномs-h, є верхньою межею дляA. Втімs-h < s, або іншими словамиs > r = \sup\, A. Таким чиномr^2 \leq 2.

Разом,r^2 \geq 2 іr^2 \leq 2 мають на увазіr^2 = 2. Частина існування закінчена. Нам ще потрібно впоратися з унікальністю. Припустимоs \in {\mathbb{R}} такі, щоs^2 = 2 іs > 0. Таким чиномs^2 = r^2. Втім, якщо0 < s < r, тоs^2 < r^2. Аналогічно0 < r < s має на увазіr^2 < s^2. Звідсиs = r.

Число\sqrt{2} \notin {\mathbb{Q}}. {\mathbb{R}}\setminus {\mathbb{Q}}Безліч називається безліччю ірраціональних чисел. Ми щойно побачили, що{\mathbb{R}}\setminus {\mathbb{Q}} це непорожньо. Мало того, що він непорожній, ми побачимо пізніше, що насправді він дуже великий.

Використовуючи ту саму техніку, що і вище, ми можемо показати, що позитивне дійсне числоx^{1/n} існує для всіхn\in {\mathbb{N}} і всіхx > 0. Тобто для кожногоx > 0 існує унікальне позитивне дійсне числоr таке, щоr^n = x. Доказ залишають як вправу.

Архімедова власність

Як ми бачили, в будь-якому інтервалі існує безліч дійсних чисел. Але є і нескінченно багато раціональних чисел в будь-якому проміжку. Нижче наведено один з фундаментальних фактів про реальні числа. Дві частини наступної теореми насправді еквівалентні, хоча це може здатися не таким на перший погляд.

[thm: арка]

  1. [thm:arch:i] (Архімедова властивість) Якщоx, y \in {\mathbb{R}} іx > 0, то існуєn \in {\mathbb{N}} таке, щоnx > y .
  2. [thm:arch:ii] ({\mathbb{Q}}щільний в{\mathbb{R}}) Якщоx, y \in {\mathbb{R}} іx < y, то існуєr \in {\mathbb{Q}} таке щоx < r < y.

Доведемо [thm:arch:i]. Ми ділимо через,x а потім [thm:arch:i] говорить, що для будь-якого дійсного числаt:= \nicefrac{y}{x}, ми можемо знайти натуральне числоn таке, щоn > t. Іншими словами, [thm:arch:i] говорить,{\mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}} що не обмежений вище. Припустимо для протиріччя,{\mathbb{N}} яке обмежене вище. Нехайb := \sup {\mathbb{N}}. Числоb-1 не може бути верхньою межею{\mathbb{N}}, оскільки воно строго меншеb (супремум). При цьому існуєm \in {\mathbb{N}} таке, щоm > b-1. Додаємо один для отриманняm+1 > b, який суперечить тому,b що є верхньою межею.

Займемося [thm:arch:ii]. Спочатку припустимоx \geq 0. Зауважте, щоy-x > 0. За [thm:arch:i] існуєn \in {\mathbb{N}} таке, щоn(y-x) > 1. Крім того, [thm:arch:i] множинаA := \{ k \in {\mathbb{N}}: k > nx \} непорожня. За властивістю упорядкування свердловини{\mathbb{N}},A має найменший елементm. Якm \in A, тодіm > nx. Ділимо через наn, щоб отриматиx < \nicefrac{m}{n}. Якm і найменший елементA,m-1 \notin A. Якщоm > 1, тоm-1 \in {\mathbb{N}}, алеm-1 \notin A і такm-1 \leq nx. Якщоm=1, тоm-1 = 0, іm-1 \leq nx все одно тримається якx \geq 0. Іншими словами, З іншогоm-1 \leq nx \qquad \text{or} \qquad m \leq nx+1 . % < m . боку,n(y-x) > 1 ми отримуємоny > 1+nx. Значитьny > 1+nx \geq m, і томуy > \nicefrac{m}{n}. Збираючи все воєдино, отримуємоx < \nicefrac{m}{n} < y. Так давайтеr = \nicefrac{m}{n}.

Тепер припустимоx < 0. Якщоy > 0, то ми просто беремоr=0. Якщоy \leq 0, то0 \leq -y < -x, і знайдемо раціональнеq таке, що-y < q < -x. Потім візьмітьr = -q.

Викладемо і доведемо простий, але корисний наслідок.

\inf \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} = 0.

НехайA := \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\}. ОчевидноA, не порожній. Крім того,\nicefrac{1}{n} > 0 і так 0 є нижньою межею, іb := \inf\, A існує. Оскільки 0 є нижньою межею, тоb \geq 0. Тепер візьмемо довільнуa > 0. До них існуєn такеna > 1, що, або іншими словамиa > \nicefrac{1}{n} \in A. Томуa не може бути нижньою межею дляA. Звідсиb=0.

Використання супремум і інфімум

Ми хочемо переконатися, що супрема та інфіма сумісні з алгебраїчними операціями. Для наборуA \subset {\mathbb{R}} і числаx \in {\mathbb{R}} визначте\begin{aligned} x + A & := \{ x+y \in {\mathbb{R}}: y \in A \} , \\ xA & := \{ xy \in {\mathbb{R}}: y \in A \} .\end{aligned}

[prop:supinfalg] ДозвольтеA \subset {\mathbb{R}} бути непорожнім.

  1. Якщоx \in {\mathbb{R}} іA обмежується вище, то\sup (x+A) = x + \sup\, A.
  2. Якщоx \in {\mathbb{R}} іA обмежується нижче, то\inf (x+A) = x + \inf\, A.
  3. Якщоx > 0 іA обмежується вище, то\sup (xA) = x ( \sup\, A ).
  4. Якщоx > 0 іA обмежується нижче, то\inf (xA) = x ( \inf\, A ).
  5. Якщоx < 0 іA обмежується нижче, то\sup (xA) = x ( \inf\, A ).
  6. Якщоx < 0 іA обмежується вище, то\inf (xA) = x ( \sup\, A ).

Зверніть увагу, що множення набору на від'ємне число перемикає supremum для infimum і навпаки. Крім того, оскільки пропозиція передбачає, що supremum (resp. infimum)x+A абоxA існує, воно також означає, щоx+A абоxA є непорожнім і обмеженим зверху (resp. знизу).

Доведемо лише перше твердження. Решта залишають як вправи.

Припустимо,b це верхня межа дляA. Тобто,y \leq b для всіхy \in A. Тодіx+y \leq x+b для всіхy \in A, і такx+b це верхня межа дляx+A. Зокрема, якщоb = \sup\, A, то\sup (x+A) \leq x+b = x+ \sup\, A .

Інший напрямок аналогічно. Якщоb верхня межа дляx+A, тоx+y \leq b для всіхy \in A і такy \leq b-x для всіхy \in A. Такb-x і верхня межа дляA. Якщоb = \sup (x+A), то\sup\, A \leq b-x = \sup (x+A) -x . і результат випливає.

Іноді нам потрібно застосувати супремум або інфімум двічі. Ось приклад.

[infsupineq:prop] ДозвольтеA, B \subset {\mathbb{R}} бути непорожніми множинами, такими, щоx \leq y колиx \in A іy \in B. ПотімA обмежується вище,B обмежується знизу, і\sup\, A \leq \inf\, B.

Будь-якаx \in A є нижньою межею дляB. Томуx \leq \inf\, B для всіхx \in A, так\inf\, B це верхня межа дляA. Отже,\sup\, A \leq \inf\, B.

Ми повинні бути обережними щодо суворої нерівності та прийняття супреми та інфіми. Зверніть увагу, щоx < y всякий разx \in A іy \in B ще тільки має на увазі\sup\, A \leq \inf\, B, а не сувору нерівність. Це важливий тонкий момент, який виникає часто. Наприклад, взятиA := \{ 0 \} і взятиB := \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\}. Тоді0 < \nicefrac{1}{n} для всіхn \in {\mathbb{N}}. Втім,\sup\, A = 0 і\inf\, B = 0.

Доказ наступного часто використовуваного елементарного факту залишається читачеві. Аналогічна заява тримає і для інфіма.

[prop:existsxepsfromsup] ЯкщоS \subset {\mathbb{R}} непорожня множина, обмежена зверху, то для кожного\epsilon > 0 існуєx \in S така, що(\sup\, S) - \epsilon < x \leq \sup\, S.

Щоб зробити використання suprema та infima ще простіше, ми можемо захотіти писати\sup\, A і\inf\, A не турбуючись про те, щобA бути обмеженим і непорожнім. Робимо наступні природні визначення.

НехайA \subset {\mathbb{R}} буде набір.

  1. ЯкщоA порожній, то\sup\, A := -\infty.
  2. ЯкщоA не обмежується вище, то\sup\, A := \infty.
  3. ЯкщоA порожній, то\inf\, A := \infty.
  4. ЯкщоA не обмежується нижче, то\inf\, A := -\infty.

Для зручності\infty і іноді-\infty трактуються так, ніби вони були числами, хіба що ми не допускаємо довільної арифметики з ними. Ми{\mathbb{R}}^* := {\mathbb{R}}\cup \{ -\infty , \infty\} вносимо в упорядкований набір,-\infty < \infty \quad \text{and} \quad -\infty < x \quad \text{and} \quad x < \infty \quad \text{for all $x \in {\mathbb{R}}$}. дозволяючи множині{\mathbb{R}}^* називається множиною розширених дійсних чисел. Можна визначити деяку арифметику на{\mathbb{R}}^*. Більшість операцій розширені очевидним чином, але ми повинні залишити\infty-\infty0 \cdot (\pm\infty), і\frac{\pm\infty}{\pm\infty} невизначено. Ми утримуємося від використання цієї арифметики, це призводить до легких помилок, оскільки{\mathbb{R}}^* це не поле. Тепер ми можемо приймати супрему і інфіму, не боячись порожнечі чи безмежності. У цій книзі ми здебільшого уникаємо використання{\mathbb{R}}^* поза вправами, і залишаємо такі узагальнення зацікавленому читачеві.

Максими і мінімуми

Ми знаємо, що кінцевий набір чисел завжди має супремум або інфімум, який міститься в самій множині. У цьому випадку ми зазвичай не використовуємо слова supremum або infimum.

Коли набірA дійсних чисел обмежений вище, такий, що\sup\, A \in A, тоді ми можемо використовувати слово maximum і позначення\max A для позначення супремум. Аналогічно для infimum; коли множинаA обмежена нижче і\inf\, A \in A, тоді ми можемо використовувати слово мінімум і позначення\min\, A. Наприклад,\begin{aligned} & \max \{ 1,2.4,\pi,100 \} = 100 , \\ & \min \{ 1,2.4,\pi,100 \} = 1 .\end{aligned} під час написання\sup і\inf можуть бути технічно коректними в цій ситуації,\max і зазвичай\min використовуються для підкреслення того, що супремум або інфімум знаходиться в самому наборі.

Вправи

Доведіть, що якщоt > 0 (t \in {\mathbb{R}}), то існуєn \in {\mathbb{N}} такий, що\dfrac{1}{n^2} < t.

Доведіть, що якщоt \geq 0 (t \in {\mathbb{R}}), то існуєn \in {\mathbb{N}} такий, щоn-1 \leq t < n.

Закінчіть доказ.

Нехайx, y \in {\mathbb{R}}. Припустимоx^2 + y^2 = 0. Доведіть, щоx = 0 іy = 0.

Покажіть,\sqrt{3} що нераціонально.

Нехайn \in {\mathbb{N}}. Показати, що або\sqrt{n} є цілим числом, або це ірраціонально.

Доведіть середню арифметико-геометричну нерівність. Тобто для двох позитивних дійсних чисел уx,y нас є\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} . Крім того, рівність виникає тоді і тільки тодіx=y.

Покажіть, що для будь-яких двох дійсних чиселx іy такихx < y, що існує ірраціональне числоs таке, щоx < s < y. Підказка: Застосуйте щільність{\mathbb{Q}} до\dfrac{x}{\sqrt{2}} і\dfrac{y}{\sqrt{2}}.

[Вправа: supofsum] ДозволятиA іB бути двома непорожніми обмеженими множинами дійсних чисел. НехайC := \{ a+b : a \in A, b \in B \}. Показати, щоC є обмеженим набором і що\sup\,C = \sup\,A + \sup\,B \qquad \text{and} \qquad \inf\,C = \inf\,A + \inf\,B .

BДозволятиA і бути двома непорожніми обмеженими множинами невід'ємних дійсних чисел. Визначте набірC := \{ ab : a \in A, b \in B \}. Показати, щоC є обмеженим набором і що\sup\,C = (\sup\,A )( \sup\,B) \qquad \text{and} \qquad \inf\,C = (\inf\,A )( \inf\,B).

Даноx > 0 іn \in {\mathbb{N}}, показати, що існує унікальне позитивне дійсне числоr таке, щоx = r^n. Зазвичайr позначаєтьсяx^{1/n}.

Доведіть.

[Вправа: bernoulliineq] Доведіть так звану нерівність Бернуллі 5: Якщо1+x > 0 тоді для всіх уn \in {\mathbb{N}} нас є(1+x)^n \geq 1+nx.

Абсолютна величина

Примітка: 0.5—1 лекція

Концепція, з якою ми будемо стикатися знову і знову, - це поняття абсолютної вартості. Ви хочете думати про абсолютне значення як «розмір» дійсного числа. Дамо формальне визначення. \left\lvert {x} \right\rvert := \begin{cases} x & \text{ if $x \geq 0$}, \\ -x & \text{ if $x < 0$} . \end{cases}

Наведемо основні риси абсолютної величини як судження.

[реквізит: абсбас]

  1. [prop:absbas:i]\left\lvert {x} \right\rvert \geq 0, і\left\lvert {x} \right\rvert=0 якщо і тільки якщоx = 0.
  2. [prop:absbas:ii]\left\lvert {-x} \right\rvert = \left\lvert {x} \right\rvert для всіхx \in {\mathbb{R}}.
  3. [prop:absbas:iii]\left\lvert {xy} \right\rvert = \left\lvert {x} \right\rvert\left\lvert {y} \right\rvert для всіхx,y \in {\mathbb{R}}.
  4. [prop:absbas:iv]\left\lvert {x} \right\rvert^2 = x^2 для всіхx \in {\mathbb{R}}.
  5. [prop:absbas:v]\left\lvert {x} \right\rvert \leq y якщо і тільки якщо-y \leq x \leq y.
  6. [prop:absbas:vi]-\left\lvert {x} \right\rvert \leq x \leq \left\lvert {x} \right\rvert для всіхx \in {\mathbb{R}}.

[prop:absbas:i]: Це твердження неважко побачити з визначення.

[prop:absbas:ii]: Припустимоx > 0, тоді\left\lvert {-x} \right\rvert = -(-x) = x = \left\lvert {x} \right\rvert. Аналогічно колиx < 0, абоx = 0.

[prop:absbas:iii]: Якщоx абоy дорівнює нулю, то результат очевидний. Колиx іy обидва позитивні, то\left\lvert {x} \right\rvert\left\lvert {y} \right\rvert = xy. xyтакож є позитивним і, отже,xy = \left\lvert {xy} \right\rvert. Якщоx іy обидва негативні,xy то все одно позитивний іxy = \left\lvert {xy} \right\rvert, і\left\lvert {x} \right\rvert\left\lvert {y} \right\rvert = (-x)(-y) = xy. Даліx > 0 припускаємо іy < 0. Потім\left\lvert {x} \right\rvert\left\lvert {y} \right\rvert = x(-y) = -(xy). Заразxy негативний і, отже,\left\lvert {xy} \right\rvert = -(xy). Аналогічно, якщоx < 0 іy > 0.

[prop:absbas:iv]: Очевидно, якщоx \geq 0. Якщоx < 0, то\left\lvert {x} \right\rvert^2 = {(-x)}^2 = x^2.

[prop:absbas:v]: Припустимо\left\lvert {x} \right\rvert \leq y. Якщоx \geq 0, тоx \leq y. Очевидноy \geq 0 і, отже-y \leq 0 \leq x, так-y \leq x \leq y тримає. Якщоx < 0, то\left\lvert {x} \right\rvert \leq y значить-x \leq y. Заперечуючи обидві сторони ми отримуємоx \geq -y. Зновуy \geq 0 і такy \geq 0 > x. Отже,-y \leq x \leq y.

З іншого боку, припустимо,-y \leq x \leq y це правда. Якщоx \geq 0,x \leq y то еквівалентно\left\lvert {x} \right\rvert \leq y. Якщоx < 0, то-y \leq x має на увазі(-x) \leq y, що еквівалентно\left\lvert {x} \right\rvert \leq y.

[prop:absbas:vi]: Застосувати [prop:absbas:v] сy = \left\lvert {x} \right\rvert.

Властивість, яка використовується досить часто, щоб дати йому назву, - це так звана нерівність трикутника.

\left\lvert {x+y} \right\rvert \leq \left\lvert {x} \right\rvert+\left\lvert {y} \right\rvertдля всіхx, y \in {\mathbb{R}}.

Від нас- \left\lvert {x} \right\rvert \leq x \leq \left\lvert {x} \right\rvert і- \left\lvert {y} \right\rvert \leq y \leq \left\lvert {y} \right\rvert. Ми додаємо ці дві нерівності, щоб отримати- (\left\lvert {x} \right\rvert+\left\lvert {y} \right\rvert) \leq x+y \leq \left\lvert {x} \right\rvert+ \left\lvert {y} \right\rvert . Знову ми маємо\left\lvert {x+y} \right\rvert \leq \left\lvert {x} \right\rvert+\left\lvert {y} \right\rvert.

Існують і інші часто застосовуються версії нерівності трикутника.

Нехайx,y \in {\mathbb{R}}

  1. (зворотна нерівність трикутника)\bigl\lvert (\left\lvert {x} \right\rvert-\left\lvert {y} \right\rvert) \bigr\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert.
  2. \left\lvert {x-y} \right\rvert \leq \left\lvert {x} \right\rvert+\left\lvert {y} \right\rvert.

Давайтеy=b підключимоx=a-b і до стандартного трикутника нерівності, щоб отримати\left\lvert {a} \right\rvert = \left\lvert {a-b+b} \right\rvert \leq \left\lvert {a-b} \right\rvert + \left\lvert {b} \right\rvert , або\left\lvert {a} \right\rvert-\left\lvert {b} \right\rvert \leq \left\lvert {a-b} \right\rvert. Перемикання ролейa іb отримуємо або\left\lvert {b} \right\rvert-\left\lvert {a} \right\rvert \leq \left\lvert {b-a} \right\rvert = \left\lvert {a-b} \right\rvert. Тепер застосовуючи знову, ми отримуємо зворотну нерівність трикутника.

Другий варіант нерівності трикутника виходить від стандартного, просто замінивши на-y і зновуy зауваживши, що\left\lvert {-y} \right\rvert = \left\lvert {y} \right\rvert.

Нехайx_1, x_2, \ldots, x_n \in {\mathbb{R}}. Тоді\left\lvert {x_1 + x_2 + \cdots + x_n} \right\rvert \leq \left\lvert {x_1} \right\rvert + \left\lvert {x_2} \right\rvert + \cdots + \left\lvert {x_n} \right\rvert .

Приступаємо до. Висновок тривіально тривіально дляn=1, а дляn=2 нього - стандартна нерівність трикутника. Припустимо, що наслідок тримає заn. Візьмітьn+1 числаx_1,x_2,\ldots,x_{n+1} і спочатку використовуйте стандартну нерівність трикутника, потім індукційну гіпотезу\begin{split} \lvert {x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1}} \rvert & \leq \lvert {x_1 + x_2 + \cdots + x_n} \rvert + \lvert {x_{n+1}} \rvert \\ & \leq \lvert {x_1} \rvert + \lvert {x_2} \rvert + \cdots + \lvert {x_n} \rvert + \lvert {x_{n+1}} \rvert . \qedhere \end{split}

Подивимося приклад використання нерівності трикутника.

Знайти числоM таке, що\lvert {x^2-9x+1} \rvert \leq M для всіх-1 \leq x \leq 5.

Використовуючи нерівність трикутника, пишіть\lvert {x^2-9x+1} \rvert \leq \lvert {x^2} \rvert+\lvert {9x} \rvert+\lvert {1} \rvert = \lvert {x} \rvert^2+9\lvert {x} \rvert+1 . Очевидно, що\lvert {x} \rvert^2+9\lvert {x} \rvert+1 є найбільшим, коли\left\lvert {x} \right\rvert найбільший. У передбачений інтервал,\left\lvert {x} \right\rvert найбільший колиx=5 і так\left\lvert {x} \right\rvert=5. Одна можливість дляM єM = 5^2+9(5)+1 = 71 . Є, звичайно, інші,M які працюють. Прив'язка 71 набагато вища, ніж потрібно, але ми не просили найкращого можливогоM, лише той, який працює.

Останній приклад призводить нас до поняття обмежених функцій.

Припустимо,f \colon D \to {\mathbb{R}} це функція. Ми говоримоf обмежений, якщо існуєM таке число, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq M для всіхx \in D.

У прикладі, який ми довели,x^2-9x+1 обмежена, якщо розглядати як функцію наD = \{ x : -1 \leq x \leq 5 \}. З іншого боку, якщо розглядати один і той же многочлен як функцію на всій дійсній прямій{\mathbb{R}}, то він не обмежений.

Для функціїf \colon D \to {\mathbb{R}} ми\begin{aligned} & \sup_{x \in D} f(x) := \sup\, f(D) , \\ & \inf_{x \in D} f(x) := \inf\, f(D) .\end{aligned} пишемо Ми також іноді замінюємо «x \in D» виразом. Наприклад, якщо, як і ранішеf(x) = x^2-9x+1-1 \leq x \leq 5, для, трохи обчислення показує\sup_{x \in D} f(x) = \sup_{-1 \leq x \leq 5} ( x^2 -9x+1 ) = 11, \qquad \inf_{x \in D} f(x) = \inf_{-1 \leq x \leq 5} ( x^2 -9x+1 ) = \nicefrac{-77}{4} .

[prop:funcsupinf] Якщоf \colon D \to {\mathbb{R}} іg \colon D \to {\mathbb{R}} (Dнепорожні) обмежені 6 функціями, аf(x) \leq g(x) \qquad \text{for all $x \in D$}, потім\label{prop:funcsupinf:eq} \sup_{x \in D} f(x) \leq \sup_{x \in D} g(x) \qquad \text{and} \qquad \inf_{x \in D} f(x) \leq \inf_{x \in D} g(x) .

Слід бути обережним зі змінними. xНа лівій стороні нерівності в [prop:funcsupinf:eq] відрізняється від праворуч.x Ви дійсно повинні думати про першу нерівність, як\sup_{x \in D} f(x) \leq \sup_{y \in D} g(y) . Доведемо цю нерівність. Якщоb є верхньою межею дляg(D), тоf(x) \leq g(x) \leq b для всіхx \in D, а значить іb є верхньою межею дляf(D). Беручи найменшу верхню межу, ми отримуємо, що для всіхx \in Df(x) \leq \sup_{y \in D} g(y) . Тому\sup_{y \in D} g(y) є верхньоюf(D) межею для і, таким чином, більшою або рівною найменшій верхній межіf(D). \sup_{x \in D} f(x) \leq \sup_{y \in D} g(y) .Друге нерівність (твердження про інф) залишають як вправу.

Поширеною помилкою є висновок\label{rn:av:ltnottrue} \sup_{x \in D} f(x) \leq \inf_{y \in D} g(y) . Нерівність [rn:av:ltnottrue] не відповідає дійсності, враховуючи гіпотезу заяви вище. Для цієї сильнішої нерівності нам потрібна сильніша гіпотезаf(x) \leq g(y) \qquad \text{for all $x \in D$ and $y \in D$.} Доказ, а також контрприклад залишається як вправа.

Вправи

Покажіть, що\left\lvert {x-y} \right\rvert < \epsilon якщо і тільки якщоx-\epsilon < y < x+\epsilon.

Покажіть, що

  1. \max \{x,y\} = \frac{x+y+\left\lvert {x-y} \right\rvert}{2}
  2. \min \{x,y\} = \frac{x+y-\left\lvert {x-y} \right\rvert}{2}

Знайти числоM таке, що\lvert {x^3-x^2+8x} \rvert \leq M для всіх-2 \leq x \leq 10.

Закінчіть доказ. Тобто довести, що задано будь-якуD множину, і дві обмежені функціїf \colon D \to {\mathbb{R}} іg \colon D \to {\mathbb{R}} такі, щоf(x) \leq g(x) для всіхx \in D, то\inf_{x\in D} f(x) \leq \inf_{x\in D} g(x) .

g \colon D \to {\mathbb{R}}Дозволятиf \colon D \to {\mathbb{R}} і бути функції (Dнепорожній).

  1. Припустимо,f(x) \leq g(y) для всіхx \in D іy \in D. Покажіть, що\sup_{x\in D} f(x) \leq \inf_{x\in D} g(x) .
  2. Знайти конкретнийDf, іg, такий, щоf(x) \leq g(x) для всіхx \in D, але\sup_{x\in D} f(x) > \inf_{x\in D} g(x) .

Доведіть без припущення, що функції обмежені. Підказка: Вам потрібно використовувати розширені дійсні числа.

[Вправа: sumofsup]D Дозволяти бути непорожнім набором. Припустимоf \colon D \to {\mathbb{R}} іg \colon D \to {\mathbb{R}} є обмеженими функціями. а) Показати\sup_{x\in D} \bigl(f(x) + g(x) \bigr) \leq \sup_{x\in D} f(x) + \sup_{x\in D} g(x) \qquad \text{and} \qquad \inf_{x\in D} \bigl(f(x) + g(x) \bigr) \geq \inf_{x\in D} f(x) + \inf_{x\in D} g(x) . б) Знайти приклади, де ми отримуємо суворі нерівності.

Інтервали і розмір R

Примітка: 0.5—1 лекція (доказ незліченності{\mathbb{R}} може бути необов'язковим)

Ви напевно бачили позначення інтервалів раніше, але давайте дамо тут формальне визначення. Дляa, b \in {\mathbb{R}} такого, щоa < b ми\begin{aligned} & [a,b] := \{ x \in {\mathbb{R}}: a \leq x \leq b \}, \\ & (a,b) := \{ x \in {\mathbb{R}}: a < x < b \}, \\ & (a,b] := \{ x \in {\mathbb{R}}: a < x \leq b \}, \\ & [a,b) := \{ x \in {\mathbb{R}}: a \leq x < b \} .\end{aligned} визначаємо інтервал[a,b] називається замкнутим інтервалом і(a,b) називається відкритим інтервалом. Інтервали форми(a,b] і[a,b) називаються напіввідкритими інтервалами.

Перераховані вище інтервали були всі обмежені інтервали, так як обидваa іb були дійсними числами. Визначаємо необмежені інтервали,\begin{aligned} & [a,\infty) := \{ x \in {\mathbb{R}}: a \leq x \}, \\ & (a,\infty) := \{ x \in {\mathbb{R}}: a < x \}, \\ & (-\infty,b] := \{ x \in {\mathbb{R}}: x \leq b \}, \\ & (-\infty,b) := \{ x \in {\mathbb{R}}: x < b \} .\end{aligned} для повноти визначаємо(-\infty,\infty) := {\mathbb{R}}.

Якщо коротко, то інтервал - це набірI \subset {\mathbb{R}}, що містить мінімум 2 елементи, такі, що якщоa < b < c іa,c \in I, тоb \in I. Див.

Ми вже бачили, що будь-який відкритий інтервал(a,b) (деa < b звичайно) повинен бути непорожнім. Наприклад, в ньому міститься число\frac{a+b}{2}. Несподіваним фактом є те, що з теоретико-множинної точки зору всі інтервали мають однаковий «розмір», тобто всі вони мають однакову кардинальність. Наприклад, картаf(x) := 2x приймає інтервал[0,1] двооб'єктивно до інтервалу[0,2].

Можливо, цікавіше, що функціяf(x) := \tan(x) - це двооб'єктивна карта від(-\nicefrac{\pi}{2},\nicefrac{\pi}{2}) до{\mathbb{R}}. Звідси обмежений інтервал(-\nicefrac{\pi}{2},\nicefrac{\pi}{2}) має ту ж кардинальність, що і{\mathbb{R}}. Побудувати двооб'єктивну карту від[0,1] до сказати не зовсім просто(0,1), але це можливо.

І не хвилюйтеся, існує спосіб виміряти «розмір» підмножин дійсних чисел, який «бачить» різницю між[0,1] і[0,2]. Однак його правильне визначення вимагає набагато більше машин, ніж ми маємо зараз.

Скажімо докладніше про кардинальність інтервалів і, отже, про кардинальності{\mathbb{R}}. Ми бачили, що існують ірраціональні числа,{\mathbb{R}}\setminus {\mathbb{Q}} тобто непорожні. Питання: Скільки існує ірраціональних чисел? Виявляється, ірраціональних чисел набагато більше, ніж раціональних чисел. Ми бачили, що{\mathbb{Q}} це підраховується, і ми покажемо,{\mathbb{R}} що незліченно. По суті, кардинальність{\mathbb{R}} така ж, як і кардинальність{\mathcal{P}}({\mathbb{N}}), хоча ми не будемо доводити цю претензію тут.

{\mathbb{R}}незліченна.

Ми даємо модифіковану версію оригінального доказу Кантора з 1874 року, оскільки цей доказ вимагає найменшої настройки. Зазвичай цей доказ вказується як доказ протиріччя, але доказ контрапозитивним легше зрозуміти.

X \subset {\mathbb{R}}Дозволяти бути незліченно нескінченна підмножина така, що для будь-яких двох дійсних чиселa < b, єx \in X такий, щоa < x < b. Були{\mathbb{R}} підрахункові, тоді ми могли б взятиX = {\mathbb{R}}. Якщо ми покажемо, щоX це обов'язково належна підмножина, тоX не може дорівнювати{\mathbb{R}} і{\mathbb{R}} повинна бути незліченною.

ЯкX нескінченно нескінченно, існує біекція від{\mathbb{N}} доX. Отже, ми запишемоX як послідовність дійсних чиселx_1, x_2, x_3,\ldots, таку, щоX кожне число в заданоx_j для деякихj \in {\mathbb{N}}.

Давайте індуктивно побудуємо дві послідовності дійсних чиселa_1,a_2,a_3,\ldots іb_1,b_2,b_3,\ldots. Нехайa_1 := x_1 іb_1 := x_1+1. Зверніть увагу, щоa_1 < b_1 іx_1 \notin (a_1,b_1). Дляk > 1, припустимоa_{k-1} іb_{k-1} було визначено. Давайте також припустимо, що(a_{k-1},b_{k-1}) не містить жодногоx_j для будь-якогоj=1,\ldots,k-1.

  1. Визначтеa_k := x_j, деj найменшийj \in {\mathbb{N}} такий, щоx_j \in (a_{k-1},b_{k-1}). Такеx_j існує за нашим припущенням наX.
  2. Далі визначте,b_k := x_j деj знаходиться найменшийj \in {\mathbb{N}} такий, щоx_j \in (a_{k},b_{k-1}).

Зверніть увагу, щоa_k < b_k іa_{k-1} < a_k < b_k < b_{k-1}. Також зверніть увагу, що(a_{k},b_{k}) не міститьx_k і, отже, не містить жодногоx_j дляj=1,\ldots,k.

Претензія:a_j < b_k для всіхj іk в{\mathbb{N}}. Давайте спочатку припустимоj < k. Потімa_j < a_{j+1} < \cdots < a_{k-1} < a_k < b_k. Аналогічно дляj > k. Позов випливає.

НехайA = \{ a_j : j \in {\mathbb{N}}\} іB = \{ b_j : j \in {\mathbb{N}}\}. За і претензією вище ми маємо\sup\, A \leq \inf\, B . Визначитиy := \sup\, A. Числоy не може бути членомA. Якщоy = a_j для деякихj, тоy < a_{j+1}, що неможливо. Аналогічноy не може бути членомB. Томуa_j < y для всіхj\in {\mathbb{N}} іy < b_j для всіхj\in {\mathbb{N}}. Іншими словамиy \in (a_j,b_j) для всіхj\in {\mathbb{N}}.

Нарешті, ми повинні це показатиy \notin X. Якщо ми це зробимо, то ми побудували дійсне число, неX показуючи, щоX повинно бути належним підмножиною. Візьміть будь-якийx_k \in X. До вищевказаної конструкціїx_k \notin (a_k,b_k), такx_k \not= y якy \in (a_k,b_k).

Тому послідовністьx_1,x_2,\ldots не може містити всі елементи{\mathbb{R}} і, отже,{\mathbb{R}} є незліченною.

Вправи

Дляa < b, побудувати явний біекція від(a,b] до(0,1].

Припустимо,f \colon [0,1] \to (0,1) це біекція. Використовуючиf, побудуйте біекцію від[-1,1] до{\mathbb{R}}.

[exercise:intervaldef] Припустимо,I \subset {\mathbb{R}} це підмножина з принаймні 2 елементами, такимиa, c \in I, що якщоa < b < c і, то це один з дев'яти типів інтервалів, явно заданих у цьому розділі. Крім того, довести, що інтервали, наведені в цьому розділі всі задовольняють цій властивості.

Побудувати явний біекція від(0,1] до(0,1). Підказка: Один підхід полягає(\nicefrac{1}{2},1] в наступному: спочатку карта(0,\nicefrac{1}{2}], потім карта(\nicefrac{1}{4},\nicefrac{1}{2}](\nicefrac{1}{2},\nicefrac{3}{4}], і т.д... Запишіть карту явно, тобто запишіть алгоритм, який точно скаже, яке число йде куди. Потім доведіть, що карта є біекцією.

Побудувати явний біекція від[0,1] до(0,1).

а) Показати, що кожен замкнутий інтервал[a,b] є перетином незліченної кількості відкритих інтервалів. б) Показати, що кожен відкритий інтервал(a,b) є рахунковим об'єднанням замкнутих інтервалів. в) Показати, що перетин можливо нескінченного сімейства замкнутих інтервалів є або порожнім, єдиною точкою або замкнутим інтервал.

Припустимо,S це сукупність нероз'єднаних відкритих інтервалів в{\mathbb{R}}. Тобто якщо(a,b) \in S і(c,d) \in S, то або(a,b) = (c,d) або(a,b) \cap (c,d) = \emptyset. ДоведітьS - це лічильний набір.

Доведіть, що кардинальність[0,1] це те ж саме, що кардинальність,(0,1) показуючи, що\left\lvert {[0,1]} \right\rvert \leq \left\lvert {(0,1)} \right\rvert і\left\lvert {(0,1)} \right\rvert \leq \left\lvert {[0,1]} \right\rvert. Див. Зауважте, що для цього потрібна теорема Кантора-Бернштейна-Шредера, яку ми виклали без доказів. Також зверніть увагу, що цей доказ не дає вам явного біекції.

Числоx є алгебраїчним, якщоx є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, іншими словами,a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0 де всеa_n \in {\mathbb{Z}}. а) Показати, що алгебраїчних чисел існує лише незліченно багато. b) Показати, що існують неалгебраїчні числа (слідуйте слідами Кантора, використовувати незліченність{\mathbb{R}}). Підказка: Не соромтеся використовувати той факт, що многочлен ступеняn має найбільшn реальні коріння.

Десяткове подання реалів

Примітка: 1 лекція (необов'язково)

Ми часто думаємо про дійсні числа як їх десяткове подання. Для позитивного цілого числаn, ми знаходимо цифриd_K,d_{K-1},\ldots,d_2,d_1,d_0 для деякихK, де коженd_j є цілим числом між0 і9, тоn = d_K {10}^K + d_{K-1} {10}^{K-1} + \cdots + d_2 {10}^2 + d_1 10 + d_0 . ми часто припускаємоd_K \not= 0. Для представленняn запишемо послідовність цифр:n = d_K d_{K-1} \cdots d_2 d_1 d_0. Під (десятковою) цифрою ми маємо на увазі ціле число між0 і9.

Аналогічно ми уявляємо деякі раціональні числа. Тобто, для певних чиселx, ми можемо знайти від'ємне ціле-M, натуральне числоK, і цифриd_K,d_{K-1},\ldots,d_1,d_0,d_{-1},\ldots,d_{-M}, такі, щоx = d_K {10}^K + d_{K-1} {10}^{K-1} + \cdots + d_2 {10}^2 + d_1 10 + d_0 + d_{-1} {10}^{-1} + d_{-2} {10}^{-2} + \cdots + d_{-M} {10}^{-M} . Ми пишемоx = d_K d_{K-1} \cdots d_1 d_0 \, . \, d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-M}.

Далеко не кожне дійсне число має таке уявлення, навіть просте раціональне число\nicefrac{1}{3} не має. \sqrt{2}Ірраціональне число також не має такого уявлення. Щоб отримати уявлення для всіх дійсних чисел, ми повинні дозволити нескінченно багато цифр.

Давайте відтепер розглянемо тільки дійсні числа в інтервалі(0,1]. Якщо ми знайдемо уявлення для них, ми просто додаємо до них цілі числа, щоб отримати уявлення для всіх дійсних чисел. Припустимо, ми беремо нескінченну послідовність десяткових цифр:0.d_1d_2d_3\ldots. Тобто у нас є цифраd_j для кожногоj \in {\mathbb{N}}. Ми перенумеровували цифри, щоб уникнути негативних знаків. Ми говоримо, що ця послідовність цифр являє собою дійсне число,x якщоx = \sup_{n \in {\mathbb{N}}} \left( \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{{10}^2} + \frac{d_3}{{10}^3} + \cdots + \frac{d_n}{{10}^n} \right) . ми називаємоD_n := \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{{10}^2} + \frac{d_3}{{10}^3} + \cdots + \frac{d_n}{{10}^n} усіченняxn десяткових цифр.

[prop: десятковий реквізит]

  1. Кожна нескінченна послідовність цифр0.d_1d_2d_3\ldots являє собою унікальне дійсне числоx \in [0,1].
  2. Для кожногоx \in (0,1] існує нескінченна послідовність цифр0.d_1d_2d_3\ldots, яка представляєx. Існує унікальне уявлення таке, щоD_n < x \leq D_n+\frac{1}{{10}^n} \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$}.

Почнемо з першого пункту. Припустимо, існує нескінченна послідовність цифр0.d_1d_2d_3\ldots. Ми використовуємо геометричну формулу суми, щоб записати\[\begin{split} D_n = \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[7]/div/p[7]/span[2]/span, line 1, column 3
{1-\nicefrac{1}{10}} \right) = 1-{(\nicefrac{1}{10})}^{n} < 1 . \end{split}\] Зокрема,D_n < 1 для всіхn. ЯкD_n \geq 0 очевидно, ми отримуємо0 \leq \sup_{n\in {\mathbb{N}}} \, D_n \leq 1 , і, отже,0.d_1d_2d_3\ldots являє собою унікальне числоx \in [0,1].

Переходимо до другого пункту. Візьмітьx \in (0,1]. Спочатку займемося існуванням. За умовністю визначаємоD_0 := 0, потім автоматично отримуємоD_0 < x \leq D_0 + {10}^{-0}. Припустимо, для індукції ми визначили всі цифриd_1,d_2,\ldots,d_n, і щоD_n < x \leq D_n + {10}^{-n}. Нам потрібно визначитисяd_{n+1}.

За дійсними числами ми знаходимо ціле числоj таке, щоx-D_n \leq j {10}^{-(n+1)}. Беремо найменше такихj і\label{eq:theDnjineq} (j-1){10}^{-(n+1)} < x-D_n \leq j {10}^{-(n+1)} . отримуємо Letd_{n+1} := j-1. ЯкD_n < x, тодіd_{n+1} = j-1 \geq 0. З іншого боку, оскільки уx-D_n \leq {10}^{-n} насj це максимум 10, а отжеd_{n+1} \leq 9. Так іd_{n+1} десяткова цифра. ОскількиD_{n+1} = D_n + d_{n+1} {10}^{-(n+1)} ми додаємоD_n до нерівності [EQ:TheDNJineQ] вище:D_{n+1} = D_n + (j-1){10}^{-(n+1)} < x \leq %D_n + j {10}^{-(n+1)} = D_n + (j-1) {10}^{-(n+1)} + {10}^{-(n+1)} = D_{n+1} + {10}^{-(n+1)} . І такD_{n+1} < x \leq D_{n+1} + {10}^{-(n+1)} тримається. Ми індуктивно визначили нескінченну послідовність цифр0.d_1d_2d_3\ldots. ЩоD_n < x стосується всіхn, то\sup \{ D_n : n \in {\mathbb{N}}\} \leq x. Якx-{10}^{-n} \leq D_n, тоx-{10}^{-n} \leq \sup \{ D_m : m \in {\mathbb{N}}\} для всіхn. Дві нерівності разом означають\sup \{ D_n : n \in {\mathbb{N}}\} = x.

Що залишилося показати, так це унікальність. Припустимо0.e_1e_2e_3\ldots, це ще одне поданняx. E_nДозволяти бутиn -цифра усічення0.e_1e_2e_3\ldots, і припустимоE_n < x \leq E_n + {10}^{-n} для всіхn \in {\mathbb{N}}. ПрипустимоK \in {\mathbb{N}}, для деяких,e_n = d_n для всіхn < K, такD_{K-1} = E_{K-1}. ПотімE_K = D_{K-1} + e_K{10}^{-K} < x \leq E_K + {10}^{-K} = D_{K-1} + e_K{10}^{-K} + {10}^{-K} . ВідніманняD_{K-1} і множення на{10}^{K} ми отримуємоe_K < (x - D_{K-1}){10}^K \leq e_K + 1 . Аналогічно отримуємоd_K < (x - D_{K-1}){10}^K \leq d_K + 1 . Отже, обидваe_K іd_K є найбільшим цілимj такимj < (x - D_{K-1}){10}^K, що, і томуe_K = d_K. Тобто уявлення є унікальним.

Представлення не є унікальним, якщо ми не вимагаємо додаткової умови в пропозиції. Наприклад, для числа метод\nicefrac{1}{2} у доказі отримує подання0.49999\ldots . Однак у нас також є представлення0.5000\ldots. Ключова вимога, яка робить представлення унікальним, єD_n < x для всіхn. x \leq D_n + {10}^{-n}Нерівність вірна для кожного представлення шляхом обчислення на початку доказу.

Єдині числа, які мають неунікальні уявлення, - це ті, які закінчуються або на нескінченну послідовність0 s або9 s, тому що єдиним представленням, для якогоD_n = x є одне, де всі цифри, що минуліn одиниці, дорівнюють нулю. У цьому випадку є рівно два уявленняx (див. Вправи).

Наведемо ще один доказ незліченності реалів за допомогою десяткових уявлень. Це другий доказ Кантора, і, мабуть, більш відомий. Хоча цей доказ може здатися коротшим, це тому, що ми вже зробили важку частину вище, і нам залишається хитрий трюк, щоб довести, що{\mathbb{R}} це незліченно. Цей трюк називається діагоналізацією Кантора і знаходить застосування і в інших доказах.

Набір(0,1] незліченний.

X := \{ x_1,x_2,x_3,\ldots \}Дозволяти бути будь-який підмножина дійсних чисел в(0,1]. Ми побудуємо дійсне число не вX. x_n = 0.d_1^nd_2^nd_3^n\ldotsДозволяти унікальне подання з пропозиції,d_j^n тобтоj й цифраn го числа. Нехайe_n := 1 якщоd_n^n \not= 1, і нехайe_n := 2 якщоd_n^n = 1. E_nДозволяти бутиn -цифра усіченняy = 0.e_1e_2e_3\ldots. Тому що всі цифри ненульові, ми отримуємо, щоE_n < E_{n+1} \leq y. ТомуE_n < y \leq E_n + {10}^{-n} для всіхn, і уявлення є унікальним дляy з пропозиції. Але для кожногоn,n ї цифриy відрізняється відn ї цифриx_n, такy \not= x_n. Томуy \notin X, якX і довільна підмножина,(0,1] повинна бути незліченною.

Використовуючи десяткові цифри, ми також можемо знайти багато чисел, які не є раціональними. Наступне судження вірно для кожного раціонального числа, але ми наводимо його тількиx \in (0,1] для простоти.

[prop:rationaldecimal] Якщоx \in (0,1] є раціональним числом іx = 0.d_1d_2d_3\ldots, то десяткові цифри зрештою починають повторюватися. Тобто є натуральні числаN іP, такі, що для всіхn \geq N,d_n = d_{n+P}.

Нехайx = \nicefrac{p}{q} для натуральних чиселp іq. Припустимо,x це число з унікальним поданням, оскільки в іншому випадку ми бачили вище, що обидва його уявлення повторюються.

Для обчислення першої цифри беремо10 p і ділимо наq. Частка - це перша цифра,d_1 а залишокr - деяке ціле число між 0 іq-1. Тобто,d_1 є найбільшим цілим таким, щоd_1 q \leq 10p і тодіr = 10p - d_1q.

Наступна цифра обчислюється10 r діленням наq, і так далі. Ми помічаємо, що на кожному кроці є максимальноq можливі залишки, а отже, в якийсь момент процес повинен почати повторюватися. Насправді ми бачимо, щоP це максимумq.

Зворотне положення також вірно і залишається як вправа.

Числоx = 0.101001000100001000001\ldots, нераціональне. Тобто цифри - цеn нулі, потім одиниця, потімn+1 нулі, потім одиниця, і так далі і так далі. Те, щоx є ірраціональним, випливає з пропозиції; цифри ніколи не починають повторюватися. Для кожногоP, якщо ми йдемо досить далеко, ми знаходимо 1, за яким слідують принаймніP+1 нулі.

Вправи

Що таке десяткове подання1 гарантовано? Переконайтеся, що показати, що він задовольняє умові.

Доведіть зворотне, тобто, якщо цифри в десятковому поданні зx кінцевим часом повторюються, тоx повинні бути раціональними.

Показати, що дійсні числаx \in (0,1) з неунікальним десятковим поданням є саме раціональними числами, які можна записати як\frac{m}{10^n} для деяких цілих чиселm іn. У цьому випадку показують, що існує рівно два уявлення проx.

b \geq 2Дозволяти ціле число. Визначте подання дійсного числа[0,1] в терміні бази,b а не основи 10 і доведіть для базиb.

Використовуючи попередню вправу зb=2 (двійковий), показати, що кардинальність{\mathbb{R}} є такою ж, як і кардинальність{\mathcal{P}}({\mathbb{N}}), отримуючи ще одне (хоча і пов'язане) доказ, що{\mathbb{R}} є незліченним. Підказка: Побудувати два ін'єкції, один від[0,1] до{\mathcal{P}}({\mathbb{N}}) і один від{\mathcal{P}}({\mathbb{N}}) до[0,1]. Підказка 2: З урахуваннямA \subset {\mathbb{N}} множини, нехай двійкова цифраx дорівнює 1, якщоn\in A.n

Побудувати біекцію між[0,1] і[0,1] \times [0,1]. Підказка: враховуйте парні та непарні цифри та будьте обережні щодо унікальності подання.

Послідовності та ряди

Послідовності та межі

Примітка: 2.5 лекції

Аналіз по суті полягає в прийнятті обмежень. Найосновніший тип обмеження - це межа послідовності дійсних чисел. Ми вже бачили послідовності, які використовуються неофіційно. Наведемо формальне визначення.

Послідовність (дійсних чисел) - це функціяx \colon {\mathbb{N}}\to {\mathbb{R}}. Замість цьогоx(n) ми зазвичай позначаємоn й елемент в послідовності поx_n. Використовуємо позначення\{ x_n \}, а точніше\{ x_n \}_{n=1}^\infty, для позначення послідовності.

Послідовність\{ x_n \} обмежена, якщо існуєB \in {\mathbb{R}} така, що\left\lvert {x_n} \right\rvert \leq B \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$.} Іншими словами, послідовність\{x_n\} обмежується щоразу, коли\{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\} множина обмежена.

Коли нам потрібно дати конкретну послідовність, ми часто даємо кожен член як формулу з точки зоруn. Наприклад\{ \nicefrac{1}{n} \}_{n=1}^\infty, або просто\{ \nicefrac{1}{n} \}, позначає послідовність1, \nicefrac{1}{2}, \nicefrac{1}{3}, \nicefrac{1}{4}, \nicefrac{1}{5}, \ldots. Послідовність\{ \nicefrac{1}{n} \} є обмеженою послідовністю (B=1буде достатньо). З іншого боку, послідовність\{ n \} означає1,2,3,4,\ldots, і ця послідовність не обмежена (чому?).

Хоча позначення для послідовності подібне 7 до позначення множини, поняття відрізняються. Наприклад, послідовність\{ {(-1)}^n \} - це послідовність-1,1,-1,1,-1,1,\ldots, тоді як набір значень, діапазон послідовності, - це просто безліч\{ -1, 1 \}. Ми можемо написати цей набір як\{ {(-1)}^n : n \in {\mathbb{N}}\}. Коли може виникнути неоднозначність, ми використовуємо послідовність слів або набір, щоб розрізнити два поняття.

Іншим прикладом послідовності є так звана постійна послідовність. Тобто послідовність, що\{ c \} = c,c,c,c,\ldots складається з однієї постійної, щоc \in {\mathbb{R}} повторюється нескінченно довго.

Тепер ми перейдемо до ідеї обмеження послідовності. Ми побачимо в тому, що позначення нижче чітко визначені. Тобто, якщо ліміт існує, то він унікальний. Так що має сенс говорити про межу послідовності.

Кажуть,\{ x_n \} що послідовність сходиться до числаx \in {\mathbb{R}}, якщо для кожного\epsilon > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} така, що\left\lvert {x_n - x} \right\rvert < \epsilon для всіхn \geq M. Кількістьx, як кажуть, межа\{ x_n \}. пишемо\lim_{n\to \infty} x_n := x .

Послідовність, яка сходиться, кажуть, що збігається. В іншому випадку послідовність кажуть, що розходиться.

Добре інтуїтивно знати, що означає ліміт. Це означає, що в кінцевому підсумку кожне число в послідовності наближається до числаx. Точніше, ми можемо довільно наблизитися до межі, за умови, що зайдемо досить далеко в послідовності. Це не означає, що ми коли-небудь досягаємо межі. Цілком можливо, і досить поширене, що немаєx_n в послідовності, яка дорівнює межіx. Ми ілюструємо поняття в. На малюнку ми спочатку думаємо про послідовність як графік, оскільки вона є функцією{\mathbb{N}}. По-друге, ми також будуємо його як послідовність позначених точок на реальній лінії.

Коли ми пишемо\lim\, x_n = x для деякого реального числаx, ми говоримо дві речі. По-перше,\{ x_n \} тобто сходиться, а по-друге, що межа єx.

Вищевказане визначення є одним з найважливіших визначень в аналізі, і розуміти його необхідно досконало. Ключовим моментом у визначенні є те, що з огляду на будь-який\epsilon > 0, ми можемо знайтиM. ЦеM може залежати від\epsilon, тому ми вибираємо лишеM один раз, коли знаємо\epsilon. Проілюструємо це поняття на кількох прикладах.

Постійна послідовність1,1,1,1,\ldots збігається, а межа дорівнює 1. Для кожного\epsilon > 0 ми підбираємоM = 1.

Претензія: Послідовність\{ \nicefrac{1}{n} \} збігається і\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0 . Доказ: З огляду на\epsilon > 0, знаходимоM \in {\mathbb{N}} таку, що0 < \nicefrac{1}{M} < \epsilon (на роботі). Тоді для всіх уn \geq M нас є, що\left\lvert {x_n - 0} \right\rvert = \left\lvert {\frac{1}{n}} \right\rvert = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{M} < \epsilon .

\{ {(-1)}^n \}Послідовність розходиться. Доказ: Якщо існував лімітx, то для\epsilon = \frac{1}{2} нас очікуємоM, що задовольняє визначенню. Припустимо, такеM існує, то для парногоn \geq M ми\nicefrac{1}{2} > \left\lvert {x_n - x} \right\rvert = \left\lvert {1 - x} \right\rvert \qquad \text{and} \qquad \nicefrac{1}{2} > \left\lvert {x_{n+1} - x} \right\rvert = \left\lvert {-1 - x} \right\rvert . обчислюємо Але2 = \left\lvert {1 - x - (-1 -x)} \right\rvert \leq \left\lvert {1 - x} \right\rvert + \left\lvert {-1 -x} \right\rvert < \nicefrac{1}{2} + \nicefrac{1}{2} = 1 , і це протиріччя.

[prop:limisunique] Конвергентна послідовність має унікальну межу.

Доказ цієї пропозиції демонструє корисну техніку в аналізі. Багато доказів слідують одній і тій же загальній схемі. Ми хочемо показати певну величину дорівнює нулю. Ми запишемо величину, використовуючи нерівність трикутника як дві величини, і оцінюємо кожну з них довільно малими числами.

Припустимо, послідовність\{ x_n \} має межуx і межуy. Візьміть довільну\epsilon > 0. З визначення знайдітьM_1 таке, що для всіхn \geq M_1,\left\lvert {x_n-x} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. Аналогічно знаходимоM_2 таке, що для всіх уn \geq M_2 нас є\left\lvert {x_n-y} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. ВізьмітьM := \max \{M_1, M_2\}. Боn \geq M (так щоn \geq M_1 і те й іншеn \geq M_2) у нас\begin{split} \left\lvert {y-x} \right\rvert & = \left\lvert {x_n-x - (x_n -y)} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {x_n-x} \right\rvert + \left\lvert {x_n -y} \right\rvert \\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split} Як\left\lvert {y-x} \right\rvert < \epsilon для всіх\epsilon > 0, то\left\lvert {y-x} \right\rvert = 0 іy=x. Звідси межа (якщо вона існує) є унікальною.

Збіжна\{ x_n \} послідовність обмежена.

Припустимо,\{ x_n \} сходиться доx. При цьому існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {x_n - x} \right\rvert < 1. НехайB_1 := \left\lvert {x} \right\rvert+1 і зауважте, що дляn \geq M нас\begin{split} \left\lvert {x_n} \right\rvert & = \left\lvert {x_n - x + x} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {x_n - x} \right\rvert + \left\lvert {x} \right\rvert \\ & < 1 + \left\lvert {x} \right\rvert = B_1 . \end{split}\{ \left\lvert {x_1} \right\rvert, \left\lvert {x_2} \right\rvert, \ldots, \left\lvert {x_{M-1}} \right\rvert \} є Набір є кінцевий набір і, отже,B_2 := \max \{ \left\lvert {x_1} \right\rvert, \left\lvert {x_2} \right\rvert, \ldots, \left\lvert {x_{M-1}} \right\rvert \} . нехайB := \max \{ B_1, B_2 \}. Тоді для всіх уn \in {\mathbb{N}} нас є\left\lvert {x_n} \right\rvert \leq B. \qedhere

Послідовність\{ {(-1)}^n \} показує, що зворотне не тримається. Обмежена послідовність не обов'язково збігається.

Покажемо послідовність\left\{ \frac{n^2+1}{n^2+n} \right\} сходиться і\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+1}{n^2+n} = 1 .

Враховуючи\epsilon > 0, знайдітьM \in {\mathbb{N}} таке, що\frac{1}{M+1} < \epsilon. Тоді для будь-якого уn \geq M нас є\begin{split} %\abs{\frac{n^2+1}{n^2+n} - 1} & = %\abs{\frac{n^2+1 - (n^2+n)}{n^2+n}} \\ \left\lvert {\frac{n^2+1}{n^2+n} - 1} \right\rvert = \left\lvert {\frac{n^2+1 - (n^2+n)}{n^2+n}} \right\rvert & = \left\lvert {\frac{1 - n}{n^2+n}} \right\rvert \\ & = \frac{n-1}{n^2+n} \\ & \leq \frac{n}{n^2+n} = \frac{1}{n+1} \\ & \leq \frac{1}{M+1} < \epsilon . \end{split} Отже,\lim \frac{n^2+1}{n^2+n} = 1.

Монотонні послідовності

Найпростіший тип послідовності - монотонна послідовність. Перевірити, чи збігається монотонна послідовність, так само просто, як перевірити, чи вона обмежена. Також легко знайти межу для конвергентної монотонної послідовності, за умови, що ми можемо знайти супремум або інфімум лічильного набору чисел.

\{ x_n \}Послідовність монотонно збільшується, якщоx_n \leq x_{n+1} для всіхn \in {\mathbb{N}}. \{ x_n \}Послідовність монотонно зменшується, якщоx_n \geq x_{n+1} для всіхn \in {\mathbb{N}}. Якщо послідовність або монотонне збільшення, або монотонне зменшення, ми можемо просто сказати, що послідовність монотонна. Деякі автори також використовують слово монотонний.

Наприклад,\{ \nicefrac{1}{n} \} є монотонним зменшенням, постійна послідовність\{ 1 \} є як монотонним збільшенням, так і монотонним зменшенням, і не\{ {(-1)}^n \} є монотонною. Перші кілька термінів зразка монотонної зростаючої послідовності показані в.

[thm:monotoneconv] Монотонна послідовність\{ x_n \} обмежена тоді і лише тоді, коли вона збіжна.

Крім того, якщо монотонно збільшується і\{ x_n \} обмежується, то\lim_{n\to \infty} x_n = \sup \{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\} . Якщо\{ x_n \} монотонно зменшується і обмежується, то\lim_{n\to \infty} x_n = \inf \{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\} .

Припустимо, послідовність монотонно збільшується. Припустимо, послідовність обмежена, тому існуєB такаn, щоx_n \leq B для всіх, тобто\{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\} множина обмежена зверху. x := \sup \{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\} .\epsilon > 0Дозволяти бути довільним. Як іx супремум, то повинен бути хоча б одинM \in {\mathbb{N}} такий, щоx_{M} > x-\epsilon (тому щоx є супремум). Як\{ x_n \} монотонність збільшується, то легко побачити (по) щоx_n \geq x_{M} для всіхn \geq M. \left\lvert {x_n-x} \right\rvert = x-x_n \leq x-x_{M} < \epsilon .Отже, послідовність сходиться доx. Ми вже знаємо, що збіжна послідовність обмежена, що завершує інший напрямок імплікації.

Доказ монотонних спадних послідовностей залишається як вправа.

Візьміть послідовність\{ \frac{1}{\sqrt{n}} \}.

Перш\frac{1}{\sqrt{n}} > 0 за всеn \in {\mathbb{N}}, а значить, послідовність обмежена знизу. Покажемо, що це монотонне зменшення. Почнемо з\sqrt{n+1} \geq \sqrt{n} (чому це правда?). З цієї нерівності ми отримуємо\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} . Так послідовність монотонно зменшується і обмежена знизу (отже, обмежена). Ми застосовуємо теорему, щоб відзначити, що послідовність є збіжною і насправді\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \inf \left\{ \frac{1}{\sqrt{n}} : n \in {\mathbb{N}}\right\} . Ми вже знаємо, що infimum більше або дорівнює 0, оскільки 0 є нижньою межею. Візьміть числоb \geq 0 таке, щоb \leq \frac{1}{\sqrt{n}} для всіхn. Ми квадратні обидві сторони, щоб отриматиb^2 \leq \frac{1}{n} \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$}. Ми бачили раніше, що це означає, щоb^2 \leq 0 (наслідок). Як у нас теж єb^2 \geq 0, тоb^2 = 0 і такb = 0. b=0Звідси і найбільша нижня межа, і\lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.

Слово застереження: Ми повинні показати, що монотонна послідовність обмежена для використання. Наприклад, послідовність\{ 1 + \nicefrac{1}{2} + \cdots + \nicefrac{1}{n} \} - це монотонна зростаюча послідовність, яка росте дуже повільно. Ми побачимо, як тільки ми дійдемо до серії, що ця послідовність не має верхньої межі і тому не сходиться. Зовсім не очевидно, що ця послідовність не має верхньої межі.

Поширеним прикладом того, де виникають монотонні послідовності, є наступна пропозиція. Доказ залишають як вправу.

[prop:supinfseq]S \subset {\mathbb{R}} Дозволяти бути непорожнім обмеженою множиною. Тоді існують монотонні послідовності\{ x_n \} і\{ y_n \} такі, щоx_n, y_n \in S і\sup\,S = \lim_{n\to \infty} x_n \qquad \text{and} \qquad \inf\,S = \lim_{n\to\infty} y_n .

Хвіст послідовності

Для послідовності\{ x_n \} K-tail (деK \in {\mathbb{N}}) або просто хвіст послідовності - це послідовність, що починається зK+1, зазвичай пишеться як\{ x_{n+K} \}_{n=1}^\infty \qquad \text{or} \qquad \{ x_n \}_{n=K+1}^\infty .

Основним результатом щодо хвоста послідовності є наступна пропозиція.

\{ x_n \}_{n=1}^\inftyДозволяти послідовність. Тоді такі твердження рівнозначні:

  1. [prop:ktail:i] Послідовність\{ x_n \}_{n=1}^\infty збігається.
  2. [prop:ktail:ii]K\{ x_{n+K} \}_{n=1}^\infty -tail сходиться для всіхK \in {\mathbb{N}}.
  3. [prop:ktail:iii] Для деяких\{ x_{n+K} \}_{n=1}^\infty зближуєтьсяK -tailK \in {\mathbb{N}}.

Крім того, якщо існують будь-які (а значить і всі) межі, то для будь-якогоK \in {\mathbb{N}}\lim_{n\to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} x_{n+K} .

Зрозуміло, що [prop:ktail:ii] має на увазі [prop:ktail:iii]. Тому спочатку ми покажемо, що [prop:ktail:i] означає [prop:ktail:ii], а потім покажемо, що [prop:ktail:iii] означає [prop:ktail:i]. У процесі ми також покажемо, що межі рівні.

Почнемо з [prop:ktail:i] має на увазі [prop:ktail:ii]. Припустимо,\{x_n \} сходиться до деякихx \in {\mathbb{R}}. K \in {\mathbb{N}}Дозволяти бути довільним. Визначимоy_n := x_{n+K}, ми хочемо показати, що\{ y_n \} сходиться доx. Тобто, з огляду на\epsilon > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що\left\lvert {x-x_n} \right\rvert < \epsilon для всіхn \geq M. Зверніть увагу, щоn \geq M має на увазіn+K \geq M. Отже, це правда, що для всіхn \geq M ми маємо те, що\left\lvert {x-y_n} \right\rvert = \left\lvert {x-x_{n+K}} \right\rvert < \epsilon . Тому\{ y_n \} сходиться доx.

Перейдемо до [prop:ktail:iii] означає [prop:ktail:i]. K \in {\mathbb{N}}Дозволяти дати, визначитиy_n := x_{n+K}, і припустимо, що\{ y_n \} сходитьсяx \in {\mathbb{R}}. Тобто, з огляду на\epsilon > 0, існуєM' \in {\mathbb{N}} таке, що\left\lvert {x-y_n} \right\rvert < \epsilon для всіхn \geq M'. НехайM := M'+K. Потімn \geq M має на увазіn-K \geq M'. Таким чином, колиn \geq M ми маємо\left\lvert {x-x_n} \right\rvert = \left\lvert {x-y_{n-K}} \right\rvert < \epsilon. Тому\{ x_n \} сходиться доx.

По суті, межа не дбає про те, як починається послідовність, вона піклується лише про хвіст послідовності. Тобто початок послідовності може бути довільним.

Наприклад, послідовність,x_n := \frac{n}{n^2+16} визначена, зменшується, якщо ми починаємо зn=4 (вона збільшується раніше). Тобто\{ x_n \} = \nicefrac{1}{17}, \nicefrac{1}{10}, \nicefrac{3}{25}, \nicefrac{1}{8}, \nicefrac{5}{41}, \nicefrac{3}{26}, \nicefrac{7}{65}, \nicefrac{1}{10}, \nicefrac{9}{97}, \nicefrac{5}{58},\ldots, і\nicefrac{1}{17} < \nicefrac{1}{10} < \nicefrac{3}{25} < \nicefrac{1}{8} > \nicefrac{5}{41} > \nicefrac{3}{26} > \nicefrac{7}{65} > \nicefrac{1}{10} > \nicefrac{9}{97} > \nicefrac{5}{58} > \ldots . Тобто якщо ми викинемо перші 3 терміни і подивимося на 3 хвіст він зменшується. Доказ залишають як вправу. Так як 3-хвіст монотонний і обмежений нижче нулем, він сходиться, і тому послідовність сходиться.

Підпослідовності

Дуже корисним поняттям, пов'язаним з послідовностями, є поняття підпослідовності. Підпослідовність\{ x_n \} - це послідовність, яка містить лише деякі числа з\{ x_n \} того ж порядку.

\{ x_n \}Дозволяти послідовність. \{ n_i \}Дозволяти бути строго зростаюча послідовність натуральних чисел (тобтоn_1 < n_2 < n_3 < \cdots). Послідовність\{ x_{n_i} \}_{i=1}^\infty називається підпослідовністю\{ x_n \}.

Для прикладу візьмемо послідовність\{ \nicefrac{1}{n} \}. Послідовність\{ \nicefrac{1}{3n} \} є підпослідовністю. Щоб побачити, як ці дві послідовності вписуються в визначення, візьмітьn_i := 3i. Числа в підпослідовності повинні виходити з початкової послідовності, тому не1,0,\nicefrac{1}{3},0, \nicefrac{1}{5},\ldots є підпослідовністю\{ \nicefrac{1}{n} \}. Аналогічно порядок повинен зберігатися, тому послідовність не1,\nicefrac{1}{3},\nicefrac{1}{2},\nicefrac{1}{5},\ldots є підпослідовністю\{ \nicefrac{1}{n} \}.

Хвіст послідовності - це один особливий тип підпослідовності. Для довільної підпослідовності ми маємо наступну пропозицію про збіжність.

[prop:seqtosubseq] Якщо\{ x_n \} є збіжною послідовністю, то будь-яка\{ x_{n_i} \} підпослідовність також збігається і\lim_{n\to \infty} x_n = \lim_{i\to \infty} x_{n_i} .

Припустимо\lim_{n\to \infty} x_n = x. Це означає, що для кожного у\epsilon > 0 нас єM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіхn \geq M\left\lvert {x_n - x} \right\rvert < \epsilon . Це не важко довести (зробити це!) тим самимn_i \geq i. Звідсиi \geq M випливаєn_i \geq M. Таким чином, за все уi \geq M нас є\left\lvert {x_{n_i} - x} \right\rvert < \epsilon , і ми зробили.

Існування збіжної підпослідовності не передбачає збіжності самої послідовності. Візьміть послідовність0,1,0,1,0,1,\ldots. Тобтоx_n = 0 якщоn непарно, аx_n = 1 якщоn парне. \{ x_n \}Послідовність розходиться, однак, підпослідовність\{ x_{2n} \} сходиться до 1, а підпослідовність\{ x_{2n+1} \} сходиться до 0. Порівняти.

Вправи

У наступних вправах сміливо використовуйте те, що ви знаєте з обчислення, щоб знайти межу, якщо вона існує. Але ви повинні довести, що знайшли правильну межу, або довести, що ряд розходиться.

Чи\{ 3n \} обмежена послідовність? Довести або спростувати.

Чи є послідовність\{ n \} збіжною? Якщо так, то який ліміт?

Чи є послідовність\left\{ \dfrac{{(-1)}^n}{2n} \right\} збіжною? Якщо так, то який ліміт?

Чи є послідовність\{ 2^{-n} \} збіжною? Якщо так, то який ліміт?

Чи є послідовність\left\{ \dfrac{n}{n+1} \right\} збіжною? Якщо так, то який ліміт?

Чи є послідовність\left\{ \dfrac{n}{n^2+1} \right\} збіжною? Якщо так, то який ліміт?

[Вправа: абсконв]\{ x_n \} Дозволяти бути послідовністю.

  1. Показати, що\lim\, x_n = 0 (тобто межа існує і дорівнює нулю) тоді і тільки тоді, коли\lim \left\lvert {x_n} \right\rvert = 0.
  2. Знайдіть приклад такий, який\{ \left\lvert {x_n} \right\rvert \}\{ x_n \} сходиться і розходиться.

Чи є послідовність\left\{ \dfrac{2^n}{n!} \right\} збіжною? Якщо так, то який ліміт?

Показати, що послідовність\left\{ \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}} \right\} є монотонною, обмеженою, і використовувати для пошуку межі.

Показати, що послідовність\left\{ \dfrac{n+1}{n} \right\} є монотонною, обмеженою, і використовувати для пошуку межі.

Завершіть доказ монотонних спадних послідовностей.

Доведіть.

\{ x_n \}Дозволяти збіжну монотонну послідовність. Припустимо, існуєk \in {\mathbb{N}} таке, що\lim_{n\to \infty} x_n = x_k . Показати, щоx_n = x_k для всіхn \geq k.

Знайти збіжну підпослідовність послідовності\{ {(-1)}^n \}.

\{x_n\}Дозволяти послідовність, визначенуx_n := \begin{cases} n & \text{if $n$ is odd} , \\ \nicefrac{1}{n} & \text{if $n$ is even} . \end{cases}

  1. Чи обмежена послідовність? (довести або спростувати)
  2. Чи існує збіжна підпослідовність? Якщо так, знайдіть його.

\{ x_n \}Дозволяти послідовність. Припустимо, є дві збігаються підпослідовності\{ x_{n_i} \} і\{ x_{m_i} \}. Припустимо\lim_{i\to\infty} x_{n_i} = a \qquad \text{and} \qquad \lim_{i\to\infty} x_{m_i} = b,, деa \not= b. Доведіть,\{ x_n \} що не сходиться, без використання.

Знайдіть\{ x_n \} таку послідовність, щоб для будь-якоїy \in {\mathbb{R}} існувала підпослідовність, що\{ x_{n_i} \} сходиться доy.

\{ x_n \}Дозволяти послідовність іx \in {\mathbb{R}}. Припустимо\epsilon > 0, для будь-якого, єM таке, що для всіхn \geq M,\left\lvert {x_n-x} \right\rvert \leq \epsilon. Покажіть, що\lim\, x_n = x.

Нехай\{ x_n \} буде послідовність іx \in {\mathbb{R}} така, що існуєk \in {\mathbb{N}} така, що для всіхn \geq k,x_n = x. Доведіть, що\{ x_n \} сходиться доx.

\{ x_n \}Дозволяти послідовність і визначити послідовність\{ y_n \} заy_{2k} := x_{k^2} іy_{2k-1} = x_k для всіхk \in {\mathbb{N}}. Доведіть, що\{ x_n \} сходиться, якщо і тільки якщо\{ y_n \} сходиться. Крім того, доведіть, що якщо вони сходяться, то\lim\, x_n = \lim\, y_n.

Показати, що 3-хвіст послідовності, визначеної,x_n := \frac{n}{n^2+16} є монотонним зменшенням. Підказка: Припустимоn \geq m \geq 4 і розглянемо чисельник виразуx_n-x_m.

Припустимо,\{ x_n \} що послідовність така, що підпослідовності\{ x_{2n} \}\{ x_{2n-1} \}, і\{ x_{3n} \} все сходяться. Покажіть, що\{ x_n \} є конвергентним.

Факти про межі послідовностей

Примітка: 2—2.5 лекції, рекурсивно визначені послідовності можна безпечно пропустити

У цьому розділі ми переглядаємо деякі основні результати щодо меж послідовностей. Ми починаємо з розгляду того, як послідовності взаємодіють з нерівностями.

Межі та нерівності

Основною лемою про межі та нерівності є так звана лема стиснення. Це дозволяє нам показати збіжність послідовностей у складних випадках, якщо ми знайдемо дві інші простіші збіжні послідовності, які «стискають» вихідну послідовність.

[squeeze:lemma] Нехай\{ a_n \}\{ b_n \}, і\{ x_n \} бути послідовності такі, щоa_n \leq x_n \leq b_n \quad \text{ for all $n \in {\mathbb{N}}$} . Припустимо\{ a_n \} і\{ b_n \} сходяться, а\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n . потім\{ x_n \} сходиться і\lim_{n\to \infty} x_n = \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n .

Інтуїтивна ідея доказу проілюстрована в. Якщоx межаa_n іb_n, то якщо вони обидва знаходяться в межах\nicefrac{\epsilon}{3}x, то відстань міжa_n іb_n є максимум\nicefrac{2\epsilon}{3}. Якx_n є міжa_n іb_n це максимум\nicefrac{2\epsilon}{3} відa_n. Так якa_n знаходиться в\nicefrac{\epsilon}{3} крайньому випадку далеко відx, тоx_n повинен бути максимум\epsilon далеко відx. Давайте слідувати за цією інтуїцією неухильно.

Нехайx := \lim\, a_n = \lim\, b_n. Нехай\epsilon > 0 дадуть.

ЗнайдітьM_1 таке, що для всіх уn \geq M_1 нас є\left\lvert {a_n-x} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}, іM_2 таке, що для всіх уn \geq M_2 нас є\left\lvert {b_n-x} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}. НабірM := \max \{M_1, M_2 \}. Припустимоn \geq M. Ми обчислюємо\begin{split} \left\lvert {x_n - a_n} \right\rvert = x_n-a_n & \leq b_n-a_n \\ & = \left\lvert {b_n - x + x - a_n} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {b_n - x} \right\rvert + \left\lvert {x - a_n} \right\rvert \\ & < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \frac{2\epsilon}{3} . \end{split} Озброєний цією інформацією, яку ми оцінюємо,\begin{split} \left\lvert {x_n - x} \right\rvert &= \left\lvert {x_n - x + a_n - a_n} \right\rvert \\ &\leq \left\lvert {x_n - a_n} \right\rvert + \left\lvert {a_n - x} \right\rvert \\ & < \frac{2\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon . \end{split} І ми закінчили.

Одним із застосувань є обчислення меж послідовностей за допомогою обмежень, які вже відомі. Наприклад, припустимо, що у нас є послідовність\{ \frac{1}{n\sqrt{n}} \}. Так як\sqrt{n} \geq 1 для всіхn \in {\mathbb{N}} у нас є0 \leq \frac{1}{n\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n} для всіхn \in {\mathbb{N}}. Ми вже знаємо\lim \nicefrac{1}{n} = 0. Отже, використовуючи постійну послідовність\{ 0 \} і послідовність\{ \nicefrac{1}{n} \} в лемі стискання, робимо висновок\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} = 0 .

Межі також зберігають нерівності.

[limandineq:lemma] Нехай\{ x_n \} і\{ y_n \} бути збіжними послідовностями іx_n \leq y_n , для всіхn \in {\mathbb{N}}. Тоді\lim_{n\to\infty} x_n \leq \lim_{n\to\infty} y_n .

Нехайx := \lim\, x_n іy := \lim\, y_n. Нехай\epsilon > 0 дадуть. ЗнайдітьM_1 таке, що для всіх уn \geq M_1 нас є\left\lvert {x_n-x} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. ЗнайдітьM_2 таке, що для всіх уn \geq M_2 нас є\left\lvert {y_n-y} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. Зокрема, для деякихn \geq \max\{ M_1, M_2 \} ми маємоx-x_n < \nicefrac{\epsilon}{2} іy_n-y < \nicefrac{\epsilon}{2}. Ми додаємо ці нерівності, щоб отриматиy_n-x_n+x-y < \epsilon, \qquad \text{or} \qquad y_n-x_n < y-x+ \epsilon . Оскільки уx_n \leq y_n нас є0 \leq y_n-x_n і, отже,0 < y-x+ \epsilon. Іншими словами,x-y < \epsilon . тому що\epsilon > 0 було довільнимx-y \leq 0, ми отримуємо, як ми бачили, що невід'ємне число менше будь-якого додатного\epsilon дорівнює нулю. Томуx \leq y.

Простий наслідок доведено, використовуючи постійні послідовності в. Доказ залишають як вправу.

[limandineq:cor]

  1. \{ x_n \}Дозволяти збіжну послідовність такаx_n \geq 0, що, потім\lim_{n\to\infty} x_n \geq 0.
  2. Нехайa,b \in {\mathbb{R}} і нехай\{ x_n \} буде конвергентна послідовність така, щоa \leq x_n \leq b , для всіхn \in {\mathbb{N}}. Тодіa \leq \lim_{n\to\infty} x_n \leq b.

У і ми не можемо просто замінити всі несуворі нерівності суворими нерівностями. Наприклад, нехайx_n := \nicefrac{-1}{n} іy_n := \nicefrac{1}{n}. Потімx_n < y_nx_n < 0, іy_n > 0 для всіхn. Однак ці нерівності не зберігаються граничною операцією, як ми маємо\lim\, x_n = \lim\, y_n = 0. Мораль цього прикладу полягає в тому, що суворі нерівності можуть стати нестрогими нерівностями при застосуванні обмежень; якщо ми знаємоx_n < y_n для всіхn, ми можемо лише зробити висновок\lim_{n \to \infty} x_n \leq \lim_{n \to \infty} y_n . Це питання є загальним джерелом помилок.

Неперервність алгебраїчних операцій

Обмеження добре взаємодіють з алгебраїчними операціями.

[prop:contalg] Дозволяти\{ x_n \} і\{ y_n \} бути збіжними послідовностями.

  1. [prop:contalg:i] Послідовність\{ z_n \}, деz_n := x_n + y_n, сходиться і\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n .
  2. [prop:contalg:ii] Послідовність\{ z_n \}, деz_n := x_n - y_n, сходиться і\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n .
  3. [prop:contalg:iii] Послідовність\{ z_n \}, деz_n := x_n y_n, сходиться і\lim_{n \to \infty} (x_n y_n) = \lim_{n \to \infty} z_n = \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) \left( \lim_{n \to \infty} y_n \right) .
  4. [prop:contalg:iv] Якщо\lim\, y_n \not= 0 іy_n \not= 0 для всіхn \in {\mathbb{N}}, то послідовність\{ z_n \}, деz_n := \dfrac{x_n}{y_n}, сходиться і\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} z_n = %\frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} . \frac{\lim\, x_n}{\lim\, y_n} .

Почнемо з [prop:contalg:i]. Припустимо\{ x_n \} і\{ y_n \} є збіжними послідовностями і записуємоz_n := x_n + y_n. Нехайx := \lim\, x_n,y := \lim\, y_n, іz := x+y.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. ЗнайдітьM_1 таке, що для всіх уn \geq M_1 нас є\left\lvert {x_n - x} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. ЗнайдітьM_2 таке, що для всіх уn \geq M_2 нас є\left\lvert {y_n - y} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. ВізьмітьM := \max \{ M_1, M_2 \}. Для всіхn \geq M ми маємо\begin{split} \left\lvert {z_n - z} \right\rvert &= \left\lvert {(x_n+y_n) - (x+y)} \right\rvert = \left\lvert {x_n-x + y_n-y} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {x_n-x} \right\rvert + \left\lvert {y_n-y} \right\rvert \\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \end{split} Тому [prop:contalg:i] доведено. Доказ [prop:contalg:ii] майже ідентичний і залишається як вправа.

Займемося [prop:contalg:iii]. Припустимо ще раз, що\{ x_n \} і\{ y_n \} є збіжними послідовностями і запишітьz_n := x_n y_n. Нехайx := \lim\, x_n,y := \lim\, y_n, іz := xy.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Як\{ x_n \} сходиться, вона обмежена. Тому знайдітьB >0 таку, що\left\lvert {x_n} \right\rvert \leq B для всіхn \in {\mathbb{N}}. ЗнайдітьM_1 таке, що для всіх уn \geq M_1 нас є\left\lvert {x_n - x} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2(\left\lvert {y} \right\rvert+1)}. ЗнайдітьM_2 таке, що для всіх уn \geq M_2 нас є\left\lvert {y_n - y} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2B}. ВізьмітьM := \max \{ M_1, M_2 \}. Для всіх уn \geq M нас є\begin{split} \left\lvert {z_n - z} \right\rvert &= \left\lvert {(x_ny_n) - (xy)} \right\rvert \\ & = \left\lvert {x_ny_n - (x+x_n-x_n)y} \right\rvert \\ & = \left\lvert {x_n(y_n -y) + (x_n - x)y} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {x_n(y_n -y)} \right\rvert + \left\lvert {(x_n - x)y} \right\rvert \\ & = \left\lvert {x_n} \right\rvert\left\lvert {y_n -y} \right\rvert + \left\lvert {x_n - x} \right\rvert\left\lvert {y} \right\rvert \\ & \leq B\left\lvert {y_n -y} \right\rvert + \left\lvert {x_n - x} \right\rvert\left\lvert {y} \right\rvert \\ & < B\frac{\epsilon}{2B} + \frac{\epsilon}{2(\left\lvert {y} \right\rvert+1)}\left\lvert {y} \right\rvert \\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split}

Нарешті, давайте вирішимо [prop:contalg:iv]. Замість того, щоб безпосередньо доводити [prop:contalg:iv], ми доводимо наступне більш просте твердження:

Претензія: Якщо\{ y_n \} є збіжною послідовністю така, що\lim\, y_n \not= 0 іy_n \not= 0 для всіхn \in {\mathbb{N}}, то\lim_{n\to\infty} \frac{1}{y_n} = \frac{1}{\lim\, y_n} .

Як тільки претензія буде доведена, беремо послідовність\{ \nicefrac{1}{y_n} \}, множимо її на послідовність\{ x_n \} і застосовуємо пункт [prop:contalg:iii].

Доказ позову: Нехай\epsilon > 0 буде дано. Нехайy := \lim\, y_n. ЗнайдітьM таке, що для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {y_n - y} \right\rvert < \min \left\{ \left\lvert {y} \right\rvert^2\frac{\epsilon}{2}, \, \frac{\left\lvert {y} \right\rvert}{2} \right\} . Зверніть увагу, що ми можемо зробити цю претензію, оскільки права сторона є позитивною, тому що\left\lvert {y} \right\rvert \not= 0. Тому для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {y - y_n} \right\rvert < \frac{\left\lvert {y} \right\rvert}{2}, і так\left\lvert {y} \right\rvert = \left\lvert {y - y_n + y_n } \right\rvert \leq \left\lvert {y - y_n} \right\rvert + \left\lvert { y_n } \right\rvert < \frac{\left\lvert {y} \right\rvert}{2} + \left\lvert {y_n} \right\rvert. Віднімаючи\nicefrac{\left\lvert {y} \right\rvert}{2} з обох сторін, ми отримуємо\nicefrac{\left\lvert {y} \right\rvert}{2} < \left\lvert {y_n} \right\rvert, або іншими словами,\frac{1}{\left\lvert {y_n} \right\rvert} < \frac{2}{\left\lvert {y} \right\rvert} . Тепер ми закінчуємо доказ твердження:\begin{split} \left\lvert {\frac{1}{y_n} - \frac{1}{y}} \right\rvert &= \left\lvert {\frac{y - y_n}{y y_n}} \right\rvert \\ & = \frac{\left\lvert {y - y_n} \right\rvert}{\left\lvert {y} \right\rvert \left\lvert {y_n} \right\rvert} \\ & < \frac{\left\lvert {y - y_n} \right\rvert}{\left\lvert {y} \right\rvert} \, \frac{2}{\left\lvert {y} \right\rvert} \\ & < \frac{\left\lvert {y} \right\rvert^2 \frac{\epsilon}{2}}{\left\lvert {y} \right\rvert} \, \frac{2}{\left\lvert {y} \right\rvert} = \epsilon . \end{split} І ми закінчили.

Підключивши постійні послідовності, ми отримуємо кілька легких наслідків. Якщоc \in {\mathbb{R}} і\{ x_n \} є збіжною послідовністю, то наприклад\lim_{n \to \infty} c x_n = c \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) \qquad \text{and} \qquad \lim_{n \to \infty} (c + x_n) = c + \lim_{n \to \infty} x_n . Аналогічно з постійним відніманням і діленням.

Оскільки ми можемо взяти обмеження минулого множення, ми можемо показати (вправа), що\lim\, x_n^k = {(\lim\, x_n)}^k для всіхk \in {\mathbb{N}}. Тобто ми можемо взяти межі минулих повноважень. Давайте подивимося, чи зможемо ми зробити те ж саме з корінням.

\{ x_n \}Дозволяти збіжну послідовність така, щоx_n \geq 0. Тоді\lim_{n\to\infty} \sqrt{x_n} = \sqrt{ \lim_{n\to\infty} x_n } .

Звичайно, щоб навіть зробити це твердження, нам потрібно подати заявку, щоб показати це\lim\, x_n \geq 0, щоб ми могли взяти квадратний корінь без занепокоєння.

\{ x_n \}Дозволяти збіжну послідовність і нехайx := \lim\, x_n.

Спочатку припустимоx=0. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тоді єM таке, що для всіх уn \geq M нас єx_n = \left\lvert {x_n} \right\rvert < \epsilon^2, або іншими словами\sqrt{x_n} < \epsilon. Звідси\left\lvert {\sqrt{x_n} - \sqrt{x}} \right\rvert = \sqrt{x_n} < \epsilon.

Тепер припустимоx > 0 (а значить\sqrt{x} > 0). \begin{split} \left\lvert {\sqrt{x_n}-\sqrt{x}} \right\rvert &= \left\lvert {\frac{x_n-x}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}}} \right\rvert \\ &= \frac{1}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}} \left\lvert {x_n-x} \right\rvert \\ & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \left\lvert {x_n-x} \right\rvert . \end{split}Решта докази залишаємо читачеві.

Аналогічний доказ працює іk для кореня. Тобто ми теж отримуємо\lim\, x_n^{1/k} = {( \lim\, x_n )}^{1/k}. Ми залишаємо це читачеві як складну вправу.

Ми також можемо захотіти взяти межу за знаком абсолютного значення. Зворотність цього судження не відповідає дійсності, див. Частина б).

Якщо\{ x_n \} є збіжною послідовністю, то\{ \left\lvert {x_n} \right\rvert \} є збіжною і\lim_{n\to\infty} \left\lvert {x_n} \right\rvert = \left\lvert {\lim_{n\to\infty} x_n} \right\rvert .

Ми просто відзначимо зворотну нерівність трикутника\big\lvert \left\lvert {x_n} \right\rvert - \left\lvert {x} \right\rvert \big\rvert \leq \left\lvert {x_n-x} \right\rvert . Отже, якщо\left\lvert {x_n -x} \right\rvert можна зробити довільно малим, так може\big\lvert \left\lvert {x_n} \right\rvert - \left\lvert {x} \right\rvert \big\rvert. Подробиці залишаються читачеві.

Давайте подивимося на приклад, який поєднує вищезазначені пропозиції. Так як ми знаємо\lim \nicefrac{1}{n} = 0,\lim_{n\to \infty} \left\lvert {\sqrt{1 + \nicefrac{1}{n}} - \nicefrac{100}{n^2}} \right\rvert = \left\lvert {\sqrt{1 + (\lim \nicefrac{1}{n})} - 100 (\lim \nicefrac{1}{n})(\lim \nicefrac{1}{n})} \right\rvert = 1. що, то є, межа на лівій стороні існує, тому що права сторона існує. Ви дійсно повинні прочитати вищевказане рівність справа наліво.

Рекурсивно визначені послідовності

Тепер, коли ми знаємо, що можемо обмінюватися лімітами та алгебраїчними операціями, ми можемо обчислити межі багатьох послідовностей. Одним з таких класів є рекурсивно визначені послідовності, тобто послідовності, де наступне число в послідовності обчислюється за формулою з фіксованого числа попередніх елементів послідовності.

\{ x_n \}Дозволяти бутиx_1 := 2 визначені іx_{n+1} := x_n - \frac{x_n^2-2}{2x_n} . Ми повинні спочатку з'ясувати, якщо ця послідовність добре визначена; ми повинні показати, що ми ніколи не ділимо на нуль. Тоді ми повинні з'ясувати, чи сходиться послідовність. Тільки тоді ми можемо спробувати знайти межу.

Спочатку давайте доведемоx_n існує іx_n > 0 для всіхn (так послідовність чітко визначена і обмежена нижче). Давайте покажемо це по. Ми це знаємоx_1 = 2 > 0. Для індукційного кроку припустимоx_n > 0. Тодіx_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2-2}{2x_n} = \frac{2x_n^2 - x_n^2+2}{2x_n} = \frac{x_n^2+2}{2x_n} . Якщоx_n > 0, тоx_n^2+2 > 0 і звідсиx_{n+1} > 0.

Далі покажемо, що послідовність монотонно зменшується. Якщо ми покажемо, щоx_n^2-2 \geq 0 для всіхn, тоx_{n+1} \leq x_n для всіхn. Очевидноx_1^2-2 = 4-2 = 2 > 0. Для довільногоn ми маємоx_{n+1}^2-2 = {\left( \frac{x_n^2+2}{2x_n} \right)}^2 - 2 = \frac{x_n^4+4x_n^2+4 - 8x_n^2}{4x_n^2} = \frac{x_n^4-4x_n^2+4}{4x_n^2} = \frac{{\left( x_n^2-2 \right)}^2}{4x_n^2} . Оскільки будь-яке число в квадраті є невід'ємним, у нас є, щоx_{n+1}^2-2 \geq 0 для всіхn. Тому\{ x_n \} монотонно зменшується і обмежується (x_n > 0для всіхn), а межа існує. Залишилося знайти межу.

Давайте напишемо2x_nx_{n+1} = x_n^2+2 . Оскільки\{ x_{n+1} \} це 1-хвіст\{ x_n \}, він сходиться до тієї ж межі. Давайте визначимосяx := \lim\, x_n. Беремо межу обох сторін, щоб отримати2x^2 = x^2+2 , абоx^2 = 2. Щоx_n > 0 стосується всьогоn отримуємоx \geq 0, а значитьx = \sqrt{2}.

Можливо, ви бачили наведену вище послідовність раніше. Це метод Ньютона 8 для знаходження квадратного кореня 2. Цей спосіб дуже часто придумується на практиці і сходиться дуже стрімко. Зверніть увагу, що ми використовували той фактx_1^2 -2 >0, що, хоча це не було строго потрібно, щоб показати збіжність, розглядаючи хвіст послідовності. Насправді послідовність сходиться до тих пірx_1 \not= 0, поки, хоча зx_1 негативом ми б дійшлиx=-\sqrt{2}. Замінивши 2 в чисельнику, отримаємо квадратний корінь будь-якого додатного числа. Ці твердження залишають як вправу.

Однак слід бути обережним. Перш ніж приймати будь-які обмеження, ви повинні переконатися, що послідовність сходиться. Давайте подивимося приклад.

Припустимоx_1 := 1, іx_{n+1} := x_n^2+x_n. Якщо ми сліпо припустимо, що межа існує (назвемо їїx), то ми отримаємо рівнянняx = x^2+x, з якого ми могли б зробити висновокx=0. Однак неважко показати, що\{ x_n \} є необмеженим і тому не сходиться.

У цьому прикладі слід помітити, що метод все ще працює, але це залежить від початкового значенняx_1. Якщо ми встановимоx_1 := 0, то послідовність сходиться і межа дійсно дорівнює 0. Ціла галузь математики, звана динамікою, займається саме цими питаннями.

Деякі тести на конвергенцію

Не завжди потрібно повертатися до визначення збіжності, щоб довести, що послідовність є збіжною. Наведемо спочатку простий тест на збіжність. Основна ідея полягає в тому, що\{ x_n \} сходитьсяx якщо і тільки тоді, коли\{ \left\lvert { x_n - x } \right\rvert \} сходиться до нуля.

[convzero:prop]\{ x_n \} Дозволяти бути послідовністю. Припустимо, існуєx \in {\mathbb{R}} і конвергентна послідовність\{ a_n \} така, що\lim_{n\to\infty} a_n = 0 і\left\lvert {x_n - x} \right\rvert \leq a_n назавждиn. Потім\{ x_n \} сходиться і\lim\, x_n = x.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Зверніть увагу, щоa_n \geq 0 для всіхn. ЗнайдітьM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас єa_n = \left\lvert {a_n - 0} \right\rvert < \epsilon. Тоді для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {x_n - x} \right\rvert \leq a_n < \epsilon . \qedhere

Як показує пропозиція, вивчати, коли послідовність має межу, - це те саме, що і вивчення, коли інша послідовність йде до нуля. Загалом може бути важко вирішити, чи сходиться послідовність, але для певних послідовностей існують прості тести, які повідомляють нам, сходиться послідовність чи ні. Давайте подивимося один такий тест. Спочатку обчислимо межу дуже конкретної послідовності.

Нехайc > 0.

  1. Якщоc < 1, то\lim_{n\to\infty} c^n = 0.
  2. Якщоc > 1,\{ c^n \} то необмежений.

Спочатку припустимоc > 1. Пишемоc = 1+r для деякихr > 0. За (або використовуючи біноміальну теорему, якщо ви її знаєте) ми маємо нерівність Бернуллі (див. Також):c^n = {(1+r)}^n \geq 1+nr . За дійсними числами послідовність\{ 1+nr \} необмежена (для будь-якого числа ми знаходимоn \in {\mathbb{N}} такеB, щоnr \geq B-1). Томуc^n необмежений.

Тепер давайтеc < 1. Пишітьc = \frac{1}{1+r}, деr > 0. Тодіc^n = \frac{1}{{(1+r)}^n} \leq \frac{1}{1+nr} \leq \frac{1}{r} \frac{1}{n} . As\{ \frac{1}{n} \} сходиться до нуля, так і робить\{ \frac{1}{r} \frac{1}{n} \}. Значить,\{ c^n \} сходиться до нуля.

Якщо подивитися на вищевикладене пропозицію, то відзначимо, що співвідношення терміну іn го терміну єc.(n+1) Цей простий результат ми узагальнюємо до більшого класу послідовностей. Наступна лема з'явиться знову, як тільки ми перейдемо до серії.

[seq:ratiotest]\{ x_n \} Дозволяти бути послідовністю такою, щоx_n \not= 0 для всіхn і така, що межаL := \lim_{n\to\infty} \frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} існує.

  1. ЯкщоL < 1, то\{ x_n \} сходиться і\lim\, x_n = 0.
  2. ЯкщоL > 1, то\{ x_n \} необмежений (звідси розходиться).

ЯкщоL існує, алеL=1, лема нічого не говорить. Ми не можемо зробити жодного висновку лише на основі цієї інформації. Наприклад, послідовність\{ \nicefrac{1}{n} \} сходиться до нуля, алеL=1. Постійна послідовність\{ 1 \} сходиться до 1, а не нулю, а такожL=1. Послідовність зовсім\{ {(-1)}^n \} не сходиться, іL=1. Нарешті послідовність\{ \ln n \} необмежена, ще разL=1.

ПрипустимоL < 1. Як\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} \geq 0, ми маємо цеL \geq 0. Підібратиr такий, щоL < r < 1. Ми хочемо порівняти послідовність з послідовністюr^n. Ідея полягає в тому, що хоча послідовність не буде меншою, ніж вL кінцевому підсумку, вона в кінцевому підсумку буде меншеr, ніж, що все ще менше 1. Інтуїтивна ідея доказу проілюстрована в.

Якr-L > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} - L} \right\rvert < r-L . Тому Forn > M (тобто\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} < r . дляn \geq M+1) ми пишемо\left\lvert {x_n} \right\rvert = \left\lvert {x_M} \right\rvert \frac{\left\lvert {x_{M+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{M}} \right\rvert} \frac{\left\lvert {x_{M+2}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{M+1}} \right\rvert} \cdots \frac{\left\lvert {x_{n}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{n-1}} \right\rvert} < \left\lvert {x_M} \right\rvert r r \cdots r = \left\lvert {x_M} \right\rvert r^{n-M} = (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) r^n . Послідовність\{ r^n \} сходиться до нуля і, отже,\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M} r^n сходиться до нуля. За,M -хвіст\{x_n\} сходиться до нуля і тому\{x_n\} сходиться до нуля.

Тепер припустимоL > 1. Підібратиr такий, що1 < r < L. ЯкL-r > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} - L} \right\rvert < L-r . Тому,\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} > r . Знову дляn > M нас пишемо\left\lvert {x_n} \right\rvert = \left\lvert {x_M} \right\rvert \frac{\left\lvert {x_{M+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{M}} \right\rvert} \frac{\left\lvert {x_{M+2}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{M+1}} \right\rvert} \cdots \frac{\left\lvert {x_{n}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{n-1}} \right\rvert} > \left\lvert {x_M} \right\rvert r r \cdots r = \left\lvert {x_M} \right\rvert r^{n-M} = (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) r^n . Послідовність\{ r^n \} необмежена (так якr > 1), і тому\{x_n\} не може бути обмежена (якщо\left\lvert {x_n} \right\rvert \leq B для всіхn, то r^n < \frac{B}{\left\lvert {x_M} \right\rvert} r^{M}для всіхn, що неможливо). Отже,\{ x_n \} не може сходитися.

Просте застосування вищезгаданої леми полягає в тому, щоб довести, що\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!} = 0 .

Доказ: Ми виявляємо, що\frac{2^{n+1} / (n+1)!}{2^n/n!} = \frac{2^{n+1}}{2^n}\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{2}{n+1} . Неважко побачити, що\{ \frac{2}{n+1} \} сходиться до нуля. Висновок випливає з леми.

Вправи

Доведіть. Підказка: Використовуйте постійні послідовності та.

Доведіть частину [prop:contalg:ii] з.

Доведіть, що якщо\{ x_n \} є збіжною послідовністюk \in {\mathbb{N}}, то\lim_{n\to\infty} x_n^k = {\left( \lim_{n\to\infty} x_n \right)}^k . Підказка: Використовуйте.

Припустимоx_1 := \frac{1}{2}, іx_{n+1} := x_n^2. Покажіть, що\{ x_n \} сходиться і знайти\lim\, x_n. Підказка: Ви не можете розділити на нуль!

Нехайx_n := \frac{n-\cos(n)}{n}. Використовуйте, щоб показати, що\{ x_n \} сходиться і знайти межу.

Нехайx_n := \frac{1}{n^2} іy_n := \frac{1}{n}. Визначтеz_n := \frac{x_n}{y_n} іw_n := \frac{y_n}{x_n}. Чи\{ w_n \} сходиться\{ z_n \} і сходитися? Які існують ліміти? Чи можете ви подати заявку? Чому чи чому ні?

Правда чи брехня, довести або знайти контрприклад. Якщо послідовність\{ x_n \} така, що\{ x_n^2 \} сходиться, то\{ x_n \} сходиться.

Покажіть, що\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n} = 0 .

Припустимо,\{ x_n \} це послідовність і припустимо для деякихx \in {\mathbb{R}}, межаL := \lim_{n \to \infty} \frac{\left\lvert {x_{n+1}-x} \right\rvert}{\left\lvert {x_n-x} \right\rvert} існує іL < 1. Покажіть, що\{ x_n \} сходиться доx.

\{ x_n \}Дозволяти збіжну послідовність така, щоx_n \geq 0 іk \in {\mathbb{N}}. Потім\lim_{n\to\infty} x_n^{1/k} = {\left( \lim_{n\to\infty} x_n \right)}^{1/k} . підказка: Знайдітьq такий вираз, що\frac{x_n^{1/k}-x^{1/k}}{x_n-x} = \frac{1}{q}.

Нехайr > 0. Показати, що починаючи з будь-якогоx_1 \not= 0, послідовність, визначена за допомогою,x_{n+1} := x_n - \frac{x_n^2-r}{2x_n} збігається з\sqrt{r} ifx_1 > 0 і-\sqrt{r} ifx_1 < 0.

а) Припустимо,\{ a_n \} це обмежена послідовність і послідовність,\{ b_n \} що сходиться до 0. Показати, що\{ a_n b_n \} сходиться до 0.
б) Знайдіть приклад, де\{ a_n \} необмежений,\{ b_n \} сходиться до 0 і\{ a_n b_n \} не збігається.
в) Знайдіть приклад, де\{ a_n \} обмежений,\{ b_n \} сходиться до деякихx \not= 0, а\{ a_n b_n \} не сходиться.

Ліміт вище, межа нижчий, і Больцано-Вейерштрасс

Примітка: 1—2 лекції, альтернативне доказ BW необов'язково

У цьому розділі ми вивчаємо обмежені послідовності та їх підпослідовності. Зокрема, ми визначаємо так звані граничні верхні та граничні нижчі обмеженої послідовності та говоримо про межі підпослідовностей. Крім того, доведено теорему Больцано-Вейєрштрасса 9, яка є незамінним інструментом аналізу.

Ми бачили, що кожна збіжна послідовність обмежена, хоча існує багато обмежених розбіжних послідовностей. Наприклад, послідовність\{ {(-1)}^n \} обмежена, але вона розходиться. Однак все не втрачено, і ми все ще можемо обчислити певні межі з обмеженою розбіжною послідовністю.

Верхня і нижня межі

Існують способи створення монотонних послідовностей з будь-якої послідовності, і таким чином ми отримуємо так званий ліміт вище і ліміт неповноцінний. Ці межі завжди існують для обмежених послідовностей.

Якщо послідовність\{ x_n \} обмежена, то множина\{ x_k : k \in {\mathbb{N}}\} обмежена. Тоді для кожногоn множина\{ x_k : k \geq n \} також обмежена (оскільки вона є підмножиною).

[liminflimsup:def]\{ x_n \} Дозволяти бути обмеженою послідовністю. Нехайa_n := \sup \{ x_k : k \geq n \} іb_n := \inf \{ x_k : k \geq n \}. Визначте\begin{aligned} \limsup_{n \to \infty} \, x_n & := \lim_{n \to \infty} a_n , \\ \liminf_{n \to \infty} \, x_n & := \lim_{n \to \infty} b_n .\end{aligned}

Для обмеженої послідовності завжди існують liminf і limsup (див. Нижче). Можна визначити liminf і limsup для необмежених послідовностей, якщо ми дозволимо\infty і-\infty. Неважко узагальнити наступні результати, щоб включити необмежені послідовності, однак спочатку ми обмежуємо свою увагу обмеженими.

\{ x_n \}Дозволяти бути обмеженою послідовністю. Нехайa_n іb_n бути як у визначенні вище.

  1. Послідовність\{ a_n \} обмежена монотонним зменшенням і\{ b_n \} обмежена монотонним збільшенням. Зокрема,\liminf x_n і\limsup x_n існують.
  2. \displaystyle \limsup_{n \to \infty} \, x_n = \inf \{ a_n : n \in {\mathbb{N}}\}і\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \, x_n = \sup \{ b_n : n \in {\mathbb{N}}\}.
  3. \displaystyle \liminf_{n \to \infty} \, x_n \leq \limsup_{n \to \infty} \, x_n.

Давайте розберемося\{ a_n \}, чому відбувається спадна послідовність. Як іa_n найменша верхня межа для\{ x_k : k \geq n \}, вона також є верхньою межею для підмножини\{ x_k : k \geq (n+1) \}. a_{n+1}Тому найменша верхня\{ x_k : k \geq (n+1) \} межа для, повинна бути менше або дорівнюєa_n, тобтоa_n \geq a_{n+1}. Аналогічно (вправа),b_n відбувається зростаюча послідовність. Залишається як вправа, щоб показати,x_n що якщо обмежений, тоa_n іb_n повинен бути обмежений.

Другий пункт у пропозиції випливає як послідовності\{ a_n \} і\{ b_n \} є монотонними.

Для третього пункту відзначимоb_n \leq a_n, що, як набір менше або дорівнює його\sup.\inf Ми знаємо, що\{ a_n \} і\{ b_n \} сходяться до кінцівок і лімінф (відповідно). Звертаємося для отримання\lim_{n\to \infty} b_n \leq \lim_{n\to \infty} a_n. \qedhere

\{ x_n \}Дозволяти визначитисяx_n := \begin{cases} \frac{n+1}{n} & \text{ if $n$ is odd,} \\ 0 & \text{ if $n$ is even.} \end{cases} Давайте обчислимо\liminf і\limsup цієї послідовності. Спочатку межа нижча:\liminf_{n\to\infty} \, x_n = \lim_{n\to\infty} \left( \inf \{ x_k : k \geq n \} \right) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0 . Для граничного вищого ми пишемо\limsup_{n\to\infty} \, x_n = \lim_{n\to\infty} \left( \sup \{ x_k : k \geq n \} \right) . Це не важко побачити\sup \{ x_k : k \geq n \} = \begin{cases} \frac{n+1}{n} & \text{ if $n$ is odd,} \\ \frac{n+2}{n+1} & \text{ if $n$ is even.} \end{cases} Ми залишаємо це читачеві, щоб показати, що межа дорівнює 1. Тобто зверніть увагу,\limsup_{n\to\infty} \, x_n = 1 . що послідовність не\{ x_n \} є збіжною послідовністю.

Ми пов'язуємо з\limsup і\liminf певні підпослідовності.

[subseqlimsupinf:thm] Якщо\{ x_n \} обмежена послідовність, то існує\{ x_{n_k} \} така підпослідовність, що\lim_{k\to \infty} x_{n_k} = \limsup_{n \to \infty} \, x_n . Аналогічно існує (можливо, інша) підпослідовність\{ x_{m_k} \} така, що\lim_{k\to \infty} x_{m_k} = \liminf_{n \to \infty} \, x_n .

Визначтеa_n := \sup \{ x_k : k \geq n \}. Пишітьx := \limsup \, x_n = \lim\, a_n. Визначте підпослідовність наступним чином. Підбирайтеn_1 := 1 і працюйте індуктивно. Припустимо, ми визначили підпослідовність покиn_k для деякихk. Тепер виберіть деякіm > n_k такі, щоa_{(n_k+1)} - x_m < \frac{1}{k+1} . Ми можемо зробитиa_{(n_k+1)} це як supremum множини\{ x_n : n \geq n_k + 1 \} і, отже, є елементи послідовності довільно близькі (або навіть можливо рівні) до supremum. Набірn_{k+1} := m. \{ x_{n_k} \}Визначається підпослідовність. Далі нам потрібно довести, що вона сходиться і має потрібну межу.

Зауважте, щоa_{(n_{k-1}+1)} \geq a_{n_k} (чому?) і щоa_{n_{k}} \geq x_{n_k}. Тому для кожного уk > 1 нас є\begin{split} \left\lvert {a_{n_k} - x_{n_k}} \right\rvert & = a_{n_k} - x_{n_k} \\ & \leq a_{(n_{k-1}+1)} - x_{n_k} \\ & < \frac{1}{k} . \end{split}

Давайте покажемо, що\{ x_{n_k} \} сходиться доx. Зверніть увагу, що підпослідовність не повинна бути монотонною. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Як\{ a_n \} сходиться доx, то підпослідовність\{ a_{n_k} \} сходиться доx. Таким чином існуєM_1 \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уk \geq M_1 нас\left\lvert {a_{n_k} - x} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} . знайдетьсяM_2 \in {\mathbb{N}} таке, що\frac{1}{M_2} \leq \frac{\epsilon}{2}. ВізьмітьM := \max \{M_1 , M_2 \} і обчислюйте. Для всіх уk \geq M нас є\begin{split} \left\lvert {x- x_{n_k}} \right\rvert & = \left\lvert {a_{n_k} - x_{n_k} + x - a_{n_k}} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {a_{n_k} - x_{n_k}} \right\rvert + \left\lvert {x - a_{n_k}} \right\rvert \\ & < \frac{1}{k} + \frac{\epsilon}{2} \\ & \leq \frac{1}{M_2} + \frac{\epsilon}{2} \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split}

Ми залишаємо заяву для\liminf як вправу.

Використання ліміту нижчого та граничного покращеного

Перевага\liminf і\limsup полягає в тому, що ми завжди можемо записати їх для будь-якої (обмеженої) послідовності. Якби ми могли якось обчислити їх, ми могли б також обчислити межу послідовності, якщо вона існує, або показати, що послідовність розходиться. Робота з\liminf і трохи\limsup схожа на роботу з лімітами, хоча є тонкі відмінності.

[liminfsupconv:thm]\{ x_n \} Дозволяти бути обмеженою послідовністю. Потім\{ x_n \} сходиться якщо і тільки якщо\liminf_{n\to \infty} \, x_n = \limsup_{n\to \infty} \, x_n. Крім того, якщо\{ x_n \} сходиться, то\lim_{n\to \infty} x_n = \liminf_{n\to \infty} \, x_n = \limsup_{n\to \infty} \, x_n.

Визначтеa_n іb_n як в. Зверніть увагу\liminf \, x_n = \limsup \, x_n, щоb_n \leq x_n \leq a_n . Якщо, то ми знаємо, що\{ a_n \} і\{ b_n \} мають обмеження і що ці дві межі однакові. За вичавлювати лему (),\{ x_n \} сходиться і\lim_{n\to \infty} b_n = \lim_{n\to \infty} x_n = \lim_{n\to \infty} a_n .

Тепер припустимо,\{ x_n \} сходиться доx. Ми знаємо, що існує підпослідовність\{ x_{n_k} \}, яка сходиться до\limsup \, x_n. Як\{ x_n \} сходиться доx, кожна підпослідовність сходиться доx і тому\limsup \, x_n = \lim\, x_{n_k} = x. Аналогічно\liminf \, x_n = x.

Граничний вищий і ліміт нижчого поводяться красиво з підпослідовностями.

[prop:subseqslimsupinf] Припустимо,\{ x_n \} що це обмежена послідовність і\{ x_{n_k} \} є підпослідовністю. Тоді\liminf_{n\to\infty} \, x_n \leq \liminf_{k\to\infty} \, x_{n_k} \leq \limsup_{k\to\infty} \, x_{n_k} \leq \limsup_{n\to\infty} \, x_n .

Середня нерівність вже доведена. Доведемо третю нерівність, а першу нерівність залишимо як вправу.

Ми хочемо це довести\limsup \, x_{n_k} \leq \limsup \, x_n. Визначтеa_j := \sup \{ x_k : k \geq j \} як зазвичай. Також визначтеc_j := \sup \{ x_{n_k} : k \geq j \}. Це не правда, що обов'язковоc_j є підпослідовністюa_j. Однак, як іn_k \geq k для всіхk, у нас це є\{ x_{n_k} : k \geq j \} \subset \{ x_k : k \geq j \}. Супремум підмножини менше або дорівнює супрему множини, і томуc_j \leq a_j . ми застосовуємо, щоб зробити висновок,\lim_{j\to\infty} c_j \leq \lim_{j\to\infty} a_j , який є бажаним висновком.

Граничний вищий і граничний нижчий є найбільшими і найменшими підпослідовними межами. Якщо підпослідовність у попередньому судженні є збіжною, то ми маємо це\liminf \, x_{n_k} = \lim\, x_{n_k} = \limsup \, x_{n_k}. Тому\liminf_{n\to\infty} \, x_n \leq \lim_{k\to\infty} x_{n_k} \leq \limsup_{n\to\infty} \, x_n .

Аналогічно отримуємо наступний корисний тест на збіжність обмеженої послідовності. Доказ залишаємо як вправу.

[seqconvsubseqconv:thm] Обмежена послідовність\{ x_n \} є збіжною і сходиться доx if і тільки тоді, коли кожна збіжна підпослідовність\{ x_{n_k} \} збігається доx.

Теорема Больцано-Вейєрштрасса

Хоча неправда, що обмежена послідовність є збіжною, теорема Больцано-Вейєрштрасса говорить нам, що ми можемо принаймні знайти збіжну підпослідовність. Версія Больцано-Вейєрштрасса, яку ми представляємо в цьому розділі, - це Больцано-Вейєрштрасс для послідовностей.

[thm:bwseq] Припустимо, що\{ x_n \} послідовність дійсних чисел обмежена. Тоді існує збіжна підпослідовність\{ x_{n_i} \}.

Використовуємо. Він говорить про те, що існує підпослідовність, межа якої є\limsup \, x_n.

Читач може скаржитися прямо зараз, що суворо сильніше, ніж теорема Больцано-Вейєрштрасса, представлена вище. Це правда. Однак застосовується лише до реальної лінії, але Больцано-Вейерштрасс застосовується в більш загальних контекстах (тобто в{\mathbb{R}}^n) з майже точно таким же твердженням.

Оскільки теорема настільки важлива для аналізу, ми наводимо явний доказ. Наступний доказ легше узагальнює різні контексти.

Оскільки послідовність обмежена, то існує два числаa_1 < b_1 такі, щоa_1 \leq x_n \leq b_1 для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Ми визначимо підпослідовність\{ x_{n_i} \} і дві послідовності\{ a_i \} і\{ b_i \}, такі, що\{ a_i \} є монотонним збільшенням,\{ b_i \} є монотонним зменшенням,a_i \leq x_{n_i} \leq b_i і таким, що\lim\, a_i = \lim\, b_i. Те, щоx_{n_i} сходиться випливає з.

Послідовності визначаємо індуктивно. Ми завжди матимемо цеa_i < b_i, і цеx_n \in [a_i,b_i] для нескінченно багатьохn \in {\mathbb{N}}. Ми вже визначилиa_1 іb_1. Беремоn_1 := 1, тобтоx_{n_1} = x_1.

Тепер припустимо, що до деякихk \in {\mathbb{N}} ми визначили підпослідовністьx_{n_1}, x_{n_2}, \ldots, x_{n_k}, а послідовностіa_1,a_2,\ldots,a_k іb_1,b_2,\ldots,b_k. Нехайy := \frac{a_k+b_k}{2}. Чіткоa_k < y < b_k. Якщо існує нескінченно багатоj \in {\mathbb{N}} таких щоx_j \in [a_k,y], то встановлюютьa_{k+1} := a_kb_{k+1} := y, і підбираютьn_{k+1} > n_{k} такі, щоx_{n_{k+1}} \in [a_k,y]. Якщоj таких немає нескінченно багатоx_j \in [a_k,y], то повинно бути правдою, щоj \in {\mathbb{N}} таких нескінченно багатоx_j \in [y,b_k]. У цьому випадку підбираютьa_{k+1} := yb_{k+1} := b_k, і підбираютьn_{k+1} > n_{k} такі, щоx_{n_{k+1}} \in [y,b_k].

Тепер ми маємо послідовності визначені. Що залишилося довести, це те, що\lim\, a_i = \lim\, b_i. Очевидно, що межі існують, оскільки послідовності є монотонними. З конструкції очевидно, що на кожному кроціb_i - a_i розрізається навпіл. Томуb_{i+1} - a_{i+1} = \frac{b_i-a_i}{2}. До того, ми отримуємо, щоb_i - a_i = \frac{b_1-a_1}{2^{i-1}} .

Нехайx := \lim\, a_i. Як\{ a_i \} монотонно у нас є, щоx = \sup \{ a_i : i \in {\mathbb{N}}\} Тепер нехайy := \lim\, b_i = \inf \{ b_i : i \in {\mathbb{N}}\}. Очевидноy \leq x, щоa_i < b_i і для всіхi. Оскільки послідовності монотонні, то для будь-якоїi ми маємо (чому?) y-x \leq b_i-a_i = \frac{b_1-a_1}{2^{i-1}} .Як\frac{b_1-a_1}{2^{i-1}} це довільно мало іy-x \geq 0, у нас є щоy-x = 0. Закінчуємо до.

Ще одним доказом теореми Больцано-Вейєрштрасса є показ наступного твердження, яке залишається як складна вправа. Заява: Кожна послідовність має монотонну підпослідовність.

Нескінченні межі

Якщо ми дозволимо\liminf і\limsup взяти на себе значення\infty і-\infty, ми можемо застосувати\liminf і\limsup до всіх послідовностей, а не тільки обмежених. Для будь-якої послідовності пишемо\limsup \, x_n := \inf \{ a_n : n \in {\mathbb{N}}\}, \qquad \text{and} \qquad \liminf \, x_n := \sup \{ b_n : n \in {\mathbb{N}}\}, деa_n := \sup \{ x_k : k \geq n \} іb_n := \inf \{ x_k : k \geq n \} як раніше.

Ми також часто визначаємо нескінченні межі для певних розбіжних послідовностей.

Ми говоримо, що\{ x_n \} розходиться до нескінченності 10 якщо для кожногоM \in {\mathbb{R}}, існуєN \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq N нас єx_n > M. В даному випадку пишемо\lim \, x_n := \infty. Аналогічно, якщо для кожногоM \in {\mathbb{R}} існуєN \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq N нас єx_n < M, ми говоримо\{ x_n \} розходиться до мінус нескінченності і пишемо\lim \, x_n := -\infty.

Це визначення поводиться так, як очікувалося\liminf,\limsup і див. вправи [вправи: infseqlimex] та [вправа: infseqlimlims].

Якщоx_n := 0 для непарнихn іx_n := n для парних,n то\lim_{n\to \infty} n = \infty, \qquad \lim_{n\to \infty} x_n \quad \text{does not exist}, \qquad \limsup_{n\to \infty} x_n = \infty.

Вправи

Припустимо,\{ x_n \} це обмежена послідовність. Визначтеa_n іb_n як в. Покажіть, що\{ a_n \} і\{ b_n \} обмежені.

Припустимо,\{ x_n \} це обмежена послідовність. Визначтеb_n як в. Покажіть, що\{ b_n \} це зростаюча послідовність.

Закінчіть доказ. Тобто припустимо\{ x_n \} є обмеженою послідовністю і\{ x_{n_k} \} є підпослідовністю. Доведіть\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\, x_n \leq \liminf_{k\to\infty}\, x_{n_k}.

Доведіть.

  1. Нехайx_n := \dfrac{{(-1)}^n}{n}, знайдіть\limsup \, x_n і\liminf \, x_n.
  2. Нехайx_n := \dfrac{(n-1){(-1)}^n}{n}, знайдіть\limsup \, x_n і\liminf \, x_n.

\{ y_n \}Дозволяти\{ x_n \} і бути обмежені послідовності такі, щоx_n \leq y_n для всіхn. Потім покажіть, що\limsup_{n\to\infty} \, x_n \leq \limsup_{n\to\infty} \, y_n і\liminf_{n\to\infty} \, x_n \leq \liminf_{n\to\infty} \, y_n .

\{ y_n \}Дозволяти\{ x_n \} і бути обмеженими послідовностями.

  1. Покажіть,\{ x_n + y_n \} що обмежено.
  2. Показати(\liminf_{n\to \infty}\, x_n) + (\liminf_{n\to \infty}\, y_n) \leq \liminf_{n\to \infty}\, (x_n+y_n) . підказку: знайти\{ x_{n_i}+y_{n_i} \} підпослідовність\{ x_n + y_n \}, яка збігається. Потім знайдіть\{ x_{n_{m_i}} \} підпослідовність\{ x_{n_i} \}, яка сходиться. Потім застосуйте те, що ви знаєте про обмеження.
  3. Знайдіть явний\{ x_n \} і\{ y_n \} такий, що(\liminf_{n\to \infty}\, x_n) + (\liminf_{n\to \infty}\, y_n) < \liminf_{n\to \infty}\, (x_n+y_n) . Підказка: Шукайте приклади, які не мають обмеження.

\{ x_n \}\{ y_n \}Дозволяти і бути обмежені послідовності (з попередньої вправи ми знаємо, що\{ x_n + y_n \} обмежена).

  1. Показати(\limsup_{n\to \infty}\, x_n) + (\limsup_{n\to \infty}\, y_n) \geq \limsup_{n\to \infty}\, (x_n+y_n) . підказку: див. попередню вправу.
  2. Знайдіть явну\{ x_n \} і\{ y_n \} таку(\limsup_{n\to \infty}\, x_n) + (\limsup_{n\to \infty}\, y_n) > \limsup_{n\to \infty}\, (x_n+y_n) . підказку: Див. попередню вправу.

ЯкщоS \subset {\mathbb{R}} множина, тоx \in {\mathbb{R}} це точка кластера\epsilon > 0, якщо для кожного множина(x-\epsilon,x+\epsilon) \cap S \setminus \{ x \} не порожня. Тобто, якщо є точкиS довільно близькі доx. Наприклад,S := \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} має унікальну (тільки одну) точку кластера0, але0 \notin S. Доведіть наступну версію теореми Больцано-Вейєрштрасса:

Теорема. S \subset {\mathbb{R}}Дозволяти обмежений нескінченний набір, то існує принаймні одна точка кластераS.

Підказка: ЯкщоS нескінченна, тоS містить незліченно нескінченну підмножину. Тобто існує послідовність різних\{ x_n \} чисел вS.

а) Доведіть, що будь-яка послідовність містить монотонну підпослідовність. Підказка: Викликатиn \in {\mathbb{N}} пік, якщоa_m \leq a_n для всіхm \geq n. Є дві можливості: або послідовність має максимум скінченно багато піків, або вона має нескінченно багато піків.
б) Укласти теорему Больцано-Вейєрштрасса.

Доведемо більш сильну версію. Припустимо, послідовність\{ x_n \} така, що кожна підпослідовність\{ x_{n_i} \} має підпослідовність\{ x_{n_{m_i}} \}, яка сходиться доx. а) Спочатку показати,\{ x_n \} що обмежено. б) Тепер показати, що\{ x_n \} сходиться доx.

\{x_n\}Дозволяти бути обмеженою послідовністю.
а) Доведіть, що існуєs таке, що для будь-якогоr > s існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас єx_n < r.
б) Якщоs є числом, як в а), то доведіть\limsup \, x_n \leq s.
в) Показати, що якщоS є множиною всіхs як в а), то\limsup \, x_n = \inf \, S.

[Вправа: infseqlimex] Припустимо\{ x_n \} таке\liminf \, x_n = -\infty, що,\limsup \, x_n = \infty. а) Показати, що не\{ x_n \} є збіжним, а також що\lim \, x_n = \infty ні ні\lim \, x_n = -\infty вірно. б) Знайдіть приклад такої послідовності.

[Вправа: infseqlimlims] Дано послідовність\{ x_n \}. а) Показати, що\lim \, x_n = \infty якщо і тільки якщо\liminf \, x_n = \infty. б) Потім показати, що\lim \, x_n = - \infty якщо і тільки якщо\limsup \, x_n = -\infty. c) Якщо\{ x_n \} монотонне збільшення, показати, що або\lim \, x_n існує і є кінцевим або\lim \, x_n = \infty.

Послідовності Коші

Примітка: 0.5—1 лекція

Часто ми бажаємо описати певне число послідовністю, яка сходиться до нього. При цьому не можна використовувати саме число в доказі того, що послідовність сходиться. Було б непогано, якби ми могли перевірити на конвергенцію, не знаючи межі.

Послідовність\{ x_n \} - це послідовність Коші 11, якщо для кожного\epsilon > 0 існуєM \in {\mathbb{N}} така, що для всіхn \geq M і всіх уk \geq M нас є\left\lvert {x_n - x_k} \right\rvert < \epsilon .

Інтуїтивно це означає, що терміни послідовності в кінцевому підсумку довільно близькі один до одного. Ми очікуємо, що така послідовність буде конвергентною. Виявляється, що це правда, тому що{\mathbb{R}} має. Для початку розглянемо деякі приклади.

Послідовність\{ \nicefrac{1}{n} \} являє собою послідовність Коші.

Доказ: дано\epsilon > 0, знайдітьM таке, щоM > \nicefrac{2}{\epsilon}. Тоді дляn,k \geq M нас є, що\nicefrac{1}{n} < \nicefrac{\epsilon}{2} і\nicefrac{1}{k} < \nicefrac{\epsilon}{2}. Тому дляn, k \geq M нас є\left\lvert {\frac{1}{n} - \frac{1}{k}} \right\rvert \leq \left\lvert {\frac{1}{n}} \right\rvert + \left\lvert {\frac{1}{k}} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.

Послідовність\{ \frac{n+1}{n} \} являє собою послідовність Коші.

Доказ: дано\epsilon > 0, знайдітьM таке, щоM > \nicefrac{2}{\epsilon}. Тоді дляn,k \geq M нас є, що\nicefrac{1}{n} < \nicefrac{\epsilon}{2} і\nicefrac{1}{k} < \nicefrac{\epsilon}{2}. Тому дляn, k \geq M нас є\begin{split} \left\lvert {\frac{n+1}{n} - \frac{k+1}{k}} \right\rvert & = \left\lvert {\frac{k(n+1)-n(k+1)}{nk}} \right\rvert \\ & = \left\lvert {\frac{kn+k-nk-n}{nk}} \right\rvert \\ & = \left\lvert {\frac{k-n}{nk}} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {\frac{k}{nk}} \right\rvert + \left\lvert {\frac{-n}{nk}} \right\rvert \\ & = \frac{1}{n} + \frac{1}{k} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split}

Послідовність Коші обмежена.

Припустимо\{ x_n \}, це Коші. ПідбираємоM такі, що для всіх уn,k \geq M нас є\left\lvert {x_n-x_k} \right\rvert < 1. Зокрема, ми маємо, що для всіхn \geq M\left\lvert {x_n - x_M} \right\rvert < 1 . Або зворотною нерівністю трикутника,\left\lvert {x_n} \right\rvert - \left\lvert {x_M} \right\rvert \leq \left\lvert {x_n - x_M} \right\rvert < 1. Отже, дляn \geq M нас\left\lvert {x_n} \right\rvert < 1 + \left\lvert {x_M} \right\rvert. нехайB := \max \{ \left\lvert {x_1} \right\rvert, \left\lvert {x_2} \right\rvert, \ldots, \left\lvert {x_{M-1}} \right\rvert, 1+ \left\lvert {x_M} \right\rvert \} . тоді\left\lvert {x_n} \right\rvert \leq B для всіхn \in {\mathbb{N}}.

Послідовність дійсних чисел Коші тоді і тільки тоді, коли вона сходиться.

\epsilon > 0Дозволяти дано і припустимо\{ x_n \} сходиться доx. Тоді існуєM таке, що бо уn \geq M нас є\left\lvert {x_n - x} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} . Звідси дляn \geq M іk \geq M ми маємо\left\lvert {x_n - x_k} \right\rvert = \left\lvert {x_n - x + x - x_k} \right\rvert \leq \left\lvert {x_n-x} \right\rvert + \left\lvert {x-x_k} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon .

Гаразд, цей напрямок був легким. Тепер припустимо\{ x_n \}, що це Коші. Ми показали,\{ x_n \} що обмежено. Якщо ми покажемо, що\liminf_{n\to \infty} \, x_n = \limsup_{n\to\infty} \, x_n , потім\{ x_n \} повинні бути сходяться. Припускаючи, що liminf і limsup існують, де ми використовуємо.

Визначтеa := \limsup \, x_n іb := \liminf \, x_n. До, існують підпослідовності\{ x_{n_i} \} і\{ x_{m_i} \}, такі, що\lim_{i\to\infty} x_{n_i} = a \qquad \text{and} \qquad \lim_{i\to\infty} x_{m_i} = b. Враховуючи\epsilon > 0, існуєM_1 таке, що для всіх уi \geq M_1 нас є\left\lvert {x_{n_i} - a} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3} іM_2 таке, що для всіх уi \geq M_2 нас є\left\lvert {x_{m_i} - b} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}. Існує іM_3 таке, що для всіх уn,k \geq M_3 нас є\left\lvert {x_n-x_k} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}. НехайM := \max \{ M_1, M_2, M_3 \}. Зверніть увагу, що якщоi \geq M, тоn_i \geq M іm_i \geq M. Звідси\begin{split} \left\lvert {a-b} \right\rvert & = \left\lvert {a-x_{n_i}+x_{n_i} -x_{m_i}+x_{m_i} -b} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {a-x_{n_i}} \right\rvert + \left\lvert {x_{n_i} -x_{m_i}} \right\rvert + \left\lvert {x_{m_i} -b} \right\rvert \\ & < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon . \end{split} Що\left\lvert {a-b} \right\rvert < \epsilon стосується всіх\epsilon > 0, тоa=b і послідовність сходиться.

Постановка цього судження іноді використовується для визначення повноти властивості дійсних чисел. Ми говоримо, що набір є Коші-повним (або іноді просто повним), якщо кожна послідовність Коші сходиться. Вище ми довели, що як{\mathbb{R}} має, то{\mathbb{R}} є Коші-повний. Ми можемо «завершити»{\mathbb{Q}}, «кинувши» достатньо очок, щоб всі послідовності Коші сходилися (ми опускаємо деталі). Отримане поле має властивість найменшої верхньої межі. Перевага використання послідовностей Коші для визначення повноти полягає в тому, що ця ідея узагальнюється до більш абстрактних налаштувань.

Слід зазначити, що критерій Коші сильніше, ніж просто\left\lvert {x_{n+1}-x_n} \right\rvert (або\left\lvert {x_{n+j}-x_n} \right\rvert для фіксованогоj) йде до нуля, оскількиn йде до нескінченності. Насправді, коли ми дійдемо до часткових сум гармонійного ряду (див. У наступному розділі), у нас буде така послідовністьx_{n+1}-x_n = \nicefrac{1}{n}, яка, поки\{ x_n \} що розходиться. Насправді, для цієї послідовності це правда, що\lim_{n\to\infty} \left\lvert {x_{n+j}-x_n} \right\rvert = 0 для будь-якогоj \in {\mathbb{N}} (confer). Ключовим моментом у визначенні Коші є те, щоn іk варіюються незалежно і можуть бути довільно далеко один від одного.

Вправи

Доведіть, що\{ \frac{n^2-1}{n^2} \} це Коші, використовуючи безпосередньо визначення послідовностей Коші.

\{ x_n \}Дозволяти послідовність така, що існує0 < C < 1 такий, що\left\lvert {x_{n+1} - x_n} \right\rvert \leq C \left\lvert {x_{n}-x_{n-1}} \right\rvert . Доведіть, що\{ x_n \} це Коші. Підказка: Ви можете вільно використовувати формулу (дляC \not= 1)1+ C+ C^2 + \cdots + C^n = \frac{1-C^{n+1}}{1-C}.

Припустимо,F це впорядковане поле{\mathbb{Q}}, яке містить раціональні числа, такі, що щільні, тобто: всякий разx,y \in Fx < y, коли такі що, то існуєq \in {\mathbb{Q}} таке щоx < q < y.{\mathbb{Q}} Скажімо,\{ x_n \}_{n=1}^\infty послідовність раціональних чисел є Коші\epsilon > 0, якщо дано будь-яке\epsilon \in {\mathbb{Q}} з, існуєM таке, що для всіх уn,k \geq M нас є\left\lvert {x_n-x_k} \right\rvert < \epsilon. Припустимо, будь-яка послідовність Коші раціональних чисел має обмеження вF. Доведіть, щоF має.

\{ y_n \}Дозволяти\{ x_n \} і бути послідовності такі, що\lim\, y_n =0. Припустимо, що для всіхk \in {\mathbb{N}} і назавжди уm \geq k нас є\left\lvert {x_m-x_k} \right\rvert \leq y_k . Шоу, що\{ x_n \} це Коші.

Припустимо,\{ x_n \} послідовність Коші такаM \in {\mathbb{N}}, що для кожного існуєk \geq M іn \geq M таке, щоx_k < 0 іx_n > 0. Використовуючи просто визначення послідовності Коші та збіжної послідовності, показати, що послідовність сходиться до0.

Припустимо,\left\lvert {x_n-x_k} \right\rvert \leq \nicefrac{n}{k^2} для всіхn іk. Покажіть, що\{ x_n \} це Коші.

Припустимо,\{ x_n \} це послідовність Коші така, що для нескінченно багатьохn,x_n = c. Використовуючи лише визначення послідовності Коші, доведіть це\lim\, x_n = c.

True/False довести або знайти контрприклад: Якщо\{ x_n \} є послідовність Коші, то існуєM така, що для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {x_{n+1}-x_n} \right\rvert \leq \left\lvert {x_{n}-x_{n-1}} \right\rvert.

Серія

Примітка: 2 лекції

Фундаментальним об'єктом в математиці є ряд. Насправді, коли розроблялися основи аналізу, мотивація полягала в розумінні рядів. Розуміння серії дуже важливо в застосуваннях аналізу. Наприклад, рішення диференціальних рівнянь часто включає ряди, а диференціальні рівняння є основою для розуміння практично всієї сучасної науки.

Визначення

З огляду на послідовність\{ x_n \}, ми запишемо формальний об'єкт\sum_{n=1}^\infty x_n \qquad \text{or sometimes just} \qquad \sum x_n і називаємо його серією. Ряд сходиться, якщо послідовність,\{ s_k \} визначена шляхомs_k := \sum_{n=1}^k x_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_k , сходиться. Цифриs_k називаються частковими сумами. Якщоx := \lim\, s_k, пишемо\sum_{n=1}^\infty x_n = x . В даному випадку трохи обманюємо і ставимося\sum_{n=1}^\infty x_n як до числа.

З іншого боку, якщо послідовність\{ s_k \} розходиться, ми говоримо, що ряд розходиться. В даному випадку\sum x_n є просто формальним об'єктом, а не числом.

Іншими словами, для конвергентного ряду ми маємо\sum_{n=1}^\infty x_n = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^k x_n . Ми повинні бути обережними, щоб використовувати цю рівність лише тоді, коли межа права насправді існує. Тобто права сторона не має сенсу (межі не існує), якщо ряд не сходиться.

Перш ніж йти далі, зауважимо, що іноді зручно починати серію за індексом, відмінним від 1. Тобто, наприклад, ми можемо\sum_{n=0}^\infty r^n = \sum_{n=1}^\infty r^{n-1} . написати Ліву сторону зручніше писати. Ідея така ж, як позначення для хвоста послідовності.

Загальноприйнято писати ряд\sum x_n так, якx_1 + x_2 + x_3 + \cdots з розумінням того, що крапка вказує на ряд, а не просту суму. Ми не використовуємо це позначення, оскільки це часто призводить до помилок у доказах.

Ряд\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} сходиться і межа дорівнює 1. Тобто,\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n} = 1 .

Доказ: Спочатку ми доведемо\left( \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n} \right) + \frac{1}{2^k} = 1 . наступну рівність Рівність легко побачити, колиk=1. Доказ для загальногоk випливає за тим, який ми залишаємо читачеві. s_kДозволяти часткова сума. \left\lvert { 1 - s_k } \right\rvert = \left\lvert { 1 - \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n} } \right\rvert = \left\lvert {\frac{1}{2^k}} \right\rvert = \frac{1}{2^k} .Записуємо Послідовність\{ \frac{1}{2^k} \} і тому\{ \left\lvert {1-s_k} \right\rvert \} сходиться до нуля. Отже,\{ s_k \} сходиться до 1.

Для-1 < r < 1, геометричний ряд\sum_{n=0}^\infty r^n сходиться. Насправді,\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}. Доказ залишається як вправа читачеві. Доказ полягає в тому, щоб показати,\sum_{n=0}^{k-1} r^n = \frac{1-r^k}{1-r} , а потім взяти ліміт, якk йде\infty.

Факт, який ми часто використовуємо, - це наступний аналог дивлячись на хвіст послідовності.

Дозвольте\sum x_n бути серією. НехайM \in {\mathbb{N}}. Тоді\sum_{n=1}^\infty x_n \quad \text{converges if and only if} \quad \sum_{n=M}^\infty x_n \quad \text{converges.}

Ми дивимося на часткові суми двох рядів (дляk \geq M)\sum_{n=1}^{k} x_n = \left( \sum_{n=1}^{M-1} x_n \right) + \sum_{n=M}^{k} x_n . Зверніть увагу, що\sum_{n=1}^{M-1} x_n є фіксованим числом. Тепер використовуйте, щоб закінчити докази.

Серія Коші

Серія кажуть,\sum x_n що це ряд Коші або ряд Коші, якщо послідовність часткових сум\{ s_n \} є послідовністю Коші.

Послідовність дійсних чисел сходиться тоді і тільки тоді, коли це Коші. Тому серія сходиться тоді і лише тоді, коли це Коші.

Серія\sum x_n Коші, якщо для кожного\epsilon > 0, існує такийM \in {\mathbb{N}}, що для кожногоn \geq M іk \geq M ми маємо\left\lvert { \left( \sum_{j=1}^k x_j \right) - \left( \sum_{j=1}^n x_j \right) } \right\rvert < \epsilon . Без втрати спільності ми припускаємоn < k. Тоді ми\left\lvert { \left( \sum_{j=1}^k x_j \right) - \left( \sum_{j=1}^n x_j \right) } \right\rvert = \left\lvert { \sum_{j={n+1}}^k x_j } \right\rvert < \epsilon . пишемо Ми довели наступне просте пропозицію.

[prop:cachyser] Серія\sum x_n Коші, якщо для кожного\epsilon > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для кожногоn \geq M уk > n нас є\left\lvert { \sum_{j={n+1}}^k x_j } \right\rvert < \epsilon .

Основні властивості

\sum x_nДозволяти бути збіжним рядом. Тоді послідовність\{ x_n \} сходиться і\lim_{n\to\infty} x_n = 0.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Як\sum x_n сходиться, це Коші. Таким чином, ми знаходимоM таке, що для кожногоn \geq M ми маємо\epsilon > \left\lvert { \sum_{j={n+1}}^{n+1} x_j } \right\rvert = \left\lvert { x_{n+1} } \right\rvert . Звідси для кожногоn \geq M+1 ми маємо\left\lvert {x_{n}} \right\rvert < \epsilon.

Отже, якщо серія сходиться, умови ряду йдуть до нуля. Імплікація, однак, йде лише одним шляхом. Наведемо приклад.

[приклад: гармонічний ряд] Ряд\sum \frac{1}{n} розходиться (незважаючи на те, що\lim \frac{1}{n} = 0). Це знаменита гармонійна серія 12.

Доказ: Ми покажемо, що послідовність часткових сум необмежена, а отже, не може сходитися. Напишіть часткові сумиs_n дляn = 2^k як:\begin{aligned} s_1 & = 1 , \\ s_2 & = \left( 1 \right) + \left( \frac{1}{2} \right) , \\ s_4 & = \left( 1 \right) + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) , \\ s_8 & = \left( 1 \right) + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) , \\ & ~~ \vdots \\ s_{2^k} & = 1 + \sum_{j=1}^k \left( \sum_{m=2^{j-1}+1}^{2^j} \frac{1}{m} \right) .\end{aligned} Відзначимо, що\nicefrac{1}{3} + \nicefrac{1}{4} \geq \nicefrac{1}{4} + \nicefrac{1}{4} = \nicefrac{1}{2} і\nicefrac{1}{5} + \nicefrac{1}{6} + \nicefrac{1}{7} + \nicefrac{1}{8} \geq \nicefrac{1}{8} + \nicefrac{1}{8} + \nicefrac{1}{8} + \nicefrac{1}{8} = \nicefrac{1}{2}. \sum_{m=2^{k-1}+1}^{2^k} \frac{1}{m} \geq \sum_{m=2^{k-1}+1}^{2^k} \frac{1}{2^k} = (2^{k-1}) \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} .Отже,s_{2^k} = 1 + \sum_{j=1}^k \left( \sum_{m=2^{k-1}+1}^{2^k} \frac{1}{m} \right) \geq 1 + \sum_{j=1}^k \frac{1}{2} = 1 + \frac{k}{2} . як\{ \frac{k}{2} \} необмежений тим, що означає, що\{ s_{2^k} \} необмежений, а отже\{ s_n \}, необмежений. Звідси\{ s_n \} розходиться, а отже, і\sum \frac{1}{n} розходиться.

Конвергентні ряди лінійні. Тобто ми можемо помножити їх на константи і складати їх і ці операції виконуються термін за терміном.

Нехай\alpha \in {\mathbb{R}}\sum x_n і\sum y_n будуть збігаються ряди. Тоді

  1. \sum \alpha x_nє збіжним рядом і\sum_{n=1}^\infty \alpha x_n = \alpha \sum_{n=1}^\infty x_n .
  2. \sum ( x_n + y_n )є збіжним рядом і\sum_{n=1}^\infty ( x_n + y_n ) = \left( \sum_{n=1}^\infty x_n \right) + \left( \sum_{n=1}^\infty y_n \right) .

Для першого пункту просто запишемо часткову сумуk\sum_{n=1}^k \alpha x_n = \alpha \left( \sum_{n=1}^k x_n \right) . Дивимося в праву сторону і зауважимо, що постійна кратна збіжній послідовності є збіжною. Значить, ми просто беремо межу обох сторін для отримання результату.

Для другого пункту ми також дивимося наk ту часткову суму.\sum_{n=1}^k ( x_n + y_n ) = \left( \sum_{n=1}^k x_n \right) + \left( \sum_{n=1}^k y_n \right) . Дивимося в праву сторону і зауважимо, що сума збіжних послідовностей є збіжною. Отже, ми просто беремо межу обох сторін, щоб отримати пропозицію.

Зверніть увагу, що множення рядів не так просто, як додавання, див. Наступний розділ. Звичайно, неправда, що ми можемо помножити термін на термін, оскільки ця стратегія не працює навіть для кінцевих сум. Наприклад,(a+b)(c+d) \not= ac+bd.

Абсолютна конвергенція

Оскільки монотонні послідовності легше працювати, ніж з довільними послідовностями, то, як правило, легше працювати з серіями,\sum x_n деx_n \geq 0 для всіхn. Тоді послідовність часткових сум монотонно збільшується і сходиться, якщо вона обмежена зверху. Оформимо це твердження як судження.

Якщоx_n \geq 0 для всіхn, то\sum x_n сходиться тоді і тільки в тому випадку, якщо послідовність часткових сум обмежена зверху.

Оскільки межа монотонної зростаючої послідовності є супремум, мають нерівність\sum_{n=1}^k x_n \leq \sum_{n=1}^\infty x_n .

Наступний критерій часто дає зручний спосіб перевірки на збіжність ряду.

Ряд\sum x_n сходиться абсолютно, якщо ряд\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert сходиться. Якщо ряд сходиться, але не сходиться абсолютно, ми говоримо, що він умовно сходиться.

Якщо ряд\sum x_n сходиться абсолютно, то він сходиться.

Серія сходиться тоді і лише тоді, коли це Коші. Звідси\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert припустимо, що Коші. Тобто для кожного існуєM таке\epsilon > 0, що для всіхk \geq M іn > k ми маємо Ми\sum_{j=k+1}^n \left\lvert {x_j} \right\rvert = \left\lvert { \sum_{j=k+1}^n \left\lvert {x_j} \right\rvert } \right\rvert < \epsilon . застосовуємо нерівність трикутника для кінцевої суми, щоб отримати\left\lvert { \sum_{j=k+1}^n x_j } \right\rvert \leq \sum_{j=k+1}^n \left\lvert {x_j} \right\rvert < \epsilon . Звідси\sum x_n є Коші і тому воно сходиться.

Звичайно, якщо\sum x_n сходиться абсолютно, межі\sum x_n і\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert різні. Обчислення одного не допомагає нам обчислити інше.

Абсолютно збігаються серії мають безліч чудових властивостей. Наприклад, абсолютно збіжні ряди можна переставити довільно, або ми можемо легко помножити такі ряди разом. Умовно конвергентні ряди з іншого боку не часто поводяться так, як можна було б очікувати. Дивіться наступний розділ.

Ми залишаємо як вправу, щоб показати, що\sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^n}{n} сходиться, хоча читач повинен закінчити цей розділ, перш ніж намагатися. З іншого боку, ми довели\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} розбіжності. Тому\sum \frac{{(-1)}^n}{n} є умовно-збіжною підпослідовністю.

Порівняльний тест і p-серія

Вище ми відзначили, що для того, щоб ряд сходився, терміни не тільки повинні йти в нуль, але вони повинні йти в нуль «досить швидко». Якщо ми знаємо про збіжність певного ряду, ми можемо використовувати наступний тест порівняння, щоб побачити, чи терміни іншого ряду йдуть до нуля «досить швидко».

Нехай\sum x_n і\sum y_n будуть серії такі, що0 \leq x_n \leq y_n для всіхn \in {\mathbb{N}}.

  1. Якщо\sum y_n сходиться, то так і відбувається\sum x_n.
  2. Якщо\sum x_n розходиться, то так і відбувається\sum y_n.

Оскільки терміни ряду всі невід'ємні, послідовності часткових сум одночасно монотонно збільшуються. Оскількиx_n \leq y_n для всіхn часткові суми задовольняють для всіхk\label{comptest:eq} \sum_{n=1}^k x_n \leq \sum_{n=1}^k y_n . Якщо ряд\sum y_n сходиться, часткові суми для ряду обмежені. Тому права частина [comptest:eq] обмежена для всіхk. Звідси і часткові суми для\sum x_n також обмежені. Оскільки часткові суми є монотонною зростаючою послідовністю, вони збігаються. Перший пункт таким чином доведений.

З іншого боку, якщо\sum x_n розходиться, послідовність часткових сум повинна бути необмеженою, оскільки вона монотонно збільшується. Тобто часткові суми для\sum x_n в кінцевому підсумку більші за будь-яке дійсне число. Поклавши це разом з [comptest:eq], ми бачимоB \in {\mathbb{R}}, що для будь-якого, єk таке, щоB \leq \sum_{n=1}^k x_n \leq \sum_{n=1}^k y_n . Отже, часткові суми для\sum y_n також необмежені, а\sum y_n також розходяться.

Корисною серією для використання з тестом порівняння єp -series.

Боp \in {\mathbb{R}}, ряд\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} сходиться якщо і тільки якщоp > 1.

Спочатку припустимоp \leq 1. Якn \geq 1, у нас є\frac{1}{n^p} \geq \frac{1}{n}. Оскільки\sum \frac{1}{n} розходиться, ми бачимо, що\sum \frac{1}{n^p} повинен розходитися для всіхp \leq 1 тестом порівняння.

Тепер припустимоp > 1. Ми продовжуємо так само, як і у випадку гармонійного ряду, але замість того, щоб показати, що послідовність часткових сум необмежена, ми показуємо, що вона обмежена. Оскільки члени ряду позитивні, послідовність часткових сум монотонна збільшується і буде сходитися, якщо ми покажемо, що вона обмежена вище. Нехайs_n позначимоn часткову суму. \begin{aligned} s_1 & = 1 , \\ s_3 & = \left( 1 \right) + \left( \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} \right) , \\ s_7 & = \left( 1 \right) + \left( \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} \right) + \left( \frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p} + \frac{1}{6^p} + \frac{1}{7^p} \right) , \\ & ~~ \vdots \\ s_{2^k - 1} &= 1 + \sum_{j=1}^{k-1} \left( \sum_{m=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{m^p} \right) .\end{aligned}Замість того, щоб оцінювати знизу, оцінюємо зверху. Зокрема, якp позитивно, то2^p < 3^p, і значить\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} < \frac{1}{2^p} + \frac{1}{2^p}. Аналогічно\frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p} + \frac{1}{6^p} + \frac{1}{7^p} < \frac{1}{4^p} + \frac{1}{4^p} + \frac{1}{4^p} + \frac{1}{4^p}. Тому\begin{split} s_{2^k-1} & = 1+ \sum_{j=1}^k \left( \sum_{m=2^{j}}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{m^p} \right) \\ & < 1+ \sum_{j=1}^k \left( \sum_{m=2^{j}}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{{(2^j)}^p} \right) \\ & = 1+ \sum_{j=1}^k \left( \frac{2^j}{{(2^j)}^p} \right) \\ & = 1+ \sum_{j=1}^k {\left( \frac{1}{2^{p-1}} \right)}^j . \end{split} якp > 1, то\frac{1}{2^{p-1}} < 1. Потім, використовуючи результат, відзначимо, що\sum_{j=1}^\infty {\left( \frac{1}{2^{p-1}} \right)}^j сходиться. Томуs_{2^k-1} < 1+ \sum_{j=1}^k {\left( \frac{1}{2^{p-1}} \right)}^j \leq 1+ \sum_{j=1}^\infty {\left( \frac{1}{2^{p-1}} \right)}^j . Як\{ s_n \} це монотонна послідовність, то всеs_n \leq s_{2^k-1} для всіхn \leq 2^k-1. Таким чином, для всіхn,s_n < 1+ \sum_{j=1}^\infty {\left( \frac{1}{2^{p-1}} \right)}^j . Послідовність часткових сум обмежена і, отже, сходиться.

Зверніть увагу, що ні тестp -series, ні тест порівняння не говорять нам, до чого сходиться сума. Вони говорять нам лише про те, що існує ліміт часткових сум. Наприклад, хоча ми знаємо, що\sum \nicefrac{1}{n^2} сходиться, набагато важче знайти 13, що межа\nicefrac{\pi^2}{6}. Якщо розглядати\sum \nicefrac{1}{n^p} як функціюp, то отримаємо так звану\zeta функцію Рімана. Розуміння поведінки цієї функції містить одну з найвідоміших невирішених проблем з математики сьогодні і має застосування в, здавалося б, не пов'язаних між собою областях, таких як сучасна криптографія.

Серія\sum \frac{1}{n^2+1} сходиться.

Доказ: Спочатку зауважте, що\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2} для всіхn \in {\mathbb{N}}. Зверніть увагу, що\sum \frac{1}{n^2} сходиться за допомогою тестуp -series. Тому за тестом порівняння\sum \frac{1}{n^2+1} сходиться.

Тест на співвідношення

Нехай\sum x_n буде серія така, щоL := \lim_{n\to\infty} \frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} існує. Тоді

  1. ЯкщоL < 1, то\sum x_n сходиться абсолютно.
  2. ЯкщоL > 1, то\sum x_n розходиться.

З відзначимо, що якщоL > 1, тоx_n розходиться. Оскільки необхідна умова зближення рядів, що терміни йдуть до нуля, ми знаємо, що\sum x_n повинні розходитися.

Таким чином припустимоL < 1. Ми будемо сперечатися, що\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert повинні сходитися. Доказ схожий на доказ. ЗвичайноL \geq 0. Підібратиr такий, щоL < r < 1. Якr-L > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіхn \geq M\left\lvert {\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} - L} \right\rvert < r-L . Тому Forn > M (тобто\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} < r . дляn \geq M+1) пишемо боk > M ми\left\lvert {x_n} \right\rvert = \left\lvert {x_M} \right\rvert \frac{\left\lvert {x_{M+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{M}} \right\rvert} \frac{\left\lvert {x_{M+2}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{M+1}} \right\rvert} \cdots \frac{\left\lvert {x_{n}} \right\rvert}{\left\lvert {x_{n-1}} \right\rvert} < \left\lvert {x_M} \right\rvert r r \cdots r = \left\lvert {x_M} \right\rvert r^{n-M} = (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) r^n . запишемо часткову суму\begin{split} \sum_{n=1}^k \left\lvert {x_n} \right\rvert & = \left(\sum_{n=1}^{M} \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + \left(\sum_{n=M+1}^{k} \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) \\ & \leq \left(\sum_{n=1}^{M} \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + \left(\sum_{n=M+1}^{k} (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) r^n \right) \\ & \leq \left(\sum_{n=1}^{M} \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) \left( \sum_{n=M+1}^{k} r^n \right) . \end{split} як Як0 < r < 1 геометричний ряд\sum_{n=0}^{\infty} r^n сходиться, так\sum_{n=M+1}^{\infty} r^n сходиться також (чому?). Ми беремо межу, якk йде до нескінченності праворуч вище, щоб отримати\begin{split} \sum_{n=1}^k \left\lvert {x_n} \right\rvert & \leq \left(\sum_{n=1}^{M} \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) \left( \sum_{n=M+1}^{k} r^n \right) \\ & \leq \left(\sum_{n=1}^{M} \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + (\left\lvert {x_M} \right\rvert r^{-M}) \left( \sum_{n=M+1}^{\infty} r^n \right) . \end{split} Права сторона - це число, від якого не залежитьn. Звідси послідовність часткових сум\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert обмежена і\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert є збіжною. При цьому\sum x_n абсолютно сходиться.

Серія\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} сходиться абсолютно.

Доказ: Ми пишемо\lim_{n\to\infty} \frac{2^{(n+1)}/(n+1)!}{2^n / n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0 . Тому серія сходиться абсолютно за тестом співвідношення.

Вправи

Дляr \not= 1, довести\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r} . Підказка: Нехайs := \sum_{k=0}^{n-1} r^k, потім обчислитиs(1-r) = s-rs, і вирішити дляs.

[geometric:exr] Доведіть, що для-1 < r < 1 нас є\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r} . Підказка: Використовуйте попередню вправу.

Вирішіть збіжність або розбіжність наступних рядів.

а)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{9n+1} б)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} в)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^n}{n^2}
г)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} д)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n e^{-n^2}

  1. Доведіть, що якщо\displaystyle \sum_{n=1}^\infty x_n сходиться, то\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ( x_{2n} + x_{2n+1} ) і сходиться.
  2. Знайдіть явний приклад, де зворотне не тримається.

Дляj=1,2,\ldots,n, давайте\{ x_{j,k} \}_{k=1}^\infty позначимоn послідовності. Припустимо, що для кожногоj\sum_{k=1}^\infty x_{j,k} це сходиться. Тоді показуйте\sum_{j=1}^n \left( \sum_{k=1}^\infty x_{j,k} \right) = \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{j=1}^n x_{j,k} \right) .

Доведіть наступну сильнішу версію тесту співвідношення: Дозвольте\sum x_n бути серією.

  1. Якщо єN і\rho < 1 таке, що для всіх уn \geq N нас є\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} < \rho, то серія сходиться абсолютно.
  2. Якщо єN таке, що для всіх уn \geq N нас є\frac{\left\lvert {x_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {x_n} \right\rvert} \geq 1, то ряд розходиться.

\{ x_n \}Дозволяти спадна послідовність така, що\sum x_n сходиться. Покажіть, що\displaystyle \lim_{n\to\infty} n x_n = 0.

Покажіть, що\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^n}{n} сходиться. Підказка: розглянемо суму двох наступних записів.

  1. Доведіть, що якщо\sum x_n і\sum y_n сходяться абсолютно, то\sum x_ny_n сходиться абсолютно.
  2. Знайдіть явний приклад, де зворотне не тримається.
  3. Знайдіть явний приклад, де всі три ряди абсолютно збігаються, є не просто кінцевими сумами, а(\sum x_n)(\sum y_n) \not= \sum x_ny_n. Тобто показати, що ряди не множаться термін за терміном.

Доведіть нерівність трикутника для рядів, тобто якщо\sum x_n сходиться абсолютно тоді\left\lvert {\sum_{n=1}^\infty x_n} \right\rvert \leq \sum_{n=1}^\infty \left\lvert {x_n} \right\rvert .

Доведіть тест порівняння лімітів. Тобто довести, що якщоa_n > 0 іb_n > 0 назавждиn,0 < \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} < \infty , а то або і те\sum a_n і\sum b_n інше сходяться з обох розходяться.

[Вправа: badnocauchy] Нехайx_n = \sum_{j=1}^n \nicefrac{1}{j}. Покажіть, що для кожного уk нас\{ x_n \} є\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left\lvert {x_{n+k}-x_n} \right\rvert = 0, поки що не Коші.

s_kДозволятиk часткова сума\sum x_n.
а) Припустимо, що існуєm \in {\mathbb{N}} таке, що\displaystyle \lim_{k\to\infty} s_{mk} існує і\lim\, x_n = 0. Покажіть, що\sum x_n сходиться.
б) Знайдіть приклад там, де\displaystyle \lim_{k\to\infty} s_{2k} існує і\lim\, x_n \not= 0 (і тому\sum x_n розходиться).
в) (Виклик) Знайдіть приклад де\lim\, x_n = 0, і існує\{ s_{k_j} \} така підпослідовність, яка\displaystyle \lim_{j\to\infty} s_{k_j} існує, але\sum x_n все ж розходиться.

Детальніше про серіали

Примітка: до 2—3 лекцій (необов'язково, можна спокійно пропустити або покрити частково)

Кореневий тест

Ми бачили тест співвідношення раніше. Є ще один подібний тест, який називається кореневим тестом. Насправді доказ цього тесту схожий і дещо простіше.

Нехай\sum x_n буде серія і нехайL := \limsup_{n\to\infty} \, {\left\lvert {x_n} \right\rvert}^{1/n} . Тоді

  1. ЯкщоL < 1 потім\sum x_n сходиться абсолютно.
  2. ЯкщоL > 1 потім\sum x_n розходиться.

ЯкщоL > 1, то існує така підпослідовність\{ x_{n_k} \}, щоL = \lim_{k\to\infty} \, {\left\lvert {x_{n_k}} \right\rvert}^{1/n_k}. Дозвольтеr бути таким, щоL > r > 1. ІснуєM таке, що для всіхk \geq M, у нас є{\left\lvert {x_{n_k}} \right\rvert}^{1/n_k} > r > 1, або іншими словами\left\lvert {x_{n_k}} \right\rvert > r^{n_k} > 1. Підпослідовність\{ \left\lvert {x_{n_k}} \right\rvert \}, а отже\{ \left\lvert {x_{n}} \right\rvert \}, також не може сходитися до нуля, і тому ряд розходиться.

Тепер припустимоL < 1. Підібратиr такий, щоL < r < 1. За визначенням граничного супремуму,n \geq M вибираємоM таку, що для всіх у нас є\sup \{ {\left\lvert {x_k} \right\rvert}^{1/k} : k \geq n \} < r . Отже, для всіхn \geq M ми маємо{\left\lvert {x_n} \right\rvert}^{1/n} < r , \qquad \text{or in other words} \qquad \left\lvert {x_n} \right\rvert < r^n . Нехайk > M і оцінимо часткову суму\sum_{n=1}^k \left\lvert {x_n} \right\rvert = \left( \sum_{n=1}^M \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + \left( \sum_{n=M+1}^k \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) \leq \left( \sum_{n=1}^M \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + \left( \sum_{n=M+1}^k r^n \right) . As0 < r < 1, геометричний ряд\sum_{n=M+1}^\infty r^n сходиться до\frac{r^{M+1}}{1-r}.k Оскільки все позитивне, ми маємо\sum_{n=1}^k \left\lvert {x_n} \right\rvert \leq \left( \sum_{n=1}^M \left\lvert {x_n} \right\rvert \right) + \frac{r^{M+1}}{1-r} . Таким чином послідовність часткових сум\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert обмежена, і тому ряд сходиться. Тому\sum x_n сходиться абсолютно.

Чергування серійних випробувань

Тести, які ми проводили до цих пір, стосувалися лише абсолютної конвергенції. Наступний тест дає великий запас умовно-збіжних рядів.

\{ x_n \}Дозволяти монотонну спадну послідовність позитивних дійсних чисел такі, що\lim\, x_n = 0. Потім\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^n x_n сходиться.

Напишітьs_m := \sum_{k=1}^m {(-1)}^k x_k бутиm -ю часткову суму. Потім напишітьs_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} {(-1)}^k x_k = (-x_1 + x_2) + \cdots + (-x_{2n-1} + x_{2n}) = \sum_{k=1}^{n} (-x_{2k-1} + x_{2k}) . Послідовність\{ x_k \} зменшується і так(-x_{2k-1}+x_{2k}) \leq 0 для всіхk. Тому підпослідовність\{ s_{2n} \} часткових сум є спадною послідовністю. Аналогічно(x_{2k}-x_{2k+1}) \geq 0, і такs_{2n} = - x_1 + ( x_2 - x_3 ) + \cdots + ( x_{2n-2} - x_{2n-1} ) + x_{2n} \geq -x_1 . Послідовність\{ s_{2n} \} зменшується і обмежується нижче, тому вона сходиться. Нехайa := \lim\, s_{2n}.

Ми хочемо показати, що\lim\, s_m = a (не тільки для підпослідовності). Зверніть увагу:s_{2n+1} = s_{2n} + x_{2n+1} . дано\epsilon > 0, вибратиM такий, що\left\lvert {s_{2n}-a} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2} всякий раз2n \geq M. Так як\lim\, x_n = 0, ми також зробитиM можливо більше, щоб отриматиx_{2n+1} < \nicefrac{\epsilon}{2} коли завгодно2n \geq M. Якщо2n \geq M, у нас є\left\lvert {s_{2n}-a} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2} < \epsilon, тому нам просто потрібно перевірити ситуацію дляs_{2n+1}:\left\lvert {s_{2n+1}-a} \right\rvert = \left\lvert {s_{2n}-a + x_{2n+1}} \right\rvert \leq \left\lvert {s_{2n}-a} \right\rvert + x_{2n+1} < \nicefrac{\epsilon}{2}+ \nicefrac{\epsilon}{2} = \epsilon . \qedhere

Зокрема, існують умовно збіжні ряди, де абсолютні значення членів йдуть до нуля довільно повільно. Наприклад,\sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^n}{n^p} сходиться на довільно малийp > 0, але при цьому не сходиться абсолютно колиp \leq 1.

Перестановки

Як правило, абсолютно конвергентні серії поводяться так, як ми уявляємо, що вони повинні. Наприклад, абсолютно збіжні ряди можна підсумувати в будь-якому порядку. Нічого подібного не стосується умовно збіжних рядів (див. І).

Візьміть ряд\sum_{n=1}^\infty x_n . З огляду на двооб'єктивну функцію\sigma \colon {\mathbb{N}}\to {\mathbb{N}}, відповідною перестановкою є наступний ряд:\sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(k)} . Ми просто підсумовуємо ряд в іншому порядку.

\sum x_nДозволяти бути абсолютно збіжним рядом, що сходиться до числаx. Нехай\sigma \colon {\mathbb{N}}\to {\mathbb{N}} буде біекція. Тоді\sum x_{\sigma(n)} абсолютно сходиться і сходиться доx.

Іншими словами, перестановка абсолютно збіжного ряду сходиться (абсолютно) до того ж числа.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тоді візьмітьM бути таким, що\left\lvert {\left(\sum_{n=1}^M x_n \right) - x} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} \qquad \text{and} \qquad \sum_{n=M+1}^\infty \left\lvert {x_n} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} . Як\sigma є біекція, існуєK таке число, що для кожного існуєk \leq K такеn \leq M, що\sigma(k) = n. Іншими словами\{ 1,2,\ldots,M \} \subset \sigma\bigl(\{ 1,2,\ldots,K \} \bigr).

Тоді для будь-якогоN \geq K, нехайQ := \max \sigma(\{ 1,2,\ldots,K \}) і обчислювати\begin{split} \left\lvert {\left( \sum_{n=1}^N x_{\sigma(n)} \right) - x} \right\rvert & = \left\lvert { \left( \sum_{n=1}^M x_n + \sum_{\substack{n=1\\\sigma(n) > M}}^N x_{\sigma(n)} \right) - x} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert { \left( \sum_{n=1}^M x_n \right) - x} \right\rvert + \sum_{\substack{n=1\\\sigma(n) > M}}^N \left\lvert {x_{\sigma(n)}} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert { \left( \sum_{n=1}^M x_n \right) - x} \right\rvert + \sum_{n=M+1}^Q \left\lvert {x_{n}} \right\rvert \\ & < \nicefrac{\epsilon}{2} + \nicefrac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split} Так\sum x_{\sigma(n)} сходиться доx. Щоб побачити, що конвергенція абсолютна, ми застосовуємо вищевказаний аргумент,\sum \left\lvert {x_n} \right\rvert щоб показати, що\sum \left\lvert {x_{\sigma(n)}} \right\rvert сходиться.

[example:harmonsumanything] Покажемо, що змінний гармонійний ряд\(\sum \frac

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[14]/div/div[3]/p[7]/span[2]/span, line 1, column 5
{n}\), який не сходиться абсолютно, може бути перебудований, щоб сходитися ні до чого. Непарні і парні терміни обидва розходяться до нескінченності (доведіть це!) :\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} = \infty, \qquad \text{and} \qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \infty . Нехай\(a_n := \frac
ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[14]/div/div[3]/p[7]/span[4]/span, line 1, column 5
{n}\)
для простоти, нехайL \in {\mathbb{R}} буде дано довільне число, і встановити\sigma(1) := 1. Припустимо, ми визначили\sigma(n) для всіхn \leq N. Якщо\sum_{n=1}^N a_{\sigma(n)} \leq L , тоді нехай\sigma(N+1) := k буде найменший непарнийk \in {\mathbb{N}}, який ми ще не використовували, тобто\sigma(n) \not= k для всіхn \leq N. Інакше нехай\sigma(N+1) := k буде найменшим навіть тимk, що ми ще не використовували.

За\sigma \colon {\mathbb{N}}\to {\mathbb{N}} конструкцією один до одного. Це також на, тому що якщо ми продовжуємо додавати або непарні (реп. парні) терміни, врешті-решт ми пройдемоL і переключимося на події (resp. шанси). Так ми перемикаємося нескінченно багато разів.

Нарешті, нехайN буде там,N де ми просто проходимоL і перемикаємося. Наприклад, припустимо, ми тільки що перейшли від непарного до парного (так що ми починаємо віднімання), і нехайN' > N буде де ми спочатку переключитися назад від парного до непарного. ПотімL + \frac{1}{\sigma(N)} \geq \sum_{n=1}^{N-1} a_{\sigma(n)} > \sum_{n=1}^{N'-1} a_{\sigma(n)} > L- \frac{1}{\sigma(N')}. І аналогічно для перемикання в іншу сторону. Тому сума доN'-1 знаходиться в межах\frac{1}{\min \{ \sigma(N), \sigma(N') \}}L. Коли ми перемикаємося нескінченно багато разів, ми отримуємо, що\sigma(N) \to \infty і\sigma(N') \to \infty, отже,\[\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[14]/div/div[3]/p[9]/span[11]/span, line 1, column 5
{\sigma(n)} = L .\]

Ось приклад для ілюстрації доказу. ПрипустимоL=1.2, тоді порядок є1+\nicefrac{1}{3}-\nicefrac{1}{2}+\nicefrac{1}{5}+\nicefrac{1}{7}+\nicefrac{1}{9}-\nicefrac{1}{4}+\nicefrac{1}{11}+\nicefrac{1}{13}-\nicefrac{1}{6} +\nicefrac{1}{15}+\nicefrac{1}{17}+\nicefrac{1}{19} - \nicefrac{1}{8} + \cdots . На цьому етапі ми не більше ніж\nicefrac{1}{8} від межі.

множення рядів

Як ми вже згадували, множення рядів дещо складніше, ніж додавання. Якщо ми маємо, що принаймні один із рядів сходиться абсолютно, то ми можемо використовувати наступну теорему. Для цього результату зручно починати ряд з 0, а не з 1.

Припустимо\sum_{n=0}^\infty a_n і\sum_{n=0}^\infty b_n є двома збіжними рядами, що сходяться доA іB відповідно. Якщо хоча б один з рядів сходиться абсолютно, то ряд\sum_{n=0}^\infty c_n деc_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 = \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j} , сходиться доAB.

Серія\sum c_n називається продуктом Коші\sum a_n і\sum b_n.

Припустимо,\sum a_n сходиться абсолютно, і нехай\epsilon > 0 буде дано. У цьому доказі замість того, щоб збирати складні оцінки, просто щоб остаточна оцінка вийшла як менша\epsilon, давайте просто отримаємо оцінку, яка залежить від\epsilon і може бути зроблена довільно маленькою.

A_m := \sum_{n=0}^m a_n , \qquad B_m := \sum_{n=0}^m b_n .Пишемо Миm переставляємо часткову суму\sum c_n:\begin{split} \left\lvert {\left(\sum_{n=0}^m c_n \right) - AB} \right\rvert & = \left\lvert {\left( \sum_{n=0}^m \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j} \right) - AB} \right\rvert \\ & = \left\lvert {\left( \sum_{n=0}^m B_n a_{m-n} \right) - AB} \right\rvert \\ & = \left\lvert {\left( \sum_{n=0}^m ( B_n - B ) a_{m-n} \right) + B A_m - AB} \right\rvert \\ & \leq \left( \sum_{n=0}^m \left\lvert { B_n - B } \right\rvert \left\lvert {a_{m-n}} \right\rvert \right) + \left\lvert {B} \right\rvert\left\lvert {A_m - A} \right\rvert \end{split} Ми можемо напевно змусити другий член з правого боку перейти до нуля. Хитрість полягає в тому, щоб впоратися з першим терміном. ПідбирайтеK такі, що для всіх уm \geq K нас є\left\lvert {A_m - A} \right\rvert < \epsilon і теж\left\lvert {B_m - B} \right\rvert < \epsilon. Нарешті, як\sum a_n сходиться абсолютно, переконайтеся, щоK це досить великий такий, що для всіхm \geq K,\sum_{n=K}^m \left\lvert {a_n} \right\rvert < \epsilon . Як\sum b_n сходиться, то у нас є, щоB_{\text{max}} := \sup \{ \left\lvert { B_n - B } \right\rvert : n = 0,1,2,\ldots \} є кінцевим. Візьмітьm \geq 2K, то зокремаm-K+1 > K. \begin{split} %\left( \sum_{n=0}^m \left\lvert { B_n - B } \right\rvert \left\lvert {a_{m-n}} \right\rvert %\right) & = \left( \sum_{n=0}^{m-K} \left\lvert { B_n - B } \right\rvert \left\lvert {a_{m-n}} \right\rvert \right) + \left( \sum_{n=m-K+1}^m \left\lvert { B_n - B } \right\rvert \left\lvert {a_{m-n}} \right\rvert \right) \\ & < \left( \sum_{n=K}^m \left\lvert {a_{n}} \right\rvert \right) B_{\text{max}} + \left( \sum_{n=0}^{K-1} \epsilon \left\lvert {a_{n}} \right\rvert \right) \\ & < \epsilon B_{\text{max}} + \epsilon \left( \sum_{n=0}^\infty \left\lvert {a_{n}} \right\rvert \right) . \end{split}Тому, бо уm \geq 2K нас є\begin{split} \left\lvert {\left(\sum_{n=0}^m c_n \right) - AB} \right\rvert & \leq \left( \sum_{n=0}^m \left\lvert { B_n - B } \right\rvert \left\lvert {a_{m-n}} \right\rvert \right) + \left\lvert {B} \right\rvert\left\lvert {A_m - A} \right\rvert \\ & < \epsilon B_{\text{max}} + \epsilon \left( \sum_{n=0}^\infty \left\lvert {a_{n}} \right\rvert \right) + \left\lvert {B} \right\rvert\epsilon = \epsilon \left( B_{\text{max}} + \left( \sum_{n=0}^\infty \left\lvert {a_{n}} \right\rvert \right) + \left\lvert {B} \right\rvert \right) . \end{split} Вираз в дужках на правій стороні є фіксоване число. Отже, ми можемо зробити праву сторону довільно маленькою, підібравши досить маленьку\epsilon> 0. Так\sum_{n=0}^\infty c_n сходиться доAB.

Якщо обидві серії лише умовно збігаються, то серія виробів Коші навіть не повинна сходитися. Припустимо, беремоa_n = b_n = {(-1)}^n \frac{1}{\sqrt{n+1}}. Серія\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty b_n сходиться за допомогою тесту змінного ряду, однак, він не сходиться абсолютно, як видно зp -тесту. Давайте подивимося на продукт Cauchy. c_n = {(-1)}^n \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{2n}} + \frac{1}{\sqrt{3(n-1)}} + \cdots + %\frac{1}{\sqrt{2n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) = {(-1)}^n \sum_{j=0}^n \frac{1}{\sqrt{(j+1)(n-j+1)}} .Тому\left\lvert {c_n} \right\rvert = \sum_{j=0}^n \frac{1}{\sqrt{(j+1)(n-j+1)}} \geq \sum_{j=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+1)}} = 1 . терміни не йдуть до нуля і, отже,\sum c_n не можуть сходитися.

Силова серія

Виправитиx_0 \in {\mathbb{R}}. Силовий ряд проx_0 це серія форми\sum_{n=0}^\infty a_n {(x-x_0)}^n . Силовий ряд дійсно є функцієюx, і багато важливих функцій в аналізі можна записати як енергетичний ряд.

Ми говоримо, що силовий ряд збігається, якщо є хоча б одинx \not= x_0, який змушує серію сходитися. Зверніть увагу, що тривіально бачити, що якщоx=x_0 тоді ряд завжди сходиться, оскільки всі терміни, крім першого, дорівнюють нулю. Якщо ряд не сходиться для будь-якої точкиx \not= x_0, скажемо, що ряд розходиться.

[ps:expex] Серія\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n абсолютно конвергентна для всіхx \in {\mathbb{R}}. Це можна побачити за допомогою тесту на співвідношення: Для будь-якогоx повідомлення, що\lim_{n \to \infty} \frac{\bigl(1/(n+1)!\bigr) \, x^{n+1}}{(1/n!) \, x^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n+1} = 0. Насправді ви можете згадати з обчислення, що цей ряд сходиться доe^x.

[ps:1kex] Серія\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n сходиться абсолютно для всіх заx \in (-1,1) допомогою тесту співвідношення:\lim_{n \to \infty} \left\lvert { \frac{\bigl(1/(n+1) \bigr) \, x^{n+1}}{(1/n) \, x^{n}} } \right\rvert = \lim_{n \to \infty} \left\lvert {x} \right\rvert \frac{n}{n+1} = \left\lvert {x} \right\rvert < 1 . Він сходиться приx=-1, як\sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^n}{n} сходиться за допомогою тесту змінної серії. Але силовий ряд не сходиться абсолютно наx=-1, тому що\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} не сходиться. Серія розходиться наx=1. Коли\left\lvert {x} \right\rvert > 1, то ряд розходиться через тест співвідношення.

[ps:divergeex] Серія\sum_{n=1}^\infty n^n x^n розходиться для всіхx \not= 0. Застосовуємо кореневий тест\limsup_{n\to\infty} \, \left\lvert {n^n x^n} \right\rvert^{1/n} = \limsup_{n\to\infty} \, n \left\lvert {x} \right\rvert = \infty . Тому ряд розходиться у всіхx \not= 0.

Насправді конвергенція силових рядів взагалі завжди працює аналогічно одному з трьох прикладів вище.

Нехай\sum a_n {(x-x_0)}^n буде силовий ряд. Якщо ряд сходиться, то або він взагалі сходитьсяx \in {\mathbb{R}}, або існує число\rho, таке, що ряд сходиться абсолютно на проміжку(x_0-\rho,x_0+\rho) і розходиться приx < x_0-\rho абоx > x_0+\rho.

Число\rho називається радіусом збіжності степеневого ряду. Пишемо,\rho = \infty якщо ряд сходиться для всіхx, і пишемо,\rho = 0 якщо ряд розходиться. Див. У радіусі збіжності знаходиться\rho=1. У радіусі збіжності є\rho=\infty, а в радіусі збіжності є\rho=0.

НапишітьR := \limsup_{n\to\infty} \, {\left\lvert {a_n} \right\rvert}^{1/n} . Ми використовуємо кореневий тест, щоб довести пропозицію:L = \limsup_{n\to\infty} \, {\left\lvert {a_n{(x-x_0)}^n} \right\rvert}^{1/n} = \left\lvert {x-x_0} \right\rvert \limsup_{n\to\infty} \, {\left\lvert {a_n} \right\rvert}^{1/n} = \left\lvert {x-x_0} \right\rvert R . Зокрема якщоR = \infty, тоL=\infty для будь-якогоx \not= x_0, і ряд розходиться по кореневому тесту. З іншого боку якщоR = 0, тоL=0 для будь-якогоx, і серія сходиться абсолютно для всіхx.

Припустимо0 < R < \infty. Серія сходиться абсолютно1 > L = R \left\lvert {x-x_0} \right\rvert, якщо, або іншими словами, коли Серія\left\lvert {x-x_0} \right\rvert < \nicefrac{1}{R} . розходиться1 < L = R \left\lvert {x-x_0} \right\rvert, коли, або\left\lvert {x-x_0} \right\rvert > \nicefrac{1}{R} . Дозволяючи\rho = \nicefrac{1}{R} завершує доказ.

Можливо, буде корисно переосмислити те, що ми дізналися в доказі, як окрему пропозицію.

\sum a_n {(x-x_0)}^nДозволяти бути силовий ряд, і нехайR := \limsup_{n\to\infty} \, {\left\lvert {a_n} \right\rvert}^{1/n} . ЯкщоR = \infty, силовий ряд розходиться. ЯкщоR=0, то силовий ряд сходиться всюди. В іншому випадку радіус збіжності\rho = \nicefrac{1}{R}.

Часто радіус збіжності пишеться як і\rho = \nicefrac{1}{R} у всіх трьох випадках, з очевидним розумінням того, що\rho повинно бути ifR = 0 абоR = \infty.

Конвергентні ряди потужності можна додавати і множити разом, а також множити на константи. Пропозиція має легкий доказ, використовуючи те, що ми знаємо про серіали загалом, і силові серії зокрема. Доказ залишаємо читачеві.

\sum_{n=0}^\infty b_n {(x-x_0)}^nДозволяти\sum_{n=0}^\infty a_n {(x-x_0)}^n і бути двома збіжними степеневими рядами з радіусом збіжності не менше\rho > 0 і\alpha \in {\mathbb{R}}. Тоді за всеx таке\left\lvert {x-x_0} \right\rvert < \rho, що, у нас є\left(\sum_{n=0}^\infty a_n {(x-x_0)}^n\right) + \left(\sum_{n=0}^\infty b_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) {(x-x_0)}^n ,\alpha \left(\sum_{n=0}^\infty a_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \alpha a_n {(x-x_0)}^n , і\left(\sum_{n=0}^\infty a_n {(x-x_0)}^n\right) \, \left(\sum_{n=0}^\infty b_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n {(x-x_0)}^n , деc_n = a_0b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0.

Тобто після виконання алгебраїчних операцій радіус збіжності отриманого ряду становить не менше\rho. Для всіхx з\left\lvert {x-x_0} \right\rvert < \rho, у нас є два збіжні ряди, тому їх термін за терміном додавання та множення на константи слід за тим, що ми дізналися в останньому розділі. Для множення двох степеневих рядів ряди абсолютно збігаються всередині радіуса збіжності, і тому для нихx ми можемо застосувати теорему Мертенса. Зауважте, що після застосування алгебраїчної операції радіус збіжності може збільшуватися. Дивіться вправи.

Розглянемо кілька прикладів силових рядів. Поліноми є просто скінченними степеневими рядами. Тобто многочлен - це ряди степенів, де рівні нулю для всіх доситьn великих.a_n Ми розширюємо многочлен як степеневий ряд про будь-яку точкуx_0, записуючи многочлен як многочлен в(x-x_0). Наприклад,2x^2-3x+4 як силовий ряд навколоx_0 = 12x^2-3x+4 = 3 + (x-1) + 2{(x-1)}^2 .

Ми також можемо розширити раціональні функції, тобто співвідношення поліномів як степеневих рядів, хоча повністю доводити цей факт тут не будемо. Зверніть увагу, що ряд для раціональної функції визначає функцію лише на інтервалі, навіть якщо функція визначена в іншому місці. Наприклад, для геометричної серії ми маємо, що для Серіяx \in (-1,1)\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n . розходиться\left\lvert {x} \right\rvert > 1, коли, хоча\frac{1}{1-x} визначена для всіхx \not= 1.

Ми можемо використовувати геометричний ряд разом із правилами додавання та множення степеневих рядів, щоб розширити раціональні функції як ряди потужності навколоx_0, доки знаменник не дорівнює нулюx_0. Ми без доказів заявляємо, що це завжди можливо, і наведемо приклад такого обчислення з використанням геометричного ряду.

Розширимо\frac{x}{1+2x+x^2} як степеневий ряд навколо origin (x_0 = 0) і знайдемо радіус збіжності.

Пишіть1+2x+x^2 = {(1+x)}^2 = {\bigl(1-(-x)\bigr)}^2, і припускайте\left\lvert {x} \right\rvert < 1. Обчислити\begin{split} \frac{x}{1+2x+x^2} &= x \, {\left( \frac{1}{1-(-x)} \right)}^2 \\ &= x \, {\left( \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n x^n \right)}^2 \\ &= x \, \left( \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+1} , \end{split}, де за допомогою формули для добутку рядів ми отримуємоc_0 = 1,c_1 = -1 -1 = -2,c_2 = 1+1+1 = 3, і т.д... Тому ми отримуємо, що для\left\lvert {x} \right\rvert < 1,\frac{x}{1+2x+x^2} = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1} n x^n . Радіус збіжності є принаймні 1. Ми залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що радіус збіжності точно дорівнює 1.

Ви можете використовувати метод часткових дробів, який ви знаєте з числення. Наприклад, щоб знайти ряд потужності для\frac{x^3+x}{x^2-1} at 0, напишіть\frac{x^3+x}{x^2-1} = x + \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x} = x + \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n x^n - \sum_{n=0}^\infty x^n .

Вправи

Вирішіть збіжність або розбіжність наступних рядів.

а)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n+1}} б)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n}(n-1)}{n} в)\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac
ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[15]/table[1]/tbody/tr/td[5]/span/span, line 1, column 5
\)
г)\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}
ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[15]/table[1]/tbody/tr/td[7]/span/span, line 1, column 6
\)

Припустимо, обидва\sum_{n=0}^\infty a_n і\sum_{n=0}^\infty b_n сходяться абсолютно. Покажіть, що серія виробів,\sum_{n=0}^\infty c_n деc_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0, теж сходиться абсолютно.

[Вправа: серія сходиться ні до чого]\sum a_n Дозволяти бути умовно збіжними. Показати, що задане будь-яке числоx існує перестановка\sum a_n такої, до якої переставлений ряд сходиться доx. Підказка: Див.

а) Покажіть, що змінний гармонічний ряд\(\sum \frac

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[15]/p[4]/span[1]/span, line 1, column 5
{n}\) має таку перестановкуx < y, що для будь-якого існує часткова сумаs_n переставленого ряду така, щоx < s_n < y. б) Покажіть, що знайдена вами перестановка не сходиться. Див. в) Показатиx \in {\mathbb{R}}, що для будь-якого існує підпослідовність\{ s_{n_k} \} часткових сум вашої перестановки таких, що\lim \, s_{n_k} = x.

Для наступних рядів потужності знайдіть, чи є вони збіжними чи ні, і якщо так, знайдіть їх радіус збіжності.

а)\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n б)\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n x^n в)\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n! \, x^n г)\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2k)!} {(x-10)}^n д)\displaystyle \sum_{n=0}^\infty x^{2n} f)\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n! \, x^{n!}

Припустимо,\sum a_n x^n сходиться дляx=1. а) Що можна сказати про радіус збіжності? б) Якщо ви далі знаєте, що приx=1 зближенні не є абсолютним, що ви можете сказати?

Розгорніть\dfrac{x}{4-x^2} як силовий ряд навколоx_0 = 0 і обчислити його радіус збіжності.

а) Знайти приклад, де радіус збіжності\sum a_n x^n і\sum b_n x^n дорівнює 1, але радіус збіжності суми двох рядів нескінченний. б) (Трюче) Знайти приклад, де радіус збіжності\sum a_n x^n і\sum b_n x^n дорівнює 1, але радіус збіжності добутку два ряди нескінченно.

З'ясуйте, як обчислити радіус збіжності за допомогою тесту коефіцієнта. Тобто, припустимо,\sum a_n x^n є силовим рядом іR := \lim \, \frac{\left\lvert {a_{n+1}} \right\rvert}{\left\lvert {a_n} \right\rvert} існує або є\infty. Знайдіть радіус зближення і доведіть свою претензію.

а) Доведіть це\lim \, n^{1/n} = 1. Підказка: Напишітьn^{1/n} = 1+b_n і зверніть увагуb_n > 0. Потім покажіть, що{(1+b_n)}^n \geq \frac{n(n-1)}{2}b_n^2 і використайте це, щоб показати, що\lim \, b_n = 0. б) Використовуйте результат частини а), щоб показати, що якщо\sum a_n x^n є збіжним силовим рядом з радіусом збіжностіR, то також\sum n a_n x^n збігається з тим самим радіусом збіжності.

Існують різні поняття сумованості (конвергенції) ряду, ніж лише те, що ми бачили. Загальним є Ces à ro підсумованість 14. \sum a_nДозволяти бути ряд і нехайs_n буде частковою сумою.n Серія, як кажуть, Ces à ro підсумовується,a якщоa = \lim_{n\to \infty} \frac{s_1 + s_2 + \cdots + s_n}{n} .

а) Якщо\sum a_n сходиться доa (у звичайному розумінні), показати, що\sum a_n це Ces à ro підсумовується доa. б) Показати, що в сенсі Ces à ro\sum {(-1)}^n підсумовується до\nicefrac{1}{2}. c) Нехайa_n := k колиn = k^3 для деякихk \in {\mathbb{N}},a_n := -k коли n = k^3+1для деякихk \in {\mathbb{N}}, інакше нехайa_n := 0. Покажіть, що\sum a_n розходиться у звичайному розумінні (часткові суми необмежені), але це Ces à ro підсумовується до 0 (здається трохи парадоксальним на перший погляд).

Покажіть, що монотонність в тесті чергуються рядів необхідно. Тобто знайти послідовність позитивних дійсних чисел\{ x_n \} з\lim\, x_n = 0 але таким, що\sum {(-1)}^n x_n розходиться.

Безперервні функції

Межі функцій

Примітка: 2—3 лекції

Перш ніж визначити безперервність функцій, нам потрібно відвідати дещо більш загальне поняття межі. Тобто, враховуючи функціюf \colon S \to {\mathbb{R}}, ми хочемо побачити, якf(x) поводиться якx прагне до певної точки.

Кластерні точки

По-перше, повернемося до концепції, яку ми раніше бачили у вправі.

НехайS \subset {\mathbb{R}} буде набір. Числоx \in {\mathbb{R}} називається точкою кластераS якщо для кожного\epsilon > 0 множина(x-\epsilon,x+\epsilon) \cap S \setminus \{ x \} не порожня.

Тобто є кластерною точкою,xS якщо є точкиS довільно близьких доx. Інший спосіб фразування визначення полягає в тому, щоб сказати, щоx це кластерна точкаS якщо для кожного\epsilon > 0, існуєy \in S така, щоy \not= x і\left\lvert {x - y} \right\rvert < \epsilon. Зверніть увагу, що кластер точкиS необхідності не лежати вS.

Давайте подивимося кілька прикладів.

  1. Набір\{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} має унікальну точку кластера нуль.
  2. Точки скупчення відкритого інтервалу(0,1) - це всі точки замкнутого інтервалу[0,1].
  3. Для{\mathbb{Q}} множини множина точок кластера - це ціла реальна лінія{\mathbb{R}}.
  4. Для[0,1) \cup \{ 2 \} множини множина точок кластера - це інтервал[0,1].
  5. Набір не{\mathbb{N}} має точок кластера в{\mathbb{R}}.

НехайS \subset {\mathbb{R}}. Тодіx \in {\mathbb{R}} це точка кластераS якщо і тільки якщо існує збіжна послідовність чисел,\{ x_n \} таких щоx_n \not= xx_n \in S, і\lim\, x_n = x.

По-перше, припустимо,x це кластерна точкаS. Для будь-якогоn \in {\mathbb{N}}, ми вибираємо,x_n щоб бути довільною точкою(x-\nicefrac{1}{n},x+\nicefrac{1}{n}) \cap S \setminus \{x\}, який ми знаємо є непорожнім, тому щоx це кластер точкаS. Тодіx_n знаходиться в межах\nicefrac{1}{n}x, тобто,\left\lvert {x-x_n} \right\rvert < \nicefrac{1}{n} . як\{ \nicefrac{1}{n} \} сходиться до нуля,\{ x_n \} сходиться доx.

З іншого боку, якщо почати з послідовності чисел\{ x_n \} вS сходженні доx такої, щоx_n \not= x для всіхn, то для кожного\epsilon > 0 єM таке, що зокрема\left\lvert {x_M - x} \right\rvert < \epsilon. Тобто,x_M \in (x-\epsilon,x+\epsilon) \cap S \setminus \{x\}.

Межі функцій

Якщо функціяf визначена на множиніS іc є точкою кластераS, то ми можемо визначити межуf(x) якx наближається доc. Зверніть увагу, що це не має значення для визначення,f визначено вc чи ні. Крім того, навіть якщо функція визначена наc, межа функції, доx якої йде, цілкомc може відрізнятися відf(c).

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти функція іc точка кластераS. Припустимо, існуєL \in {\mathbb{R}} і для кожного\epsilon > 0, існує\delta > 0 таке, що всякий разx \in S \setminus \{ c \} і\left\lvert {x - c} \right\rvert < \delta, тоді\left\lvert {f(x) - L} \right\rvert < \epsilon . У цьому випадку ми говоримо, щоf(x) сходиться до тогоL, якx йдеc. Ми говоримоL, що межаf(x), якx йдеc. Ми пишемо\lim_{x \to c} f(x) := L , абоf(x) \to L \quad\text{as}\quad x \to c . Якщо такого неL існує, то ми говоримо, що межа не існує або щоf розходиться наc.

Знову ж таки, позначення та мова, яку ми використовуємо вище, передбачає, що межа унікальна, хоча ми ще не довели цього. Давайте зробимо це зараз.

cДозволяти бути точка кластераS \subset {\mathbb{R}} і нехайf \colon S \to {\mathbb{R}} функція така, щоf(x) сходиться, якx йде доc. Тоді межаf(x) якx переходить доc є унікальною.

L_2ДозволятиL_1 і бути два числа, які обидва задовольняють визначенню. Візьміть\epsilon > 0 і знайдіть\delta_1 > 0 таку, що\left\lvert {f(x)-L_1} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2} для всіхx \in S \setminus \{c\} с\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta_1. Також знайдіть\delta_2 > 0 таке, що\left\lvert {f(x)-L_2} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2} для всіхx \in S \setminus \{c\} с\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta_2. Покладіть\delta := \min \{ \delta_1, \delta_2 \}. Припустимоx \in S\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta,, іx \not= c. Тоді\left\lvert {L_1 - L_2} \right\rvert = \left\lvert {L_1 - f(x) + f(x) - L_2} \right\rvert \leq \left\lvert {L_1 - f(x)} \right\rvert + \left\lvert {f(x) - L_2} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. Що\left\lvert {L_1-L_2} \right\rvert < \epsilon стосується довільного\epsilon > 0, тоL_1 = L_2.

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатися якf(x) := x^2. Тоді\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x\to c} x^2 = c^2 .

Доказ: Спочатку нехайc буде зафіксовано. Нехай\epsilon > 0 дадуть. \delta := \min \left\{ 1 , \, \frac{\epsilon}{2\left\lvert {c} \right\rvert+1} \right\} .Візьмітьx \not= c такий, що\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta. Зокрема,\left\lvert {x-c} \right\rvert < 1. Потім шляхом зворотної нерівності трикутника ми отримуємо\left\lvert {x} \right\rvert-\left\lvert {c} \right\rvert \leq \left\lvert {x-c} \right\rvert < 1 . Додавання2\left\lvert {c} \right\rvert до обох сторін\left\lvert {x} \right\rvert + \left\lvert {c} \right\rvert < 2\left\lvert {c} \right\rvert + 1. обчислюємо\begin{split} \left\lvert {f(x) - c^2} \right\rvert &= \left\lvert {x^2-c^2} \right\rvert \\ &= \left\lvert {(x+c)(x-c)} \right\rvert \\ &= \left\lvert {x+c} \right\rvert\left\lvert {x-c} \right\rvert \\ &\leq (\left\lvert {x} \right\rvert+\left\lvert {c} \right\rvert)\left\lvert {x-c} \right\rvert \\ &< (2\left\lvert {c} \right\rvert+1)\left\lvert {x-c} \right\rvert \\ &< (2\left\lvert {c} \right\rvert+1)\frac{\epsilon}{2\left\lvert {c} \right\rvert+1} = \epsilon . \end{split}

f \colon [0,1) \to {\mathbb{R}}Визначтеf(x) := \begin{cases} x & \text{if $x > 0$} , \\ 1 & \text{if $x = 0$} . \end{cases} потім,\lim_{x\to 0} f(x) = 0 , хочаf(0) = 1.

Доказ: Нехай\epsilon > 0 буде дано. Нехай\delta := \epsilon. Тоді заx \in [0,1)x \not= 0, і\left\lvert {x-0} \right\rvert < \delta отримуємо\left\lvert {f(x) - 0} \right\rvert = \left\lvert {x} \right\rvert < \delta = \epsilon .

Послідовні межі

З'єднаємо границю, як визначено вище, з межами послідовностей.

[seqflimit:lemma] НехайS \subset {\mathbb{R}} іc бути точкою кластераS. f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією.

Тодіf(x) \to L якx \to c, якщо і тільки якщо для кожної\{ x_n \} послідовності чисел такі, щоx_n \in S \setminus \{c\} для всіхn, і такі, що\lim\, x_n = c, у нас є, що послідовність\{ f(x_n) \} сходиться доL.

Припустимоx \to c,f(x) \to L як, і\{ x_n \} є така послідовність, щоx_n \in S \setminus \{c\} і\lim\, x_n = c. Ми хочемо показати, що\{ f(x_n) \} сходиться доL. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Знайти\delta > 0 таке, що якщоx \in S \setminus \{c\} і\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {f(x) - L} \right\rvert < \epsilon. Як\{ x_n \} сходитьсяc, знайтиM таке, що дляn \geq M нас є що\left\lvert {x_n - c} \right\rvert < \delta. Тому, дляn \geq M,\left\lvert {f(x_n) - L} \right\rvert < \epsilon . Таким чином\{ f(x_n) \} сходиться доL.

Для іншого напрямку ми використовуємо доказ контрапозитивним. Припустимо, це неправда, щоf(x) \to L якx \to c. Заперечення визначення полягає в тому, що існує\epsilon > 0 таке, що для кожного\delta > 0 існує якийсьx \in S \setminus \{c\}, де\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta і\left\lvert {f(x)-L} \right\rvert \geq \epsilon.

Давайте використаємо\nicefrac{1}{n} for\delta у наведеному вище операторі для побудови послідовності\{ x_n \}. Ми маємо, що існує\epsilon > 0 такеn, що для кожного існує точкаx_n \in S \setminus \{c\}, де\left\lvert {x_n-c} \right\rvert < \nicefrac{1}{n} і\left\lvert {f(x_n)-L} \right\rvert \geq \epsilon. Послідовність\{ x_n \} тільки що побудована сходиться доc, але послідовність\{ f(x_n) \} не сходиться доL. І ми закінчили.

Зміцнити зворотний напрямок леми можна, просто заявивши, що\{ f(x_n) \} сходиться, не вимагаючи певного межі. Див.

\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \sin( \nicefrac{1}{x} )не існує, але\displaystyle \lim_{x \to 0} \, x\sin( \nicefrac{1}{x} ) = 0. Див.

Графіки\ sin (\ nicefrac {1} {x}) і x\ sin (\ nicefrac {1} {x}). Зауважте, що комп'ютер не може правильно графувати\ sin (\ nicefrac {1} {x}) близько нуля, оскільки він коливається занадто швидко. [інжир в 1х]Графіки\ sin (\ nicefrac {1} {x}) і x\ sin (\ nicefrac {1} {x}). Зауважте, що комп'ютер не може правильно графувати\ sin (\ nicefrac {1} {x}) близько нуля, оскільки він коливається занадто швидко. [інжир в 1х]

Доказ: Давайте працювати з\sin(\nicefrac{1}{x}) першим. Визначимося з послідовністюx_n := \frac{1}{\pi n + \nicefrac{\pi}{2}}. Це неважко помітити, що\lim\, x_n = 0. Крім того,\sin ( \nicefrac{1}{x_n} ) = \sin (\pi n + \nicefrac{\pi}{2}) = {(-1)}^n . отже,\{ \sin ( \nicefrac{1}{x_n} ) \} не сходиться. Таким чином, по,\lim_{x \to 0} \, \sin( \nicefrac{1}{x} ) не існує.

Тепер давайте подивимося наx\sin(\nicefrac{1}{x}). Нехайx_n буде послідовність така, щоx_n \not= 0 для всіхn і таких, що\lim\, x_n = 0. Зверніть увагу, що\left\lvert {\sin(t)} \right\rvert \leq 1 для будь-якогоt \in {\mathbb{R}}. Отже,\left\lvert {x_n\sin(\nicefrac{1}{x_n})-0} \right\rvert = \left\lvert {x_n} \right\rvert\left\lvert {\sin(\nicefrac{1}{x_n})} \right\rvert \leq \left\lvert {x_n} \right\rvert . Asx_n йде до 0, потім\left\lvert {x_n} \right\rvert йде до нуля, а значить і\{ x_n\sin(\nicefrac{1}{x_n}) \} сходиться до нуля. За,\displaystyle \lim_{x \to 0} \, x\sin( \nicefrac{1}{x} ) = 0.

Майте на увазі фразу «для кожної послідовності» в лемі. Для прикладу візьмемо\sin(\nicefrac{1}{x}) і послідовністьx_n = \nicefrac{1}{\pi n}. Потім\{ \sin (\nicefrac{1}{x_n}) \} - постійна нульова послідовність, а значить, сходиться до нуля.

Використовуючи, ми можемо почати застосовувати все, що ми знаємо про послідовні обмеження до меж функцій. Наведемо кілька важливих прикладів.

S \subset {\mathbb{R}}cДозволяти і бути точкою кластераS. g \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволятиf \colon S \to {\mathbb{R}} і бути функції. Припустимо, межіf(x) іg(x) якx йде доc обох існують, і щоf(x) \leq g(x) \qquad \text{for all $x \in S$}. Тоді\lim_{x\to c} f(x) \leq \lim_{x\to c} g(x) .

Візьміть\{ x_n \} послідовність чисел вS \setminus \{ c \} що сходиться доc. НехайL_1 := \lim_{x\to c} f(x), \qquad \text{and} \qquad L_2 := \lim_{x\to c} g(x) . By ми знаємо,\{ f(x_n) \} сходитьсяL_1 і\{ g(x_n) \} сходиться доL_2. У нас теж єf(x_n) \leq g(x_n). ОтримуємоL_1 \leq L_2 за допомогою.

Застосовуючи постійні функції, отримуємо наступний наслідок. Доказ залишають як вправу.

[fconstineq:cor] НехайS \subset {\mathbb{R}} іc бути точкою кластераS. f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. І припустимо, щоf(x) межа якx йде доc існує. Припустимо, є два дійсних числаa іb такі, щоa \leq f(x) \leq b \qquad \text{for all $x \in S$}. Тодіa \leq \lim_{x\to c} f(x) \leq b .

Використовуючи так само, як і вище, ми також отримуємо наступні наслідки, чиї докази знову залишаються як вправа.

[fsqueeze:cor]c ДозволятиS \subset {\mathbb{R}} і бути точкою кластераS. Дозволятиf \colon S \to {\mathbb{R}}g \colon S \to {\mathbb{R}}, іh \colon S \to {\mathbb{R}} бути функції. Припустимоf(x) \leq g(x) \leq h(x) \qquad \text{for all $x \in S$},,f(x) і межі іh(x) якx йде доc обох існують, і\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x\to c} h(x) . тоді межаg(x) якx переходить доc існує і\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x\to c} h(x) .

[falg:cor]c ДозволятиS \subset {\mathbb{R}} і бути точкою кластераS. g \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволятиf \colon S \to {\mathbb{R}} і бути функції. Припустимо, межіf(x) іg(x) якx йде доc обох існують. Тоді

  1. \displaystyle \lim_{x\to c} \bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \left(\lim_{x\to c} f(x)\right) + \left(\lim_{x\to c} g(x)\right) .
  2. \displaystyle \lim_{x\to c} \bigl(f(x)-g(x)\bigr) = \left(\lim_{x\to c} f(x)\right) - \left(\lim_{x\to c} g(x)\right) .
  3. \displaystyle \lim_{x\to c} \bigl(f(x)g(x)\bigr) = \left(\lim_{x\to c} f(x)\right) \left(\lim_{x\to c} g(x)\right) .
  4. [falg:cor:iv] Якщо\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) \not= 0, іg(x) \not= 0 для всіхx \in S \setminus \{ c \}, то\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c} f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)} .

Межі обмежень і односторонні межі

Іноді ми працюємо з функцією, визначеною на підмножині.

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. НехайA \subset S. Визначити функціюf|_A \colon A \to {\mathbb{R}}f|_A (x) := f(x) \qquad \text{for $x \in A$}. за допомогою Функціяf|_A називається обмеженнямf toA.

Функціяf|_A - це просто функція,f взята на менший домен. Наступне судження є аналогом взяття хвоста послідовності.

[prop:limrest] НехайS \subset {\mathbb{R}}c \in {\mathbb{R}}, і нехайf \colon S \to {\mathbb{R}} буде функція. Припустимо,A \subset S таке, що є якийсь\alpha > 0 такий, щоA \cap (c-\alpha,c+\alpha) = S \cap (c-\alpha,c+\alpha).

  1. Точкаc є точкою кластера,A якщо і тільки якщоc є точкою кластераS.
  2. Припустимо,c це кластерна точкаS, тоf(x) \to Lx \to c ніби і тільки якщоf|_A(x) \to L якx \to c.

По-перше,c нехай точка кластераA. Так якA \subset S, то якщо( A \setminus \{ c\} ) \cap (c-\epsilon,c+\epsilon) непорожній для кожного\epsilon > 0,( S \setminus \{ c\} ) \cap (c-\epsilon,c+\epsilon) то непорожній для кожного\epsilon > 0. Такимc чином, кластерна точкаS. По-друге, припустимо,c це точка кластераS. Тоді за\epsilon > 0 таке\epsilon < \alpha ми отримуємо те( A \setminus \{ c\} ) \cap (c-\epsilon,c+\epsilon) = ( S \setminus \{ c\} ) \cap (c-\epsilon,c+\epsilon), що непорожньо. Це вірно для всіх\epsilon < \alpha і, отже,( A \setminus \{ c\} ) \cap (c-\epsilon,c+\epsilon) повинно бути непорожнім для всіх\epsilon > 0. Таким чиномc, це кластерна точкаA.

Тепер припустимоf(x) \to L, якx \to c. Тобто для кожного\epsilon > 0 знайдеться\delta > 0 таке, що якщоx \in S \setminus \{ c \} і\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {f(x)-L} \right\rvert < \epsilon. Тому щоA \subset S, якщоx є вA \setminus \{ c \}, тоx є вS \setminus \{ c \}, а значить,f|_A(x) \to L якx \to c.

Нарешті припустимоf|_A(x) \to L, якx \to c. Звідси для кожного\epsilon > 0 є\delta > 0 таке, що якщоx \in A \setminus \{ c \} і\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\bigl\lvert f|_A(x)-L \bigr\rvert < \epsilon. Без втрати спільності припускаємо\delta \leq \alpha. Якщо\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, тоx \in S \setminus \{c \} якщо і тільки якщоx \in A \setminus \{c \}. Таким чином\left\lvert {f(x)-L} \right\rvert = \bigl\lvert f|_A(x)-L \bigr\rvert < \epsilon.

Гіпотеза судження необхідна. Для довільного обмеження ми, як правило, отримуємо лише підтекст лише в одному напрямку, див.

Поширеним використанням обмеження щодо лімітів є односторонні межі.

[defn:onesidedlimits]f \colon S \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути функцією і нехайc бути точкою кластераS \cap (c,\infty). Тоді, якщо межа обмеженняf доS \cap (c,\infty) якx \to c існує, ми визначаємо\lim_{x \to c^+} f(x) := \lim_{x\to c} f|_{S \cap (c,\infty)}(x) . Аналогічно, якщоc це точка кластераS \cap (-\infty,c) і межа обмеження якx \to c існує, ми визначаємо\lim_{x \to c^-} f(x) := \lim_{x\to c} f|_{S \cap (-\infty,c)}(x) .

Вищевикладена пропозиція не відноситься до односторонніх меж. Можна мати односторонні межі, але немає межі в точці. Наприклад, визначтеf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} поf(x) := 1 forx < 0 іf(x) := 0 forx \geq 0. Ми залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що У\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0, \qquad \lim_{x \to 0} f(x) \quad \text{does not exist.} нас є наступна заміна.

[prop:onesidedlimits] ДозволятиS \subset {\mathbb{R}} бути множиною такий, щоc є точкою кластера обохS \cap (-\infty,c) іS \cap (c,\infty), і нехайf \colon S \to {\mathbb{R}} бути функцією. Тоді\lim_{x \to c} f(x) = L \qquad \text{if and only if} \qquad \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L .

Тобто межа існує, якщо обидві односторонні межі існують і рівні, і навпаки. Доказом є пряме застосування визначення межі і залишається як вправа. Ключовим моментом є те, що\bigl( S \cap (-\infty,c) \bigr) \cup \bigl( S \cap (c,\infty) \bigr) = S \setminus \{ c \}.

Вправи

Знайдіть ліміт або доведіть, що ліміту не існує

а)\displaystyle \lim_{x\to c} \sqrt{x}, дляc \geq 0 б)\displaystyle \lim_{x\to c} x^2+x+1, для будь-якогоc \in {\mathbb{R}} в)\displaystyle \lim_{x\to 0} x^2 \cos (\nicefrac{1}{x})
г)\displaystyle \lim_{x\to 0}\, \sin(\nicefrac{1}{x}) \cos (\nicefrac{1}{x}) д)\displaystyle \lim_{x\to 0}\, \sin(x) \cos (\nicefrac{1}{x})

Доведіть.

Доведіть.

Доведіть.

НехайA \subset S. Показати, що якщоc це точка кластераA, тоc це точка кластераS. Зверніть увагу на відмінність від.

[Вправа: обмеження обмеження вправи] НехайA \subset S. Припустимо,c це точка кластера,A і це також точка кластераS. f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. Покажіть, що якщоf(x) \to L якx \to c, тоf|_A(x) \to L якx \to c. Зверніть увагу на відмінність від.

Знайдіть прикладf \colon [-1,1] \to {\mathbb{R}} такої функції, що дляA:=[0,1], обмеженняf|_A(x) \to 0 якx \to 0, але межіf(x) якx \to 0 не існує. Зверніть увагу, чому ви не можете подати заявку.

Знайдіть приклад функційf іg таких, що межаf(x) ні неg(x) існує якx \to 0, але така, що межаf(x)+g(x) існує якx \to 0.

[Вправа:c_1 contlimitcomposition] Дозволяти бути точкою кластераA \subset {\mathbb{R}} іc_2 бути точкою кластераB \subset {\mathbb{R}}. Припустимоf \colon A \to B іg \colon B \to {\mathbb{R}} є такі функції, щоf(x) \to c_2 якx \to c_1 іg(y) \to L якy \to c_2. Якщоc_2 \in B також припустимо, щоg(c_2) = L. Нехайh(x) := g\bigl(f(x)\bigr) і покажеh(x) \to L якx \to c_1. Підказка: зверніть увагу, щоf(x) може дорівнюватиc_2 багатьомx \in A, див. Також.

cДозволяти бути точкою кластераA \subset {\mathbb{R}}, іf \colon A \to {\mathbb{R}} бути функцією. Припустимо, для кожної послідовності\{x_n\} вA, такий\lim\, x_n = c, що,\{ f(x_n) \}_{n=1}^\infty послідовність Коші. Доведіть, що\lim_{x\to c} f(x) існує.

[Вправа: seqflimitalt] Доведіть наступну сильнішу версію одного напрямку:c ДозволятиS \subset {\mathbb{R}}, бути точкою кластераS, іf \colon S \to {\mathbb{R}} бути функцією. Припустимо, що для кожної послідовності\{x_n\} вS \setminus \{c\} такій\lim\, x_n = c послідовності, що послідовність\{ f(x_n) \} збігається. Потім покажітьf(x) \to L, якx \to c для деякихL \in {\mathbb{R}}.

Доведіть.

Припустимоc,S \subset {\mathbb{R}} і є точкою кластераS. f \colon S \to {\mathbb{R}}Припустимо, обмежена. Показати, що існує послідовність\{ x_n \} зx_n \in S \setminus \{ c \} і\lim\, x_n = c така, що\{ f(x_n) \} сходиться.

[Вправа: contlimitbadcomposition] Показати, що гіпотеза, щоg(c_2) = L в необхідно. Тобто знайтиf іg таке, щоf(x) \to c_2 якx \to c_1 іg(y) \to L якy \to c_2, алеg\bigl(f(x)\bigr) не йдеL якx \to c_1.

Безперервні функції

Примітка: 2—2.5 лекції

Ви, безсумнівно, чули про безперервні функції у вашому навчанні. Критерієм середньої школи для цієї концепції є те, що функція є безперервною, якщо ми можемо намалювати її графік, не піднімаючи перо з паперу. Хоча ця інтуїтивна концепція може бути корисною в простих ситуаціях, ми потребуємо строгості. Наступне визначення взяло трьох великих математиків (Больцано, Коші і, нарешті, Вейерштрасс), щоб отримати правильно, і його остаточна форма датується лише наприкінці 1800-х років.

Визначення та основні властивості

ДозволятиS \subset {\mathbb{R}}c \in S, і нехайf \colon S \to {\mathbb{R}} буде функція. Ми говоримо,f що безперервно,c якщо для кожного\epsilon > 0 є\delta > 0 таке, що колиx \in S і\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert < \epsilon.

Колиf \colon S \to {\mathbb{R}} є безперервним взагаліc \in S, то ми просто говоримо, щоf це безперервна функція.

Якщоf безперервно для всіхc \in A, ми говоримоf безперервно наA \subset S. Залишається як легка вправа, щоб показати, що це означає, щоf|_A це безперервно, хоча зворотне не тримається.

Безперервність може бути найважливішим визначенням для розуміння в аналізі, і це непросте. Див. Зверніть увагу, що\delta не тільки залежить від\epsilon, але і відc; нам не потрібно вибирати один\delta для всіхc \in S. Не випадково визначення безперервності схоже з визначенням межі функції. Головна особливість безперервних функцій полягає в тому, що це саме ті функції, які добре поводяться з обмеженнями.

[contbasic:prop] Припустимо,f \colon S \to {\mathbb{R}} це функція іc \in S. Тоді

  1. Якщо неc є точкою кластераS, тоf є безперервним вc.
  2. Якщоc є точкою кластераS, тоf є безперервним,c якщо і тільки якщоf(x) межа якx \to c існує і\lim_{x\to c} f(x) = f(c) .
  3. fє безперервним,c якщо і тільки якщо для кожної послідовності\{ x_n \} деx_n \in S і\lim\, x_n = c, послідовність\{ f(x_n) \} сходиться доf(c).

Почнемо з першого пункту. Припустимо,c це не кластерна точкаS. Тоді існує\delta > 0 таке, щоS \cap (c-\delta,c+\delta) = \{ c \}. Тому для будь-якого\epsilon > 0, просто виберіть цю дану дельту. Єдинеx \in S таке, що\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta єx=c. Потім\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert = \left\lvert {f(c)-f(c)} \right\rvert = 0 < \epsilon.

Перейдемо до другого пункту. Припустимо,c це кластерна точкаS. Давайте спочатку припустимо, що\lim_{x\to c} f(x) = f(c). Тоді для кожного\epsilon > 0 знайдеться\delta > 0 таке, що якщоx \in S \setminus \{ c \} і\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert < \epsilon. Як\left\lvert {f(c)-f(c)} \right\rvert = 0 < \epsilon, то визначення безперервності приc задовольняється. З іншого боку, припустимо,f є безперервним приc. Для кожного існує\delta > 0 таке\epsilon > 0, що для того,x \in S де\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta ми маємо\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert < \epsilon. Тоді твердження, звичайно, все ще вірно, якщоx \in S \setminus \{ c \} \subset S. Тому\lim_{x\to c} f(x) = f(c).

Для третього пункту, припустимо,f є безперервним вc. \{ x_n \}Дозволяти послідовність така, щоx_n \in S і\lim\, x_n = c. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Знайти\delta > 0 такий, що\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert < \epsilon для всіхx \in S де\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta. ЗнайдітьM \in {\mathbb{N}} таке, що дляn \geq M нас є\left\lvert {x_n-c} \right\rvert < \delta. Тоді дляn \geq M нас є\left\lvert {f(x_n)-f(c)} \right\rvert < \epsilon, що, так\{ f(x_n) \} сходиться доf(c).

Доведемо зворотність третього пункту контрапозитивом. Припустимоf, що не безперервний приc. Тоді існує\epsilon > 0 таке, що для всіх існуєx \in S таке\delta > 0, що\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta і\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert \geq \epsilon. Визначимо послідовність\{ x_n \} наступним чином. Нехайx_n \in S будуть такі, що\left\lvert {x_n-c} \right\rvert < \nicefrac{1}{n} і\left\lvert {f(x_n)-f(c)} \right\rvert \geq \epsilon. Тепер\{ x_n \} послідовність чисел вS такому, що\lim\, x_n = c і таке, що\left\lvert {f(x_n)-f(c)} \right\rvert \geq \epsilon для всіхn \in {\mathbb{N}}. При цьому\{ f(x_n) \} не сходиться доf(c). Вона може сходитися, а може і не сходитися, але точно не сходитьсяf(c).

Останній пункт у пропозиції є особливо потужним. Це дозволяє нам швидко застосувати те, що ми знаємо про межі послідовностей, до неперервних функцій і навіть довести, що певні функції є безперервними. Його також можна зміцнити, див.

f \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}}визначаєтьсяf(x) := \nicefrac{1}{x} є безперервним.

Доказ: Виправитиc \in (0,\infty). \{ x_n \}Дозволяти послідовність в(0,\infty) такому, що\lim\, x_n = c. Тоді ми знаємо, щоf(c) = \frac{1}{c} = \frac{1}{\lim\, x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \lim_{n \to \infty} f(x_n) . Такимf чином безперервно вc. Як іf суцільний взагаліc \in (0,\infty),f є безперервним.

Ми раніше показали\lim_{x \to c} x^2 = c^2 безпосередньо. Тому функціяx^2 безперервна. Ми можемо використовувати неперервність алгебраїчних операцій щодо меж послідовностей, яку ми довели в попередньому розділі, щоб довести набагато більш загальний результат.

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти бути многочлен. Тобтоf(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0 , для деяких константa_0, a_1, \ldots, a_d. Потімf безперервно.

Виправитиc \in {\mathbb{R}}. \{ x_n \}Дозволяти послідовність така, що\lim\, x_n = c. Тоді\begin{split} f(c) &= a_d c^d + a_{d-1} c^{d-1} + \cdots + a_1 c + a_0 \\ &= a_d {(\lim\, x_n)}^d + a_{d-1} {(\lim\, x_n)}^{d-1} + \cdots + a_1 (\lim\, x_n) + a_0 \\ & = \lim_{n \to \infty} \left( a_d x_n^d + a_{d-1} x_n^{d-1} + \cdots + a_1 x_n + a_0 \right) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) . \end{split} Такимf чином безперервно приc. Як іf суцільний взагаліc \in {\mathbb{R}},f є безперервним.

Подібними міркуваннями або звернувшись до, ми можемо довести наступне. Подробиці доказу залишають як вправу.

[contalg:prop]g \colon S \to {\mathbb{R}} Дозволятиf \colon S \to {\mathbb{R}} і бути функції безперервної вc \in S.

  1. Функція,h \colon S \to {\mathbb{R}}h(x) := f(x)+g(x) визначена, є безперервною вc.
  2. Функція,h \colon S \to {\mathbb{R}}h(x) := f(x)-g(x) визначена, є безперервною вc.
  3. Функція,h \colon S \to {\mathbb{R}}h(x) := f(x)g(x) визначена, є безперервною вc.
  4. Якщоg(x)\not=0 для всіхx \in S, функція,h \colon S \to {\mathbb{R}} визначена,h(x) := \frac{f(x)}{g(x)} є безперервною вc.

[sincos:example] Функції\sin(x) і\cos(x) є безперервними. У наступних обчисленнях ми використовуємо тригонометричні ідентичності сума-добуток. Ми також використовуємо прості факти\left\lvert {\sin(x)} \right\rvert \leq \left\lvert {x} \right\rvert, які\left\lvert {\cos(x)} \right\rvert \leq 1, і\left\lvert {\sin(x)} \right\rvert \leq 1. \begin{split} \left\lvert {\sin(x)-\sin(c)} \right\rvert & = \left\lvert { 2 \sin \left( \frac{x-c}{2} \right) \cos \left( \frac{x+c}{2} \right) } \right\rvert \\ & = 2 \left\lvert { \sin \left( \frac{x-c}{2} \right) } \right\rvert \left\lvert { \cos \left( \frac{x+c}{2} \right) } \right\rvert \\ & \leq 2 \left\lvert { \sin \left( \frac{x-c}{2} \right) } \right\rvert \\ & \leq 2 \left\lvert { \frac{x-c}{2} } \right\rvert = \left\lvert {x-c} \right\rvert \end{split}\begin{split} \left\lvert {\cos(x)-\cos(c)} \right\rvert & = \left\lvert { -2 \sin \left( \frac{x-c}{2} \right) \sin \left( \frac{x+c}{2} \right) } \right\rvert \\ & = 2 \left\lvert { \sin \left( \frac{x-c}{2} \right) } \right\rvert \left\lvert { \sin \left( \frac{x+c}{2} \right) } \right\rvert \\ & \leq 2 \left\lvert { \sin \left( \frac{x-c}{2} \right) } \right\rvert \\ & \leq 2 \left\lvert { \frac{x-c}{2} } \right\rvert = \left\lvert {x-c} \right\rvert \end{split}

Твердження про те, що гріх і cos є безперервними, слід шляхом прийняття довільної послідовностіc, що\{ x_n \} сходиться до, або застосовуючи визначення безперервності безпосередньо. Подробиці залишаються читачеві.

Склад неперервних функцій

Ви, напевно, вже зрозуміли, що одним з основних інструментів побудови складних функцій з простих є композиція. Корисна властивість неперервних функцій полягає в тому, що композиції неперервних функцій знову-таки безперервні. Нагадаємо, що для двох функційf іg, складf \circ g визначається по(f \circ g)(x) := f\bigl(g(x)\bigr).

g \colon A \to BДозволятиA, B \subset {\mathbb{R}}f \colon B \to {\mathbb{R}} і бути функціями. Якщоg безперервний приc \in A іf безперервний приg(c),f \circ g \colon A \to {\mathbb{R}} то безперервний приc.

\{ x_n \}Дозволяти послідовність вA такому, що\lim\, x_n = c. Потім якg безперервно приc, то\{ g(x_n) \} сходиться доg(c). Якf безперервно приg(c), то\{ f\bigl(g(x_n)\bigr) \} сходиться доf\bigl(g(c)\bigr). Таким чиномf \circ g, безперервно приc.

{\bigl(\sin(\nicefrac{1}{x})\bigr)}^2Заява: є безперервною функцією на(0,\infty).

Доказ: По-перше, зауважте, що\nicefrac{1}{x} є безперервною функцією на(0,\infty) і\sin(x) є безперервною функцією на(0,\infty) (насправді на всіх{\mathbb{R}}, але(0,\infty) це діапазон для\nicefrac{1}{x}). Звідси склад\sin(\nicefrac{1}{x}) суцільний. Ми також знаємо, щоx^2 є безперервним на інтервалі(-1,1) (діапазон гріха). При цьому{\bigl(\sin(\nicefrac{1}{x})\bigr)}^2 композиція також безперервна(0,\infty).

переривчасті функції

Коли неf є безперервним вc, ми говоримо, щоf є переривчастим вc, або що він має розрив приc. Якщо ми визначимо контрапозитив третього пункту як окрему претензію, ми отримаємо простий у використанні тест на розриви.

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. Припустимоc \in S, що для деяких існує послідовність\{ x_n \}x_n \in S, і\lim\, x_n = c така, що\{ f(x_n) \} не сходиться доf(c) (або не сходиться зовсім), то неf є безперервною приc.

[example:stepdiscont] Функція,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}f(x) := \begin{cases} -1 & \text{ if $x < 0$,} \\ 1 & \text{ if $x \geq 0$,} \end{cases} визначена, не є безперервною при 0.

Доказ: Візьміть послідовність\{ - \nicefrac{1}{n} \}. Потімf(-\nicefrac{1}{n}) = -1 і так\lim\, f(-\nicefrac{1}{n}) = -1, алеf(0) = 1.

Для крайнього прикладу візьмемо так звану функцію Діріхле. f(x) := \begin{cases} 1 & \text{ if $x$ is rational,} \\ 0 & \text{ if $x$ is irrational.} \end{cases}fФункція переривається взагаліc \in {\mathbb{R}}.

Доказ: Припустимоc, це раціонально. Візьмемо\{ x_n \} послідовність ірраціональних чисел таку, що\lim\, x_n = c (чому ми можемо?). Потімf(x_n) = 0 і так\lim\, f(x_n) = 0, алеf(c) = 1. Якщоc ірраціонально, візьміть послідовність раціональних чисел\{ x_n \}, яка сходиться доc (чому ми можемо?). Потім\lim\, f(x_n) = 1, алеf(c) = 0.

Давайте ще раз перевіримо межі вашої інтуїції. Чи може існувати функція, яка є неперервною на всіх ірраціональних числах, але переривчастою взагалі раціональними числами? Існують раціональні числа, довільно близькі до будь-якого ірраціонального числа. Можливо, як не дивно, відповідь - так. Наступний приклад називається функцією Thomae 15 або функцією попкорна.

[popcornfunction:example]f \colon (0,1) \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути визначеноf(x) := \begin{cases} \nicefrac{1}{k} & \text{ if $x=\nicefrac{m}{k}$ where $m,k \in {\mathbb{N}}$ and $m$ and $k$ have no common divisors,} \\ 0 & \text{ if $x$ is irrational}. \end{cases}f then є безперервним взагалі ірраціональнимc \in (0,1) і переривчастим взагалі раціональнимc. Див. Графікf в.

Графік «функції попкорна». [Попкорн інжир]
Графік «функції попкорна». [Попкорн інжир]

Доказ: Припустимоc = \nicefrac{m}{k}, це раціонально. Візьміть послідовність ірраціональних чисел\{ x_n \} таку, що\lim\, x_n = c. Потім\lim\, f(x_n) = \lim \, 0 = 0, алеf(c) = \nicefrac{1}{k} \not= 0. Такf відбувається переривчастий приc.

Тепер нехайc буде нераціонально, такf(c) = 0. Візьміть\{ x_n \} послідовність чисел в(0,1) таку, що\lim\, x_n = c. Дано\epsilon > 0, знайтиK \in {\mathbb{N}} таке, що\nicefrac{1}{K} < \epsilon по. Якщо\nicefrac{m}{k} \in (0,1) найнижчі члени (немає загальних дільників), тоm < k. Таким чином, існує лише скінченно багато раціональних чисел(0,1), у яких знаменникk у найнижчих вираженнях менше, ніжK. Звідси єM таке, що дляn \geq M, всі числа,x_n які є раціональними, мають знаменник більше або дорівнюєK. Таким чином, боn \geq M\left\lvert {f(x_n) - 0} \right\rvert = f(x_n) \leq \nicefrac{1}{K} < \epsilon . Томуf є безперервним і ірраціональнимc.

Закінчимо на більш легкому прикладі.

g \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Визначте,g(x) := 0 якщоx \not= 0 іg(0) := 1. Тодіg не безперервна при нулі, а безперервна всюди (чому?). Точкаx=0 називається знімним розривом. Це тому, що якщо ми змінимо визначенняg, наполягаючи наg(0) цьому0, ми отримаємо безперервну функцію. З іншого боку, нехайf буде функція example. Тодіf не має знімного розриву при0. Незалежно від того, як ми б визначитиf(0) функцію все одно не буде безперервним. Різниця полягає в тому, що\lim_{x\to 0} g(x) існує поки\lim_{x\to 0} f(x) немає.

Давайте зупинимося на цьому прикладі, але покажемо інше явище. НехайA = \{ 0 \}, тоg|_A суцільний (навіщо?) , при цьомуg не безперервно ввімкненоA.

Вправи

Використовуючи визначення безперервності безпосередньо доводять, щоf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} визначеноf(x) := x^2 є безперервним.

Використовуючи визначення безперервності безпосередньо доводять, щоf \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}} визначеноf(x) := \nicefrac{1}{x} є безперервним.

Дозвольтеf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} бути визначеніf(x) := \begin{cases} x & \text{ if $x$ is rational,} \\ x^2 & \text{ if $x$ is irrational.} \end{cases} за допомогою визначення безперервності безпосередньо довести, щоf є безперервним в1 і переривчастим в2.

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатисяf(x) := \begin{cases} \sin(\nicefrac{1}{x}) & \text{ if $x \not= 0$,} \\ 0 & \text{ if $x=0$.} \end{cases} єf безперервним? Доведіть своє твердження.

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатисяf(x) := \begin{cases} x \sin(\nicefrac{1}{x}) & \text{ if $x \not= 0$,} \\ 0 & \text{ if $x=0$.} \end{cases} єf безперервним? Доведіть своє твердження.

Доведіть.

Доведіть наступне твердження. НехайS \subset {\mathbb{R}} іA \subset S. f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервної функції. Тоді обмеженняf|_A безперервне.

ПрипустимоS \subset {\mathbb{R}}. Припустимо, для деякихc \in {\mathbb{R}} і\alpha > 0, у нас єA=(c-\alpha,c+\alpha) \subset S. f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. Доведіть,f|_A що якщо безперервний вc,f то безперервний вc.

Наведіть приклад функційf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} іg \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} такі, що функція,h визначена,h(x) := f(x) + g(x) є безперервною, алеf і неg є безперервною. Чи можете ви знайтиf іg які ніде не є безперервними, алеh є безперервною функцією?

g \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволятиf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} і бути безперервними функціями. Припустимо, що для всіх раціональних чиселr,f(r) = g(r). Покажіть, щоf(x) = g(x) для всіхx.

Нехайf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} буде безперервним. Припустимоf(c) > 0. Покажіть, що існує\alpha > 0 таке, що для всіх уx \in (c-\alpha,c+\alpha) нас єf(x) > 0.

f \colon {\mathbb{Z}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. Покажіть, щоf є безперервним.

[extrace:contseqalt] Дозволятиf \colon S \to {\mathbb{R}} бути функцією іc \in S, таким чином\lim\, x_n = c, що для кожної послідовності\{ x_n \} вS с послідовність\{ f(x_n) \} збігається. Показати,f що безперервно наc.

Припустимоf \colon [-1,0] \to {\mathbb{R}} іg \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} є безперервними іf(0) = g(0). Визначтеh \colon [-1,1] \to {\mathbb{R}}h(x) := f(x), якщоx \leq 0 іh(x) := g(x) якщоx > 0. Покажіть, щоh є безперервним.

Припустимо,g \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} це безперервна функція такаg(0) = 0, що, і suppspsef \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} така, що\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq g(x-y) для всіхx іy. Покажіть, щоf є безперервним.

Припустимо,f(x+y) = f(x) + f(y) для деякихf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} таких, щоf є безперервним при 0. Покажіть, щоf(x) = ax для деякихa \in {\mathbb{R}}. Підказка: Покажітьf(nx) = nf(x), що, а потімf показ безперервно увімкнено{\mathbb{R}}. Тоді покажіть, що\nicefrac{f(x)}{x} = f(1) для всіх раціональноx.

Теореми Min-max та проміжних значень

Примітка: 1,5 лекції

Неперервні функції, визначені на замкнутих і обмежених інтервалах, мають деякі цікаві і дуже корисні властивості.

Теорема Мін-макс

Нагадаємо, функціяf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} обмежена, якщо існуєB \in {\mathbb{R}} така, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq B для всіхx \in [a,b]. У нас є наступна лема.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервної функції. Потімf обмежується.

Доведемо це твердження контрапозитивним. Припустимоf, не обмежений, то для кожногоn \in {\mathbb{N}}, існує такийx_n \in [a,b], що\left\lvert {f(x_n)} \right\rvert \geq n . Now\{ x_n \} є обмеженою послідовністю якa \leq x_n \leq b. До того, існує збіжна підпослідовність\{ x_{n_i} \}. Нехайx := \lim\, x_{n_i}. Так якa \leq x_{n_i} \leq b для всіхi, тоa \leq x \leq b. Межі\lim\, f(x_{n_i}) не існує, оскільки послідовність не обмежена як\left\lvert {f(x_{n_i})} \right\rvert \geq n_i \geq i. З іншого бокуf(x) є кінцевим числом іf(x) = f\left( \lim_{i\to\infty} x_{n_i} \right) . Таким чином неf є безперервним вx.

Насправді, для безперервного ми побачимоf, що мінімум і максимум насправді досягнуті. Нагадаємо з обчислення, якеf \colon S \to {\mathbb{R}} досягає абсолютного мінімуму приc \in S якщоf(x) \geq f(c) \qquad \text{ for all $x \in S$.} З іншого боку,f досягає абсолютного максимуму приc \in S якщоf(x) \leq f(c) \qquad \text{ for all $x \in S$.} Ми говоримо,f досягає абсолютного мінімуму або абсолютного максимуму,S якщо такий c \in Sіснує. ЯкщоS замкнутий і обмежений інтервал, то безперервнийf повинен мати абсолютний мінімум і абсолютний максимум наS.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервної функції. Потімf досягається як абсолютний мінімум, так і абсолютний максимум на[a,b].

Ми показали,f що обмежується лемою. Тому набірf([a,b]) = \{ f(x) : x \in [a,b] \} має супремум і інфімум. З того, що ми знаємо про супрему та інфіму, існують послідовності в наборі,f([a,b]) які наближаються до них. Тобто є послідовності\{ f(x_n) \} і\{ f(y_n) \}, деx_n, y_n знаходяться в[a,b], такі що\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \inf f([a,b]) \qquad \text{and} \qquad \lim_{n\to\infty} f(y_n) = \sup f([a,b]). Ми ще не зробили, нам потрібно знайти, де мінімум і максимуми. Проблема в тому, що послідовності\{ x_n \} і не\{ y_n \} повинні сходитися. Ми знаємо\{ x_n \} і\{ y_n \} обмежені (їх елементи належать обмеженому інтервалу[a,b]). Застосовуємо. Звідси існують збіжні підпослідовності\{ x_{n_i} \} і\{ y_{m_i} \}. Нехайx := \lim_{i\to\infty} x_{n_i} \qquad \text{and} \qquad y := \lim_{i\to\infty} y_{m_i}. тодіa \leq x_{n_i} \leq b, як, у нас є щоa \leq x \leq b. a \leq y \leq bАналогічно такx іy знаходяться в[a,b]. Ми застосовуємо, що межа підпослідовності така ж, як межа послідовності, і ми застосовуємо безперервністьf для отримання\inf f([a,b]) = \lim_{n\to\infty} f(x_n) = \lim_{i\to\infty} f(x_{n_i}) = f \left( \lim_{i\to\infty} x_{n_i} \right) = f(x) . Аналогічно,\sup f([a,b]) = \lim_{n\to\infty} f(m_n) = \lim_{i\to\infty} f(y_{m_i}) = f \left( \lim_{i\to\infty} y_{m_i} \right) = f(y) . Отже,f досягає абсолютного мінімуму вx іf досягає абсолютного максимуму вy.

Функція,f(x) := x^2+1 визначена на інтервалі,[-1,2] досягає мінімуму,x=0 колиf(0) = 1. Він досягає максимуму вx=2 якому місціf(2) = 5. Зверніть увагу, що область визначення має значення. Якби ми замість цього взяли домен бути[-10,10], то більше неx=2 буде максимумf. Замість цього максимум буде досягнуто на будь-якомуx=10 абоx=-10.

Покажемо на прикладах, що різні гіпотези теореми дійсно потрібні.

Функціяf(x) := x, визначена на всій реальній лінії, не досягає ні мінімуму, ні максимуму. Тому важливо, щоб ми дивилися на обмежений інтервал.

Функціяf(x) := \nicefrac{1}{x}, визначена на, не(0,1) досягає ні мінімуму, ні максимуму. Значення функції необмежені, коли ми наближаємося до 0. Також у міру наближенняx=1 значення функції наближаються до 1, алеf(x) > 1 для всіхx \in (0,1). x \in (0,1)Такого немаєf(x) = 1. Тому важливо, щоб ми дивилися на замкнутий інтервал.

Безперервність важлива. Визначтеf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}f(x) := \nicefrac{1}{x} заx > 0 for і нехайf(0) := 0. Тоді функція не досягає максимуму. Проблема полягає в тому, що функція не є безперервною при 0.

Теорема Больцано про проміжні значення

Теорема Больцано про проміжні значення є одним із наріжних каменів аналізу. Іноді її називають лише теоремою проміжного значення, або просто теоремою Больцано. Для доведення теореми Больцано доведено наступну простішу лему.

[IVT:Lemma]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервною функцією. Припустимоf(a) < 0, іf(b) > 0. Тоді існує рядc \in (a,b) такий, щоf(c) = 0.

Визначимо дві послідовності\{ a_n \} і\{ b_n \} індуктивно:

  1. Нехайa_1 := a іb_1 := b.
  2. Якщоf\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right) \geq 0, нехайa_{n+1} := a_n іb_{n+1} := \frac{a_n+b_n}{2}.
  3. Якщоf\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right) < 0, нехайa_{n+1} := \frac{a_n+b_n}{2} іb_{n+1} := b_n.

Див. приклад визначення перших п'яти кроків. З визначення двох послідовностей очевидно, що якщоa_n < b_n, тоa_{n+1} < b_{n+1}. Таким чином,a_n < b_n для всіхn. Крім того,a_n \leq a_{n+1} іb_n \geq b_{n+1} для всіхn, тобто послідовності монотонні. Якa_n < b_n \leq b_1 = b іb_n > a_n \geq a_1 = a для всіхn, послідовності також обмежені. Тому послідовності сходяться. Нехайc := \lim\, a_n іd := \lim\, b_n. Зараз ми хочемо це показатиc=d. Миb_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b_n-a_n}{2}. помічаємо Ми бачимо, щоb_n - a_n = \frac{b_1-a_1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} (b-a) . Як2^{1-n}(b-a) сходиться до нуля, ми беремо межу, якn йде до нескінченності, щоб отриматиd-c = \lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = \lim_{n\to\infty} 2^{1-n} (b-a) = 0. Іншими словамиd=c.

За конструкцією, для всіх у нас єnf(a_n) < 0 \qquad \text{and} \qquad f(b_n) \geq 0 . Ми використовуємо той факт, що\lim\, a_n = \lim\, b_n = c і безперервністьf прийняти обмеження в цих нерівностях, щоб отриматиf(c) = \lim\, f(a_n) \leq 0 \qquad \text{and} \qquad f(c) = \lim\, f(b_n) \geq 0 . Asf(c) \geq 0 іf(c) \leq 0, ми робимо висновокf(c) = 0. Очевидно,a < c < b.

Зверніть увагу, що доказ говорить нам, як знайтиc. Доказ не тільки корисний для нас чистих математиків, але це корисна ідея в прикладній математиці.

[IVT:THM]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервною функцією. Припустимо, існуєy таке, щоf(a) < y < f(b) абоf(a) > y > f(b). Тоді існуєc \in (a,b) таке, щоf(c) = y.

Теорема говорить, що безперервна функція на замкнутому інтервалі досягає всіх значень між значеннями в кінцевих точках.

Якщоf(a) < y < f(b), то визначтеg(x) := f(x)-y. Тоді ми бачимо, щоg(a) < 0g(b) > 0 і ми можемо застосувати доg. Якщоg(c) = 0, тоf(c) = y.

Аналогічно якщоf(a) > y > f(b), то визначтеg(x) := y-f(x). Потім зновуg(a) < 0g(b) > 0 і ми можемо подати заявку. Знову якщоg(c) = 0, тоf(c) = y.

Якщо функція є безперервною, то обмеження до підмножини є безперервним. Такf \colon S \to {\mathbb{R}} що якщо безперервний і[a,b] \subset S,f|_{[a,b]} то також безперервний. Отже, ми зазвичай застосовуємо теорему до функції безперервної на деякій великій множиніS, але ми обмежуємо увагу інтервалом.

Многочленf(x) := x^3-2x^2+x-1 має реальний корінь в(1,2). Ми просто помічаємо, щоf(1) = -1 іf(2) = 1. Звідси повинен існуватиc \in (1,2) такий момент, щоf(c) = 0. Щоб знайти краще наближення кореня, ми могли б слідувати доказом. Наприклад, далі ми подивимося на 1.5 і знайдемо, щоf(1.5) = -0.625. Тому існує корінь рівняння в(1.5,2). Далі дивимося на 1,75 і відзначаємо, щоf(1.75) \approx -0.016. Звідси є коріньf in(1.75,2). Далі ми дивимося на 1.875 і знаходимоf(1.875) \approx 0.44, що, таким чином, є корінь в(1.75,1.875). Дотримуємося цієї процедури, поки не наберемо достатньої точності.

Вищеописана методика - найпростіший метод знаходження коренів многочленів. Пошук коренів поліномів, мабуть, найпоширеніша проблема в прикладній математиці. Взагалі це важко зробити швидко, точно і автоматично. Ми можемо використовувати теорему проміжних значень, щоб знайти коріння для будь-якої неперервної функції, а не лише полінома.

Існують кращі і швидші методи пошуку коренів рівнянь, такі як метод Ньютона. Однією з переваг вищевказаного способу є його простота. У той момент, коли ми знаходимо початковий інтервал, де застосовується теорема проміжного значення, ми гарантовано знайдемо корінь до бажаної точності за скінченно багато кроків. Крім того, метод вимагає лише безперервної функції.

Теорема гарантує хоча б однеc такеf(c) = y, але може бути багато різних коренів рівнянняf(c) = y. Якщо слідувати процедурі доказування, ми гарантовано знайдемо наближення до одного такого кореня. Нам потрібно більше працювати, щоб знайти будь-які інші корені.

Поліноми парного ступеня можуть не мати справжніх коренів. Наприклад, немає реального числаx такого, щоx^2+1 = 0. З іншого боку, непарні многочлени завжди мають принаймні один реальний корінь.

f(x)Дозволяти поліном непарного ступеня. Тодіf має справжній корінь.

Припустимо,f це многочлен непарного ступеняd. Пишемоf(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0 , деa_d \not= 0. Ділимо на,a_d щоб отримати многочленg(x) := x^d + b_{d-1} x^{d-1} + \cdots + b_1 x + b_0 , деb_k = \nicefrac{a_k}{a_d}. Давайте покажемо, щоg(n) є позитивним для деяких великихn \in {\mathbb{N}}. \begin{split} \left\lvert {\frac{b_{d-1} n^{d-1} + \cdots + b_1 n + b_0}{n^d}} \right\rvert & = \frac{\left\lvert {b_{d-1} n^{d-1} + \cdots + b_1 n + b_0} \right\rvert}{n^d} \\ & \leq \frac{\left\lvert {b_{d-1}} \right\rvert n^{d-1} + \cdots + \left\lvert {b_1} \right\rvert n + \left\lvert {b_0} \right\rvert}{n^d} \\ & \leq \frac{\left\lvert {b_{d-1}} \right\rvert n^{d-1} + \cdots + \left\lvert {b_1} \right\rvert n^{d-1} + \left\lvert {b_0} \right\rvert n^{d-1}}{n^d} \\ & = \frac{n^{d-1}\bigl(\left\lvert {b_{d-1}} \right\rvert + \cdots + \left\lvert {b_1} \right\rvert + \left\lvert {b_0} \right\rvert\bigr)}{n^d} \\ & = \frac{1}{n} \bigl(\left\lvert {b_{d-1}} \right\rvert + \cdots + \left\lvert {b_1} \right\rvert + \left\lvert {b_0} \right\rvert\bigr) . \end{split}\lim_{n\to\infty} \frac{b_{d-1} n^{d-1} + \cdots + b_1 n + b_0}{n^d} = 0 .Отже, існуєM \in {\mathbb{N}} таке,\left\lvert {\frac{b_{d-1} M^{d-1} + \cdots + b_1 M + b_0}{M^d}} \right\rvert < 1 , що означає-(b_{d-1} M^{d-1} + \cdots + b_1 M + b_0) < M^d . Томуg(M) > 0.

Далі ми дивимосяg(-n) наn \in {\mathbb{N}}. Подібним аргументом (вправою) ми виявляємо, що існуєK \in {\mathbb{N}} таке, щоb_{d-1} {(-K)}^{d-1} + \cdots + b_1 (-K) + b_0 < K^d і томуg(-K) < 0 (чому?). На доказ переконайтеся, що ви використовуєте той факт, щоd є непарним. Зокрема, якщоd непарно то{(-n)}^d = -(n^d).

Звертаємося до теореми про проміжні значення, щоб знайтиc \in [-K,M] таку, щоg(c) = 0. Якg(x) = \frac{f(x)}{a_d}, ми це бачимоf(c) = 0, і доказ зроблено.

Цікавим фактом є те, що існують переривчасті функції, які мають властивість проміжного значення. Функція неf(x) := \begin{cases} \sin(\nicefrac{1}{x}) & \text{ if $x \not= 0$,} \\ 0 & \text{ if $x=0$,} \end{cases} є безперервною при 0, однак вона має властивість проміжного значення. Тобто, для будь-якогоa < b, і будь-якогоy такого, щоf(a) < y < f(b) абоf(a) > y > f(b), існуєc таке, щоf(y) = c. Доказ залишається як вправа.

Вправи

Знайдіть приклад переривчастої функції,f \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} де теорема про проміжні значення не вдається.

Знайдіть приклад обмеженої переривчастої функціїf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}, яка не має ні абсолютного мінімуму, ні абсолютного максимуму.

f \colon (0,1) \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервна функція така, що\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 0. Покажіть, щоf досягає або абсолютного мінімуму, або абсолютного максимуму(0,1) (але, можливо, не обох).

f(x) := \begin{cases} \sin(\nicefrac{1}{x}) & \text{ if $x \not= 0$,} \\ 0 & \text{ if $x=0$.} \end{cases}Дозволяти Показати, щоf має властивість проміжного значення. Тобто для будь-якогоa < b, якщо існуєy таке, щоf(a) < y < f(b) абоf(a) > y > f(b), то існуєc \in (a,b) таке, щоf(c) = y.

Припустимо,g(x) це многочлен непарного ступеняd такий, щоg(x) = x^d + b_{d-1} x^{d-1} + \cdots + b_1 x + b_0 , для деяких дійсних чиселb_{0}, b_1, \ldots, b_{d-1}. Покажіть, що існуєK \in {\mathbb{N}} таке, щоg(-K) < 0. Підказка: Не забудьте використовувати той факт, щоd є дивним. Вам доведеться скористатися цим{(-n)}^d = -(n^d).

Припустимо,g(x) це многочлен позитивного парного ступеняd такий, щоg(x) = x^d + b_{d-1} x^{d-1} + \cdots + b_1 x + b_0 , для деяких дійсних чиселb_{0}, b_1, \ldots, b_{d-1}. Припустимоg(0) < 0. Покажіть, щоg має принаймні два чітких реальних кореня.

[Вправа: imageInterval] Припустимоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}, це неперервна функція. Доведіть, що пряме зображенняf([a,b]) є замкнутим і обмеженим інтервалом або єдиним числом.

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Припустимо, безперервний і періодичний з періодомP > 0. Тобто,f(x+P) = f(x) для всіхx \in {\mathbb{R}}. Покажіть, щоf досягає абсолютного мінімуму і абсолютного максимуму.

Припустимо,f(x) це обмежений многочлен, іншими словами, єM таке, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq M для всіхx \in {\mathbb{R}}. Доведіть, щоf повинна бути постійною.

f \colon [0,1] \to [0,1]Припустимо, безперервний. Покажіть, щоf має фіксовану точку, іншими словами, показати, що існуєx \in [0,1] така, щоf(x) = x.

Знайдіть приклад обмеженої функціїf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}, яка не досягає ні абсолютного мінімуму, ні абсолютного максимуму{\mathbb{R}}.

Припустимо,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} це безперервна функція така, щоx \leq f(x) \leq x+1 для всіхx \in {\mathbb{R}}. Знайтиf({\mathbb{R}}).

True/False, довести або знайти зустрічний приклад. Якщоf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} неперервна функція\(f|_

ParseError: invalid DekiScript (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[19]/p[13]/span[2]/span, line 1, column 1
\) така, що обмежена, тоf обмежена.

Рівномірна безперервність

Примітка: 1,5—2 лекції (безперервне розширення та Ліпшиц можуть бути необов'язковими)

Рівномірна безперервність

Ми поставили метушню\delta, кажучи, що визначення наступності залежало від точкиc. Бувають ситуації, коли вигідно мати\delta незалежну від будь-якої точки. Дамо назву цьому поняттю.

ДозволятиS \subset {\mathbb{R}}, і нехайf \colon S \to {\mathbb{R}} буде функція. Припустимо, для будь-якого\epsilon > 0 існує\delta > 0 таке, що всякий разx, c \in S і\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert < \epsilon. Тоді ми говоримоf, що рівномірно безперервно.

Неважко помітити, що рівномірно безперервна функція повинна бути безперервною. Єдина відмінність у визначеннях полягає в тому, що для даного\epsilon > 0 ми вибираємо те\delta > 0, що працює для всіхc \in S. Тобто більше не\delta може залежати відc, це залежить тільки від\epsilon. Область визначення функції має значення зараз. Функція, яка не є рівномірно безперервною на більшій множині, може бути рівномірно безперервною, якщо обмежується меншим набором.

Функціяf \colon (0,1) \to {\mathbb{R}},f(x) := \nicefrac{1}{x} визначена не є рівномірно безперервною, а є безперервною.

Доказ: Враховуючи\epsilon > 0,\epsilon > \left\lvert {\nicefrac{1}{x}-\nicefrac{1}{y}} \right\rvert то для утримання ми повинні мати\epsilon > \left\lvert {\nicefrac{1}{x}-\nicefrac{1}{y}} \right\rvert = \frac{\left\lvert {y-x} \right\rvert}{\left\lvert {xy} \right\rvert} = \frac{\left\lvert {y-x} \right\rvert}{xy} , або\left\lvert {x-y} \right\rvert < xy \epsilon . Отже, щоб задовольнити визначення рівномірної безперервності, яку ми повинні були б мати\delta \leq xy \epsilon для всіхx,y(0,1), але це означало б це\delta \leq 0. Тому єдиного немає\delta > 0.

f \colon [0,1] \to {\mathbb{R}},f(x) := x^2 Визначається є рівномірно безперервним.

Доказ: Зауважте, що0 \leq x,c \leq 1. Тоді\left\lvert {x^2-c^2} \right\rvert = \left\lvert {x+c} \right\rvert\left\lvert {x-c} \right\rvert \leq (\left\lvert {x} \right\rvert+\left\lvert {c} \right\rvert) \left\lvert {x-c} \right\rvert \leq (1+1)\left\lvert {x-c} \right\rvert . тому дано\epsilon > 0, нехай\delta := \nicefrac{\epsilon}{2}. Якщо\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {x^2-c^2} \right\rvert < \epsilon.

З іншого бокуf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}, визначається неf(x) := x^2 є рівномірно безперервним.

Доказ: Припустимо, це рівномірно безперервно, то для всіх\epsilon > 0 існувало б\delta > 0 таке, що якщо\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, то\left\lvert {x^2 -c^2} \right\rvert < \epsilon. Візьмітьx > 0 і нехайc := x+\nicefrac{\delta}{2}. Напишіть\epsilon > \left\lvert {x^2-c^2} \right\rvert = \left\lvert {x+c} \right\rvert\left\lvert {x-c} \right\rvert = (2x+\nicefrac{\delta}{2})\nicefrac{\delta}{2} \geq \delta x . Томуx < \nicefrac{\epsilon}{\delta} для всіхx > 0, що є протиріччям.

Ми бачили, що якщоf визначається на інтервалі, який або не замкнутий, або не обмежений, тоf може бути безперервним, але не рівномірно безперервним. Для замкнутого та обмеженого інтервалу ми можемо[a,b], однак, зробити наступне твердження.

[unifcont:thm]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервною функцією. Потімf рівномірно безперервно.

Доводимо твердження контрапозитивним. Припустимоf, не є рівномірно безперервним. Доведемо, що є деякі,c \in [a,b] деf не суцільні. Зведемо нанівець визначення рівномірно безперервного. Існує\epsilon > 0 таке, що для кожного\delta > 0 існують пунктиx, y вS с\left\lvert {x-y} \right\rvert < \delta і\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \geq \epsilon.

Таким чином, для\epsilon > 0 вище, ми знаходимо послідовності\{ x_n \} і\{ y_n \} такі, що\left\lvert {x_n-y_n} \right\rvert < \nicefrac{1}{n} і такі, що\left\lvert {f(x_n)-f(y_n)} \right\rvert \geq \epsilon. За, існує збіжна підпослідовність\{ x_{n_k} \}. Нехайc := \lim\, x_{n_k}. Якa \leq x_{n_k} \leq b, тодіa \leq c \leq b. Write\left\lvert {y_{n_k} - c} \right\rvert = \left\lvert {y_{n_k} - x_{n_k} + x_{n_k} - c} \right\rvert \leq \left\lvert {y_{n_k} - x_{n_k}} \right\rvert + \left\lvert {x_{n_k}-c} \right\rvert < \nicefrac{1}{n_k} + \left\lvert {x_{n_k}-c} \right\rvert .\nicefrac{1}{n_k} As і\left\lvert {x_{n_k}-c} \right\rvert обидва йдуть до нуля, колиk йде до нескінченності,\{ y_{n_k} \} сходиться і межа єc. Зараз ми показуємо, що неf є безперервним наc. Ми оцінюємо\begin{split} \left\lvert {f(x_{n_k}) - f(c)} \right\rvert & = \left\lvert {f(x_{n_k}) - f(y_{n_k}) + f(y_{n_k}) - f(c)} \right\rvert \\ & \geq \left\lvert {f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})} \right\rvert - \left\lvert {f(y_{n_k}) - f(c)} \right\rvert \\ & \geq \epsilon - \left\lvert {f(y_{n_k})-f(c)} \right\rvert . \end{split} Або іншими словами\left\lvert {f(x_{n_k})-f(c)} \right\rvert + \left\lvert {f(y_{n_k})-f(c)} \right\rvert \geq \epsilon . Принаймні одна з послідовностей\{ f(x_{n_k}) \} або\{ f(y_{n_k}) \} не може сходитися доf(c), інакше ліва частина нерівності буде йти до нуля, тоді як права сторона позитивна. Таким чином,f не може бути безперервним приc.

Безперервне розширення

Перш ніж ми перейдемо до безперервного розширення, ми показуємо наступну корисну лему. Це говорить про те, що рівномірно безперервні функції поводяться добре по відношенню до послідовностей Коші. Нова проблема тут полягає в тому, що для послідовності Коші ми більше не знаємо, де закінчується межа; він може не опинитися в області функції.

[unifcauchycauchy:лема]f \colon S \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути рівномірно безперервною функцією. \{ x_n \}Дозволяти бути послідовність Коші вS. Потім\{ f(x_n) \} - Коші.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тоді є\delta > 0 таке, що\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \epsilon всякий раз\left\lvert {x-y} \right\rvert < \delta. Тепер знайдемоM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn, k \geq M нас є\left\lvert {x_n-x_k} \right\rvert < \delta. Тоді для всіх уn, k \geq M нас є\left\lvert {f(x_n)-f(x_k)} \right\rvert < \epsilon.

Застосування вищевказаної леми - наступна теорема. Він говорить про те, що функція на відкритому інтервалі є рівномірно безперервною тоді і тільки тоді, коли її можна продовжити до безперервної функції на замкнутому інтервалі.

[context:thm] Функціяf \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} є рівномірно безперервною тоді і лише тоді, колиL_a := \lim_{x \to a} f(x) \qquad \text{and} \qquad L_b := \lim_{x \to b} f(x) існують межі, а функція,\widetilde{f} \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} визначена,\widetilde{f}(x) := \begin{cases} f(x) & \text{ if $x \in (a,b)$,} \\ L_a & \text{ if $x = a$,} \\ L_b & \text{ if $x = b$,} \end{cases} є неперервною.

Один напрямок довести неважко. Якщо\widetilde{f} суцільний, то він рівномірно безперервний по. Якf і обмеження\widetilde{f} до(a,b), то такожf рівномірно безперервно (легка вправа).

Теперf припустимо, що рівномірно безперервно. Треба спочатку показати, що межіL_a іL_b існують. Давайте сконцентруємося наL_a. Візьміть послідовність\{ x_n \} в(a,b) такій, що\lim\, x_n = a. Послідовність є послідовністю Коші і, отже,\{ f(x_n) \} послідовність Коші і, отже, збігається. У нас є деяка кількістьL_1 := \lim\, f(x_n). Візьміть іншу послідовність\{ y_n \} в(a,b) такій, що\lim\, y_n = a. За цим же міркуванням отримуємоL_2 := \lim\, f(y_n). Якщо ми покажемоL_1 = L_2, то межаL_a = \lim_{x\to a} f(x) існує. \epsilon > 0Нехай дано, знайдіть\delta > 0 таке, що\left\lvert {x-y} \right\rvert < \delta має на увазі\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}. ЗнайтиM \in {\mathbb{N}} такі, що дляn \geq M нас є\left\lvert {a-x_n} \right\rvert < \nicefrac{\delta}{2},\left\lvert {a-y_n} \right\rvert < \nicefrac{\delta}{2},\left\lvert {f(x_n)-L_1} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}, і\left\lvert {f(y_n)-L_2} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3}. Тоді боn \geq M ми маємо\left\lvert {x_n-y_n} \right\rvert = \left\lvert {x_n-a+a-y_n} \right\rvert \leq \left\lvert {x_n-a} \right\rvert+\left\lvert {a-y_n} \right\rvert < \nicefrac{\delta}{2} + \nicefrac{\delta}{2} = \delta. Так\begin{split} \left\lvert {L_1-L_2} \right\rvert &= \left\lvert {L_1-f(x_n)+f(x_n)-f(y_n)+f(y_n)-L_2} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {L_1-f(x_n)} \right\rvert+\left\lvert {f(x_n)-f(y_n)} \right\rvert+\left\lvert {f(y_n)-L_2} \right\rvert \\ & \leq \nicefrac{\epsilon}{3} + \nicefrac{\epsilon}{3} + \nicefrac{\epsilon}{3} = \epsilon . \end{split} ТомуL_1 = L_2. Таким чиномL_a існує. Щоб показати, щоL_b існує, залишається як вправа.

Тепер, коли ми знаємо, що межіL_a іL_b існують, ми закінчили. Якщо\lim_{x\to a} f(x) існує, то\lim_{x\to a} \widetilde{f}(x) існує (Див.). Аналогічно зL_b. Звідси\widetilde{f} є безперервним приa іb. Аf так як безперервний приc \in (a,b),\widetilde{f} то безперервний приc \in (a,b).

Безперервні функції Ліпшица

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти функція така, що існує числоK таке, що для всіхx іy уS насf є\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq K \left\lvert {x-y} \right\rvert . Тоді, як кажуть, Lipschitz безперервний 16.

Великий клас функцій - це безперервний Ліпшиц. Будьте обережні, так само, як і для рівномірно безперервних функцій, важлива область визначення функції. Дивіться приклади нижче та вправи. Спочатку виправдовуємо вживання слова безперервний.

А безперервна функція Ліпшица є рівномірно безперервною.

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функція і нехайK бути постійною такий, що для всіхx, y уS нас є\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq K \left\lvert {x-y} \right\rvert.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Візьміть\delta := \nicefrac{\epsilon}{K}. Для будь-якогоx іy вS тому, що\left\lvert {x-y} \right\rvert < \delta ми маємо,\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq K \left\lvert {x-y} \right\rvert < K \delta = K \frac{\epsilon}{K} = \epsilon . томуf є рівномірно безперервним.

Ми інтерпретуємо безперервність Ліпшица геометрично. Iff є безперервною функцією Ліпшица з деякою константоюK. Ми переписуємо нерівність, щоб сказати, що дляx \not=y нас\left\lvert {\frac{f(x)-f(y)}{x-y}} \right\rvert \leq K .\frac{f(x)-f(y)}{x-y} є величина - це нахил лінії між точками\bigl(x,f(x)\bigr) і\bigl(y,f(y)\bigr), тобто січна лінія. Таким чином, Ліпшицf є безперервним тоді і тільки тоді, коли кожна лінія, яка перетинає графік принаймніf в двох різних точках, має нахил менше або дорівнюєK. Див.

Функції Ліпшиц\sin(x) і\cos(x) є безперервними. Ми побачили () наступні дві нерівності. \left\lvert {\sin(x)-\sin(y)} \right\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert \qquad \text{and} \qquad \left\lvert {\cos(x)-\cos(y)} \right\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert .

Звідси гріх і cos є Lipschitz безперервний сK=1.

Функція,f \colon [1,\infty) \to {\mathbb{R}}f(x) := \sqrt{x} визначена, є безперервною Ліпшіца. Доказ:\left\lvert {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right\rvert = \left\lvert {\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}} \right\rvert = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} . Якx \geq 1 іy \geq 1, ми це бачимо\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \frac{1}{2}. Тому\left\lvert {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right\rvert = \left\lvert {\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}} \right\rvert \leq \frac{1}{2} \left\lvert {x-y} \right\rvert.

З іншого бокуf \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}}f(x) := \sqrt{x} визначається не Lipschitz безперервний. Давайте розберемося, чому: Припустимо, у нас є\left\lvert {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right\rvert \leq K \left\lvert {x-y} \right\rvert , для деякихK. Нехайy=0 до отримання\sqrt{x} \leq K x. ЯкщоK > 0, то заx > 0 нас тоді дістанеться\nicefrac{1}{K} \leq \sqrt{x}. Це не може бути правдою для всіхx > 0. При цьому такого неK > 0 існує і неf є безперервним Ліпшіц.

Останній приклад - функція, яка є рівномірно безперервною, але не безперервною Ліпшіца. Побачити, що\sqrt{x} є рівномірно безперервним на[0,\infty) замітку, що вона рівномірно безперервна[0,1] по. Це також Ліпшиц (і, отже, рівномірно безперервний) на[1,\infty). Це не важко (вправа), щоб показати, що це означає, що\sqrt{x} рівномірно безперервно на[0,\infty).

Вправи

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути рівномірно безперервним. НехайA \subset S. Потім обмеженняf|_A рівномірно безперервно.

f \colon (a,b) \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути рівномірно безперервна функція. Завершіть доказ, показавши, що межа\lim\limits_{x \to b} f(x) існує.

Показати, щоf \colon (c,\infty) \to {\mathbb{R}} для деякихc > 0 і визначенихf(x) := \nicefrac{1}{x} є Ліпшиц безперервним.

Показати, щоf \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}} визначено неf(x) := \nicefrac{1}{x} є безперервним Ліпшицем.

A, BДозволяти бути інтервалами. f \colon A \to {\mathbb{R}}g \colon B \to {\mathbb{R}}Дозволяти і бути рівномірно безперервні функції такі, щоf(x) = g(x) дляx \in A \cap B. Визначте функціюh \colon A \cup B \to {\mathbb{R}} поh(x) := f(x) ifx \in A іh(x) := g(x) ifx \in B \setminus A. а) ДоведітьA \cap B \not= \emptyset, що якщо, тоh рівномірно безперервно. б) Знайдіть приклад деA \cap B = \emptyset і навітьh не безперервно.

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти поліном ступеняd \geq 2. Показати,f що Ліпшиц не є безперервним.

f \colon (0,1) \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмежена безперервна функція. Показати, що функціяg(x) := x(1-x)f(x) є рівномірно безперервною.

Показати, щоf \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}} визначено неf(x) := \sin (\nicefrac{1}{x}) є рівномірно безперервним.

f \colon {\mathbb{Q}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти бути рівномірно безперервна функція. Показати, що існує рівномірно безперервна функція\widetilde{f} \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} така, щоf(x) = \widetilde{f}(x) для всіхx \in {\mathbb{Q}}.

а) Знайдіть безперервнийf \colon (0,1) \to {\mathbb{R}} і послідовність\{ x_n \} в(0,1) тому, що Коші, але такий,\{ f(x_n) \} що не Коші. б) Доведіть, що якщоf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} безперервний, і\{ x_n \} є Коші, то\{ f(x_n) \} є Коші.

а) Якщоf \colon S \to {\mathbb{R}} іg \colon S \to {\mathbb{R}} є рівномірно безперервними, то показати, щоh \colon S \to {\mathbb{R}} даноh(x) := f(x) + g(x) є рівномірно безперервним.
б) Якщоf \colon S \to {\mathbb{R}} є рівномірно безперервним іa \in {\mathbb{R}}, то показати, щоh \colon S \to {\mathbb{R}} даноh(x) := a f(x) є рівномірно безперервним.

а) Якщоf \colon S \to {\mathbb{R}} іg \colon S \to {\mathbb{R}} є Ліпшіц, то покажіть, щоh \colon S \to {\mathbb{R}} даноh(x) := f(x) + g(x) є Ліпшиц.
б) Якщоf \colon S \to {\mathbb{R}} це Ліпшиц іa \in {\mathbb{R}}, то показати, щоh \colon S \to {\mathbb{R}} даноh(x) := a f(x) є Ліпшиц.

а) Якщоf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} заданоf(x) := x^m для цілого числаm \geq 0, showf - це Ліпшиц і знайти найкращу (найменшу) константу ЛіпшіцаK (залежно відm звичайно). Підказка:(x-y)(x^{m-1} + x^{m-2}y + x^{m-3}y^2 + \cdots + x y^{m-2} + y^{m-1}) = x^m - y^m.
б) Використовуючи попередню вправу, покажіть, що якщоf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} є поліном, тобтоf(x) := a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0, тоf є Ліпшиц.

Припустимо, дляf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} нас є\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq K \left\lvert {x-y} \right\rvert, іf(0) = f(1) = 0. Доведіть, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq \nicefrac{K}{2}. Далі показати на прикладі, що\nicefrac{K}{2} є найкращим з можливих, тобто існує така безперервна функція, для якої\left\lvert {f(x)} \right\rvert = \nicefrac{K}{2} для деякихx \in [0,1].

Межі на нескінченності

Примітка: менше 1 лекції (необов'язково, можна сміливо опустити, якщо або також не охоплюється)

Межі на нескінченності

Що стосується послідовностей, то безперервна змінна також може наближатися до нескінченності. Давайте зробимо це поняття точним.

Ми говоримо,\infty це кластерна точкаS \subset {\mathbb{R}}, якщо для кожногоM \in {\mathbb{R}}, існуєx \in S таке, щоx \geq M. Аналогічно- \infty це кластерна точкаS \subset {\mathbb{R}}, якщо для кожногоM \in {\mathbb{R}}, існуєx \in S така, щоx \leq M.

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функція\infty, де кластер точкаS. Якщо існуєL \in {\mathbb{R}} таке, що для кожного\epsilon > 0, єM \in {\mathbb{R}} таке, що\left\lvert {f(x) - L} \right\rvert < \epsilon всякий разx \geq M, то ми говоримоf(x) сходиться до того,L якx йде\infty. Ми називаємоL ліміт і пишемо\lim_{x \to \infty} f(x) := L . Альтернативно пишемоf(x) \to L якx \to \infty.

Аналогічно, якщо-\infty це кластерна точкаS і існуєL \in {\mathbb{R}} такий, що для кожного\epsilon > 0, єM \in {\mathbb{R}} такий, що\left\lvert {f(x) - L} \right\rvert < \epsilon всякий разx \leq M, то ми говоримо, щоf(x) сходиться доL якx йде-\infty. Ми називаємоL ліміт і пишемо\lim_{x \to -\infty} f(x) := L . Альтернативно пишемоf(x) \to L якx \to -\infty.

Ми знову трохи обдурили і сказали межу. Ми залишаємо це як вправу для читача, щоб довести наступну пропозицію.

[liminfty:unique] Обмеження на\infty або-\infty як визначено вище, є унікальним, якщо воно існує.

Нехайf(x) := \frac{1}{\left\lvert {x} \right\rvert+1}. Тоді\lim_{x\to \infty} f(x) = 0 \qquad \text{and} \qquad \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0 .

Доказ: Нехай\epsilon > 0 буде дано. Знайти доситьM > 0 великий, щоб\frac{1}{M+1} < \epsilon. Якщоx \geq M, то\frac{1}{x+1} \leq \frac{1}{M+1} < \epsilon. Так як\frac{1}{\left\lvert {x} \right\rvert+1} > 0 для всіхx перша межа доведена. Доказ для-\infty залишається читачеві.

Нехайf(x) := \sin(\pi x). Тоді\lim_{x\to\infty} f(x) не існує. Щоб довести цей факт, зверніть увагу, що якщоx = 2n+\nicefrac{1}{2} для деякихn \in {\mathbb{N}} тоf(x)=1f(x)=-1,x = 2n+\nicefrac{3}{2} тоді як якщо потім, так вони не можуть бути в межах малого одного\epsilon дійсного числа.

Ми повинні бути обережними, щоб не плутати безперервні межі з межами послідовностей. Боf(x) = \sin(\pi x) ми могли б сказати\lim_{n \to \infty} f(n) = 0, \qquad \text{but} \qquad \lim_{x \to \infty} f(x) ~ \text{does not exist}. Звичайно позначення неоднозначне. Ми просто використовуємо конвенціюn \in {\mathbb{N}}, що, в той час якx \in {\mathbb{R}}. Коли позначення незрозумілі, добре явно згадати, де живе змінна, або який ліміт ви використовуєте.

Існує зв'язок безперервних меж до меж послідовностей, але ми повинні приймати всі послідовності, що йдуть до нескінченності, так само, як і раніше.

[seqflimitinf:lemma] Припустимоf \colon S \to {\mathbb{R}},\infty це функція, це точка кластераS \subset {\mathbb{R}}, іL \in {\mathbb{R}}. Тоді\lim_{x\to\infty} f(x) = L % \qquad \text{if and only if} \qquad якщо і тільки якщо\lim_{n\to\infty} f(x_n) = L% ~~\text{for all sequences $\{ x_n \}$ such that $\lim\, x_n = \infty$} . для всіх послідовностей\{ x_n \} такі, що\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \infty.

Лема тримає на межі якx \to -\infty. Його доказ майже ідентичний і залишається як вправа.

Спочатку припустимоf(x) \to L, якx \to \infty. З огляду на\epsilon > 0, існуєM таке, що для всіх уx \geq M нас є\left\lvert {f(x)-L} \right\rvert < \epsilon. \{ x_n \}Дозволяти послідовність вS такому, що\lim \, x_n = \infty. Тоді існуєN таке, що для всіх уn \geq N нас єx_n \geq M. І таким чином\left\lvert {f(x_n)-L} \right\rvert < \epsilon.

Ми доводимо зворотне шляхом контрапозитиву. Припустимо,f(x) не йдеL якx \to \infty. Це означає, що існує такий\epsilon > 0, що для кожногоM \in {\mathbb{N}}, існуєx \in Sx \geq M, назвемо йогоx_M, такий, що\left\lvert {f(x_M)-L} \right\rvert \geq \epsilon. Розглянемо послідовність\{ x_n \}. Ясно\{ f(x_n) \} не сходиться доL. Залишається відзначити\lim\, x_n = \infty, що, аджеx_n \geq n для всіхn.

Використовуючи лему, ми знову переводимо результати про послідовні межі в результати про безперервні межі, якіx йдуть до нескінченності. Тобто у нас є практично безпосередні аналоги слідства в. Ми просто дозволяємо точкуc кластера бути\infty або-\infty, крім дійсного числа. Ми залишаємо це студенту, щоб перевірити ці твердження.

Нескінченна межа

Так само, як і для послідовностей, часто зручно розрізняти певні розбіжні послідовності і говорити про те, що межі нескінченні майже так, ніби існували межі.

f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти функція і припустимоS має\infty як кластерна точка. Ми говоримо, щоf(x) розходиться до нескінченності\infty, якx і до, якщо для кожногоN \in {\mathbb{R}} існуєM \in {\mathbb{R}} таке, щоf(x) > N всякий разx \in S іx \geq M. Пишемо\lim_{x \to \infty} f(x) := \infty , або говоримо, щоf(x) \to \infty якx \to \infty.

Аналогічне визначення може бути зроблено для обмежень якx \to -\infty або якx \to c для кінцевогоc. Також подібні визначення можуть бути зроблені для лімітів буття-\infty. Заявляти ці визначення залишають як вправу. Відзначимо, що іноді використовується сходиться до нескінченності. Ми знову можемо використовувати послідовні обмеження, а аналог залишається як вправу.

Давайте покажемо це\lim_{x \to \infty} \frac{1+x^2}{1+x} = \infty.

Доказ: Боx \geq 1 ми\frac{1+x^2}{1+x} \geq \frac{x^2}{x+x} = \frac{x}{2} . далиN \in {\mathbb{R}}, візьмітьM = \max \{ 2N+1 , 1 \}. Якщоx \geq M, тоx \geq 1 і\nicefrac{x}{2} > N. Так\frac{1+x^2}{1+x} \geq \frac{x}{2} > N .

Композиції

Нарешті, так само, як і для обмежень на кінцеві числа, ми можемо легко складати функції.

[prop:inflimclositions] Припустимоf \colon A \to Bg \colon B \to {\mathbb{R}}A, B \subset {\mathbb{R}},,,a \in {\mathbb{R}}\cup \{ -\infty, \infty\} є точкою кластераA, іb \in {\mathbb{R}}\cup \{ -\infty, \infty\} є точкою кластераB. Припустимо\lim_{x \to a} f(x) = b\qquad \text{and} \qquad \lim_{y \to b} g(y) = c, для деякихc \in {\mathbb{R}}\cup \{ -\infty, \infty \}. Якщоb \in B, то припустимоg(b) = c. Тоді\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

Доказ є простим, і залишається як вправа. Ми вже знаємо пропозиціюa, b, c \in {\mathbb{R}}, коли, див. Вправи [вправа: contlimit композиція] та [вправа: contlimitbad complication]. Знову вимога, якаg є безперервною приbb \in B, якщо, необхідно.

Нехайh(x) := e^{-x^2+x}. Тоді\lim_{x\to \infty} h(x) = 0 .

Доказ: Твердження випливає, коли ми знаємо\lim_{y\to -\infty} e^y = 0 ,,\lim_{x\to \infty} -x^2+x = -\infty і що зазвичай доведено, коли визначена експоненціальна функція.

Вправи

Доведіть.

f \colon [1,\infty) \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функцією. Визначтеg \colon (0,1] \to {\mathbb{R}} черезg(x) := f(\nicefrac{1}{x}). Використовуючи визначення обмежень безпосередньо, показати, що\lim_{x\to 0^+} g(x) існує, якщо і тільки якщо\lim_{x\to \infty} f(x) існує, і в цьому випадку вони рівні.

Доведіть.

Обґрунтуємо термінологію. f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти функція така, що\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty (розходиться до нескінченності). Покажіть, щоf(x) розходиться (тобто не сходиться) якx \to \infty.

Придумайте визначення для межf(x) йти-\infty якx \to \inftyx \to -\infty, так іx \to c для кінцевогоc \in {\mathbb{R}}. Потім викладіть визначення для межf(x) переходу\infty якx \to -\infty, так іx \to c для кінцевогоc \in {\mathbb{R}}.

Припустимо,P(x) := x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 це монічний многочлен ступеняn \geq 1 (монік означає, що коефіцієнтx^n дорівнює 1). а) показати, що якщоn парний тоді\lim_{x\to\infty} P(x) = \lim_{x\to-\infty} P(x) = \infty. б) Покажіть, що якщоn непарний тоді\lim_{x\to\infty} P(x) = \infty і\lim_{x\to-\infty} P(x) = -\infty (див. попередню вправу).

\{ x_n \}Дозволяти послідовність. РозглянемоS := {\mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}}, іf \colon S \to {\mathbb{R}} визначаємо поf(n) := x_n. Показати, що два поняття limit,\lim_{n\to\infty} x_n \qquad \text{and} \qquad \lim_{x\to\infty} f(x) еквівалентні. Тобто показати, що якщо один існує, так робить інший, і в цьому випадку вони рівні.

Розширити наступним чином. Припустимо,S \subset {\mathbb{R}} має точку кластераc \in {\mathbb{R}}c = \infty, абоc = -\infty. f \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функція і нехайL = \infty абоL = -\infty. Покажіть, що\lim_{x\to c} f(x) = L \qquad \text{if and only if} \qquad \lim_{n\to\infty} f(x_n) = L ~~\text{for all sequences $\{ x_n \}$ such that $\lim\, x_n = c$} .

Монотонні функції та безперервність

Примітка: 1 лекція (необов'язково, можна сміливо опустити, якщо це також не охоплено, вимагає)

НехайS \subset {\mathbb{R}}. Ми говоримоf \colon S \to {\mathbb{R}}, що збільшується (resp. строго збільшується) якщоx,y \in S зx < y має на увазіf(x) \leq f(y) (resp. f(x) < f(y)). Визначаємо спадне і суворо зменшення однаково шляхом перемикання нерівностей наf.

Якщо функція або збільшується або зменшується, ми говоримо, що вона монотонна. Якщо він строго збільшується або строго зменшується, ми говоримо, що це строго монотонно.

Іноді неспадающіе (resp. незростаюча) використовується для збільшення (реп. зменшення) функції, щоб підкреслити її не строго збільшуючи (реп. суворо зменшується).

Неперервність монотонних функцій

Легко обчислити односторонні межі для монотонних функцій.

[prop:моноліміти] НехайS \subset {\mathbb{R}},c \in {\mathbb{R}}, іf \colon S \to {\mathbb{R}} бути збільшенням. Якщоc це точка кластераS \cap (-\infty,c), то\lim_{x \to c^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x < c, x \in S \} , і якщоc це точка кластераS \cap (c,\infty), то\lim_{x \to c^+} f(x) = \inf \{ f(x) : x > c, x \in S \} .

Аналогічно, якщоfc зменшується і є точкою кластераS \cap (-\infty,c), то\lim_{x \to c^-} f(x) = \inf \{ f(x) : x < c, x \in S \} , і якщоc є точкою кластераS \cap (c,\infty), то\lim_{x \to c^+} f(x) = \sup \{ f(x) : x > c, x \in S \} .

Зокрема, всі односторонні межі існують, коли вони мають сенс. Якщо ми відтепер сказати, що сказати ліву руку межаx \to c^- існує ми маємо на увазі, щоc це точка кластераS \cap (-\infty,c).

Припустимо,f збільшується, і ми покажемо перше рівність. Решта доказів дуже схожа і залишається як вправа.

Нехайa := \sup \{ f(x) : x < c, x \in S \}. Якщоa = \infty, то для кожногоM \in {\mathbb{R}}, існуєx_M таке, щоf(x_M) > M. Якf збільшується,f(x) \geq f(x_M) > M для всіхx \in S сx > x_M. Якщо взяти,\delta = c-x_M ми отримаємо визначення межі, що йде до нескінченності.

Так припустимоa < \infty. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тому щоa є супремум, існуєx_\epsilon < c, такийx_\epsilon \in S, щоf(x_\epsilon) > a-\epsilon. Якf збільшується, якщоx \in S іx_\epsilon < x < c, у нас єa-\epsilon < f(x_\epsilon) \leq f(x) \leq a. Нехай\delta := c-x_\epsilon. Тоді дляx \in S \cap (-\infty,c) з\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta, у нас є\left\lvert {f(x)-a} \right\rvert < \epsilon.

Припустимоf \colon S \to {\mathbb{R}},c \in S і що обидві односторонні межі існують. Оскількиf(x) \leq f(c) \leq f(y) всякий разx < c < y, приймаючи межі, які ми отримуємо\lim_{x \to c^-} f(x) \leq f(c) \leq \lim_{x \to c^+} f(x) . Тодіf є безперервнимc тоді і лише тоді, коли обидві межі рівні один одному (а отже, рівніf(c)). Див. також. Дивіться, щоб отримати уявлення про те, як виглядає розрив.

[cor:continterval] ЯкщоI \subset {\mathbb{R}} є інтервалом іf \colon I \to {\mathbb{R}} є монотонним, а не постійним,f(I) то інтервал тоді і тільки тоді, колиf є безперервним.

Припускаючи, що неf є постійним, щоб уникнути технічності, якаf(I) є єдиною точкою в цьому випадку;f(I) є єдиною точкою, якщо і тільки тоді, колиf є постійною. Постійна функція - безперервна.

Якщоf є безперервнимf(I), то бути інтервалом є наслідком. Див. також.

Доведемо зворотний напрямок контрапозитивним. Припустимоc \in I, неf є безперервним в, іc це не кінцева точкаI. Без втрати спільності припустимоf, що збільшується. Нехайa := \lim_{x \to c^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in I, x < c \} , \qquad b := \lim_{x \to c^+} f(x) = \inf \{ f(x) : x \in I, x > c \} . Asc - це розрив,a < b. Якщоx < c, тоf(x) \leq a, і якщоx > c, тоf(x) \geq b. Тому жодної точки в цьому(a,b) \setminus \{ f(c) \} немаєf(I). Однак існуєx_1 \in S,x_1 < c такf(x_1) \leq a, і існуєx_2 \in S,x_2 > c такf(x_2) \geq b. Обидваf(x_1) іf(x_2) знаходяться вf(I), іf(I) так не інтервал. Див.

Колиc \in I це кінцева точка, доказ схожий і залишається як вправа.

Вражаюча властивість монотонних функцій полягає в тому, що вони не можуть мати занадто багато розривів.

[cor:monotcountcont]I \subset {\mathbb{R}} Дозволяти бути інтервалом іf \colon I \to {\mathbb{R}} бути монотонним. Тодіf має щонайбільше незліченно багато розривів.

E \subset IДозволяти бути сукупністю всіх розривів, які не є кінцевими точкамиI. Оскільки є лише дві кінцеві точки, достатньо показати, щоE підраховується. Без втрати спільності, припустимо,f збільшується. Визначимо ін'єкціюh \colon E \to {\mathbb{Q}}. Для кожногоc \in E існують односторонні межіf обох, оскільки неc є кінцевою точкою. Нехайa := \lim_{x \to c^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in I, x < c \} , \qquad b := \lim_{x \to c^+} f(x) = \inf \{ f(x) : x \in I, x > c \} . Asc є розривом, ми маємоa < b. Існує раціональне числоq \in (a,b), так що давайтеh(c) := q. Оскількиf збільшується,q не може відповідати жодному іншому розриву, тому, зробивши цей вибір для всіхc \in E, ми маємоh це один-на-один (ін'єкційний). Тому піддаєтьсяE зліченню.

[example:countdiscont] За\lfloor x \rfloor позначаємо найбільше ціле число менше або рівнеx. Визначтеf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} заf(x) := x + \sum_{n=0}^{\lfloor 1/(1-x) \rfloor} 2^{-n} , дляx < 1 іf(1) = 3. Залишається як вправа, щоб показати,f що суворо збільшується, обмежується і має розрив у всіх точках1-\nicefrac{1}{k} дляk \in {\mathbb{N}}. Зокрема, існує незліченна кількість розривів, але функція обмежена і визначена на замкнутому обмеженому інтервалі.

Неперервність обернених функцій

Строго монотонна функціяf один-на-один (ін'єкційна). Щоб побачити це повідомлення, що якщоx \not= y тоді ми можемо припуститиx < y. Тоді абоf(x) < f(y) якщоf строго збільшується, абоf(x) > f(y) якщоf строго зменшується, такf(x) \not= f(y). Отже, він повинен мати зворотний,f^{-1} визначений на його діапазоні.

[prop:invcont] ЯкщоI \subset {\mathbb{R}} є інтервалом іf \colon I \to {\mathbb{R}} є строго монотонним. Тоді зворотнеf^{-1} \colon f(I) \to I є безперервним.

Припустимоf, це строго збільшується. Доказ майже ідентичний для строго зменшується функції. Так якf строго збільшується, так і єf^{-1}. Тобто якщоf(x) < f(y), то ми повинні матиx < y і томуf^{-1}\bigl(f(x)\bigr) < f^{-1}\bigl(f(y)\bigr).

Візьмітьc \in f(I). Якщо неc є точкою кластераf(I), тоf^{-1} є безперервним вc автоматичному режимі. Так нехайc бути кластер точкаf(I). Припустимо, існують обидві такі односторонні межі:\begin{aligned} x_0 & := \lim_{y \to c^-} f^{-1}(y) = \sup \{ f^{-1}(y) : y < c, y \in f(I) \} = \sup \{ x : f(x) < c, x \in I \} , \\ x_1 & := \lim_{y \to c^+} f^{-1}(y) = \inf \{ f^{-1}(y) : y > c, y \in f(I) \} = \inf \{ x : f(x) > c, x \in I \} .\end{aligned} Ми маємоx_0 \leq x_1 якf^{-1} збільшується. Для всіхx > x_0 зx \in I, у нас єf(x) \geq c. Якf суворо збільшується, ми повинні матиf(x) > c для всіхx > x_0,x \in I. Отже,\{ x : x > x_0, x \in I \} \subset \{ x : f(x) > c, x \in I \}. Infimum набору лівої руки єx_0 і infimum набору правої рукиx_1, тому ми отримуємоx_0 \geq x_1. Отжеx_1 = x_0, іf^{-1} є безперервним приc.

Якщо одного з односторонніх меж не існує, аргумент схожий і залишається як вправа.

Пропозиція не вимагає, щоб вонаf була безперервною. Наприклад, нехайf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}f(x) := \begin{cases} x & \text{if $x < 0$}, \\ x+1 & \text{if $x \geq 0$}. \\ \end{cases} Функція неf є безперервною в0. ЗображенняI = {\mathbb{R}} - це безліч(-\infty,0)\cup [1,\infty), а не інтервал. Тодіf^{-1} \colon (-\infty,0)\cup [1,\infty) \to {\mathbb{R}} можна записати якf^{-1}(x) = \begin{cases} x & \text{if $x < 0$}, \\ x-1 & \text{if $x \geq 1$}. \end{cases} Це не важко побачити, щоf^{-1} це безперервна функція.

Зверніть увагу, що відбувається з пропозицією, якщоf(I) це інтервал. У такому випадку ми могли б просто звернутися до обохf іf^{-1}. Тобто якщоf \colon I \to J є на строго монотонну функцію іI іJ є інтервалами, то обидваf іf^{-1} є безперервними. Крім тогоf(I), це інтервал саме тодіf, коли він безперервний.

Вправи

Припустимоf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}, це монотонно. fДовести обмежений.

Закінчіть доказ.

Закінчіть доказ.

Доведіть претензії в.

Закінчіть доказ.

ПрипустимоS \subset {\mathbb{R}}, іf \colon S \to {\mathbb{R}} є зростаючою функцією. а) Якщоc це кластер точкаS \cap (c,\infty) показати, що\lim\limits_{x\to c^+} f(x) < \infty. б) Якщоc це точка кластераS \cap (-\infty,c) і\lim\limits_{x\to c^-} f(x) = \infty, довести, щоS \subset (-\infty,c).

Припустимо,I \subset {\mathbb{R}}f \colon I \to {\mathbb{R}} це інтервал і є функція такаc \in I, що для кожного існуєa, b \in {\mathbb{R}} зa > 0 таким, щоf(x) \geq a x + b для всіхx \in I іf(c) = a c + b. Покажіть,f що строго збільшується.

Припустимо,f \colon I \to J це безперервна, двооб'єктивна (один до одного і на) функція для двох інтервалівI іJ. Покажіть,f що строго одноманітно.

Розглянемо монотонну функціюf \colon I \to {\mathbb{R}} на проміжкуI. Доведіть, що існує функціяg \colon I \to {\mathbb{R}} така, що\lim\limits_{x \to c^-} g(x) = g(c) для всіхc \in I, крім меншого (зліва) кінцевої точкиI, і такі, щоg(x) = f(x) для всіх, але зліченно багатоx.

а)S \subset {\mathbb{R}} Дозволяти бути будь-якою підмножиною. Якщоf \colon S \to {\mathbb{R}} збільшується, то покажіть, що існує збільшенняF \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} таке, щоf(x) = F(x) для всіхx \in S. б) Знайдіть приклад строго зростаючогоf \colon S \to {\mathbb{R}} такого, що збільшення,F як зазначено вище, ніколи не суворо збільшується.

[Вправа: збільшення FuncidiscatQ] Знайдіть приклад зростаючої функціїf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}, яка має розрив при кожному раціональному числі. Потім покажіть, що зображення неf([0,1]) містить інтервалу. Підказка: Перерахуйте раціональні числа та визначте функцію за допомогою ряду.

Похідне

Похідна

Примітка: 1 лекція

Ідея похідної полягає в наступному. Припустимо, що графік функції виглядає локально як пряма. Потім ми можемо говорити про нахил цієї лінії. Нахил говорить нам про швидкість, з якою значення функції змінюється в конкретній точці. Звичайно, ми залишаємо поза увагою будь-яку функцію, яка має кути або розриви. Будемо точними.

Визначення та основні властивості

IДозволяти інтервал, нехайf \colon I \to {\mathbb{R}} буде функція, і нехайc \in I. Якщо межаL := \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} існує, то ми говоримоf диференційована наc,L тобто похідна відf atc, і пишемоf'(c) := L.

Якщоf диференційовний взагаліc \in I, то ми просто говоримо, щоf диференціюється, а потім отримуємо функціюf' \colon I \to {\mathbb{R}}.

Вираз\frac{f(x)-f(c)}{x-c} називається різницевим коефіцієнтом.

Графічна інтерпретація похідної зображена в. Ліва ділянка дає лінію наскрізь\bigl(c,f(c)\bigr) і\bigl(x,f(x)\bigr) з нахилом\frac{f(x)-f(c)}{x-c}, тобто так звану січну лінію. Коли ми беремо межу, якx йдеc, ми отримуємо правий графік, де ми бачимо, що похідна функції в точціc нахил прямої дотичної до графікаf в точці\bigl(c,f(c)\bigr).

МиI дозволяємо бути замкнутим інтервалом іc дозволяємо бути кінцевою точкоюI. Деякі книги обчислення неc дозволяють бути кінцевою точкою інтервалу, але вся теорія все ще працює, дозволяючи це, і це полегшує нашу роботу.

Нехайf(x) := x^2 визначено на цілій дійсній лінії. Ми знаходимо, що\lim_{x\to c} \frac{x^2-c^2}{x-c} = \lim_{x\to c} \frac{(x+c)(x-c)}{x-c} = \lim_{x\to c} (x+c) = 2c. Томуf'(c) = 2c.

f(x) := \left\lvert {x} \right\rvertФункція не диференційована за початком. Колиx > 0, тоді\frac{\left\lvert {x} \right\rvert-\left\lvert {0} \right\rvert}{x-0} = \frac{x-0}{x-0} = 1 , і колиx < 0 ми маємо\frac{\left\lvert {x} \right\rvert-\left\lvert {0} \right\rvert}{x-0} = \frac{-x-0}{x-0} = -1 .

Відомий приклад Вейерштрасса показує, що існує безперервна функція, яка не диференційована в жодній точці. Побудова цієї функції виходить за рамки цієї книги. З іншого боку, диференційована функція завжди безперервна.

f \colon I \to {\mathbb{R}}Дозволяти диференціюватися приc \in I, то це безперервно приc.

Ми знаємо, що межі\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x\to c}(x-c) = 0 існують. Крім того,f(x)-f(c) = \left( \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \right) (x-c) . Тому межаf(x)-f(c) існує і\lim_{x\to c} \bigl( f(x)-f(c) \bigr) = \left(\lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \right) \left(\lim_{x\to c} (x-c) \right) = f'(c) \cdot 0 = 0. Отже\lim\limits_{x\to c} f(x) = f(c), іf є безперервним вc.

Важливою властивістю похідної є лінійність. Похідна - це наближення функції прямою лінією. Нахил прямої через дві точки змінюється лінійно, колиy -координати змінюються лінійно. Беручи межу, має сенс, що похідна є лінійною.

IДозволяти інтервал, нехайf \colon I \to {\mathbb{R}} іg \colon I \to {\mathbb{R}} бути диференційованим вc \in I, і нехай\alpha \in {\mathbb{R}}.

  1. Визначтеh \colon I \to {\mathbb{R}} поh(x) := \alpha f(x). Потімh диференціюється приc іh'(c) = \alpha f'(c).
  2. Визначтеh \colon I \to {\mathbb{R}} поh(x) := f(x) + g(x). Потімh диференціюється приc іh'(c) = f'(c) + g'(c).

По-перше, нехайh(x) := \alpha f(x). Боx \in I,\frac{h(x)-h(c)}{x-c} = \frac{\alpha f(x) - \alpha f(c)}{x-c} = \alpha \frac{f(x) - f(c)}{x-c} . уx \not= c нас є межа, якx ідеc існує праворуч. Ми отримуємо\lim_{x\to c}\frac{h(x)-h(c)}{x-c} = \alpha \lim_{x\to c} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} . Томуh диференційовний наc, а похідна обчислюється як задано.

Далі визначтеh(x) := f(x)+g(x). Боx \in I,\frac{h(x)-h(c)}{x-c} = \frac{\bigl(f(x) + g(x)\bigr) - \bigl(f(c) + g(c)\bigr)}{x-c} = \frac{f(x) - f(c)}{x-c} + \frac{g(x) - g(c)}{x-c} . уx \not= c нас є межа, якx ідеc існує праворуч. Ми отримуємо\lim_{x\to c}\frac{h(x)-h(c)}{x-c} = \lim_{x\to c} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} + \lim_{x\to c}\frac{g(x) - g(c)}{x-c} . Томуh диференційовний наc і похідна обчислюється як задано.

Неправда, що похідна кратного двох функцій є кратною похідним. Замість цього ми отримуємо так зване правило продукту або правило Лейбніца 17.

IДозволяти інтервал, нехайf \colon I \to {\mathbb{R}} іg \colon I \to {\mathbb{R}} бути функції диференційовані вc. Якщоh \colon I \to {\mathbb{R}} визначаєтьсяh(x) := f(x) g(x) , тоh диференціюється приc іh'(c) = f(c) g'(c) + f'(c) g(c) .

Доказ правила продукту залишають як вправу. Ключовим є використання ідентичностіf(x) g(x) - f(c) g(c) = f(x)\bigl( g(x) - g(c) \bigr) + g(c) \bigl( f(x) - f(c) \bigr).

IДозволяти інтервал, нехайf \colon I \to {\mathbb{R}} іg \colon I \to {\mathbb{R}} бути диференційованим у всіхc іg(x) \not= 0 назавждиx \in I. Якщоh \colon I \to {\mathbb{R}} визначаєтьсяh(x) := \frac{f(x)}{g(x)}, тоh диференціюється приc іh'(c) = \frac{f'(c) g(c) - f(c) g'(c)}{{\bigl(g(c)\bigr)}^2} .

Знову докази залишають як вправу.

Правило ланцюга

Корисним правилом для обчислення похідних є правило ланцюга.

I_1, I_2Дозволяти бути інтервали, нехайg \colon I_1 \to I_2 диференційовані вc \in I_1, іf \colon I_2 \to {\mathbb{R}} бути диференційованими вg(c). Якщоh \colon I_1 \to {\mathbb{R}} визначаєтьсяh(x) := (f \circ g) (x) = f\bigl(g(x)\bigr) , тоh диференціюється приc іh'(c) = f'\bigl(g(c)\bigr)g'(c) .

Нехайd := g(c). Визначтеu \colon I_2 \to {\mathbb{R}} іv \colon I_1 \to {\mathbb{R}}\begin{aligned} & u(y) := \begin{cases} \frac{f(y) - f(d)}{y-d} & \text{ if $y \not=d$,} \\ f'(d) & \text{ if $y = d$,} \end{cases} \\ & v(x) := \begin{cases} \frac{g(x) - g(c)}{x-c} & \text{ if $x \not=c$,} \\ g'(c) & \text{ if $x = c$.} \end{cases}\end{aligned} ми зауважимо, щоf(y)-f(d) = u(y) (y-d) \qquad \text{and} \qquad g(x)-g(c) = v(x) (x-c) . ми\label{eq:chainruleeq} \frac{h(x)-h(c)}{x-c} = u\bigl( g(x) \bigr) v(x) . підключаємо до отриманняh(x)-h(c) = f\bigl(g(x)\bigr)-f\bigl(g(c)\bigr) = u\bigl( g(x) \bigr) \bigl(g(x)-g(c)\bigr) = u\bigl( g(x) \bigr) \bigl(v(x) (x-c)\bigr) . Тому обчислюємо межі\lim_{y \to d} u(y) = f'(d) = f'\bigl(g(c)\bigr) і\lim_{x \to c} v(x) = g'(c). Тобто функціїu іv є безперервними приd = g(c) іc відповідно. Крім того, функціяg є безперервною вc. Звідси межа правої частини [eq:chainruleeq], якx ідеc існує і дорівнюєf'\bigl(g(c)\bigr) g'(c). Таким чиномh диференціюється приc і межа єf'\bigl(g(c)\bigr)g'(c).

Вправи

Доведіть правило продукту. Підказка: Використовуйтеf(x) g(x) - f(c) g(c) = f(x)\bigl( g(x) - g(c) \bigr) + g(c) \bigl( f(x) - f(c) \bigr).

Доведіть правило частки. Підказка: Ви можете зробити це безпосередньо, але може бути простіше знайти похідну від,\nicefrac{1}{x} а потім використовувати правило ланцюга і правило продукту.

[Вправа: diffofxn] Дляn \in {\mathbb{Z}}, довести, щоx^n диференціюється і знайти похідну, якщо, звичайно,n < 0 іx=0. Підказка: Використовуйте правило продукту.

Доведіть, що многочлен диференційовний і знайдіть похідну. Підказка: Використовуйте попередню вправу.

Визначитиf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}f(x) := \begin{cases} x^2 & \text{ if $x \in {\mathbb{Q}}$,}\\ 0 & \text{ otherwise.} \end{cases} Довести, щоf диференціюється в0, але переривчастий у всіх точках, крім0.

Припустимо нерівність\left\lvert {x-\sin(x)} \right\rvert \leq x^2. Доведіть, що гріх диференційовний на0, і знайти похідне в0.

Використовуючи попередню вправу, доведіть, що гріх взагаліx диференційований і що похідне є\cos(x). Підказка: Використовуйте тригонометричну ідентичність суми до продукту, як ми робили раніше.

Дозвольтеf \colon I \to {\mathbb{R}} бути диференційованим. Заданоn \in {\mathbb{Z}}, визначтеf^n бути функцією, визначеноюf^n(x) := {\bigl( f(x) \bigr)}^n. Якщоn < 0 припуститиf(x) \not= 0. Доведіть, що(f^n)'(x) = n {\bigl(f(x) \bigr)}^{n-1} f'(x).

Припустимо,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} це диференційовна безперервна функція Ліпшица. Доведіть, щоf' є обмеженою функцією.

I_1, I_2Дозволяти бути інтервалами. f \colon I_1 \to I_2Дозволяти бути двооб'єктивною функцією іg \colon I_2 \to I_1 бути оберненою. Припустимо,f що обидва диференційовані приc \in I_1 іf'(c) \not=0 іg диференційовані приf(c). Використовуйте правило ланцюга, щоб знайти формулу дляg'\bigl(f(c)\bigr) (в термініf'(c)).

[Вправа: bndmuldiff] Припустимо,f \colon I \to {\mathbb{R}} є обмеженою функцією іg \colon I \to {\mathbb{R}} є функцією, диференційованою приc \in I іg(c) = g'(c) = 0. Показати,h(x) := f(x) g(x) що диференціюється вc. Підказка: Зверніть увагу, що ви не можете застосувати правило продукту.

[Вправа: diffsqueeze] Припустимоf \colon I \to {\mathbb{R}}g \colon I \to {\mathbb{R}}, іh \colon I \to {\mathbb{R}}, є функціями. Припустимо,c \in I є такіf(c) = g(c) = h(c), що,g іh диференційовані приc, іg'(c) = h'(c). Крім того, припустимоh(x) \leq f(x) \leq g(x) для всіхx \in I. Довестиf диференційований приc іf'(c) = g'(c) = h'(c).

Теорема про середнє значення

Примітка: 2 лекції (деякі програми можуть бути пропущені)

Відносні мінімуми і максимуми

Ми говорили про абсолютні максимумах і мінімумах. Це найвищі вершини і найнижчі долини у всьому гірському масиві. Ми також можемо поговорити про вершини окремих гір і долин.

S \subset {\mathbb{R}}Дозволяти бути набір і нехайf \colon S \to {\mathbb{R}} буде функція. fФункція, як кажуть, мають відносний максимумc \in S при наявності\delta>0 такого, що для всіхx \in S таких, що у\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta нас єf(x) \leq f(c). Визначення відносного мінімуму аналогічно.

[relminmax:thm]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути функцією, диференційованою наc \in (a,b), іc є відносним мінімумом або відносним максимумомf. Потімf'(c) = 0.

Доводимо твердження по максимуму. Для мінімуму заяву слід, враховуючи функцію-f.

cДозволяти відносний максимумf. Зокрема до тих пір, поки у\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta нас єf(x)-f(c) \leq 0. Потім ми дивимося на коефіцієнт різниці. Якщоx > c ми зауважимо, що\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0 , і якщо уy < c нас є\frac{f(y)-f(c)}{y-c} \geq 0 . Дивіться для ілюстрації.

Ми зараз беремо послідовності\{ x_n\} і\{ y_n \}, такі щоx_n > c, іy_n < c для всіхn \in {\mathbb{N}}, і такі що\lim\, x_n = \lim\, y_n = c. Оскількиf є диференційованим,c ми знаємо0 \geq \lim_{n\to\infty} \frac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c} = f'(c) = \lim_{n\to\infty} \frac{f(y_n)-f(c)}{y_n-c} \geq 0. \qedhere

Для диференційованої функції точка, деf'(c) = 0 називається критичною точкою. Колиf в деяких точках не диференціюється, прийнято також говорити, щоc це критична точка, якщо їїf'(c) не існує. Теорема говорить, що відносний мінімум або максимум у внутрішній точці інтервалу повинен бути критичною точкою. Як ви пам'ятаєте з обчислення, знаходження мінімумів і максимумів функції можна зробити, знайшовши всі критичні точки разом з кінцевими точками інтервалу і просто перевіривши, де функція найбільша або найменша.

Теорема Ролла

Припустимо, функція дорівнює нулю в обох кінцевих точках інтервалу. Інтуїтивно вона повинна досягти мінімуму або максимуму всередині інтервалу, тоді при такому мінімумі або максимумі похідна повинна дорівнювати нулю. Дивіться геометричну ідею. Це зміст так званої теореми Ролла 18.

[thm:rolle]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервна функція диференційована на(a,b) такий, щоf(a) = f(b). Тоді існуєc \in (a,b) таке, щоf'(c) = 0.

Якf це безперервно на[a,b] ньому досягає абсолютного мінімуму і абсолютного максимуму в[a,b]. Ми хочемо подати заявку, і тому нам потрібно мінімум або максимум в деякихc \in (a,b). ПишітьK := f(a) = f(b). Якщо існуєx таке щоf(x) > K, то абсолютний максимум більше, ніжK і значить відбувається приc \in (a,b), і тому отримуємоf'(c) = 0. З іншого боку, якщо існуєx такеf(x) < K, то абсолютний мінімум відбувається у деякихc \in (a,b) і ми маємо цеf'(c) = 0. Якщо немаєx такого тогоf(x) > K абоf(x) < K, то у нас є щоf(x) = K для всіхx і тоf'(x) = 0 для всіхx \in [a,b], так що будь-якийc спрацює.

Відзначимо, що це абсолютно необхідно, щоб похідна існувала для всіхx \in (a,b). Наприклад, візьмемо функціюf(x) = \left\lvert {x} \right\rvert on[-1,1]. f(-1) = f(1)Зрозуміло, але немає ніякого сенсу кудиf'(c) = 0.

Теорема про середнє значення

Ми поширюємося на функції, які досягають різних значень в кінцевих точках.

[thm:mvt]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервною функцією, диференційованою на(a,b). Тоді існуєc \in (a,b) такий момент, щоf(b)-f(a) = f'(c)(b-a) .

Теорема випливає з. Визначити функціюg \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} поg(x) := f(x)-f(b)+\bigl(f(b)-f(a)\bigr)\frac{b-x}{b-a}. Функціяg диференційована на(a,b), безперервна на[a,b], така, щоg(a) = 0 іg(b) = 0. При цьому існуєc \in (a,b) таке, щоg'(c) = 0. 0 = g'(c) = f'(c) + \bigl(f(b)-f(a)\bigr)\frac{-1}{b-a} .Або іншими словамиf'(c)(b-a) = f(b)-f(a).

Геометричну інтерпретацію теореми про середнє значення див. Ідея полягає в тому,\frac{f(b)-f(a)}{b-a} що значення - це нахил лінії між точками\bigl(a,f(a)\bigr) і\bigl(b,f(b)\bigr). Тодіc точка такаf'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}, що, тобто дотична лінія в точці\bigl(c,f(c)\bigr) має такий же нахил, як і лінія між\bigl(a,f(a)\bigr) і\bigl(b,f(b)\bigr).

Додатки

Тепер ми вирішуємо наше найперше диференціальне рівняння.

[prop:derzeroconst]I Дозволяти бути інтервалом і нехайf \colon I \to {\mathbb{R}} диференційованою функцією така, щоf'(x) = 0 для всіхx \in I. Тодіf постійний.

Візьміть довільніx,y \in I сx < y. Потімf обмежується[x,y] задовольняє гіпотези. Тому єc \in (x,y) таке, щоf(y)-f(x) = f'(c)(y-x). якf'(c) = 0, у нас єf(y) = f(x). Тому функція постійна.

Тепер, коли ми знаємо, що означає функція залишатися постійною, давайте подивимося на збільшення і зменшення функцій. Ми говоримоf \colon I \to {\mathbb{R}}, що збільшується (resp. суворо збільшується) якщоx < y має на увазіf(x) \leq f(y) (resp. f(x) < f(y)). Визначаємо спадне і суворо зменшення однаково шляхом перемикання нерівностей наf.

[incdecdiffprop]I Дозволяти бути інтервалом і нехайf \colon I \to {\mathbb{R}} диференційованою функцією.

  1. fзбільшується, якщо і тільки якщоf'(x) \geq 0 для всіхx \in I.
  2. fзменшується, якщо і тільки якщоf'(x) \leq 0 для всіхx \in I.

Доведемо перший пункт. Припустимо,f збільшується, то для всіхx іc вI нас є\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 . Приймаючи межу, якx йде доc ми бачимо, щоf'(c) \geq 0.

Для іншого напрямку, припустимоf'(x) \geq 0 для всіхx \in I. Візьмітьx, y \in I куди завгодноx < y. До них єc \in (x,y) такі, щоf(x)-f(y) = f'(c)(x-y) . Asf'(c) \geq 0, аx-y < 0, потімf(x) - f(y) \leq 0 абоf(x) \leq f(y) і такf збільшується.

Ми залишаємо спадну частину читачеві як вправу.

Ми можемо зробити подібне, але слабше твердження про суворо зростаючі та зменшуються функції. Якщоf'(x) > 0 для всіхx \in I,f то строго збільшується. Доказ залишають як вправу. Зворотне не відповідає дійсності. Наприклад,f(x) := x^3 це строго зростаюча функція, алеf'(0) = 0.

Іншим застосуванням є наступний результат про розташування крайнощів. Теорема викладена для абсолютного мінімуму і максимуму, але спосіб її застосування для знаходження відносних мінімумів і максимумів полягаєf в обмеженні інтервалом(c-\delta,c+\delta).

[Перший дермінмакс тест] Дозвольтеf \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} бути безперервним. Нехайc \in (a,b) і припустимоf диференційований на(a,c) і(c,b).

  1. Якщоf'(x) \leq 0 заx \in (a,c) іf'(x) \geq 0 заx \in (c,b), тоf має абсолютний мінімум приc.
  2. Якщоf'(x) \geq 0 заx \in (a,c) іf'(x) \leq 0 заx \in (c,b), тоf має абсолютний максимум приc.

Доведемо перший пункт. Другу залишаємо читачеві. Нехайx буде(a,c) і послідовність\{ y_n\} така, щоx < y_n < c і\lim\, y_n = c. За попередньою пропозицією, функція зменшується на(a,c) такf(x) \geq f(y_n). Функція безперервна наc так що ми можемо взяти ліміт, щоб отриматиf(x) \geq f(c) для всіхx \in (a,c).

Аналогічно берутьx \in (c,b) і послідовність\{ y_n\} таку, щоc < y_n < x і\lim\, y_n = c. Функція збільшується на(c,b) такf(x) \geq f(y_n). За спадкоємністюf ми отримуємоf(x) \geq f(c) для всіхx \in (c,b). Таким чиномf(x) \geq f(c) для всіхx \in (a,b).

Зворотного пропозиції не тримає. Див. Нижче.

Неперервність похідних і теорема проміжного значення

Похідні функцій задовольняють властивість проміжного значення. Результат зазвичай називають теоремою Дарбу.

[thm:darboux] Дозвольтеf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} бути диференційованим. Припустимо, що існуєy \in {\mathbb{R}} таке, щоf'(a) < y < f'(b) абоf'(a) > y > f'(b). Тоді існуєc \in (a,b) таке, щоf'(c) = y.

Припустимо, без втрати спільності, щоf'(a) < y < f'(b). Визначитиg(x) := yx - f(x) . якg безперервно[a,b] увімкнено, а потімg досягає максимуму в деякихc \in [a,b].

Тепер обчислюйтеg'(x) = y-f'(x). Таким чиномg'(a) > 0. Оскільки похідна є межею різницевих коефіцієнтів і є позитивним, повинен бути певний коефіцієнт різниці, який є позитивним. Тобто має існуватиx > a таке, що\frac{g(x)-g(a)}{x-a} > 0 , абоg(x) > g(a). Таким чином,a не може бути максимумg. Так самоg'(b) < 0, як, ми знаходимоx < b (іншеx) такеg(x) > g(b), що\frac{g(x)-g(b)}{x-b} < 0 чи те, таким чином,b не може бути максимумом.

Томуc \in (a,b). Тодіc як максимумg ми знаходимоg'(c) = 0 іf'(c) = y.

Ми вже бачили, що існують переривчасті функції, які мають властивість проміжного значення. Хоча спочатку важко уявити, існують також функції, які диференційовані скрізь, а похідна не є безперервною.

[baddiffunc:example]f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} Дозволяти бути функцією,f(x) := \begin{cases} {\bigl( x \sin(\nicefrac{1}{x}) \bigr)}^2 & \text{ if $x \not= 0$,} \\ 0 & \text{ if $x = 0$.} \end{cases} визначеною Ми стверджуємо,f що диференційовна скрізь, але неf' \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} є безперервною на початку. Крім того,f має мінімум 0, але похідна змінює знак нескінченно часто поблизу походження. Див.

Функція з переривчастою похідною. Функція f знаходиться зліва, а f' - праворуч. Зверніть увагу, що f (x)\ leq x^2 на лівому графіку. [рис.: nonc1 різниця]Функція з переривчастою похідною. Функція f знаходиться зліва, а f' - праворуч. Зверніть увагу, що f (x)\ leq x^2 на лівому графіку. [рис.: nonc1 різниця]

Доказ: Це легко побачити з визначення, якеf має абсолютний мінімум в 0: ми знаємоf(x) \geq 0 для всіхx іf(0) = 0.

fФункція диференційовна дляx\not=0 і похідна є2 \sin (\nicefrac{1}{x}) \bigl( x \sin (\nicefrac{1}{x}) - \cos(\nicefrac{1}{x}) \bigr). Як вправу показують, що дляx_n = \frac{4}{(8n+1)\pi} нас є\lim\, f'(x_n) = -1, і дляy_n = \frac{4}{(8n+3)\pi} нас є\lim\, f'(y_n) = 1. Отже, якщоf' існує в0, то він не може бути безперервним.

Давайте покажемо, щоf' існує в 0. Ми стверджуємо, що похідна дорівнює нулю. Іншими словами\left\lvert {\frac{f(x)-f(0)}{x-0} - 0} \right\rvert йде в нуль, якx йде до нуля. Бо уx \not= 0 нас є\left\lvert {\frac{f(x)-f(0)}{x-0} - 0} \right\rvert = \left\lvert {\frac{x^2 \sin^2(\nicefrac{1}{x})}{x}} \right\rvert = \left\lvert {x \sin^2(\nicefrac{1}{x})} \right\rvert \leq \left\lvert {x} \right\rvert . І, звичайно, якx прагне до нуля, то\left\lvert {x} \right\rvert прагне до нуля і, отже,\left\lvert {\frac{f(x)-f(0)}{x-0} - 0} \right\rvert йде до нуля. Томуf диференційована при 0, а похідна при 0 дорівнює 0. Ключовим моментом у наведеному вище розрахунку є те\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq x^2, що див. Також Вправи [вправи: bndmuldiff] та [вправа: diffsqueeze].

Іноді корисно припустити, що похідна диференційовної функції є безперервною. Якщоf \colon I \to {\mathbb{R}} диференційована, а похіднаf' є безперервноюI, то ми говоримоf, що безперервно диференційована. Загальноприйнято писатиC^1(I) для множини безперервно диференційованих функцій наI.

Вправи

Закінчіть доказ.

Закінчіть доказ.

Припустимо,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} це диференційовна функція така, щоf' є обмеженою функцією. Доведітьf є безперервна функція Ліпшица.

Припустимоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}, диференційований іc \in [a,b]. Потім показати існує послідовність, що\{ x_n \} сходиться доc,x_n \not= c для всіхn, такі, щоf'(c) = \lim_{n\to \infty} f'(x_n). Зауважте, що це не означає, щоf' є безперервним (чому?).

Припустимо,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} є функція така, що\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert^2 для всіхx іy. Покажіть, щоf(x) = C для якоїсь постійноїC. Підказка: Покажіть, щоf є диференційованим у всіх точках, і обчислити похідну.

[Вправа: posderincr] ПрипустимоI, це інтервал іf \colon I \to {\mathbb{R}} є диференційованою функцією. Якщоf'(x) > 0 для всіхx \in I, то покажіть,f що строго збільшується.

Припустимо,f \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} це диференційована функція така, щоf'(x) \not= 0 для всіхx \in (a,b). Припустимо, існуєc \in (a,b) такий момент, щоf'(c) > 0. Доведітьf'(x) > 0 для всіхx \in (a,b).

[Вправа: samediffconst] Припустимоf \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} іg \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} є диференційовані функції такі, щоf'(x) = g'(x) для всіхx \in (a,b), то показують, що існує константаC така, щоf(x) = g(x) + C.

Доведіть наступну версію правила L'Hopital. Припустимоf \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} іg \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} є диференційованими функціями. Припустимоc \in (a,b), що вf(c) = 0g(c)=0,,, і що\nicefrac{f'(x)}{g'(x)} межа якx йде наc існує. Покажіть, що\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} .

f \colon (a,b) \to {\mathbb{R}}Дозволяти необмежену диференційовну функцію. f' \colon (a,b) \to {\mathbb{R}}Показ необмежений.

Доведіть теорему Ролле насправді доведено в 1691: Якщоf є поліном,f'(a) = f'(b) = 0 для деякихa < b, і немаєc \in (a,b) такогоf'(c) = 0, що, то існує не більше одного кореняf в(a,b), тобто не більше одногоx \in (a,b) такого, щоf(x) = 0. Іншими словами, між будь-якими двома послідовними коренямиf' знаходиться не більше одного кореняf. Підказка: припустимо, що є два корені і подивіться, що станеться.

Припустимо,a,b \in {\mathbb{R}} іf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} єf'(x) = a диференційованим, для всіхx, іf(0) = b. Знайтиf і довести, що це унікальна диференційовна функція з цією властивістю.

Теорема Тейлора

Примітка: половина лекції (необов'язковий розділ)

Похідні вищих ордерів

Колиf \colon I \to {\mathbb{R}} диференціюється, ми отримуємо функціюf' \colon I \to {\mathbb{R}}. Функціяf' називається першою похідною відf. Якщоf' диференційовний, позначаємоf'' \colon I \to {\mathbb{R}} похідною відf'. Функціяf'' називається другою похідною відf. Аналогічно отримуємоf'''f'''', і так далі. При більшій кількості похідних позначення вийшло б з-під контролю; ми позначаємоf^{(n)} nпохідною відf.

Колиf володієn похідними, ми говоримо,f що nчаси диференційовані.

Теорема Тейлора

Теорема Тейлора 19 є узагальненням. Теорема середнього значення говорить про те, що до невеликої похибкиf(x) дляx ближньогоx_0 можна наблизитиf(x_0), тобтоf(x) = f(x_0) + f'(c)(x-x_0), де «похибка» вимірюється через першу похідну в деякій точціc міжx іx_0. Теорема Тейлора узагальнює цей результат до вищих похідних. Це говорить нам, що до невеликої помилки, будь-якийn час диференційовна функція може бути наближена в точціx_0 поліномом. Похибка цього наближення поводиться як{(x-x_0)}^{n} біля точкиx_0. Щоб зрозуміти, чому це гарне наближення, зверніть увагу, що для великогоn,{(x-x_0)}^n дуже мало в невеликому інтервалі навколоx_0.

Для будь-якоїn диференційовної функції,f визначеної поблизу точкиx_0 \in {\mathbb{R}},n визначте поліном Тейлора дляf atx_0 as\begin{split} P_n^{x_0}(x) & := \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}{(x-x_0)}^k \\ & = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}{(x-x_0)}^2 + \frac{f^{(3)}(x_0)}{6}{(x-x_0)}^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n . \end{split}

Теорема Тейлора говорить, що функція поводиться як їїn поліном Тейлора. Це дійсно теорема Тейлора для першої похідної.

[thm:taylor] Припустимо,f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} це функція зn безперервними похідними на[a,b] і такими, щоf^{(n+1)} існує на(a,b). Враховуючи різні точкиx_0 іx в[a,b], ми можемо знайти точкуc міжx_0 іx такими, щоf(x)=P_{n}^{x_0}(x)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1} .

ТермінR_n^{x_0}(x):=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1} називається термін, що залишився. Ця форма залишку члена називається формою Лагранжа залишку. Є й інші способи написати термін, що залишився, але ми їх пропускаємо. Зверніть увагу, щоc залежить від обохx іx_0.

Знайти числоM_{x,x_0} (в залежності відx іx_0) розв'язуючи рівнянняf(x)=P_{n}^{x_0}(x)+M_{x,x_0}{(x-x_0)}^{n+1} . Визначити функціюg(s) за допомогоюg(s) := f(s)-P_n^{x_0}(s)-M_{x,x_0}{(s-x_0)}^{n+1} . Обчислимоk ту похідну atx_0 полінома Тейлора{(P_n^{x_0})}^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0) дляk=0,1,2,\ldots,n (нульова похідна відповідає самій функції) . Тому,g(x_0) = g'(x_0) = g''(x_0) = \cdots = g^{(n)}(x_0) = 0 . зокремаg(x_0) = 0. З іншого бокуg(x) = 0. До того існуєx_1 міжx_0 іx такими, щоg'(x_1) = 0. Застосовуючи до,g' ми отримуємо, що існуєx_2 міжx_0 іx_1 (і, отже, міжx_0 іx) таким, щоg''(x_2) = 0. Ми повторюємо аргументn+1 раз, щоб отримати числоx_{n+1} міжx_0 іx_n (і, отже, міжx_0 іx) таким, щоg^{(n+1)}(x_{n+1}) = 0.

Нехайc:=x_{n+1}. Ми обчислюємо(n+1) похідну від,g щобg^{(n+1)}(s) = f^{(n+1)}(s)-(n+1)!\,M_{x,x_0} . знайти Підключенняc дляs отриманняM_{x,x_0} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}, і ми закінчили.

На доказ, який ми обчислили{(P_n^{x_0})}^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0) дляk=0,1,2,\ldots,n. Тому многочлен Тейлора має ті ж похідні,f що іx_0 доn ї похідної. Ось чому поліном Тейлора є хорошим наближенням доf.

Визначення похідної говорить про те, що функція диференційовна, якщо вона локально наближена лінією. Аналогічно ми згадуємо, що існує зворотна теорема Тейлора, яку ми не будемо ні констатувати, ні доводити, кажучи, що якщо функція локально наближена певним чином поліном ступеняd, то вона маєd похідні.

Вправи

Обчислитиn поліном Тейлора at0 для експоненціальної функції.

pПрипустимо, це поліном ступеняd. З огляду на будь-якийx_0 \in {\mathbb{R}}, показати, що поліном Тейлора дляp atx_0 дорівнюєp.(d+1)

Нехайf(x) := \left\lvert {x} \right\rvert^3. Обчислитиf'(x) іf''(x) для всіхx, але показати, щоf^{(3)}(0) не існує.

Припустимоf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}, маєn безперервні похідні. Покажітьx_0 \in {\mathbb{R}}, що для будь-якого існуютьP многочлени іQ ступеняn і\epsilon > 0 такий, щоP(x) \leq f(x) \leq Q(x) для всіхx \in [x_0-\epsilon,x_0+\epsilon] іQ(x)-P(x) = \lambda {(x-x_0)}^n для деяких\lambda \geq 0.

Якщоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} маєn+1 безперервні похідні іx_0 \in [a,b], довести\lim\limits_{x\to x_0} \frac{R_n^{x_0}(x)}{{(x-x_0)}^n} = 0.

Припустимоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}, маєn+1 безперервні похідні іx_0 \in (a,b). Показати, щоf^{(k)}(x_0) = 0 для всіх,k = 0, 1, 2, \ldots, n якщо і тільки\(g(x) := \frac{f(x)}

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[26]/p[6]/span[6]/span, line 1, column 8
\) якщо безперервно наx_0.

Припустимоf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}},a,b,c \in {\mathbb{R}} іf''(x) = a диференційованийx, для всіхf'(0) = b, іf(0) = c. Знайтиf і довести, що це унікальна диференційовна функція з цією властивістю.

Покажіть, що простий зворотний зв'язок з теоремою Тейлора не тримається. Знайти функціюf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} без другої похідної приx=0 такій\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq \left\lvert {x^3} \right\rvert, що, тобтоf йде в нуль при 0 швидшеx^3, ніж, і покиf'(0) існує,f''(0) немає.

Теорема про обернену функцію

Примітка: менше 1 лекції (необов'язковий розділ, необхідний для, вимагає)

Теорема про обернену функцію

Основною ідеєю диференціації обернених функцій є наступна лема.

[lemma:ift]I,J \subset {\mathbb{R}} Дозволяти бути інтервалами. Якщо строгоf \colon I \to J монотонний (отже, один до одного), onto (f(I) = J), диференційований вx, іf'(x) \not= 0, тоf^{-1} зворотний диференційований приy = f(x) і(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'\bigl( f^{-1}(y) \bigr)} = \frac{1}{f'(x)} . Якщоf безперервно диференціюється і ніколи неf' дорівнює нулю, тоf^{-1} безперервно диференційований.

Заf має суцільну обернену. Назвемо зворотнеg \colon J \to I для зручності. x,yДозволяти бути як в заяві,t \in I прийняти бути довільним і нехайs := f(t). Тоді\frac{g(s)-g(y)}{s-y} = \frac{g\bigl(f(t)\bigr)-g\bigl(f(x)\bigr)}{f(t)-f(x)} = \frac{t-x}{f(t)-f(x)} .f As диференціюється вx іf'(x) \not= 0, потім\frac{t-x}{f(t)-f(x)} \to \nicefrac{1}{f'(x)} якt \to x. Тому щоg(s) \to g(y) якs \to y, ми можемо підключитиg(s) дляt, іg(y) дляx і взяти лімітy, якs йде до, тобто межа існує. Іншими словами,\lim_{s \to y} \frac{g(s)-g(y)}{s-y} = \lim_{t \to x} \frac{t-x}{f(t)-f(x)} = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'\bigl(g(y)\bigr)} дивіться геометричну ідею.

Якщо обидваf' іg неперервні,f' зовсім ненульовіx, то лема застосовується у всіх точкахx \in I і результуюча функціяg'(y) = \frac{1}{f'\bigl(g(t)\bigr)} повинна бути безперервною.

Те, що зазвичай називають теоремою оберненої функції, є наступним результатом.

f \colon (a,b) \to {\mathbb{R}}Дозволяти безперервно диференційовні функції,x_0 \in (a,b) точка деf'(x_0) \not= 0. Потім існує інтервалI \subset (a,b) сx_0 \in I, обмеженняf|_{I} є ін'єкційним з оберненоюg \colon J \to I визначеною наJ := f(I), яка безперервно диференційована іg'(y) = \frac{1}{f'\bigl( g(y) \bigr)} , \qquad \text{for all $y \in J$}.

Без втрати спільності, припустимоf'(x_0) > 0. Якf' це безперервно, повинен існувати інтервалI зx_0 \in I таким, щоf'(x) > 0 для всіхx_0 \in I.

Заf суворо збільшується наI, а значить і обмеженняf|_{I} біктивне наJ: = f(I). Якf безперервно, то по (див. Також),f(I) знаходиться в інтервалі. Тепер подайте заявку.

Якщо ви намагалися довести існування коренів безпосередньо, як у вас, можливо, бачили, наскільки важко це починання. Однак, з машиною, яку ми побудували для обернених функцій, це стає майже тривіальною вправою, а з теоремою зворотної функції ми доводимо набагато більше, ніж просто існування.

З огляду на будь-якийx \geq 0 існує унікальне числоy \geq 0 (позначаєтьсяx^{1/n} := y), таке щоy^n = x.n \in {\mathbb{N}} Крім того, функція,g \colon (0,\infty) \to (0,\infty) визначена,g(x) := x^{1/n} є безперервно диференційованою іg'(x) = \frac{1}{nx^{(n-1)/n}} = \frac{1}{n} \, x^{(1-n)/n} , використовує конвенціюx^{n/m} := {(x^{1/m})}^{n}.

Дляx=0 існування унікального кореня банально.

Нехайf(x) := x^n. Використовуючи правило продукту,f безперервно диференціюється іf'(x) = nx^{n-1}, див. x > 0Бо похіднаf' строго позитивна і так знову ж таки по,f строго збільшується (це також можна довести безпосередньо). Також нескладно помітити, що зображенняf являє собою весь інтервал(0,\infty). Отримано унікальну зворотнуg і таким чином існування і унікальність позитивнихn коренів. Застосовуємо для отримання похідної.

Наслідок дає хороший приклад того, де теорема оберненої функції дає нам інтервал менший, ніж(a,b). Візьмітьf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} визначені поf(x) := x^2. Потім доf'(x) \not= 0 тих пір, покиx \not= 0. Якщоx_0 > 0, можемо взятиI=(0,\infty), але не більше.

Ще один корисний приклад -f(x) := x^3. f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Функція один до одного і onto, томуf^{-1}(x) = x^{1/3} існує на всій дійсній лінії, включаючи нуль і негативнийx. Функціяf має безперервну похідну, але неf^{-1} має похідної на початку. Справа в тому, щоf'(0) = 0. Див. також.

Вправи

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Припустимо, безперервно диференційований такий, щоf'(x) > 0 для всіхx. Покажіть, щоf є оборотним на інтерваліJ = f({\mathbb{R}}), зворотне безперервно диференційоване, причому{(f^{-1})}'(y) > 0 для всіхy \in f({\mathbb{R}}).

ПрипустимоI,J, це інтервали, а монотон наf \colon I \to J має зворотнуg \colon J \to I. Припустимо, ви вже знаєте, що обидваf іg диференційовані скрізь і ніколи неf' дорівнює нулю. Використовуючи правило ланцюга, але не доведіть формулуg'(y) = \nicefrac{1}{f'\bigl(g(y)\bigr)}.

Нехайn\in {\mathbb{N}} буде рівним. Доведіть, що коженx > 0 має унікальнийn негативний корінь. Тобто існує негативне числоy таке, щоy^n = x. Обчислити похідну функціїg(x) := y.

[Вправа: oddroot]n \in {\mathbb{N}} Дозволяти бути непарним іn \geq 3. Доведіть, що коженx має унікальнийn той корінь. Тобто існує рядy таких, щоy^n = x. Доведіть, що функціяg(x) := y визначена диференційовний, крім вx=0 і обчислити похідну. Доведіть,g що не диференціюється вx=0.

§ 3] Показати, що якщо в оберненій теоремі функціїf єk неперервні похідні, то обернена функціяg також маєk неперервні похідні.

Нехайf(x) := x + 2 x^2 \sin(\nicefrac{1}{x}) дляx \not= 0 іf(0) = 0. Показати, щоf диференціюється взагаліx, щоf'(0) > 0, алеf це не обертається на будь-якому інтервалі, що містить походження.

а)f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервно диференційованою функцією іk > 0 бути числом таким, щоf'(x) \geq k для всіхx \in {\mathbb{R}}. Показатиf один до одного і на, і має безперервно диференційований зворотнийf^{-1} \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}. б) Знайдіть приклад,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} деf'(x) > 0 для всіхx, алеf не на.

ПрипустимоI,J, це інтервали, а монотон наf \colon I \to J має зворотнуg \colon J \to I. Припустимоy := f(x) \in J,x \in I і,g що диференціюється приy. Довести:
а) Якщоg'(y) \not= 0, тоf диференціюється вx.
б) Якщоg'(y) = 0,f то не диференціюється приx.

Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана

Примітка: 1,5 лекції

Тепер ми перейдемо до фундаментальної концепції інтеграції. Існує часто плутанина серед студентів обчислення між інтегралом і антидеривативом. Інтеграл - це (неформально) площа під кривою, нічого іншого. Те, що ми можемо обчислити антипохідну, використовуючи інтеграл, є нетривіальним результатом, який ми повинні довести. У цьому розділі ми визначаємо інтеграл Рімана 20 за допомогою інтеграла Дарбу 21, що технічно простіше, ніж (але еквівалентно) традиційному визначенню, як це робиться Ріманом.

Перегородки і нижній і верхній інтеграли

Ми хочемо інтегрувати обмежену функцію, визначену на інтервалі[a,b]. Спочатку ми визначимо два допоміжних інтеграла, які можуть бути визначені для всіх обмежених функцій. Тільки тоді можна говорити про інтеграл Рімана і інтегровних функціях Рімана.

PРозділ інтервалу[a,b] - це скінченна множина чисел,\{ x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n \} таких, щоa = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b . Ми пишемо\Delta x_i := x_i - x_{i-1} .

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмеженою функцією. PДозволяти бути перегородкою[a,b]. Визначити\begin{aligned} & m_i := \inf \{ f(x) : x_{i-1} \leq x \leq x_i \} , \\ & M_i := \sup \{ f(x) : x_{i-1} \leq x \leq x_i \} , \\ & L(P,f) := \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i , \\ & U(P,f) := \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i .\end{aligned} МиL(P,f) називаємо нижню суму Дарбу іU(P,f) верхню суму Дарбу.

Геометрична ідея сум Дарбу вказана в. Нижня сума - площа затінених прямокутників, а верхня - площа цілих прямокутників, затінених плюс незаштриховані частини. Ширинаi го прямокутника дорівнює\Delta x_i, висота затіненого прямокутника -m_i і висота всього прямокутника дорівнюєM_i.

[sumulbound:prop]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути обмеженою функцією. Нехайm, M \in {\mathbb{R}} буде таким, що для всіх уx нас єm \leq f(x) \leq M. Для будь-якого розділуP у[a,b] нас є\label{sumulbound:eq} m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) .

PДозволяти бути перегородкою. Тоді зверніть увагу, щоm \leq m_i для всіхi іM_i \leq M для всіхi. Такожm_i \leq M_i для всіхi. Нарешті\sum_{i=1}^n \Delta x_i = (b-a). Отже,\begin{gathered} m(b-a) = m \left( \sum_{i=1}^n \Delta x_i \right) = \sum_{i=1}^n m \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leq \\ \leq \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n M \Delta x_i = M \left( \sum_{i=1}^n \Delta x_i \right) = M(b-a) .\end{gathered} звідси ми отримуємо [sumulbound: eq]. Іншими словами, множина нижніх і верхніх сум є обмеженими множинами.

Оскільки множини нижніх і верхніх сум Дарбу обмежені,\begin{aligned} & \underline{\int_a^b} f(x)~dx := \sup \{ L(P,f) : P \text{ a partition of $[a,b]$} \} , \\ & \overline{\int_a^b} f(x)~dx := \inf \{ U(P,f) : P \text{ a partition of $[a,b]$} \} .\end{aligned} ми\underline{\int} визначаємо нижній інтеграл Дарбу і\overline{\int} верхній інтеграл Дарбу. Щоб не турбуватися про змінну інтеграції, ми часто просто пишемо\underline{\int_a^b} f := \underline{\int_a^b} f(x)~dx \qquad \text{and} \qquad \overline{\int_a^b} f := \overline{\int_a^b} f(x)~dx .

Якщо інтеграція має сенс, то нижній і верхній інтеграли Дарбу повинні бути однаковим числом, оскільки ми хочемо, щоб одне число називалося інтегралом. Однак ці два інтеграли можуть насправді відрізнятися для деяких функцій.

Візьміть функцію Діріхлеf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}, деf(x) := 1 ifx \in {\mathbb{Q}} іf(x) := 0 ifx \notin {\mathbb{Q}}. Тоді\underline{\int_0^1} f = 0 \qquad \text{and} \qquad \overline{\int_0^1} f = 1 . причина в тому, що для кожного уi нас єm_i = \inf \{ f(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} = 0 іM_i = \sup \{ f(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} = 1. Таким чином\begin{aligned} & L(P,f) = \sum_{i=1}^n 0 \cdot \Delta x_i = 0 , \\ & U(P,f) = \sum_{i=1}^n 1 \cdot \Delta x_i = \sum_{i=1}^n \Delta x_i = 1 .\end{aligned}

Те саме визначення\underline{\int_a^b} f і\overline{\int_a^b} f використовується, колиf визначається на більшій множиніS такий, що[a,b] \subset S. У цьому випадку ми використовуємо обмеженняf до,[a,b] і ми повинні переконатися, що обмеження обмежено[a,b].

Щоб обчислити інтеграл, ми часто беремо розділP і робимо його більш тонким. Тобто нарізаємо інтервали в перегородці на ще більш дрібні шматочки.

P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}\widetilde{P} = \{ \widetilde{x}_0, \widetilde{x}_1, \ldots, \widetilde{x}_m \}Дозволяти і бути перегородками[a,b]. Ми говоримо\widetilde{P}, це уточненняP якщо як набориP \subset \widetilde{P}.

Тобто є уточненням розділу,\widetilde{P} якщо він містить всі числа вP і, можливо, деякі інші числа між ними. Наприклад,\{ 0, 0.5, 1, 2 \} є перегородкою[0,2] і\{ 0, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 1.75, 2 \} є доопрацюванням. Основною причиною введення уточнень є наступна пропозиція.

[prop:refinement]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути обмеженою функцією, і нехайP бути розділом[a,b]. Нехай\widetilde{P} буде доопрацюванняP. ТодіL(P,f) \leq L(\widetilde{P},f) \qquad \text{and} \qquad U(\widetilde{P},f) \leq U(P,f) .

Складна частина цього доказу полягає в тому, щоб отримати правильне позначення. Нехай\widetilde{P} := \{ \widetilde{x}_0, \widetilde{x}_1, \ldots, \widetilde{x}_m \} буде доопрацюванняP := \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}. Потімx_0 = \widetilde{x}_0 іx_n = \widetilde{x}_m. Насправді, ми можемо знайти цілі числаk_0 < k_1 < \cdots < k_n такі, щоx_j = \widetilde{x}_{k_j} дляj=0,1,2,\ldots,n.

Нехай\Delta \widetilde{x}_j = \widetilde{x}_{j-1} - \widetilde{x}_j. Отримуємо\Delta x_j = \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \Delta \widetilde{x}_p .

m_jДозволяти бути як раніше і відповідати розділуP. Нехай\widetilde{m}_j := \inf \{ f(x) : \widetilde{x}_{j-1} \leq x \leq \widetilde{x}_j \}. Тепер,m_j \leq \widetilde{m}_p дляk_{j-1} < p \leq k_j. Тому,m_j \Delta x_j = m_j \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \Delta \widetilde{x}_p = \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} m_j \Delta \widetilde{x}_p \leq \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \widetilde{m}_p \Delta \widetilde{x}_p . такL(P,f) = \sum_{j=1}^n m_j \Delta x_j \leq \sum_{j=1}^n \sum_{p=k_{j-1}+1}^{k_j} \widetilde{m}_p \Delta \widetilde{x}_p = \sum_{j=1}^m \widetilde{m}_j \Delta \widetilde{x}_j = L(\widetilde{P},f).

ДоказU(\widetilde{P},f) \leq U(P,f) залишається як вправа.

Озброївшись уточненнями, ми доводимо наступне. Ключовим моментом цієї наступної пропозиції є те, що нижній інтеграл Дарбу менше або дорівнює верхньому інтегралу Дарбу.

[intulbound:prop]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути обмеженою функцією. Нехайm, M \in {\mathbb{R}} буде таким, що для всіх уx \in [a,b] нас єm \leq f(x) \leq M. Тоді\label{intulbound:eq} m(b-a) \leq \underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f \leq M(b-a) .

До нас є для будь-якого розділуPm(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a). Нерівністьm(b-a) \leq L(P,f) має на увазіm(b-a) \leq \underline{\int_a^b} f. ТакожU(P,f) \leq M(b-a) має на увазі\overline{\int_a^b} f \leq M(b-a).

Ключовим моментом цієї пропозиції є середня нерівність у [intulbound:eq]. P_1, P_2Дозволяти бути розділами[a,b]. Визначте\widetilde{P} := P_1 \cup P_2. Набір\widetilde{P} являє собою перегородку з[a,b]. Крім того,\widetilde{P} це уточненняP_1 і це також доопрацюванняP_2. До насL(P_1,f) \leq L(\widetilde{P},f) іU(\widetilde{P},f) \leq U(P_2,f). Склавши все це разом ми маємоL(P_1,f) \leq L(\widetilde{P},f) \leq U(\widetilde{P},f) \leq U(P_2,f) . Іншими словами, для двох довільних розділівP_1 і уP_2 нас єL(P_1,f) \leq U(P_2,f). Тепер згадаємо. Беручи supremum і infimum над усіма розділами ми отримуємо\sup \{ L(P,f) : \text{$P$ a partition of $[a,b]$} \} \leq \inf \{ U(P,f) : \text{$P$ a partition of $[a,b]$} \} . Іншими словами\underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f.

Інтеграл Рімана

Ми можемо нарешті визначити інтеграл Рімана. Однак інтеграл Рімана визначається лише на певному класі функцій, званих інтегровними функціями Рімана.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмежена функція така, що\underline{\int_a^b} f(x)~dx = \overline{\int_a^b} f(x)~dx . Тоді кажуть,f що Riemann інтегрується. Безліч інтегровних функцій Рімана на[a,b] позначається значенням{\mathcal{R}}[a,b]. Колиf \in {\mathcal{R}}[a,b] ми визначаємо\int_a^b f(x)~dx := \underline{\int_a^b} f(x)~dx = \overline{\int_a^b} f(x)~dx . Як і раніше, ми часто просто\int_a^b f := \int_a^b f(x)~dx. пишемо Число\int_a^b f називається інтегралом Ріманаf, або іноді просто інтеграломf.

За визначенням будь-яка інтегровна функція Рімана обмежена. Звертаючись до нас, ми негайно отримуємо наступну пропозицію.

[intbound:prop]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути інтегровною функцією Рімана. Нехайm, M \in {\mathbb{R}} буде таким, щоm \leq f(x) \leq M для всіхx \in [a,b]. Тодіm(b-a) \leq \int_a^b f \leq M(b-a) .

Часто ми використовуємо більш слабку форму цього судження. Тобто якщо\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq M для всіхx \in [a,b], то\left\lvert {\int_a^b f} \right\rvert \leq M(b-a) .

Ми інтегруємо постійні функції за допомогою. Якщоf(x) := c для якоїсь постійноїc, то беремоm = M = c. У нерівності [intulbound:eq] всі нерівності повинні бути рівностями. Такимf чином, інтегрується на[a,b] і\int_a^b f = c(b-a).

Нехайf \colon [0,2] \to {\mathbb{R}} буде визначеноf(x) := \begin{cases} 1 & \text{ if $x < 1$,}\\ \nicefrac{1}{2} & \text{ if $x = 1$,}\\ 0 & \text{ if $x > 1$.} \end{cases} Ми стверджуємоf, що Riemann інтегрується і\int_0^2 f = 1.

Доказ: Дозвольте0 < \epsilon < 1 бути довільним. P := \{0, 1-\epsilon, 1+\epsilon, 2\}Дозволяти бути перегородкою. Використовується позначення з визначення сум Дарбу. Тоді\begin{aligned} m_1 &= \inf \{ f(x) : x \in [0,1-\epsilon] \} = 1 , & M_1 &= \sup \{ f(x) : x \in [0,1-\epsilon] \} = 1 , \\ m_2 &= \inf \{ f(x) : x \in [1-\epsilon,1+\epsilon] \} = 0 , & M_2 &= \sup \{ f(x) : x \in [1-\epsilon,1+\epsilon] \} = 1 , \\ m_3 &= \inf \{ f(x) : x \in [1+\epsilon,2] \} = 0 , & M_3 &= \sup \{ f(x) : x \in [1+\epsilon,2] \} = 0 .\end{aligned} Крім того,\Delta x_1 = 1-\epsilon,\Delta x_2 = 2\epsilon і\Delta x_3 = 1-\epsilon. Ми обчислюємо\begin{aligned} & L(P,f) = \sum_{i=1}^3 m_i \Delta x_i = 1 \cdot (1-\epsilon) + 0 \cdot 2\epsilon + 0 \cdot (1-\epsilon) = 1-\epsilon , \\ & U(P,f) = \sum_{i=1}^3 M_i \Delta x_i = 1 \cdot (1-\epsilon) + 1 \cdot 2\epsilon + 0 \cdot (1-\epsilon) = 1+\epsilon .\end{aligned} таким чином,\overline{\int_0^2} f - \underline{\int_0^2} f \leq U(P,f) - L(P,f) = (1+\epsilon) - (1-\epsilon) = 2 \epsilon . За ми маємо\underline{\int_0^2} f \leq \overline{\int_0^2} f. Як\epsilon було довільно ми бачимо\overline{\int_0^2} f = \underline{\int_0^2} f. Так самоf Riemann інтегрується. Нарешті,1-\epsilon = L(P,f) \leq \int_0^2 f \leq U(P,f) = 1+\epsilon. Отже,\bigl\lvert \int_0^2 f - 1 \bigr\rvert \leq \epsilon. Як\epsilon було довільно, у нас є\int_0^2 f = 1.

Можливо, варто витягти частину техніки прикладу в пропозицію.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмеженою функцією. Тоді Riemannf інтегрується, якщо для кожного\epsilon > 0, існуєP такий розділ, щоU(P,f) - L(P,f) < \epsilon .

Якщо для кожного\epsilon > 0,P існує у нас є:0 \leq \overline{\int_a^b} f - \underline{\int_a^b} f \leq U(P,f) - L(P,f) < \epsilon . Отже\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f, іf інтегрується.

Давайте покажемо\frac{1}{1+x} це інтегрується[0,b] для будь-якогоb > 0. Пізніше ми побачимо, що всі безперервні функції інтегруються, але давайте продемонструємо, як ми це робимо безпосередньо.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Беремоn \in {\mathbb{N}} і підбираємоx_j := \nicefrac{jb}{n}, щоб сформуватиP := \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \} перегородку[0,b]. У нас є\Delta x_j = \nicefrac{b}{n} для всіхj. Якf і зменшення, для будь-якого субінтервалу[x_{j-1},x_j] ми отримуємоm_j = \inf \left\{ \frac{1}{1+x} : x \in [x_{j-1},x_j] \right\} = \frac{1}{1+x_j} , \qquad M_j = \sup \left\{ \frac{1}{1+x} : x \in [x_{j-1},x_j] \right\} = \frac{1}{1+x_{j-1}} . Тоді ми маємо\begin{gathered} U(P,f)-L(P,f) = \sum_{j=1}^n \Delta x_j (M_j-m_j) = \\ = \frac{b}{n} \sum_{j=1}^n \left( \frac{1}{1+\nicefrac{(j-1)b}{n}} - \frac{1}{1+\nicefrac{jb}{n}} \right) = \frac{b}{n} \left( \frac{1}{1+\nicefrac{0b}{n}} - \frac{1}{1+\nicefrac{nb}{n}} \right) = \frac{b^2}{n(b+1)} .\end{gathered} Сума телескопів, терміни послідовно скасовують один одного, те, що ми бачили раніше. Вибірn бути таким, що\frac{b^2}{n(b+1)} < \epsilon пропозиція задовольняється, а функція інтегрується.

Більше позначень

Колиf \colon S \to {\mathbb{R}} визначається на більшій множиніS і[a,b] \subset S, ми говоримо, що Riemannf інтегрується на,[a,b] якщо обмеженняf до[a,b] є інтегрується Riemann. У цьому випадку ми говоримоf \in {\mathcal{R}}[a,b], і пишемо,\int_a^b f щоб мати на увазі інтеграл Рімана обмеженняf до[a,b].

Корисно визначити інтеграл\int_a^b f навіть якщоa \not< b. Припустимоf \in {\mathcal{R}}[b,a],b < a а потім визначити\int_a^b f := - \int_b^a f . Для будь-якої функціїf ми визначаємо\int_a^a f := 0 .

Часом зміннаx може вже мати якесь інше значення. Коли нам потрібно записати змінну інтеграції, ми можемо просто використовувати іншу букву. Наприклад,\int_a^b f(s)~ds := \int_a^b f(x)~dx .

Вправи

f \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатисяf(x) := x^3 і нехайP := \{ 0, 0.1, 0.4, 1 \}. ОбчислитиL(P,f) іU(P,f).

Дозвольтеf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} визначитися зf(x) := x. Покажіть, щоf \in {\mathcal{R}}[0,1] і обчислюйте,\int_0^1 f використовуючи визначення інтеграла (але сміливо використовуйте пропозиції цього розділу).

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмеженою функцією. Припустимо, існує послідовність\{ P_k \} розділів[a,b] таких, що\lim_{k \to \infty} \bigl( U(P_k,f) - L(P_k,f) \bigr) = 0 . Показати,f що Riemann інтегрується і що\int_a^b f = \lim_{k \to \infty} U(P_k,f) = \lim_{k \to \infty} L(P_k,f) .

Закінчіть доказ.

Припустимо,f \colon [-1,1] \to {\mathbb{R}} визначається якf(x) := \begin{cases} 1 & \text{ if $x > 0$,} \\ 0 & \text{ if $x \leq 0$.} \end{cases} Доведіть, щоf \in {\mathcal{R}}[-1,1] і обчислити\int_{-1}^1 f за допомогою визначення інтеграла (але сміливо використовуйте пропозиції цього розділу).

Нехайc \in (a,b) і нехайd \in {\mathbb{R}}. Визначтеf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} якf(x) := \begin{cases} d & \text{ if $x = c$,} \\ 0 & \text{ if $x \not= c$.} \end{cases} Доведіть, щоf \in {\mathcal{R}}[a,b] і обчислити,\int_a^b f використовуючи визначення інтеграла (але не соромтеся використовувати пропозиції цього розділу).

[Вправа: taggedpartition] Припустимоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}, що Riemann інтегрується. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Потім показати, що існує розділP = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} такий, що якщо ми вибираємо будь-який набір чисел\{ c_1, c_2, \ldots, c_n \} зc_k \in [x_{k-1},x_k] для всіхk, то\left\lvert {\int_a^b f - \sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta x_k} \right\rvert < \epsilon .

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти інтегровну функцію Рімана. Нехай\alpha > 0 і\beta \in {\mathbb{R}}. Потім визначтеg(x) := f(\alpha x + \beta) на інтерваліI = [\frac{a-\beta}{\alpha}, \frac{b-\beta}{\alpha}]. Покажіть,g що Riemann інтегрується наI.

Припустимоf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} іg \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} такі, що для всіх уx \in (0,1] нас єf(x) = g(x). Припустимоf, що Riemann інтегрується. Доведітьg, що Riemann інтегрується і\int_{0}^1 f = \int_{0}^1 g.

f \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмеженою функцією. P_n = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \}Дозволяти бути рівномірною перегородкою[0,1], тобтоx_j := \nicefrac{j}{n}. \{ L(P_n,f) \}_{n=1}^\inftyЗавжди одноманітно? Так/Ні: Доведіть або знайдіть контрприклад.

Для обмеженої функціїf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} letR_n := (\nicefrac{1}{n})\sum_{j=1}^n f(\nicefrac{j}{n}) (рівномірне правило правої руки). a) Якщоf є інтегровним показу Рімана\int_0^1 f = \lim \, R_n. b) Знайдіть об'єктf, який не є інтегровним Ріманом, але\lim \, R_n існує.

[Вправа: riemannintdarboux] Узагальнити попередню вправу. Показати, щоf \in {\mathcal{R}}[a,b] якщо і тільки якщо існуєI \in {\mathbb{R}}, такий, що для кожного\epsilon > 0 існує\delta > 0 такий, що якщоP є розділ з\Delta x_i < \delta для всіхi, то\left\lvert {L(P,f) - I} \right\rvert < \epsilon і\left\lvert {U(P,f) - I} \right\rvert < \epsilon. Якщоf \in {\mathcal{R}}[a,b], тоI = \int_a^b f.

[Вправа: riemannintdarboux2] Використання та ідея доказу в, показати, що інтеграл Дарбу такий же, як стандартне визначення інтеграла Рімана, яке ви, швидше за все, бачили в численні. Тобто показати, щоf \in {\mathcal{R}}[a,b] якщо і тільки якщо існує такийI \in {\mathbb{R}}, що для кожного\epsilon > 0 існує\delta > 0 такий що якщоP = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \} є розділ з\Delta x_i < \delta для всіхi, то\left\lvert {\sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i - I} \right\rvert < \epsilon для будь-якого набору\{ c_1,c_2,\ldots,c_n \} сc_i \in [x_{i-1},x_i]. Якщоf \in {\mathcal{R}}[a,b], тоI = \int_a^b f.

Знайдіть приклад функцій,f \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} які інтегруються Рімана, іg \colon [0,1] \to [0,1] які є один до одного і на, таким чином, щобf \circ g композиція не була інтегровною Рімана.

властивості інтеграла

Примітка: 2 лекції, інтегровність функцій з розривами можна сміливо пропускати

Аддиктивність

Наступний результат, який ми доводимо, зазвичай називають адитивною властивістю інтеграла. Спочатку доведено властивість адитивності для нижнього та верхнього інтегралів Дарбу.

[lemma:darbouxadd] Припустимоf \colon [a,c] \to {\mathbb{R}}, щоa < b < c і є обмеженою функцією. Потім\underline{\int_a^c} f = \underline{\int_a^b} f + \underline{\int_b^c} f і\overline{\int_a^c} f = \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_b^c} f .

Якщо у нас єP_1 = \{ x_0,x_1,\ldots,x_k \} розділи[a,b] іP_2 = \{ x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n \} з[b,c], то набірP := P_1 \cup P_2 = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} є розділом[a,c]. Потім,L(P,f) = \sum_{j=1}^n m_j \Delta x_j = \sum_{j=1}^k m_j \Delta x_j + \sum_{j=k+1}^n m_j \Delta x_j = L(P_1,f) + L(P_2,f) . коли ми беремо supremum правої сторони над усімаP_1 іP_2, ми приймаємо supremum лівої сторони над усіма розділамиP[a,c], що містятьb. ЯкщоQ є якась перегородка[a,c] іP = Q \cup \{ b \}, тоP йде доопрацюванняQ і такL(Q,f) \leq L(P,f). Тому, приймаючи супремум лише над тимP, що містять,b достатньо, щоб знайти супремумL(P,f) над усіма розділамиP, див. Нарешті нагадаємо, щоб обчислити\begin{split} \underline{\int_a^c} f & = \sup \{ L(P,f) : \text{$P$ a partition of $[a,c]$} \} \\ & = \sup \{ L(P,f) : \text{$P$ a partition of $[a,c]$, $b \in P$} \} \\ & = \sup \{ L(P_1,f) + L(P_2,f) : \text{$P_1$ a partition of $[a,b]$, $P_2$ a partition of $[b,c]$} \} \\ & = \sup \{ L(P_1,f) : \text{$P_1$ a partition of $[a,b]$} \} + \sup \{ L(P_2,f) : \text{$P_2$ a partition of $[b,c]$} \} \\ &= \underline{\int_a^b} f + \underline{\int_b^c} f . \end{split}

АналогічноPP_1, для, іP_2 як вище миU(P,f) = \sum_{j=1}^n M_j \Delta x_j = \sum_{j=1}^k M_j \Delta x_j + \sum_{j=k+1}^n M_j \Delta x_j = U(P_1,f) + U(P_2,f) . отримуємо Ми хочемо взяти infimum праворуч над усімаP_2,P_1 і тому ми приймаємо infimum над усіма розділамиP[a,c], що містятьb. ЯкщоQ є якась перегородка[a,c] іP = Q \cup \{ b \}, тоP йде доопрацюванняQ і такU(Q,f) \geq U(P,f). Тому беручи інфімум лише над тимP, що містять,b достатньо, щоб знайти інфімумU(P,f) для всіхP. Отримуємо\overline{\int_a^c} f = \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_b^c} f . \qedhere

Нехайa < b < c. f \colon [a,c] \to {\mathbb{R}}Функція Riemann інтегрується тоді і тільки тоді, коли Riemannf інтегрується на[a,b] і[b,c]. Якщоf Riemann інтегрується, то\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f .

Припустимоf \in {\mathcal{R}}[a,c], тоді\overline{\int_a^c} f = \underline{\int_a^c} f = \int_a^c f. Ми застосовуємо лему, щоб отримати\int_a^c f = \underline{\int_a^c} f = \underline{\int_a^b} f + \underline{\int_b^c} f \leq \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_b^c} f = \overline{\int_a^c} f = \int_a^c f . Таким чином, нерівність - це рівність і\underline{\int_a^b} f + \underline{\int_b^c} f = \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_b^c} f . Як ми також знаємо\underline{\int_b^c} f \leq \overline{\int_b^c} f,\underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f і ми робимо висновок\underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f \qquad \text{and} \qquad \underline{\int_b^c} f = \overline{\int_b^c} f . Таким чином, Ріманf інтегрується на[a,b][b,c] і бажана формула тримається.

Тепер припустимо, що обмеженняf до[a,b] і до Riemann[b,c] інтегруються. Ми знову застосовуємо лему, щоб отримати\underline{\int_a^c} f = \underline{\int_a^b} f + \underline{\int_b^c} f = \int_a^b f + \int_b^c f = \overline{\int_a^b} f + \overline{\int_b^c} f = \overline{\int_a^c} f . Тому Riemannf інтегрується[a,c], і інтеграл обчислюється, як зазначено.

Легким наслідком адитивності є наступний наслідок. Деталі залишаємо читачеві як вправу.

[intsubcor] Якщоf \in {\mathcal{R}}[a,b] і[c,d] \subset [a,b], то обмеженняf|_{[c,d]} знаходиться в{\mathcal{R}}[c,d].

Лінійність і монотонність

Нехайf іg бути в{\mathcal{R}}[a,b] і\alpha \in {\mathbb{R}}.

  1. \alpha fзнаходиться в{\mathcal{R}}[a,b] і\int_a^b \alpha f(x) ~dx = \alpha \int_a^b f(x) ~dx .
  2. f+gзнаходиться в{\mathcal{R}}[a,b] і\int_a^b \bigl( f(x)+g(x) \bigr) ~dx = \int_a^b f(x) ~dx + \int_a^b g(x) ~dx .

Доведемо перший пункт. Спочатку припустимо\alpha \geq 0. PДозволяти бути перегородкою[a,b]. Нехайm_i := \inf \{ f(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} як завжди. Оскільки\alpha є ненегативним, ми можемо перемістити множення\alpha повз інфімум,\inf \{ \alpha f(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} = \alpha \inf \{ f(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} = \alpha m_i . ТомуL(P,\alpha f) = \sum_{i=1}^n \alpha m_i \Delta_i = \alpha \sum_{i=1}^n m_i \Delta_i = \alpha L(P,f). аналогічноU(P,\alpha f) = \alpha U(P,f) . знову, як\alpha \geq 0 ми можемо рухатися множення\alpha повз супремум. Отже,\begin{split} \underline{\int_a^b} \alpha f(x)~dx & = \sup \{ L(P,\alpha f) : \text{$P$ a partition of $[a,b]$} \} \\ & = \sup \{ \alpha L(P,f) : \text{$P$ a partition of $[a,b]$} \} \\ & = \alpha \sup \{ L(P,f) : \text{$P$ a partition of $[a,b]$} \} \\ & = \alpha \underline{\int_a^b} f(x)~dx . \end{split} Аналогічно ми\overline{\int_a^b} \alpha f(x)~dx = \alpha \overline{\int_a^b} f(x)~dx . показуємо Висновок тепер випливає\alpha \geq 0.

Щоб закінчити доказ першого пункту, нам потрібно показати, що Riemann-f інтегрується і\int_a^b - f(x)~dx = - \int_a^b f(x)~dx. Доказ цього факту залишають як вправу.

Доказ другого пункту в пропозиції також залишають як вправу. Це не так тривіально, як може здатися на перший погляд.

Слід зазначити, що другий пункт у пропозиції не дотримується рівності для інтегралів Дарбу. Для довільних обмежених функційf миg отримуємо тільки%\overline{\int_a^b} \bigl(f(x)+g(x)\bigr)~dx \leq %\overline{\int_a^b}f(x)~dx+\overline{\int_a^b}g(x)~dx \overline{\int_a^b} (f+g) \leq \overline{\int_a^b}f+\overline{\int_a^b}g , \qquad \text{and} \qquad \underline{\int_a^b} (f+g) \geq \underline{\int_a^b}f+\underline{\int_a^b}g %\underline{\int_a^b} \bigl(f(x)+g(x)\bigr)~dx \geq %\underline{\int_a^b}f(x)~dx+\underline{\int_a^b}g(x)~dx . Див.

Нехайf іg бути{\mathcal{R}}[a,b] і нехайf(x) \leq g(x) для всіхx \in [a,b]. Тоді\int_a^b f \leq \int_a^b g .

P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}Дозволяти бути перегородкою[a,b]. Тоді нехайm_i := \inf \{ f(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} \qquad \text{and} \qquad \widetilde{m}_i := \inf \{ g(x) : x \in [x_{i-1},x_i] \} . Asf(x) \leq g(x), тоm_i \leq \widetilde{m}_i. ТомуL(P,f) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n \widetilde{m}_i \Delta x_i = L(P,g) . ми приймаємо супремум над усімаP (див.), щоб отримати\underline{\int_a^b} f \leq \underline{\int_a^b} g . Asf іg інтегруються Riemann, висновок випливає.

Безперервні функції

Покажемо, що неперервні функції інтегруються Рімана. Насправді ми покажемо, що можемо навіть допустити деякі розриви. Починаємо з функції безперервної на весь замкнутий інтервал[a,b].

[lemma:contint] Якщоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} є безперервною функцією, тоf \in {\mathcal{R}}[a,b].

Оскількиf безперервна на замкнутому обмеженому інтервалі, вона рівномірно безперервна. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Знайдіть\delta > 0 таке, що\left\lvert {x-y} \right\rvert < \delta має на увазі\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{b-a}.

НехайP = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} буде перегородка[a,b] така, що\Delta x_i < \delta для всіхi = 1,2, \ldots, n. Наприклад, візьмемоn таке, що\frac{b-a}{n} < \delta і нехайx_i := \frac{i}{n}(b-a) + a. Тоді для всіх уx, y \in [x_{i-1},x_i] насf є\left\lvert {x-y} \right\rvert \leq \Delta x_i < \delta і такf(x)-f(y) \leq \left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{b-a} . Як безперервно[x_{i-1},x_i], він досягає максимуму і мінімуму на цьому інтервалі. xДозволяти точка, деf досягає максимуму іy бути точкою, деf досягає мінімуму. Потімf(x) = M_i іf(y) = m_i в позначенні з визначення інтеграла. Тому,M_i-m_i = f(x)-f(y) < \frac{\epsilon}{b-a} . І так\begin{split} \overline{\int_a^b} f - \underline{\int_a^b} f & \leq U(P,f) - L(P,f) \\ & = \left( \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \right) - \left( \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \right) \\ & = \sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \Delta x_i \\ & < \frac{\epsilon}{b-a} \sum_{i=1}^n \Delta x_i \\ & = \frac{\epsilon}{b-a} (b-a) = \epsilon . \end{split} як\epsilon > 0 було довільним,\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f , іf є Riemann інтегрується на[a,b].

Друга лема говорить, що нам потрібно, щоб функція була лише «інтегровною Рімана всередині інтервалу», доки вона обмежена. Він також розповідає нам, як обчислити інтеграл.

[lemma:boundedimpriemann] Дозвольтеf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} бути обмеженою функцією, яка є інтегровною Рімана[a',b'] для всіхa',b' таких, щоa < a' < b' < b. Потімf \in {\mathcal{R}}[a,b]. Крім того, якщоa < a_n < b_n < b такі, що\lim \, a_n = a і\lim \, b_n = b, то\int_a^b f = \lim_{n \to \infty} \int_{a_n}^{b_n} f .

M > 0Дозволяти бути дійсне число таке, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq M. Виберіть дві послідовності чисел,a < a_n < b_n < b такі, що\lim\, a_n = a і\lim\, b_n = b. ПриміткаM > 0 і(b-a) \geq (b_n-a_n). -M(b-a) \leq -M(b_n-a_n) \leq \int_{a_n}^{b_n} f \leq M(b_n-a_n) \leq M(b-a) .Таким чином, послідовність чисел\{ \int_{a_n}^{b_n} f \}_{n=1}^\infty обмежена і має збіжну підпослідовність, індексовану поn_k. LНазвемо межу підпослідовності\{ \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f \}_{k=1}^\infty.

говорить, що нижній і верхній інтеграл є адитивними, і гіпотеза говорить, щоf інтегрується на[a_{n_k},b_{n_k}]. Тому\underline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^{a_{n_k}}} f + \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f + \underline{\int_{b_{n_k}}^b} f \geq -M(a_{n_k}-a) + \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f - M(b-b_{n_k}) . беремо межу, якk йде\infty на правій стороні,\underline{\int_a^b} f \geq -M\cdot 0 + L - M\cdot 0 = L .

Далі ми використовуємо адитивність верхнього інтеграла,\overline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^{a_{n_k}}} f + \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f + \overline{\int_{b_{n_k}}^b} f \leq M(a_{n_k}-a) + \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f + M(b-b_{n_k}) . беремо ту саму підпослідовність\{ \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f \}_{k=1}^\infty і беремо межу для отримання\overline{\int_a^b} f \leq M\cdot 0 + L + M\cdot 0 = L . Таким чином\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f = L і, отже,f є Riemann інтегровним і\int_a^b f = L. Зокрема, незалежно від того, з яких послідовностей\{ a_n \} і\{b_n\} ми починали і яку підпослідовність ми вибрали,L це одне і те ж число.

Для доведення остаточного твердження леми використовуємо. Ми показали, що кожна збіжна підпослідовність\{ \int_{a_{n_k}}^{b_{n_k}} f \} сходиться доL = \int_a^b f. Тому послідовність\{ \int_{a_n}^{b_n} f \} сходиться і сходиться доL.

Ми говоримо, що функціяf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} має скінченно багато розривів, якщо існує скінченна множинаS := \{ x_1, x_2, \ldots, x_n \} \subset [a,b], іf є безперервним у всіх точках[a,b] \setminus S.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмеженою функцією з скінченно великою кількістю розривів. Потімf \in {\mathcal{R}}[a,b].

Ділимо інтервал на скінченно багато інтервалів,[a_i,b_i] щобf був безперервним на внутрішньому просторі(a_i,b_i). Якщоf безперервно(a_i,b_i) увімкнено, то він безперервний і, отже, інтегрується[c_i,d_i] будь-колиa_i < c_i < d_i < b_i. За обмеженнямf до[a_i,b_i] інтегрується. За адитивності інтеграл (і)f інтегрується на об'єднання інтервалів.

Іноді зручно (або необхідно) змінити певні значення функції, а потім інтегрувати. Наступний результат говорить про те, що якщо ми змінюємо значення тільки в скінченно багатьох точках, інтеграл не змінюється.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Нехай Riemann інтегрується. g \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти функція така, щоf(x) = g(x) для всіхx \in [a,b] \setminus S,S де скінченна множина. Тодіg є інтегровна функція Рімана і\int_a^b g = \int_a^b f.

Використовуючи адитивність інтеграла, ми[a,b] розділимо інтервал на менші проміжки, такі, щоf(x) = g(x) тримає для всіх,x крім кінцевих точок (деталі залишаються читачеві).

Тому без втрати спільності припускаємоf(x) = g(x) для всіхx \in (a,b). Доказ слідує за, і залишається як вправа.

Вправи

Нехайf буде в{\mathcal{R}}[a,b]. Доведіть, що-f знаходиться в{\mathcal{R}}[a,b] і\int_a^b - f(x) ~dx = - \int_a^b f(x) ~dx .

Нехайf іg бути в{\mathcal{R}}[a,b]. Доведіть, щоf+g знаходиться в{\mathcal{R}}[a,b] і\int_a^b \bigl( f(x)+g(x) \bigr) ~dx = \int_a^b f(x) ~dx + \int_a^b g(x) ~dx . підказка: Використовуйте, щоб знайти один розділ,P такий, щоU(P,f)-L(P,f) < \nicefrac{\epsilon}{2} іU(P,g)-L(P,g) < \nicefrac{\epsilon}{2}.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Нехай Riemann інтегрується. g \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти функція така, щоf(x) = g(x) для всіхx \in (a,b). Доведіть,g що Riemann інтегрується і що\int_a^b g = \int_a^b f.

Доведіть теорему про середнє значення для інтегралів. Тобто довести, що якщоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} суцільний, то існуєc \in [a,b] таке, що\int_a^b f = f(c)(b-a).

Якщоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} це безперервна функція така, щоf(x) \geq 0 для всіхx \in [a,b] і\int_a^b f = 0. Доведіть, щоf(x) = 0 для всіхx.

Якщоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} є безперервною функцією для всіхx \in [a,b] і\int_a^b f = 0. Доведіть, що існуєc \in [a,b] таке, щоf(c) = 0 (Порівняйте з попередньою вправою).

Якщоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} іg \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} є безперервними функціями такі, що\int_a^b f = \int_a^b g. Потім покажіть, що існуєc \in [a,b] таке, щоf(c) = g(c).

Нехайf \in {\mathcal{R}}[a,b]. \alpha, \beta, \gammaДозволяти довільні числа в[a,b] (не обов'язково впорядковані в будь-якому випадку). Доведіть\int_\alpha^\gamma f = \int_\alpha^\beta f + \int_\beta^\gamma f . Згадайте, що\int_a^b f означає, якщоb \leq a.

Доведіть.

[Вправа: easyabsint] Припустимо,f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} обмежений і має скінченно багато розривів. Показати, що як функціяx виразу\left\lvert {f(x)} \right\rvert обмежена скінченно багатьма розривами і, таким чином, є інтегровним Рімана. Тоді показуйте\left\lvert {\int_a^b f(x)~dx} \right\rvert \leq \int_a^b \left\lvert {f(x)} \right\rvert~dx .

Показати, що функція Thomae або попкорн (див.) інтегрується Рімана. Тому існує функція, розривна на всіх раціональних числах (щільна множина), яка є інтегровною Рімана.

Зокрема, визначитиf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} поf(x) := \begin{cases} \nicefrac{1}{k} & \text{ if $x=\nicefrac{m}{k}$ where $m,k \in {\mathbb{N}}$ and $m$ and $k$ have no common divisors,} \\ 0 & \text{ if $x$ is irrational}. \end{cases} Show\int_0^1 f = 0.

ЯкщоI \subset {\mathbb{R}} обмежений інтервал, то функція\varphi_I(x) := \begin{cases} 1 & \text{if $x \in I$,} \\ 0 & \text{otherwise,} \end{cases} називається елементарною кроковою функцією.

IДозволяти бути довільним обмеженим інтервалом (слід розглянути всі типи інтервалів: замкнуті, відкритіa < b, напіввідкриті) і, потім використовуючи тільки визначення інтеграла показати, що елементарна ступінчаста функція\varphi_I інтегрується на[a,b], і знайти інтеграл черезa, b, і кінцеві точкиI.

Коли функціяf може бути записана якf(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \varphi_{I_k} (x) для деяких дійсних чисел, так\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n і деяких обмежених інтервалівI_1,I_2,\ldots,I_n, тоf називається step-функція.

Використовуючи попередню вправу, покажіть, що функція step інтегрується на будь-якому інтервалі[a,b]. Крім того, знайти інтеграл з точки зоруab, кінцеві точкиI_k і\alpha_k.

[Вправа: обмежена варіація інтегрується] Дозвольтеf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} збільшуватиму. а) Показати, що Ріманаf інтегрується. Підказка: Використовуйте рівномірний розділ; кожен підінтервал однакової довжини. b) Скористайтеся частиною a, щоб показати, що спадна функція інтегрується в Ріман. c) Припустимо,h = f-g деf іg збільшуються функції[a,b]. Показати,h що Riemann інтегрується 22.

[Вправа: hardabsint] Припустимоf \in {\mathcal{R}}[a,b], тоді функція, яка береx на себе, також\left\lvert {f(x)} \right\rvert інтегрується Рімана[a,b]. Потім покажіть ту ж нерівність, що і.

[Вправа: upperlowerlinineq] Припустимо, щоf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} іg \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} обмежені. а) Показати\overline{\int_a^b} (f+g) \leq \overline{\int_a^b}f+\overline{\int_a^b}g і\underline{\int_a^b} (f+g) \geq \underline{\int_a^b}f+\underline{\int_a^b}g. б) Знайти прикладf іg де нерівність сувора. Підказка:f і неg слід інтегрувати Riemann.

Фундаментальна теорема числення

Примітка: 1,5 лекції

У цьому розділі ми обговорюємо і доводимо фундаментальну теорему числення. Цілісність інтегрального числення будується на цій теоремі, ерго ім'я. Теорема пов'язує, здавалося б, не пов'язані між собою поняття інтеграла і похідної. Він розповідає нам, як обчислити антипохідну функції за допомогою інтеграла і навпаки.

Перша форма теореми

F \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти безперервна функція, диференційована на(a,b). Нехайf \in {\mathcal{R}}[a,b] буде такий, щоf(x) = F'(x) дляx \in (a,b). Тоді\int_a^b f = F(b)-F(a) .

Неважко узагальнити теорему, щоб дозволити кінцеву кількість точок,[a,b] деF не диференційовна, доки вона є безперервною. Це узагальнення залишають як вправу.

P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}Дозволяти бути перегородкою[a,b]. Для кожного інтервалу використовуйте[x_{i-1},x_i], щоб знайтиc_i \in (x_{i-1},x_i) такий, щоf(c_i) \Delta x_i = F'(c_i) (x_i - x_{i-1}) = F(x_i) - F(x_{i-1}) . Використовуючи позначення з визначення інтеграла, ми маємоm_i \leq f(c_i) \leq M_i і так миm_i \Delta x_i \leq F(x_i) - F(x_{i-1}) \leq M_i \Delta x_i . підсумовуємо,i = 1,2, \ldots, n щоб отримати\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n \bigl(F(x_i) - F(x_{i-1}) \bigr) \leq \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i . В середній сумі всі терміни, крім першого і останнього скасувати, і ми в кінцевому підсумку з F(x_n)-F(x_0) = F(b)-F(a). Суми зліва і справа - це нижня і верхня сума відповідно. Отже,L(P,f) \leq F(b)-F(a) \leq U(P,f) . ми приймаємо супремумL(P,f) над усім,P і ліва нерівність дає\underline{\int_a^b} f \leq F(b)-F(a) . Аналогічно, беручи infimumU(P,f) над усіма розділамиP даєF(b)-F(a) \leq \overline{\int_a^b} f . Якf інтегрується Ріман, ми маємо\int_a^b f = \underline{\int_a^b} f \leq F(b)-F(a) \leq \overline{\int_a^b} f = \int_a^b f . Нерівності повинні бути рівноправностями. і ми закінчили.

Теорема використовується для обчислення інтегралів. Припустимо, ми знаємо, що функціяf(x) є похідною від якоїсь іншої функціїF(x), тоді ми можемо знайти явний вираз for\int_a^b f.

Припустимо, ми намагаємося обчислити\int_0^1 x^2 ~dx . Ми помічаємоx^2 є похідною від\frac{x^3}{3}. Ми використовуємо фундаментальну теорему для запису\int_0^1 x^2 ~dx = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.

Друга форма теореми

Друга форма фундаментальної теореми дає нам спосіб розв'язання диференціального рівнянняF'(x) = f(x), деf відома функція, і ми намагаємося знайти рівнянняF, яке задовольняє рівнянню.

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти інтегровну функцію Рімана. ВизначитиF(x) := \int_a^x f . по-першеF, безперервно на[a,b]. По-друге, якщоf безперервний приc \in [a,b], тоF диференційований приc іF'(c) = f(c).

Якf обмежено, єM > 0 таке, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq M для всіхx \in [a,b]. Припустимо,x,y \in [a,b] сx > y. Тоді\left\lvert {F(x)-F(y)} \right\rvert = \left\lvert {\int_a^x f - \int_a^y f} \right\rvert = \left\lvert {\int_y^x f} \right\rvert \leq M\left\lvert {x-y} \right\rvert . за симетрією те ж саме має, якщоx < y. Так самоF Ліпшиц безперервний і, отже, безперервний.

Теперf припустимо, безперервно вc. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Нехай\delta > 0 буде таким, що дляx \in [a,b]\left\lvert {x-c} \right\rvert < \delta має на увазі\left\lvert {f(x)-f(c)} \right\rvert < \epsilon. Зокрема, для такихx ми маємоf(c)-\epsilon \leq f(x) \leq f(c) + \epsilon. Таким чиномx > c, якщо, то\bigl(f(c)-\epsilon\bigr) (x-c) \leq \int_c^x f \leq \bigl(f(c) + \epsilon\bigr)(x-c). колиc > x, то нерівності змінюються. Тому, припускаючи, щоc \not= x ми\frac{F(x)-F(c)}{x-c} = \frac{\int_a^{x} f - \int_a^{c} f}{x-c} = \frac{\int_c^{x} f}{x-c} , отримуємоf(c)-\epsilon \leq \frac{\int_c^{x} f}{x-c} \leq f(c)+\epsilon . Як у нас є\left\lvert {\frac{F(x)-F(c)}{x-c} - f(c)} \right\rvert \leq \epsilon . Результат випливає. Читачеві залишається зрозуміти, чому це нормально, що ми просто маємо несувору нерівність.

Звичайно, якщо безперервноf увімкнено[a,b], то він автоматично інтегрується Riemann,F диференційований на всіх[a,b] іF'(x) = f(x) для всіхx \in [a,b].

Друга форма фундаментальної теореми числення все ще тримається, якщо ми дозволимоd \in [a,b] і визначаємоF(x) := \int_d^x f . Тобто, ми можемо використовувати будь-яку точку в[a,b] якості нашої базової точки. Доказ залишають як вправу.

Давайте розглянемо, що може зробити простий розрив. Візьмітьf(x) := -1 якщоx < 0, іf(x) := 1 якщоx \geq 0. НехайF(x) := \int_0^x f. Це неважко помітитиF(x) = \left\lvert {x} \right\rvert. Зверніть увагу, щоf є переривчастим в0 іF не диференціюється в0. Однак зворотного не тримає. Давайте зробимо ще один швидкий приклад. Нехайg(x) := 0 якщоx \not= 0, іg(0) = 1. ДопускаючиG(x) := \int_0^x g, ми знаходимо, щоG(x) = 0 для всіхx. Такg є0 переривчастим в, алеG'(0) існує і дорівнює 0.

Поширене непорозуміння інтеграла для студентів обчислення полягає в тому, щоб думати про інтеграли, рішення яких не може бути дано в закритій формі як якимось дефіцитним. Це не так. Більшість інтегралів, які ми записуємо, не піддаються обчисленню в закритій формі. Навіть деякі інтеграли, які ми розглядаємо в закритому вигляді, насправді не такі. Наприклад, як комп'ютер знаходить значення\ln x? Один із способів зробити це - зазначити, що ми визначаємо природний журнал як антипохідне\nicefrac{1}{x} такого, що\ln 1 = 0. Тому,\ln x := \int_1^x \nicefrac{1}{s}~ds . Тоді ми можемо чисельно наблизити інтеграл. Морально ми насправді не «спрощували»\int_1^x \nicefrac{1}{s}~ds, записуючи\ln x. Ми просто дали інтегралу ім'я. Якщо нам потрібні числові відповіді, можливо, ми в кінцевому підсумку робимо обчислення, наближаючи інтеграл в будь-якому випадку.

Ще однією загальною функцією, визначеною інтегралом, яку неможливо оцінити символічно, є функція erf, визначена як\operatorname{erf}(x) := \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-s^2} ~ds . Ця функція часто виникає в прикладній математиці. Це просто антидериватив\left(\nicefrac{2}{\sqrt{\pi}}\right) e^{-x^2} того, що дорівнює нулю при нулі. Друга форма фундаментальної теореми говорить нам про те, що ми можемо записати функцію як інтеграл. Якщо ми хочемо обчислити будь-яке конкретне значення, ми чисельно наближаємо інтеграл.

Зміна змінних

Теорема, яка часто використовується в численні для розв'язання інтегралів, - це зміна теореми змінних. Доведемо це зараз. Нагадаємо, функція безперервно диференційовна, якщо вона диференційовна, а похідна є безперервною.

g \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервно диференційованою функцією. Якщоg([a,b]) \subset [c,d] іf \colon [c,d] \to {\mathbb{R}} є безперервним, то\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)~ dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(s)~ ds .

Якgg', іf є безперервними, ми знаємо, щоf\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) це безперервна функція на[a,b], тому це інтегрується Riemann.

ВизначитиF(y) := \int_{g(a)}^{y} f(s)~ds . За другою формою фундаментальної теореми числення (використовуючи нижче)F є диференційовна функція іF'(y) = f(y). Застосовуємо правило ланцюга і\bigl( F \circ g \bigr)' (x) = F'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) = f\bigl(g(x)\bigr) g'(x) . пишемоF\bigl(g(a)\bigr) = 0 Зауважимо, що і використовуємо першу форму фундаментальної теореми для отримання\int_{g(a)}^{g(b)} f(s)~ds = F\bigl(g(b)\bigr) = F\bigl(g(b)\bigr)-F\bigl(g(a)\bigr) = \int_a^b \bigl( F \circ g \bigr)' (x) ~dx = \int_a^b f\bigl(g(x)\bigr) g'(x) ~dx . %FIXME \qedhere

Теорема про зміну змінних часто використовується для розв'язання інтегралів шляхом зміни їх на інтеграли, які ми знаємо або які ми можемо вирішити за допомогою фундаментальної теореми числення.

З вправи ми знаємо, що похідна від\sin(x) є\cos(x). Тому вирішуємо\int_0^{\sqrt{\pi}} x \cos(x^2) ~ dx = \int_0^\pi \frac{\cos(s)}{2} ~ ds = \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(s) ~ ds = \frac{ \sin(\pi) - \sin(0) }{2} = 0 .

Однак будьте обережні, що ми повинні задовольняти гіпотези теореми. Наступний приклад демонструє, чому ми не повинні просто бездумно переміщати символи. Ми повинні бути обережними, що ці символи дійсно мають сенс.

Припустимо, ми записуємо\int_{-1}^{1} \frac{\ln \left\lvert {x} \right\rvert}{x} ~dx . Це може бути спокусливо взятиg(x) := \ln \left\lvert {x} \right\rvert. Тоді візьмітьg'(x) = \frac{1}{x} і спробуйте написати\int_{g(-1)}^{g(1)} s ~ds = \int_{0}^{0} s ~ds = 0. Це «рішення» невірно, і це не говорить про те, що ми можемо вирішити даний інтеграл. Перша проблема полягає в тому, що не\frac{\ln \left\lvert {x} \right\rvert}{x} є безперервним[-1,1]. По-друге,\frac{\ln \left\lvert {x} \right\rvert}{x} це навіть не інтегрується Riemann[-1,1] (він необмежений). Інтеграл, який ми записали, просто не має сенсу. Нарешті, неg є безперервним[-1,1] ні на одному.

Вправи

Обчислити\displaystyle \frac{d}{dx} \biggl( \int_{-x}^x e^{s^2}~ds \biggr).

Обчислити\displaystyle \frac{d}{dx} \biggl( \int_{0}^{x^2} \sin(s^2)~ds \biggr).

Припустимо,F \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} є безперервним і[a,b] \setminus S диференційованим на, деS є скінченна множина. Припустимо, існуєf \in {\mathcal{R}}[a,b] таке, щоf(x) = F'(x) дляx \in [a,b] \setminus S. Покажіть, що\int_a^b f = F(b)-F(a).

[secondftc:вправа]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервною функцією. c \in [a,b]Дозволяти бути довільним. ВизначтеF(x) := \int_c^x f . Доведіть, щоF є диференційованим і щоF'(x) = f(x) для всіхx \in [a,b].

Доведіть інтеграцію частинами. Тобто припустимоF і постійноG диференційовані функції на[a,b]. Тоді доведіть\int_a^b F(x)G'(x)~dx = F(b)G(b)-F(a)G(a) - \int_a^b F'(x)G(x)~dx .

ПрипустимоF іG знаходяться безперервно 23 диференційовні функції, визначені на[a,b] такі, щоF'(x) = G'(x) для всіхx \in [a,b]. Використовуючи фундаментальну теорему числення, показують, щоF іG відрізняються константою. Тобто показати, що існуєC \in {\mathbb{R}} таке, щоF(x)-G(x) = C.

Наступна вправа показує, як ми можемо використовувати інтеграл, щоб «згладити» недиференційовану функцію.

[Вправа: згладжування]f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути безперервною функцією. Нехай\epsilon > 0 буде постійною. Дляx \in [a+\epsilon,b-\epsilon], визначтеg(x) := \frac{1}{2\epsilon} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f . а) Покажіть,g що диференційовно, і знайдіть похідну.
б)f Дозволяти диференціюватися і фіксуватиx \in (a,b) (нехай\epsilon буде досить маленьким). Що відбувається з тимg'(x), як\epsilon стає менше?
в) Знайтиg дляf(x) := \left\lvert {x} \right\rvert,\epsilon = 1 (можна припустити[a,b] досить великий).

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Припустимо, безперервно і\int_a^x f = \int_x^b f для всіхx \in [a,b]. Покажіть, щоf(x) = 0 для всіхx \in [a,b].

f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}Припустимо, безперервний і\int_a^x f = 0 для всіх раціональнийx в[a,b]. Покажіть, щоf(x) = 0 для всіхx \in [a,b].

Функціяf є непарною функцією iff(x) = -f(-x), іf є парною функцією iff(x) = f(-x). Нехайa > 0. Припустимоf, що є безперервним. Доведіть: а) Якщоf непарне, то\int_{-a}^a f = 0. б) Якщоf парне, то\int_{-a}^a f = 2 \int_0^a f.

а) Показати, щоf(x) := \sin(\nicefrac{1}{x}) інтегрується на будь-якому інтервалі (ви можетеf(0) визначити, що завгодно). б) Обчислення\int_{-1}^1 \sin(\nicefrac{1}{x})\,dx. (Майте на увазі розрив)

§ 6] а) Припустимо,f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} що збільшується, по,f є інтегрується Riemann. Припустимо,f має розрив приc \in (a,b), показати,F(x) := \int_a^x f що не диференціюється приc.
б) В, Ви побудували зростаючу функціюf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}, яка переривається на кожномуx \in [0,1] \cap {\mathbb{Q}}. Скористайтеся цим,f щоб побудувати функціюF(x), яка є безперервною[0,1], але не диференційованою на кожномуx \in [0,1] \cap {\mathbb{Q}}.

Логарифм і експоненціальна

Примітка: 1 лекція (необов'язково, вимагає необов'язкових розділів,,)

Тепер у нас є все, що потрібно, щоб нарешті правильно визначити експоненціальний і логарифм, який ви знаєте з числення так добре. Спочатку нагадаємо, що ми маємо гарне уявлення про те, щоx^n означає до тих пір, якn це натуральне число. Просто, маєx^n := \underbrace{x \cdot x \cdot \cdots \cdot x}_{\text{$n$ times}} . сенс визначитисяx^0 := 1. Для від'ємних цілих чисел ми визначаємоx^{-n} := \nicefrac{1}{x^n}. Якщоx > 0 ми вже згадували раніше,x^{1/n} то визначається як унікальний позитивнийn той корінь. Нарешті\nicefrac{n}{m}, для будь-якого раціонального числа ми визначаємоx^{n/m} := {\bigl(x^{1/m}\bigr)}^n . Однак, що ми маємо на увазі під\sqrt{2}^{\sqrt{2}}? Абоx^y взагалі? Зокрема, щоe^x для всіхx? І як ми вирішуємоy=e^x дляx? Цей розділ відповідає на ці питання та багато іншого.

Логарифм

Зручно починати з логарифма. Давайте покажемо, що унікальна функція з правильними властивостями існує, і тільки після цього ми будемо називати її логарифмом.

Існує унікальна функціяL \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}} така, що

  1. [it:log:i]L(1) = 0.
  2. [it:log:ii]L є диференційованим іL'(x) = \nicefrac{1}{x}.
  3. [it:log:iii]L суворо збільшується, двооб'єктивний, і\lim_{x\to 0} L(x) = -\infty , \qquad \text{and} \qquad \lim_{x\to \infty} L(x) = \infty .
  4. [it:log:iv]L(xy) = L(x)+L(y) для всіхx,y \in (0,\infty).
  5. [it:log:v] Якщоq є раціональним числом іx > 0, тоL(x^q) = q L(x).

Щоб довести існування, давайте визначимо кандидата і покажемо, що він задовольняє всім властивостям. ВизначтеL(x) := \int_1^x \frac{1}{t}~dt .

Очевидно, що [it:log:i] тримає. Властивість [it:log:ii] проходить через фундаментальну теорему числення.

Щоб довести властивість [it:log:iv], ми змінюємо змінніu=yt для отриманняL(x) = \int_1^{x} \frac{1}{t}~dt = \int_y^{xy} \frac{1}{u}~du = \int_1^{xy} \frac{1}{u}~du - \int_1^{y} \frac{1}{u}~du = L(xy)-L(y) .

Властивість [it:log:ii] разом з тим, щоL'(x) = \nicefrac{1}{x} > 0 дляx > 0, має на увазі,L що суворо збільшується і, отже, один до одного. Давайте покажемоL це на. Як\nicefrac{1}{t} \geq \nicefrac{1}{2} колиt \in [1,2],L(2) = \int_1^2 \frac{1}{t} ~dt \geq \nicefrac{1}{2} . За індукцією, [it:log:iv] означаєy > 0, що дляn \in {\mathbb{N}}L(2^n) = L(2) + L(2) + \cdots + L(2) = n L(2) . даного будь-якого, за дійсними числами (повідомленняL(2) > 0), існуєn \in {\mathbb{N}} таке, щоL(2^n) > y. До того єx_1 \in (1,2^n) таке, щоL(x_1) = y. Отримуємо(0,\infty) саме в образіL. ЯкL збільшується,L(x) > y для всіхx > 2^n, так і\lim_{x\to\infty} L(x) = \infty . далі0 = L(\nicefrac{x}{x}) = L(x) + L(\nicefrac{1}{x}), і такL(x) = - L(\nicefrac{1}{x}). Використовуючиx=2^{-n}, ми отримуємо, як зазначено вище, щоL досягає всіх негативних чисел. І\lim_{x \to 0} L(x) = \lim_{x \to 0} -L(\nicefrac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} -L(x) = - \infty . в межах зверніть увагу, що тількиx > 0 знаходяться в доменіL.

Давайте тепер доведемо [it:log:v]. Як вище, [it:log:iv] означає, щоn \in {\mathbb{N}} ми маємоL(x^n) = n L(x). Ми вже бачили, щоL(x) = - L(\nicefrac{1}{x}) такL(x^{-n}) = - L(x^n) = -n L(x). Тоді дляm \in {\mathbb{N}}L(x) = L\Bigl({(x^{1/m})}^m\Bigr) = m L(x^{1/m}) . Складання все разом дляn \in {\mathbb{Z}} і уm \in {\mathbb{N}} нас єL(x^{n/m}) = n L(x^{1/m}) = (\nicefrac{n}{m}) L(x).

Нарешті, для унікальності скористаємося властивостями [it:log:i] і [it:log:ii]. Через фундаментальну теорему численняL(x) = \int_1^x \frac{1}{t}~dt є унікальна функція така, щоL(1) = 0 іL'(x) = \nicefrac{1}{x}.

Довівши, що існує унікальна функція з цими властивостями, ми просто визначаємо логарифм або іноді його називають натуральним логарифмом:\ln(x) := L(x) . Часто математики пишуть\log(x) замість того\ln(x), що більш звично студентам обчислення.

Експоненціальна

Так само, як і з логарифмом, ми визначаємо експоненціальну за допомогою списку властивостей.

Існує унікальна функціяE \colon {\mathbb{R}}\to (0,\infty) така, що

  1. [it:exp:i]E(0) = 1.
  2. [it:exp:ii]E диференційований іE'(x) = E(x).
  3. [it:exp:iii]E суворо збільшується, двооб'єктивний, і\lim_{x\to -\infty} E(x) = 0 , \qquad \text{and} \qquad \lim_{x\to \infty} E(x) = \infty .
  4. [it:exp:iv]E(x+y) = E(x)E(y) для всіхx,y \in {\mathbb{R}}.
  5. [it:exp:v] Якщоq \in {\mathbb{Q}}, тоE(qx) = {E(x)}^q.

Знову ж таки, доведемо існування такої функції шляхом визначення кандидата, і доведемо, що вона задовольняє всім властивостям. LВизначене вище є оборотним. EДозволяти бути зворотна функціяL. Властивість [it:exp:i] є негайним.

Властивість [it:exp:ii] випливає за допомогою теореми зворотної функції, зокрема:L задовольняє всі гіпотези леми, а отжеE'(x) = \frac{1}{L'\bigl(E(x)\bigr)} = E(x) .

Давайте подивимося на властивість [it:exp:iii]. Функція строгоE збільшується, так якE(x) > 0 іE'(x) = E(x) > 0. Як іE зворотнеL, він також повинен бути двооб'єктивним. Щоб знайти межі, ми використовуємо те,E що суворо збільшується і на(0,\infty). Для кожногоM > 0 знайдетьсяx_0 таке, щоE(x_0) = M іE(x) \geq M для всіхx \geq x_0. Аналогічно для кожного\epsilon > 0, єx_0 таке, щоE(x_0) = \epsilon іE(x) < \epsilon для всіхx < x_0. Тому\lim_{n\to -\infty} E(x) = 0 , \qquad \text{and} \qquad \lim_{n\to \infty} E(x) = \infty .

Для доведення властивості [it:exp:iv] ми використовуємо відповідну властивість логарифма. Візьмітьx, y \in {\mathbb{R}}. ЯкL є двооб'єктивним, знайдітьa іb таке, щоx = L(a) іy = L(b). ТодіE(x+y) = E\bigl(L(a)+L(b)\bigr) = E\bigl(L(ab)\bigr) = ab = E(x)E(y) .

Властивість [it:exp:v] також випливає з відповідної властивостіL. Даноx \in {\mathbb{R}}, нехайa буде таке, щоx = L(a) іE(qx) = E\bigl(qL(a)\bigr) E\bigl(L(a^q)\bigr) = a^q = {E(x)}^q .

Нарешті, унікальність випливає з [it:exp:i] і [it:exp:ii]. FДозволятиE і бути двома функціями, що задовольняють [it:exp:i] і [it:exp:ii]. \frac{d}{dx} \Bigl( F(x)E(-x) \Bigr) = F'(x)E(-x) - E'(-x)F(x) = F(x)E(-x) - E(-x)F(x) = 0 .Тому по,F(x)E(-x) = F(0)E(-0) = 1 для всіхx \in {\mathbb{R}}. Роблячи обчислення сF = E, отримуємоE(x)E(-x) = 1. Тоді0 = 1-1 = F(x)E(-x) - E(x)E(-x) = \bigl(F(x)-E(x)\bigr) E(-x) . з тих пірE(x)E(-x) = 1, тоE(-x) \not= 0 для всіхx. ТакF(x)-E(x) = 0 для всіхx, і ми зробили.

ДовівшиE унікальність, ми визначаємо експоненціальну функцію як\exp(x) := E(x) .

Тепер ми можемо мати сенс підведення до степеняx^y для довільних чисел, колиx > 0. Спочатку припустимоy \in {\mathbb{Q}}. Тодіx^y = \exp\bigl(\ln(x^y)\bigr) = \exp\bigl(y\ln(x)\bigr) . Тому, колиx > 0 іy є ірраціональним, давайте визначимоx^y := \exp\bigl(y\ln(x)\bigr) . Як\exp безперервно, тоx^y є безперервною функцієюy. Таким чином, ми б отримали той самий результат, якби ми взяли послідовність раціональних чисел, що\{ y_n \} наближаютьсяy і визначеніx^y = \lim\, x^{y_n}.

Визначте числоe якe := \exp(1) . Число інодіe називають номером Ейлера або основою натурального логарифма. Миe^x = \exp\bigl(x \ln(e) \bigr) = \exp(x) . помічаємо Ми виправдали позначенняe^x для\exp(x).

Нарешті, розширимо властивості логарифма та експоненціального до ірраціональних степеней. Доказ є негайним.

Нехайx, y \in {\mathbb{R}}.

  1. \exp(xy) = {\bigl(\exp(x)\bigr)}^y.
  2. Якщоx > 0 тоді\ln(x^y) = y \ln (x).

Вправи

yДозволяти бути будь-яке дійсне число іb > 0. Визначтеf \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}} іg \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} як,f(x) := x^y іg(x) := b^x. Покажіть, щоf іg диференційовні і знайдіть їх похідну.

Нехайb > 0 дадуть.
а) Показати, що для кожногоy > 0, існує унікальний номерx такий, щоy = b^x. Визначте основу логарифмаb,\log_b \colon (0,\infty) \to {\mathbb{R}}, по\log_b(y) := x.
б) Покажіть, що\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}.
в) Доведіть, що якщоc > 0, то\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}.
г) Довести\log_b(xy) = \log_b(x)+\log_b(y), і\log_b(x^y) = y \log_b(x).

§ 3] Використовуйте для вивчення терміну, що залишився і показати, що для всіхx \in {\mathbb{R}}e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} . Підказка: Не диференціюйте термін серії за терміном (якщо ви не доведете, що це працює).

Скористайтеся формулою геометричної суми, щоб показати (fort\not= -1)\[1-t+t^2-\cdots+{(-1)}^n t^n = \frac{1}{1+t} - \frac

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[32]/p[4]/span[2]/span, line 1, column 5
{1+t}.\] Використовуючи цей факт show\ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}x^n}{n} for allx \in (-1,1] (зверніть увагу,x=1 що включено). Нарешті, знайдіть межу змінного гармонійного ряду\[\sum_{n=1}^\infty \frac
ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[32]/p[4]/span[6]/span, line 1, column 5
{n} = 1 - \nicefrac{1}{2} + \nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{4} + \cdots % = \ln 2 .\]

Показатиe^x = \lim_{n\to\infty} {\left( 1 + \frac{x}{n} \right)}^n . підказку: візьміть логарифм.
Примітка: Вираз{\left( 1 + \frac{x}{n} \right)}^n виникає в складних процентних розрахунках. Це сума грошей на банківському рахунку через 1 рік, якщо 1 долар був внесений спочатку під відсотки,x а відсоткиn посилювалися раз протягом року. Томуe^x є результатом безперервного компаундування.

а) Доведіть, що дляn \in {\mathbb{N}} нас є\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k} \leq \ln (n) \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} .
б) Доведіть, що межа\gamma := \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln (n) \right) існує. Ця константа відома як постійна Ейлера-Машероні 24. Невідомо, раціональна ця константа чи ні, це приблизно\gamma \approx 0.5772.

Показати\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 .

Показати, щоe^x є опуклим, іншими словами, показати, що якщоa \leq x \leq b тодіe^x \leq e^a \frac{b-x}{b-a} + e^b \frac{x-a}{b-a}.

За допомогою логарифма знайти%\lim_{n\to\infty} {\left( 1 + \nicefrac{1}{n} \right)}^n = e . \lim_{n\to\infty} n^{1/n} .

Показати, щоE(x) = e^x це унікальна безперервна функція така, щоE(x+y) = E(x)E(y) іE(1) = e. Аналогічно довести, щоL(x) = \ln(x) це унікальна неперервна функція, визначена на позитивнихx таких, щоL(xy) = L(x)+L(y) іL(e) = 1.

неправильні інтеграли

Примітка: 2—3 лекції (необов'язковий розділ, можна безпечно пропустити, вимагає необов'язкового)

Часто доводиться інтегрувати по всій реальній лінії, або нескінченний інтервал форми[a,\infty) або(\infty,b]. Крім того, ми можемо інтегрувати функції, визначені на скінченному інтервалі,(a,b) але не обмежені. Такі функції не інтегруються Riemann, але ми можемо захотіти записати інтеграл в будь-якому випадку в дусі. Ці інтеграли називаються неправильними інтегралами і є межами інтегралів, а не самих інтегралів.

Припустимо,f \colon [a,b) \to {\mathbb{R}} це функція (не обов'язково обмежена), яка є інтегрується Рімана[a,c] для всіхc < b. Визначаємо,\int_a^b f := \lim_{c \to b^-} \int_a^{c} f , чи існує ліміт.

Припустимо, функціяf \colon [a,\infty) \to {\mathbb{R}} така,f що Riemann інтегрується[a,c] для всіхc < \infty. Визначаємо,\int_a^\infty f := \lim_{c \to \infty} \int_a^c f , чи існує ліміт.

Якщо межа існує, ми говоримо, що неправильний інтеграл сходиться. Якщо межі не існує, ми говоримо, що неправильний інтеграл розходиться.

Аналогічно визначаємо неправильні інтеграли для лівої кінцевої точки, залишаємо це читачеві.

Для кінцевої кінцевої точкиb, використовуючи ми бачимо, що якщоf обмежений, то ми не визначили нічого нового. Нове полягає в тому, що ми можемо застосувати це визначення до необмежених функцій. Наступний набір прикладів настільки корисний, що ми висловлюємо його як пропозицію.

[imprieman:ptest] Неправильний інтеграл\int_1^\infty \frac{1}{x^p} ~dx сходиться до\frac{1}{p-1} ifp > 1 і розходиться if0 < p \leq 1.

Неправильний інтеграл\int_0^1 \frac{1}{x^p} ~dx сходиться до\frac{1}{1-p} if0 < p < 1 і розходиться якщоp \geq 1.

Доказ випливає із застосування фундаментальної теореми числення. Давайте зробимо доказp > 1 для нескінченної правої кінцевої точки, а решту залишимо читачеві. Підказка: Ви повинні оброблятиp=1 окремо.

Припустимоp > 1. Тоді\int_1^b \frac{1}{x^p} ~dx = \int_1^b x^{-p} ~dx = \frac{b^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1^{-p+1}}{-p+1} = - \frac{1}{(p-1)b^{p-1}} + \frac{1}{p-1} . якp > 1, тоp-1 > 0. Беручи межу, якb \to \infty ми отримуємо, що\frac{1}{b^{p-1}} йде до 0, і результат випливає.

Ми констатуємо наступну пропозицію тільки для одного типу неправильного інтеграла, хоча доказ прямо вперед і те ж саме для інших типів неправильних інтегралів.

[Improprieman:tail]f \colon [a,\infty) \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути функцією, яка інтегрується Рімана[a,b] для всіхb > a. Враховуючи будь-якийb > a,\int_b^\infty f сходиться тоді і тільки тоді,\int_a^\infty f коли сходиться, і в цьому випадку\int_a^\infty f = \int_a^b f + \int_b^\infty f .

Нехайc > b. Тоді\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f . Взяття межіc \to \infty закінчує доказ.

З ненегативними функціями легше працювати, як демонструє наступна пропозиція. Вправи покажуть, що ця пропозиція тримається тільки для ненегативних функцій. Аналоги цієї пропозиції існують для всіх інших видів неправильних обмежень залишаються за учнем.

[imposprieman:possimp] Припустимо,f \colon [a,\infty) \to {\mathbb{R}} є невід'ємним (f(x) \geq 0для всіхx) і таким, що Riemannf інтегрується[a,b] для всіхb > a.

  1. \int_a^\infty f = \sup \left\{ \int_a^x f : x \geq a \right\} .
  2. Припустимо,\{ x_n \} це послідовність с\lim\, x_n = \infty. Потім\int_a^\infty f сходиться, якщо і тільки якщо\lim\, \int_a^{x_n} f існує, і в цьому випадку\int_a^\infty f = \lim_{n\to\infty} \int_a^{x_n} f .

У першому пункті ми допускаємо значення\infty в супремумі, що вказує на те, що інтеграл розходиться до нескінченності.

Почнемо з першого пункту. Зверніть увагу,f що як ненегативний, то\int_a^x f збільшується як функціяx. Якщо супремум нескінченний, то для кожногоM \in {\mathbb{R}} ми знаходимоN таке, що\int_a^N f \geq M. Як\int_a^x f збільшується тоді\int_a^x f \geq M для всіхx \geq N. Так\int_a^\infty f розходиться до нескінченності.

Далі припустимо, що супремум кінцевий, скажімоA = \sup \left\{ \int_a^x f : x \geq a \right\}. Для кожного\epsilon > 0 ми знаходимоN таке, щоA - \int_a^N f < \epsilon. Як\int_a^x f збільшується, тоA - \int_a^x f < \epsilon для всіхx \geq N і значить\int_a^\infty f сходиться доA.

Давайте розглянемо другий пункт. Якщо\int_a^\infty f сходиться, то працює кожна послідовність,\{ x_n \} що йде до нескінченності. Хитрість полягає в тому, щоб довести інший напрямок. Припустимо,\{ x_n \} таке, що\lim\, x_n = \infty і\lim_{n\to\infty} \int_a^{x_n} f = A сходиться. Враховуючи\epsilon > 0, підбираємоN такі, що для всіх уn \geq N нас єA - \epsilon < \int_a^{x_n} f < A + \epsilon. Тому\int_a^x f що збільшується як функціяx, ми маємо, що для всіхx \geq x_NA - \epsilon < \int_a^{x_N} \leq \int_a^x f . Як\{ x_n \} йде\infty, то для будь-якого даногоx, єx_m таке, щоm \geq N іx \leq x_m. Тоді\int_a^{x} f \leq \int_a^{x_m} f < A + \epsilon . Зокрема, для всіх уx \geq x_N нас є\left\lvert {\int_a^{x} f - A} \right\rvert < \epsilon.

Нехайf \colon [a,\infty) \to {\mathbb{R}} іg \colon [a,\infty) \to {\mathbb{R}} бути функціями, які Riemann інтегруються[a,b] для всіхb > a. Припустимо, що для всіх уx \geq a нас є\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq g(x) .

  1. Якщо\int_a^\infty g сходиться, то\int_a^\infty f сходиться, причому в цьому випадку\left\lvert {\int_a^\infty f} \right\rvert \leq \int_a^\infty g.
  2. Якщо\int_a^\infty f розходиться, то\int_a^\infty g розходиться.

Почнемо з першого пункту. Для будь-якогоb іc, такогоa \leq b \leq c, що, у нас-g(x) \leq f(x) \leq g(x), і так\int_b^c -g \leq \int_b^c f \leq \int_b^c g . Іншими словами,\left\lvert {\int_b^c f} \right\rvert \leq \int_b^c g.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тому що у нас є\int_a^\infty g = \int_a^b g + \int_b^\infty g . As\int_a^b g йде до\int_a^\infty g якb йде до нескінченності, потім\int_b^\infty g йде до 0, якb йде до нескінченності. ВибирайтеB\int_B^\infty g < \epsilon . такі, щоg As є ненегативнимиB \leq b < c, то якщо, то\int_b^c g < \epsilon також. \{ x_n \}Дозволяти послідовність йде до нескінченності. НехайM буде таким, щоx_n \geq B для всіхn \geq M. Візьмітьn, m \geq M, зx_n \leq x_m,\left\lvert {\int_a^{x_m} f - \int_a^{x_n} f} \right\rvert = \left\lvert {\int_{x_n}^{x_m} f} \right\rvert \leq \int_{x_n}^{x_m} g < \epsilon . Тому\{ \int_a^{x_n} f \}_{n=1}^\infty послідовність Коші і, отже, сходиться.

Потрібно показати, що ліміт унікальний. Припустимо,\{ x_n \} це послідовність, що сходиться до нескінченності така, що\{ \int_a^{x_n} f \} сходиться доL_1, і\{ y_n \} являє собою послідовність, що сходиться до нескінченності така, що\{ \int_a^{y_n} f \} сходиться доL_2. Тоді повинні бутиn такі, що\left\lvert {\int_a^{x_n} f - L_1} \right\rvert < \epsilon і\left\lvert {\int_a^{y_n} f - L_2} \right\rvert < \epsilon. Ми також можемо припуститиx_n \geq B іy_n \geq B. Тоді\left\lvert {L_1 - L_2} \right\rvert \leq \left\lvert {L_1 - \int_a^{x_n} f} \right\rvert + \left\lvert {\int_a^{x_n} f- \int_a^{y_n} f} \right\rvert + \left\lvert {\int_a^{y_n} f - L_2} \right\rvert < \epsilon + \left\lvert {\int_{x_n}^{y_n} f} \right\rvert + \epsilon < 3 \epsilon. як\epsilon > 0 було довільнимL_1 = L_2, а значить і\int_a^\infty f сходиться. Вище ми показали, що\left\lvert {\int_a^c f} \right\rvert \leq \int_a^c g для всіхc > a. Взявши лімітc \to \infty, перший пункт доведений.

Другий пункт - це просто контрапозитив першого пункту.

Неправильний інтеграл\int_0^\infty \frac{\sin(x^2)(x+2)}{x^3+1} ~dx сходиться.

Доказ: Спочатку спостерігаємо, що нам просто потрібно показати, що інтеграл сходиться при переході від 1 до нескінченності. Боx \geq 1 ми отримаємо\left\lvert {\frac{\sin(x^2)(x+2)}{x^3+1}} \right\rvert \leq \frac{x+2}{x^3+1} \leq \frac{x+2}{x^3} \leq \frac{x+2x}{x^3} \leq \frac{3}{x^2} . Тоді3 \int_1^\infty \frac{1}{x^2}~dx = \lim_{c\to\infty} \int_1^c \frac{3}{x^2} ~dx. Так інтеграл сходиться.

Слід бути обережним, виконуючи формальні маніпуляції з неправильними інтегралами. Наприклад,\int_2^\infty \frac{2}{x^2-1}~dx сходиться через тест порівняння знову використовуючи\frac{1}{x^2}. Однак якщо ви піддаєтеся спокусі написати\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} і спробувати інтегрувати кожну частину окремо, у вас нічого не вийде. Неправда, що ви можете розділити неправильний інтеграл на дві частини; ви не можете розділити ліміт. \begin{split} \int_2^\infty \frac{2}{x^2-1} ~dx &= \lim_{b\to \infty} \int_2^b \frac{2}{x^2-1} ~dx \\ &= \lim_{b\to \infty} \left( \int_2^b \frac{1}{x-1}~dx - \int_2^b \frac{1}{x+1}~dx \right) \\ &\not= \int_2^\infty \frac{1}{x-1}~dx - \int_2^\infty \frac{1}{x+1}~dx . \end{split}Останній рядок в обчисленні навіть не має сенсу. Обидва інтеграли там розходяться до нескінченності, оскільки ми можемо застосувати порівняльний тест відповідним чином з\nicefrac{1}{x}. Отримуємо\infty - \infty.

Тепер давайте припустимо, що нам потрібно взяти обмеження в обох кінцевих точках.

Припустимо,f \colon (a,b) \to {\mathbb{R}} це функція, яка є Riemann інтегрується[c,d] для всіхc,d такийa < c < d < b, що, то ми визначаємо,\int_a^b f := \lim_{c \to a^+} \, \lim_{d \to b^-} \, \int_{c}^{d} f , чи існують межі.

Припустимо,f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} така функція, якаf є інтегровною Рімана на всіх скінченних інтервалах[a,b]. Потім визначаємо,\int_{-\infty}^\infty f := \lim_{c \to -\infty} \, \lim_{d \to \infty} \, \int_c^d f , чи існують межі.

Аналогічно ми визначаємо неправильні інтеграли з однією нескінченною та однією кінцевою невідповідною кінцевою точкою, ми залишаємо це читачеві.

Потрібно завжди бути обережним щодо подвійних обмежень. Визначення, наведене вище, говорить про те, що ми спочатку беремо ліміт, якd йдеb або\infty для фіксованогоc, а потім беремо ліміт вc. Доведеться довести, що в цьому випадку не має значення, яку межу ми обчислимо в першу чергу.

Давайте подивимося приклад:\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2} ~ dx = \lim_{a \to -\infty} \, \lim_{b \to \infty} \, \int_{a}^b \frac{1}{1+x^2} ~ dx = \lim_{a \to -\infty} \, \lim_{b \to \infty} \bigl( \arctan(b) - \arctan(a) \bigr) = \pi .

У визначенні порядок лімітів завжди можна перемикати, якщо вони існують. Доведемо цей факт лише для нескінченних меж.

Iff \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} є функцією, що інтегрується на кожному інтервалі. Тоді\lim_{a \to -\infty} \, \lim_{b \to \infty} \, \int_a^b f \quad \text{converges if and only if} \qquad \lim_{b \to \infty} \, \lim_{a \to -\infty} \, \int_a^b f \quad \text{converges,} в цьому випадку два вирази рівні. Якщо будь-який з виразів сходиться, то неправильний інтеграл сходиться і\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a f = \int_{-\infty}^\infty f .

Без втрати спільності припускаютьa < 0 іb > 0. Припустимо, сходиться перший вираз. Тоді\begin{split} \lim_{a \to -\infty} \, \lim_{b \to \infty} \, \int_a^b f & = \lim_{a \to -\infty} \, \lim_{b \to \infty} \left( \int_a^0 f + \int_0^b f \right) = \left( \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 f \right) + \left( \lim_{b \to \infty} \int_0^b f \right) \\ & = \lim_{b \to \infty} \left( \left( \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 f \right) + \int_0^b f \right) = \lim_{b \to \infty} \, \lim_{a \to -\infty} \left( \int_a^0 f + \int_0^b f \right) . \end{split} подібне обчислення показує інший напрямок. Тому, якщо будь-який вираз сходиться, то неправильний інтеграл сходиться і\begin{split} \int_{-\infty}^\infty f = \lim_{a \to -\infty} \, \lim_{b \to \infty} \, \int_a^b f & = \left( \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 f \right) + \left( \lim_{b \to \infty} \int_0^b f \right) \\ & = \left( \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^0 f \right) + \left( \lim_{a \to \infty} \int_0^a f \right) = \lim_{a \to \infty} \left( \int_{-a}^0 f + \int_0^a f \right) = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a f . \end{split}

З іншого боку, ви повинні бути обережними, щоб самостійно взяти межі, перш ніж знати конвергенцію. Нехайf(x) = \frac{x}{\left\lvert {x} \right\rvert} дляx \not= 0 іf(0) = 0. Якщоa < 0 іb > 0, то\int_{a}^b f = \int_{a}^0 f + \int_{0}^b f = a+b . для будь-якогоa < 0 фіксованого межа якb \to \infty нескінченна, тому навіть першої межі не існує, а значить і неправильний інтеграл\int_{-\infty}^\infty f не сходиться. З іншого бокуa > 0, якщо, то\int_{-a}^{a} f = (-a)+a = 0 . Тому,\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^{a} f = 0 .

Прикладом, який слід пам'ятати для неправильних інтегралів, є так звана функція sinc 25. Ця функція виникає досить часто як в чистій, так і в прикладній математиці. Визначте\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{if $x \not= 0$} , \\ 0 & \text{if $x = 0$} . \end{cases}

Неважко показати, що функція sinc безперервна при нулі, але це зараз не важливо. Важливим є те, що\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(x) ~dx = \pi , \qquad \text{while} \qquad \int_{-\infty}^\infty \left\lvert {\operatorname{sinc}(x)} \right\rvert ~dx = \infty . інтеграл функції sinc є безперервним аналогом змінного гармонійного ряду\sum \nicefrac{{(-1)}^n}{n}, тоді як абсолютне значення схоже на регулярний гармонічний ряд\sum \nicefrac{1}{n}. Зокрема, той факт, що інтеграл сходиться, потрібно робити безпосередньо, а не використовувати тест порівняння.

Перше твердження доводити точно не будемо. Доведемо просто, що інтеграл функції sinc сходиться, але про точну межу турбуватися не будемо. Тому що\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin(x)}{x}, досить показати, що\int_{2\pi}^\infty \frac{\sin(x)}{x}~dx сходиться. Ми також уникаємоx=0 цього способу, щоб спростити наше життя.

Для будь-якогоn \in {\mathbb{N}}, у нас є, що дляx \in [\pi 2n, \pi (2n+1)]\frac{\sin(x)}{\pi (2n+1)} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{\sin(x)}{\pi 2n} , як\sin(x) \geq 0. Наx \in [\pi (2n+1), \pi (2n+2)]\frac{\sin(x)}{\pi (2n+1)} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{\sin(x)}{\pi (2n+2)} , як\sin(x) \leq 0.

Через фундаментальну теорему числення,\frac{2}{\pi (2n+1)} = \int_{\pi 2n}^{\pi (2n+1)} \frac{\sin(x)}{\pi (2n+1)} ~dx \leq \int_{\pi 2n}^{\pi (2n+1)} \frac{\sin(x)}{x} ~dx \leq \int_{\pi 2n}^{\pi (2n+1)} \frac{\sin(x)}{\pi 2n} ~dx = \frac{1}{\pi n} . Аналогічно\frac{-2}{\pi (2n+1)} \leq \int_{\pi (2n+1)}^{\pi (2n+2)} \frac{\sin(x)}{x} ~dx \leq \frac{-1}{\pi (n+1)} . Поклавши два разом ми маємо0 = \frac{2}{\pi (2n+1)} - \frac{2}{\pi (2n+1)} + \leq \int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} \frac{\sin(x)}{x} ~dx \leq \frac{1}{\pi n} - \frac{1}{\pi (n+1)} = \frac{1}{\pi n(n+1)} .M > 2\pi Дозволяти бути довільним, і нехайk \in {\mathbb{N}} бути найбільшим цілим таким, що2k\pi \leq M. Тоді\int_{2\pi}^M \frac{\sin(x)}{x}~dx = \int_{2\pi}^{2k\pi} \frac{\sin(x)}{x} ~dx + \int_{2k\pi}^{M} \frac{\sin(x)}{x} ~dx . Бо уx \in [2k\pi,M] нас є\frac{-1}{2k\pi} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{2k\pi}, і так\left\lvert {\int_{2k\pi}^{M} \frac{\sin(x)}{x} ~dx } \right\rvert \leq \frac{M-2k\pi}{2k\pi} \leq \frac{1}{k} . якk є найбільшимk таким2k\pi \leq M, що цей термін йде до нуля, якM йде до нескінченності.

Далі0 \leq \int_{2\pi}^{2k\pi} \frac{\sin(x)}{x} \leq \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{\pi n(n+1)} , і цей ряд сходиться якk \to \infty.

Склавши два твердження разом, ми отримуємо\int_{2\pi}^\infty \frac{\sin(x)}{x} ~dx \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi n(n+1)} < \infty .

Двосторонній інтеграл sinc також існує, як зазначено вище. Ми залишаємо інше твердження - що інтеграл абсолютного значення функції sinc розходиться - як вправа.

Інтегральний тест для серії

Це може бути дуже корисно застосувати фундаментальну теорему числення для доведення ряду підсумовується і оцінити його суму.

Припустимо,f \colon [k,\infty) \to {\mathbb{R}} це спадна невід'ємна функція деk \in {\mathbb{Z}}. Тоді\sum_{n=k}^\infty f(n) \quad \text{converges if and only if} \qquad \int_k^\infty f \quad \text{converges}. в цьому випадку\int_k^\infty f \leq \sum_{n=k}^\infty f(n) \leq f(k)+ \int_k^\infty f .

За,f інтегрується на кожному інтервалі[k,b] для всіхb > k, тому твердження теореми має сенс без додаткових гіпотез інтегровності.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. І припустимо,\int_k^\infty f сходиться. Дозвольте\ell, m \in {\mathbb{Z}} бути таким, щоm > \ell \geq k. Тому щоf зменшується у нас є\int_{n}^{n+1} f \leq f(n) \leq \int_{n-1}^{n} f. Тому\label{impropriemann:eqseries} \int_\ell^m f = \sum_{n=\ell}^{m-1} \int_{n}^{n+1} f \leq \sum_{n=\ell}^{m-1} f(n) \leq f(\ell) + \sum_{n=\ell+1}^{m-1} \int_{n-1}^{n} f \leq f(\ell)+ \int_\ell^{m-1} f . Як і раніше,f оскільки позитивний то існуєL \in {\mathbb{N}} таке, що якщо\ell \geq L, то\int_\ell^{m} f < \nicefrac{\epsilon}{2} для всіхm \geq \ell. Відзначимо,f треба зменшуватися до нуля (чому?). Отже, давайте також припустимо, що для\ell \geq L нас єf(\ell) < \nicefrac{\epsilon}{2}. Для таких\ell іm ми маємо через [impropriemann:eqseries]\sum_{n=\ell}^{m} f(n) \leq f(\ell)+ \int_\ell^{m} f < \nicefrac{\epsilon}{2} + \nicefrac{\epsilon}{2} = \epsilon . Серія, отже, Коші і, таким чином, сходиться. Оцінку в пропозиції отримують шляхомm відпущення до нескінченності в [improprieman:eqseries] с\ell = k.

І навпаки, припустимо,\int_k^\infty f розходиться. Якf позитивно, то послідовність\{ \int_k^m f \}_{m=k}^\infty розходиться до нескінченності. Використовуючи [improprieman:eqseries] з\ell = k ми знаходимо\int_k^m f \leq \sum_{n=k}^{m-1} f(n) . Як ліва сторона йде до нескінченностіm \to \infty, як і права сторона.

Давайте покажемо\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} існує і оцінимо його суму в межах 0,01. Оскільки ця серія є дляp -seriesp=2, ми вже знаємо, що вона сходиться, але ми лише дуже приблизно оцінили її суму.

Використовуючи фундаментальну теорему числення, ми знаходимо, що дляk \in {\mathbb{N}} нас є\int_{k}^\infty \frac{1}{x^2}~dx = \frac{1}{k} . Зокрема, ряд повинен сходитися. Але ми також маємо, що\frac{1}{k} = \int_k^\infty \frac{1}{x^2}~dx \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2} + \int_k^\infty \frac{1}{x^2}~dx = \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k} . Додавання часткової суми доk-1 ми отримаємо\frac{1}{k} + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n^2} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k} + \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n^2} . Іншими словами,\nicefrac{1}{k} + \sum_{n=1}^{k-1} \nicefrac{1}{n^2} це оцінка для суми в межах\nicefrac{1}{k^2}. Тому, якщо ми хочемо знайти суму в межах 0,01, відзначимо\nicefrac{1}{{10}^2} = 0.01. 1.6397\ldots \approx \frac{1}{10} + \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n^2} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{100} + \frac{1}{10} + \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n^2} \approx 1.6497\ldots .Отримуємо Фактична сума дорівнює\nicefrac{\pi^2}{6} \approx 1.6449\ldots.

Вправи

Закінчіть доказ.

Дізнайтеся, для чогоa \in {\mathbb{R}} взагалі\sum\limits_{n=1}^\infty e^{an} сходиться. Коли ряд сходиться, знайдіть верхню межу для суми.

а)\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} Оцініть правильно в межах 0,01 за допомогою інтегрального тесту. б) Обчислити межу ряду точно і порівняти. Підказка: сума телескопів.

Доведіть\int_{-\infty}^\infty \left\lvert {\operatorname{sinc}(x)} \right\rvert~dx = \infty . підказку: знову ж таки, досить показати це тільки з одного боку.

Чи можете ви інтерпретувати\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{\left\lvert {x} \right\rvert}}~dx як неправильний інтеграл? Якщо так, обчислити його значення.

Візьмемоf \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}}, Riemann інтегрується на кожному інтервалі[0,b], і такіM, що існуютьa, іT, такі, що\left\lvert {f(t)} \right\rvert \leq M e^{at} для всіхt \geq T. Показати, що перетворення Лапласаf існує. Тобто для кожногоs > a сходиться наступний інтеграл:F(s) := \int_{0}^\infty f(t) e^{-st} ~dt .

f \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти інтегровну функцію Рімана на кожному інтервалі[a,b], і таке, що\int_{-\infty}^\infty \left\lvert {f(x)} \right\rvert~dx < \infty. Показати, що синус Фур'є і косинус перетворення існують. Тобто, для кожного\omega \geq 0 наступні інтеграли сходятьсяF^s(\omega) := \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(t) \sin(\omega t) ~dt , \qquad F^c(\omega) := \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(t) \cos(\omega t) ~dt . Крім того, показують, щоF^s іF^c є обмеженими функціями.

Припустимоf \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}}, що Riemann інтегрується на кожному інтервалі[0,b]. Показати, що\int_0^\infty f сходиться, якщо і тільки якщо для кожного\epsilon > 0 існуєM таке, що якщоM \leq a < b тоді\left\lvert {\int_a^b f} \right\rvert < \epsilon.

Припустимо,f \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}} невід'ємний і зменшується. а) Покажіть\int_0^\infty f < \infty, що якщо, то\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0. б) Покажіть, що зворотне не тримається.

Знайдіть приклад необмеженої неперервної функціїf \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}}, яка є невід'ємною і такою, що\int_0^\infty f < \infty. Зверніть увагу, що це означає, що цього\lim_{x\to\infty} f(x) не існує; порівняйте попередню вправу. Підказка: на кожному інтервалі визначте функцію[k,k+1]k \in {\mathbb{N}}, інтеграл якої за цей інтервал менше, ніж скажімо2^{-k}.

Знайдіть приклад функції, щоf \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}} інтегрується на всіх інтервалах, така, яка\lim_{n\to\infty} \int_0^n f сходиться як межа послідовності, але така, яка\int_0^\infty f не існує. Підказка: для всіхn\in {\mathbb{N}}[n,n+1] розділіть на дві половини. В одній половині зробіть функцію негативною, на іншій зробіть функцію позитивною.

Показати, що якщоf \colon [1,\infty) \to {\mathbb{R}} такий, щоg(x) := x^2 f(x) є обмеженою функцією, то\int_1^\infty f сходиться.

Іноді бажано привласнювати значення інтегралам, які зазвичай не можуть бути інтерпретовані як навіть неправильні інтеграли, наприклад\int_{-1}^1 \nicefrac{1}{x}~dx. Припустимо,f \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} це функція іa < c < b, де Riemannf інтегрується на всіх інтервалах[a,c-\epsilon] і[c+\epsilon,b] для всіх\epsilon > 0. Визначте основне значення Коші\int_a^b f так,p.v.\!\int_a^b f := \lim_{\epsilon\to 0^+} \left( \int_a^{c-\epsilon} f + \int_{c+\epsilon}^b f \right) , ніби межа існує.

а) Обчислитиp.v.\!\int_{-1}^1 \nicefrac{1}{x}~dx.
б) Обчислити\lim_{\epsilon\to 0^+} ( \int_{-1}^{-\epsilon} \nicefrac{1}{x}~dx + \int_{2\epsilon}^1 \nicefrac{1}{x}~dx ) і показати, що він не дорівнює основному значенню.
в) Показати, що якщоf інтегрується на[a,b], тоp.v.\!\int_a^b f = \int_a^b f.
г) Знайти прикладf з сингулярністю приc як вище такий, щоp.v.\!\int_a^b f існує, але неправильні інтеграли\int_a^c f і\int_c^b f розходяться.
д) Припустимоf \colon [-1,1] \to {\mathbb{R}}, що є безперервним. Показати, щоp.v.\!\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{x}~dx існує.

g \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволятиf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} і бути безперервними функціями, деg(x) = 0 для всіхx \notin [a,b] протягом деякого інтервалу[a,b].
а) Показати, що згортка(g * f)(x) := \int_{-\infty}^\infty f(t)g(x-t)~dt чітко визначена для всіхx \in {\mathbb{R}}.
б) Припустимо\int_{-\infty}^\infty \left\lvert {f(x)} \right\rvert~dx < \infty. Доведіть, що\lim_{x \to -\infty} (g * f)(x) = 0, \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to \infty} (g * f)(x) = 0 .

Послідовності функцій

Точкова і рівномірна конвергенція

Примітка: 1-1.5 лекція

До сих пір, коли ми говорили про послідовності ми завжди говорили про послідовності чисел. Однак дуже корисною концепцією в аналізі є використання послідовності функцій. Наприклад, рішення деякого диференціального рівняння можна знайти, знаходячи лише наближені розв'язки. Тоді реальне рішення - це якась межа цих приблизних рішень.

Говорячи про послідовності функцій, складна частина полягає в тому, що існує кілька понять межі. Опишемо два загальних поняття межі послідовності функцій.

Точкове зближення

Для кожногоn \in {\mathbb{N}} нехайf_n \colon S \to {\mathbb{R}} буде функція. Ми говоримо, що послідовність\{ f_n \}_{n=1}^\infty сходиться точково доf \colon S \to {\mathbb{R}}, якщо для кожного уx \in S нас єf(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x) .

Загальноприйнято говорити, щоf_n \colon S \to {\mathbb{R}} сходиться доf наT \subset {\mathbb{R}} для деякихf \colon T \to {\mathbb{R}}. У такому випадку ми, звичайно, маємоf(x) = \lim\, f_n(x) на увазі для кожногоx \in T. Ми просто маємо на увазі, що обмеженняf_nT сходяться точково доf.

Послідовність функцій, визначених шляхом,f_n(x) := x^{2n} сходиться доf \colon [-1,1] \to {\mathbb{R}} on[-1,1], деf(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $x=-1$ or $x=1$,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} Див.

Щоб переконатися в цьому так, спочатку візьмітьx \in (-1,1). Потім0 \leq x^2 < 1. \left\lvert {x^{2n} - 0} \right\rvert = {(x^2)}^n \to 0 \quad \text{as} \quad n \to \infty .Тому ми бачили перед цим\lim\,f_n(x) = 0.

Колиx = 1 абоx=-1, тоx^{2n} = 1 для всіхn і значить\lim\,f_n(x) = 1. Відзначимо також, що\{ f_n(x) \} не сходиться для всіх іншихx.

Нерідко функції задаються у вигляді ряду. У цьому випадку ми використовуємо поняття точкової збіжності для знаходження значень функції.

Пишемо\sum_{k=0}^\infty x^k для позначення межі функційf_n(x) := \sum_{k=0}^n x^k . При вивченні рядів ми побачили, щоx \in (-1,1) наf_n сходяться точково до\frac{1}{1-x} .

Тонкий момент тут полягає в тому, що хоча\frac{1}{1-x} визначено для всіхx \not=1, іf_n визначено для всіхx (навіть приx=1), конвергенція відбувається лише на(-1,1).

Тому, коли миf(x) := \sum_{k=0}^\infty x^k пишемо, ми маємо на увазі,f що визначено на(-1,1) і є точковою межею часткових сум.

Нехайf_n(x) := \sin(xn). Тодіf_n не сходиться точково до будь-якої функції на будь-якому інтервалі. Він може сходитися в певних точках, наприклад, колиx=0 абоx=\pi. Залишається як вправа, що в будь-якому інтервалі існуєx таке[a,b], що\sin(xn) не має межі, якn йде до нескінченності.

Перш ніж перейти до рівномірної конвергенції, давайте по-іншому переформулюємо точкову конвергенцію. Ми залишаємо доказ читачеві, це просте застосування визначення збіжності послідовності дійсних чисел.

[ptwsconv:prop] Нехайf_n \colon S \to {\mathbb{R}} іf \colon S \to {\mathbb{R}} бути функціями. Потім\{ f_n \} сходиться точково доf якщо і тільки якщо для кожногоx \in S, і кожного\epsilon > 0, існуєN \in {\mathbb{N}} таке, що\left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert < \epsilon для всіхn \geq N.

Ключовим моментом тут є те, щоN може залежатиx, а не тільки від\epsilon. Тобто для кожногоx ми можемо підібрати різнеN. Якщо ми можемо вибрати одинN для всіхx, ми маємо те, що називається рівномірною конвергенцією.

Рівномірна конвергенція

f_n \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути функціями. Ми говоримо, що послідовність\{ f_n \} сходиться рівномірно доf \colon S \to {\mathbb{R}}, якщо для кожного\epsilon > 0 існуєN \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq N нас є\left\lvert {f_n(x) - f(x)} \right\rvert < \epsilon \qquad \text{for all $x \in S$.}

Зауважте, щоN тепер не може залежати відx. Враховуючи, що\epsilon > 0 ми повинні знайти такийN, який працює для всіхx \in S. Через, ми бачимо, що рівномірна конвергенція передбачає точкову конвергенцію.

\{ f_n \}Дозволяти послідовність функційf_n \colon S \to {\mathbb{R}}. Якщо\{ f_n \} сходиться рівномірно доf \colon S \to {\mathbb{R}}, то\{ f_n \} сходиться точково доf.

Зворотне не тримає.

Функціїf_n(x) := x^{2n} не сходяться рівномірно[-1,1], навіть якщо вони сходяться точково. Щоб переконатися в цьому, припустимо для протиріччя, що конвергенція рівномірна. Бо\epsilon := \nicefrac{1}{2}, там повинен існуватиN такий, щоx^{2N} = \left\lvert {x^{2N} - 0} \right\rvert < \nicefrac{1}{2} для всіхx \in (-1,1) (якf_n(x) сходиться до 0 на(-1,1)). Але це означає, що для будь-якої послідовності\{ x_k \} в(-1,1) такому, що у\lim\, x_k = 1 нас єx_k^{2N} < \nicefrac{1}{2} для всіхk. З іншого бокуx^{2N} є безперервною функцієюx (це многочлен), тому отримуємо протиріччя1 = 1^{2N} = \lim_{k\to\infty} x_k^{2N} \leq \nicefrac{1}{2} .

Однак, якщо ми обмежуємо наш домен[-a,a] де0 < a < 1, то\{ f_n \} сходиться рівномірно до 0 на[-a,a]. Спочатку відзначимо, щоa^{2n} \to 0 якn \to \infty. При цьому дано\epsilon > 0, підбирайтеN \in {\mathbb{N}} таке, щоa^{2n} < \epsilon для всіхn \geq N. Тоді для будь-якого уx \in [-a,a] нас є\left\lvert {x} \right\rvert \leq a. Тому дляn \geq N\left\lvert {x^{2N}} \right\rvert = \left\lvert {x} \right\rvert^{2N} \leq a^{2N} < \epsilon .

Зближення в єдиній нормі

Для обмежених функцій існує ще один більш абстрактний спосіб думати про рівномірну збіжність. Кожній обмеженій функції ми привласнюємо певне невід'ємне число (яке називається рівномірною нормою). Це число вимірює «відстань» функції від 0. Потім ми можемо «виміряти», наскільки дві функції знаходяться один від одного. Ми просто переводимо твердження про рівномірну збіжність в твердження про певну послідовність дійсних чисел, що сходяться до нуля.

[def:unifnorm]f \colon S \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути обмеженою функцією. Визначити\left\lVert {f} \right\rVert_u := \sup \bigl\{ \left\lvert {f(x)} \right\rvert : x \in S \bigr\} .\left\lVert {\cdot} \right\rVert_u називається єдиною нормою.

Щоб використовувати це позначення 26 і це поняття, доменS повинен бути фіксованим. Деякі автори використовують позначення,\left\lVert {f} \right\rVert_S щоб підкреслити залежність відS.

Послідовність обмежених функцій рівномірноf_n \colon S \to {\mathbb{R}} сходиться доf \colon S \to {\mathbb{R}}, якщо і тільки якщо\lim_{n\to\infty} \left\lVert {f_n - f} \right\rVert_u = 0 .

Спочатку припустимо\lim \left\lVert {f_n - f} \right\rVert_u = 0. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тоді існуєN таке, що дляn \geq N нас є\left\lVert {f_n - f} \right\rVert_u < \epsilon. Як і\left\lVert {f_n-f} \right\rVert_u супремум\left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert, ми бачимо, що для всіх уx нас є\left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert < \epsilon.

З іншого боку, припустимо,\{ f_n \} сходиться рівномірно доf. Нехай\epsilon > 0 дадуть. Тоді знайдітьN таке, що\left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert < \epsilon для всіхx \in S. Беручи супремум, ми бачимо, що\left\lVert {f_n - f} \right\rVert_u < \epsilon. Звідси\lim \left\lVert {f_n-f} \right\rVert_u = 0.

Іноді кажуть, що \{ f_n \}сходитьсяf в єдиній нормі, а не сходиться рівномірно. Пропозиція говорить про те, що два поняття - це одне і те ж.

Дозвольтеf_n \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} визначитися зf_n(x) := \frac{nx+ \sin(nx^2)}{n}. Тоді ми стверджуємо, що\{ f_n \} сходиться рівномірно доf(x) := x. Обчислимо:\begin{split} \left\lVert {f_n-f} \right\rVert_u & = \sup \left\{ \left\lvert {\frac{nx+ \sin(nx^2)}{n} - x} \right\rvert : x \in [0,1] \right\} \\ & = \sup \left\{ \frac{\left\lvert {\sin(nx^2)} \right\rvert}{n} : x \in [0,1] \right\} \\ & \leq \sup \{ \nicefrac{1}{n} : x \in [0,1] \} \\ & = \nicefrac{1}{n}. \end{split}

Використовуючи рівномірну норму, ми визначаємо послідовності Коші так само, як визначаємо послідовності Коші дійсних чисел.

f_n \colon S \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути обмеженими функціями. Послідовність Коші в єдиній нормі або рівномірно Коші, якщо для кожного\epsilon > 0, існуєN \in {\mathbb{N}} така, що дляm,k \geq N нас є\left\lVert {f_m-f_k} \right\rVert_u < \epsilon .

[prop:uniformcauchy]f_n \colon S \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути обмеженими функціями. Тоді\{ f_n \} є Коші в єдиній нормі тоді і тільки тоді, коли існуєf \colon S \to {\mathbb{R}} і\{ f_n \} сходиться рівномірно доf.

Давайте спочатку припустимо\{ f_n \}, що Коші в єдиній нормі. Давайте визначимосяf. Виправтеx, тоді\{ f_n(x) \} послідовність Коші тому що\left\lvert {f_m(x)-f_k(x)} \right\rvert \leq \left\lVert {f_m-f_k} \right\rVert_u . Таким чином\{ f_n(x) \} сходиться до деякого дійсного числа. Визначитиf \colon S \to {\mathbb{R}} заf(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x) . Послідовність\{ f_n \} сходиться точково доf. Щоб показати, що збіжність рівномірна, нехай\epsilon > 0 буде дано. ЗнайдітьN таке, що дляm, k \geq N нас є\left\lVert {f_m-f_k} \right\rVert_u < \nicefrac{\epsilon}{2}. Іншими словами, для всіх уx нас є\left\lvert {f_m(x)-f_k(x)} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{2}. Беремо межу, якk йде до нескінченності. Потім\left\lvert {f_m(x)-f_k(x)} \right\rvert переходить до\left\lvert {f_m(x)-f(x)} \right\rvert. Отже, за всеx отримуємо\left\lvert {f_m(x)-f(x)} \right\rvert \leq \nicefrac{\epsilon}{2} < \epsilon . І звідси\{ f_n \} сходиться рівномірно.

Для іншого напрямку, припустимо,\{ f_n \} сходиться рівномірно доf. Враховуючи\epsilon > 0, знайдітьN таке, що для всіх уn \geq N нас є\left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{4}x \in S. Тому для всіх уm, k \geq N нас є\left\lvert {f_m(x)-f_k(x)} \right\rvert = \left\lvert {f_m(x)-f(x)+f(x)-f_k(x)} \right\rvert \leq \left\lvert {f_m(x)-f(x)} \right\rvert+\left\lvert {f(x)-f_k(x)} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{4} + \nicefrac{\epsilon}{4} . Візьміть supremum над усімx, щоб отримати\left\lVert {f_m-f_k} \right\rVert_u \leq \nicefrac{\epsilon}{2} < \epsilon . \qedhere

Вправи

gДозволятиf і бути обмеженими функціями на[a,b]. Довести\left\lVert {f+g} \right\rVert_u \leq \left\lVert {f} \right\rVert_u + \left\lVert {g} \right\rVert_u .

а) Знайдіть точкову межу\dfrac{e^{x/n}}{n} дляx \in {\mathbb{R}}.
б) Чи є ліміт рівномірним на{\mathbb{R}}?
в) Чи є ліміт рівномірним на[0,1]?

Припустимоf_n \colon S \to {\mathbb{R}}, функції, які сходяться рівномірно доf \colon S \to {\mathbb{R}}. ПрипустимоA \subset S. Показати, що послідовність обмежень\{ f_n|_A \} сходиться рівномірно доf|_A.

Припустимо,\{ f_n \} і\{ g_n \} визначені на деякому множиніA сходяться доf іg відповідно точково. Показати, що\{ f_n+g_n \} сходиться точково доf+g.

Припустимо,\{ f_n \} і\{ g_n \} визначені на деякому множиніA сходятьсяf іg відповідно рівномірно наA. Покажіть, що рівномірно\{ f_n+g_n \} сходиться доf+g увімкненогоA.

Знайдіть приклад послідовності функцій\{ f_n \} і\{ g_n \} які рівномірно сходяться до деякоїf таg на деякій множиніA, але такі, що\{ f_ng_n \} (кратні) не сходяться рівномірно доfg увімкненогоA. Підказка: НехайA := {\mathbb{R}}, нехайf(x):=g(x) := x. Можна навіть підібратиf_n = g_n.

Припустимо, існує послідовність функцій,\{ g_n \} рівномірно сходяться до0 onA. Тепер припустимо, що у нас є послідовність функцій\{ f_n \} і функціяf наA такі, що\left\lvert {f_n(x) - f(x)} \right\rvert \leq g_n(x) для всіхx \in A. Покажіть, що рівномірно\{ f_n \} сходиться доf увімкненогоA.

Дозволяти\{ f_n \},\{ g_n \} і\{ h_n \} бути послідовності функцій на[a,b]. Припустимо\{ f_n \} і\{ h_n \} сходяться рівномірно до якоїсь функціїf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} і припустимоf_n(x) \leq g_n(x) \leq h_n(x) для всіхx \in [a,b]. Показати, що\{ g_n \} сходиться рівномірно доf.

f_n \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти послідовність зростаючих функцій (тобтоf_n(x) \geq f_n(y) всякий разx \geq y). Припустимоf_n(0) = 0, і\lim\limits_{n \to \infty} f_n(1) = 0. Показати, що\{ f_n \} сходиться рівномірно до0.

\{f_n\}Дозволяти послідовність функцій, визначених на[0,1]. Припустимо, існує послідовність різних чисел,x_n \in [0,1] таких, щоf_n(x_n) = 1 . Довести або спростувати такі твердження:
а) True або false: Існує\{ f_n \} як вище, що сходиться до0 точково.
б) True або false: Існує,\{ f_n \} як вище, що сходиться до0 рівномірно[0,1].

Закріпіть суцільнуh \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}. Нехайf(x) := h(x) дляx \in [a,b],f(x) := h(a) дляx < a іf(x) := h(b) для всіхx > b. Перше шоу, якеf \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}} є безперервним. Тепер нехайf_n буде функція зg з\epsilon = \nicefrac{1}{n}, визначена на інтервалі[a,b]. Покажіть, що рівномірно\{ f_n \} сходиться доh увімкненого[a,b].

Обмін лімітами

Примітка: 1-1,5 лекції

Значні частини сучасного аналізу стосуються в основному питання обміну двома обмежувальними операціями. Коли у нас є ланцюжок з двох обмежень, ми не завжди можемо просто поміняти межі. Наприклад,0 = \lim_{n\to\infty} \left( \lim_{k\to\infty} \frac{\nicefrac{n}{k}}{\nicefrac{n}{k} + 1} \right) \not= \lim_{k\to\infty} \left( \lim_{n\to\infty} \frac{\nicefrac{n}{k}}{\nicefrac{n}{k} + 1} \right) = 1 .

Якщо говорити про послідовності функцій, обмін лімітами виникає досить часто. Лікуємо два випадки. Спочатку ми дивимося на безперервність межі, а по-друге дивимося на інтеграл межі.

Безперервність ліміту

Якщо у нас є\{ f_n \} послідовність неперервних функцій, це межа безперервна? Припустимо,f це (точково) межа\{ f_n \}. Якщо\lim\, x_k = x нас цікавить наступний обмін лімітів. Рівність, яку ми маємо довести (це не завжди вірно), позначається знаком питання. Насправді обмежень ліворуч від знака питання може навіть не існувати. \lim_{k \to \infty} f(x_k) = \lim_{k \to \infty} \Bigl( \lim_{n \to \infty} f_n(x_k) \Bigr) \overset{\text{\textbf{?}}}{=} \lim_{n \to \infty} \Bigl( \lim_{k \to \infty} f_n(x_k) \Bigr) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) .Зокрема, ми хочемо знайти умови на послідовності\{ f_n \} так, щоб вищевказане рівняння трималося. Виходить, що якщо ми вимагаємо лише точкової збіжності, то межа послідовності функцій не повинна бути безперервною, а вищевказане рівняння не потрібно тримати.

f_n \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатися якf_n(x) := \begin{cases} 1-nx & \text{if $x < \nicefrac{1}{n}$,}\\ 0 & \text{if $x \geq \nicefrac{1}{n}$.} \end{cases} Див.

Кожна функціяf_n є безперервною. Закріпітьx \in (0,1]. Якщоn \geq \nicefrac{1}{x}, тоx \geq \nicefrac{1}{n}. Тому дляn \geq \nicefrac{1}{x} нас єf_n(x) = 0, і так\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0. З іншого бокуx=0, якщо, то\lim_{n \to \infty} f_n(0) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1. Таким чином точкова межаf_n є функціяf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}f(x) := \begin{cases} 1 & \text{if $x = 0$,}\\ 0 & \text{if $x > 0$.} \end{cases} визначена Функція неf є безперервним в 0.

Якщо ми, однак, вимагаємо, щоб конвергенція була рівномірною, межі можна поміняти місцями.

\{ f_n \}Дозволяти послідовність неперервних функцій,f_n \colon S \to {\mathbb{R}} що сходяться рівномірно доf \colon S \to {\mathbb{R}}. Потімf безперервно.

Нехайx \in S буде зафіксовано. \{ x_n \}Дозволяти послідовність вS сходженні доx.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Як\{ f_k \} сходиться рівномірноf, ми знаходимоk \in {\mathbb{N}} таке, що\left\lvert {f_k(y)-f(y)} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3} для всіхy \in S. Якf_k це безперервно вx, ми знаходимоN \in {\mathbb{N}} таке, що боm \geq N ми маємо\left\lvert {f_k(x_m)-f_k(x)} \right\rvert < \nicefrac{\epsilon}{3} . Таким чином, боm \geq N ми маємо\begin{split} \left\lvert {f(x_m)-f(x)} \right\rvert & = \left\lvert {f(x_m)-f_k(x_m)+f_k(x_m)-f_k(x)+f_k(x)-f(x)} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {f(x_m)-f_k(x_m)} \right\rvert+ \left\lvert {f_k(x_m)-f_k(x)} \right\rvert+ \left\lvert {f_k(x)-f(x)} \right\rvert \\ & < \nicefrac{\epsilon}{3} + \nicefrac{\epsilon}{3} + \nicefrac{\epsilon}{3} = \epsilon . \end{split} Тому\{ f(x_m) \} сходитьсяf(x) і, отже,f безперервно вx. Якx було довільно,f безперервно всюди.

Інтеграл межі

Знову ж таки, якщо ми просто вимагаємо точкової збіжності, то інтеграл межі послідовності функцій не повинен дорівнювати межі інтегралів.

f_n \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатися якf_n(x) := \begin{cases} 0 & \text{if $x = 0$,}\\ n-n^2x & \text{if $0 < x < \nicefrac{1}{n}$,}\\ 0 & \text{if $x \geq \nicefrac{1}{n}$.} \end{cases} Див.

Кожен з нихf_n інтегрується Riemann (він безперервний(0,1] і обмежений), і це легко побачити\int_0^1 f_n = \int_0^{\nicefrac{1}{n}} (n-n^2x)~dx = \nicefrac{1}{2} . Давайте обчислимо точкову межу\{ f_n \}. Закріпітьx \in (0,1]. Бо уn \geq \nicefrac{1}{x} насx \geq \nicefrac{1}{n} і такf_n(x) = 0. Тому\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0. і у нас єf_n(0) = 0 для всіхn. Тому точкова межа\{ f_n \} є нульовою функцією. Таким чином\nicefrac{1}{2} = \lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n (x)~dx \not= \int_0^1 \left( \lim_{n\to\infty} f_n(x)\right)~dx = \int_0^1 0~dx = 0 .

Але якщо ми знову вимагаємо, щоб конвергенція була рівномірною, межі можна поміняти місцями.

[integralinterchange:thm]\{ f_n \} Дозволяти бути послідовністю інтегровних функцій Ріманаf_n \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}, що збігаються рівномірно доf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}. Тодіf Riemann інтегрується і\int_a^b f = \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n .

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Щоf_n стосуєтьсяf рівномірно, ми знаходимоM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас є\left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2(b-a)} для всіхx \in [a,b]. Зокрема, зворотним трикутником нерівність\left\lvert {f(x)} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2(b-a)} + \left\lvert {f_n(x)} \right\rvert для всіхx, отже,ff_n обмежується як обмежена. Зверніть увагу, щоf_n інтегрується і обчислюється\begin{split} \overline{\int_a^b} f - \underline{\int_a^b} f & = \overline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) + f_n(x) \bigr)~dx - \underline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) + f_n(x) \bigr)~dx \\ & \leq \overline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) \bigr)~dx + \overline{\int_a^b} f_n(x) ~dx - \underline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) \bigr)~dx - \underline{\int_a^b} f_n(x) ~dx \\ & = \overline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) \bigr)~dx + \int_a^b f_n(x) ~dx - \underline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) \bigr)~dx - \int_a^b f_n(x) ~dx \\ & = \overline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) \bigr)~dx - \underline{\int_a^b} \bigl( f(x) - f_n(x) \bigr)~dx \\ & \leq \frac{\epsilon}{2(b-a)} (b-a) + \frac{\epsilon}{2(b-a)} (b-a) = \epsilon . \end{split} Перша нерівність є (вона випливає як супремум суми менше або дорівнює сумі супреми і аналогічно для інфіми, див.). Друга нерівність випливає з і того, що для всіх уx \in [a,b] нас є\frac{-\epsilon}{2(b-a)} < f(x)-f_n(x) < \frac{\epsilon}{2(b-a)}. Як\epsilon > 0 було довільно,f це інтегрується Riemann.

Нарешті ми обчислюємо\int_a^b f. Застосовуємо в розрахунку. Знову ж таки, боn \geq M (де теM саме, що вище) ми маємо\begin{split} \left\lvert {\int_a^b f - \int_a^b f_n} \right\rvert & = \left\lvert { \int_a^b \bigl(f(x) - f_n(x)\bigr)~dx} \right\rvert \\ & \leq \frac{\epsilon}{2(b-a)} (b-a) = \frac{\epsilon}{2} < \epsilon . \end{split} Тому\{ \int_a^b f_n \} сходиться до\int_a^b f.

Припустимо, ми хочемо обчислити\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{nx+ \sin(nx^2)}{n} ~dx . Неможливо обчислити інтеграли для будь-якого конкретного,n використовуючи обчислення, оскільки не\sin(nx^2) має антипохідної закритої форми. Однак ми можемо обчислити ліміт. Ми показали раніше, що\frac{nx+ \sin(nx^2)}{n} сходиться рівномірно[0,1] наx. До, межа існує і\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{nx+ \sin(nx^2)}{n} ~dx = \int_0^1 x ~dx = \nicefrac{1}{2} .

Якщо конвергенція лише точкова, межа навіть не повинна бути інтегровною Рімана. На[0,1] визначенняf_n(x) := \begin{cases} 1 & \text{if $x = \nicefrac{p}{q}$ in lowest terms and $q \leq n$,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} Функціяf_n відрізняється від нульової функції у скінченно багатьох точках; існує лише скінченно багато дробів[0,1] із знаменником меншим або рівнимn. Такf_n інтегрується і\int_0^1 f_n = \int_0^1 0 = 0. Це проста вправа, щоб показати, що\{ f_n \} сходиться точково до функції Діріхле,f(x) := \begin{cases} 1 & \text{if $x \in {\mathbb{Q}}$,} \\ 0 & \text{otherwise,} \end{cases} яка не є інтегровною Рімана.

Насправді, якщо збіжність лише точкова, межа обмежених функцій навіть не обов'язково обмежена. Визначитиf_n \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} поf_n(x) := \begin{cases} 0 & \text{ if $x < \nicefrac{1}{n}$,}\\ \nicefrac{1}{x} & \text{ else.} \end{cases} Для кожногоn ми отримуємо, що\left\lvert {f_n(x)} \right\rvert \leq n для всіхx \in [0,1] так функції обмежені. Однакf_n сходяться точковоf(x) := \begin{cases} 0 & \text{ if $x = 0$,}\\ \nicefrac{1}{x} & \text{ else,} \end{cases}, до яких необмежено.

Зауважимо, що хоча рівномірної збіжності достатньо для того, щоб поміняти ліміти інтегралами, однак, недостатньо поміняти ліміти похідними, якщо у вас також немає рівномірної збіжності самих похідних. Дивіться вправи нижче.

Вправи

Хоча рівномірна конвергенція зберігає безперервність, вона не зберігає диференційованості. Знайдіть явний приклад послідовності диференційовних функцій[-1,1], які рівномірно сходяться доf такої функції, яка неf є диференційовною. Підказка: Подумайте\left\lvert {x} \right\rvert^{1+1/n}, покажіть, що ці функції диференційовні, сходяться рівномірно, а потім покажіть, що межа не диференційовна.

Нехайf_n(x) = \frac{x^n}{n}. Показати, що рівномірно\{ f_n \} сходиться до диференційовної функціїf на[0,1] (знайтиf). Однак покажіть, щоf'(1) \not= \lim\limits_{n\to\infty} f_n'(1).

Примітка: Попередні дві вправи показують, що ми не можемо просто поміняти межі похідними, навіть якщо конвергенція рівномірна. Дивіться також нижче.

f \colon [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути інтегровною (отже, обмеженою) функцією Рімана. Знайти\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{f(x)}{n} ~dx.

Показати\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_1^2 e^{-nx^2} ~dx = 0. Не соромтеся використовувати те, що ви знаєте про експоненціальну функцію з числення.

Знайдіть приклад послідовності неперервних функцій(0,1), на якій точково збігається до неперервної функції(0,1), але збіжність не є рівномірною.

Примітка: У попередній вправі(0,1) було підібрано для простоти. Для більш складної вправи(0,1) замініть на[0,1].

True/False; довести або знайти контрприклад до наступного твердження: Якщо\{ f_n \} є послідовність всюди переривчастих функцій на[0,1] що сходяться рівномірно до функціїf,f то всюди переривчастий.

[c1uniflim:exercise] Для безперервно диференційовної функціїf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}, визначте\left\lVert {f} \right\rVert_{C^1} := \left\lVert {f} \right\rVert_u + \left\lVert {f'} \right\rVert_u . Припустимо,\{ f_n \} це послідовність безперервно диференційовних функцій така\epsilon >0, що для кожного існуєM така, що для всіхn,k \geq M ми маємо\left\lVert {f_n-f_k} \right\rVert_{C^1} < \epsilon . Показати, що \{ f_n \}рівномірно сходиться до деякої безперервно диференційованої функціїf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}.

Для наступних двох вправ давайте визначимо для інтегровної функції Ріманаf \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} наступне число\left\lVert {f} \right\rVert_{L^1} := \int_0^1 \left\lvert {f(x)} \right\rvert~dx . Це правда, що\left\lvert {f} \right\rvert інтегрується, колиf є, див. Ця норма визначає ще один дуже поширений тип конвергенції, який називаєтьсяL^1 -конвергенція, тобто, однак, трохи більш тонкий.

Припустимо\{ f_n \},[0,1] що послідовність інтегровних функцій Рімана на якій рівномірно сходиться до0. Покажіть, що\lim_{n\to\infty} \left\lVert {f_n} \right\rVert_{L^1} = 0 .

Знайти послідовність інтегровних функцій Рімана\{ f_n \} на[0,1] те, що сходиться точково до0, але\lim_{n\to\infty} \left\lVert {f_n} \right\rVert_{L^1} \text{ does not exist (is $\infty$).}

Доведіть теорему Діні:f_n \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} Дозволяти бути послідовність неперервних функцій таких, що0 \leq f_{n+1}(x) \leq f_n(x) \leq \cdots \leq f_1(x) \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$.} Припустимо\{ f_n \} сходиться точково до0. Показати, що\{ f_n \} сходиться до нуля рівномірно.

Припустимо,f_n \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} це послідовність неперервних функцій, яка сходиться точково до неперервноїf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}. Припустимо, що для будь-якогоx \in [a,b]\{ \left\lvert {f_n(x)-f(x)} \right\rvert \} послідовність одноманітна. Показати, що послідовність\{f_n\} сходиться рівномірно.

Знайти послідовність інтегровних функцій Ріманаf_n \colon [0,1] \to {\mathbb{R}} така, що\{ f_n \} сходиться до нуля точково, і таку, що а)\bigl\{ \int_0^1 f_n \bigr\}_{n=1}^\infty збільшується без обмежень, б)\bigl\{ \int_0^1 f_n \bigr\}_{n=1}^\infty є послідовністю-1,1,-1,1,-1,1, \ldots.

Можна визначити спільну межу подвійної послідовності\{ x_{n,m} \} дійсних чисел (тобто функції від{\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}} до{\mathbb{R}}). Ми говоримоL, що це спільна\{ x_{n,m} \} межа і писати\lim_{\substack{n\to\infty\\m\to\infty}} x_{n,m} = L , \qquad \text{or} \qquad \lim_{(n,m) \to \infty} x_{n,m} = L , якщо для кожного\epsilon > 0, існуєM таке, що якщоn \geq M іm \geq M, то\left\lvert {x_{n,m} - L} \right\rvert < \epsilon.

Припустимо, спільна межа\{ x_{n,m} \} єL, і припустимоn, що для всіх,\lim\limits_{m \to \infty} x_{n,m} існує, і для всіхm,\lim\limits_{n \to \infty} x_{n,m} існує. Потім покажіть\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{m \to \infty} x_{n,m} = \lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n \to \infty} x_{n,m} = L.

Спільна межа не означає, що ітераційні межі навіть існують. Розглянемо\(x_{n,m} := \frac

ParseError: EOF expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[36]/p[18]/span[1]/span, line 1, column 5
{\min \{n,m \}}\).
а) Показати, що для ніn\lim\limits_{m \to \infty} x_{n,m} існує, а для ніm\lim\limits_{n \to \infty} x_{n,m} існує. Так що ні\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{m \to \infty} x_{n,m}, ні взагалі не має ніякого\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n \to \infty} x_{n,m} сенсу.
б) Показати, що спільна межа\{ x_{n,m} \} існує і дорівнює 0.

Теорема Пікара

Примітка: 1—2 лекції (можна сміливо пропустити)

Курс першого семестру в аналізі повинен мати теорему калібру опору. Ми вибираємо теорему, доказ якої поєднує в собі все, що ми дізналися. Вона більш складна, ніж фундаментальна теорема числення, перша теорема родзинки цього курсу. Теорема, про яку ми говоримо, є теоремою 27 Пікара про існування та єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння. І твердження, і доказ - прекрасні приклади того, що можна зробити з усім, що ми дізналися. Це також хороший приклад того, як аналіз застосовується як диференціальні рівняння незамінні в науці.

Звичайне диференційне рівняння першого порядку

Сучасна наука описується мовою диференціальних рівнянь. Тобто рівняння, в яких беруть участь не тільки невідоме, але і його похідні. Найпростішою нетривіальною формою диференціального рівняння є так зване звичайнеy' = F(x,y) . диференціальне рівняння першого порядкуy(x_0)=y_0. Розв'язком рівняння єy(x) така функція, щоy(x_0)=y_0 іy'(x) = F\bigl(x,y(x)\bigr).

КолиF задіяна тількиx змінна, рішення задається фундаментальною теоремою числення. З іншого боку, колиF залежить від обох,x іy нам потрібно набагато більше вогневої потужності. Не завжди вірно, що рішення існує, і якщо воно є, то це унікальне рішення. Теорема Пікара дає нам певні достатні умови існування та єдиності.

Теорема

Нам потрібно визначення неперервності в двох змінних. Спочатку точка в площині{\mathbb{R}}^2 = {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}} позначається впорядкованою парою(x,y). Щоб зробити справу простою, дамо наступне послідовне визначення безперервності.

U \subset {\mathbb{R}}^2Дозволяти бути набором іF \colon U \to {\mathbb{R}} бути функцією. (x,y) \in UДозволяти бути крапкою. ФункціяF є безперервним в(x,y) якщо для кожної\{ (x_n,y_n) \}_{n=1}^\infty послідовності точок вU такий, що\lim\, x_n = x і\lim\, y_n = y, ми маємо\lim_{n \to \infty} F(x_n,y_n) = F(x,y) . Ми говоримоF безперервно, якщо він безперервний у всіх точках вU.

НехайI, J \subset {\mathbb{R}} будуть замкнуті обмежені інтервали, нехайI_0 іJ_0 будуть їх інтер'єри, і нехай(x_0,y_0) \in I_0 \times J_0. ПрипустимоF \colon I \times J \to {\mathbb{R}}, безперервний і Ліпшиц у другій змінній, тобто існуєL таке число, що\left\lvert {F(x,y) - F(x,z)} \right\rvert \leq L \left\lvert {y-z} \right\rvert \ \ \ \text{ for all $y,z \in J$, $x \in I$} . Тоді існуєh > 0 і унікальна диференційована функціяf \colon [x_0 - h, x_0 + h] \to J \subset {\mathbb{R}}, така, що\label{picard:diffeq} f'(x) = F\bigl(x,f(x)\bigr) \qquad \text{and} \qquad f(x_0) = y_0.

Припустимо, ми змогли знайти рішенняf. Використовуючи фундаментальну теорему численняf'(x) = F\bigl(x,f(x)\bigr)f(x_0) = y_0, ми інтегруємо рівняння і запишемо [picard:diffeq] як інтегральне рівняння\label{picard:inteq} f(x) = y_0 + \int_{x_0}^x F\bigl(t,f(t)\bigr)~dt . Ідея нашого доказу полягає в тому, що ми намагаємося підключити наближення до розв'язку праворуч [picard:inteq], щоб отримати кращі наближення на лівій стороні [picard:inteq]. Ми сподіваємося, що врешті-решт послідовність сходиться і вирішує [picard:inteq] і, отже, [picard:diffeq]. Наведена нижче методика називається ітерацією Пікара, а окремі функціїf_k називаються ітераціями Пікарда.

Без втрати спільності, припустимоx_0 = 0 (вправа нижче). Інша вправа говорить нам, щоF обмежена, оскільки вона є безперервною. Тому підбирайте деякіM > 0 так, щоб\left\lvert {F(x,y)} \right\rvert \leq M для всіх(x,y) \in I\times J. Підібрати\alpha > 0 такі, що[-\alpha,\alpha] \subset I і[y_0-\alpha, y_0 + \alpha] \subset J. Визначтеh := \min \left\{ \alpha, \frac{\alpha}{M+L\alpha} \right\} . Спостерігати[-h,h] \subset I.

Набірf_0(x) := y_0. Визначаємоf_k індуктивно. Припускаючиf_{k-1}([-h,h]) \subset [y_0-\alpha,y_0+\alpha], що ми бачимоF\bigl(t,f_{k-1}(t)\bigr) це чітко визначена функціяt fort \in [-h,h]. Далі якщоf_{k-1} безперервний на[-h,h],F\bigl(t,f_{k-1}(t)\bigr) то безперервний як функціяt on[-h,h] (зліва як вправа). Визначитиf_k(x) := y_0+ \int_{0}^x F\bigl(t,f_{k-1}(t)\bigr)~dt , іf_k є безперервним[-h,h] за фундаментальною теоремою числення. Щоб побачити, щоf_k карти[-h,h][y_0-\alpha,y_0+\alpha], ми обчислюємо дляx \in [-h,h]\left\lvert {f_k(x) - y_0} \right\rvert = \left\lvert {\int_{0}^x F\bigl(t,f_{k-1}(t)\bigr)~dt } \right\rvert \leq M\left\lvert {x} \right\rvert \leq Mh \leq M \frac{\alpha}{M+L\alpha} \leq \alpha . Ми тепер визначитиf_{k+1} і так далі, і ми визначили\{ f_k \} послідовність функцій. Нам потрібно показати, що вона сходиться до функціїf, яка вирішує рівняння [picard:inteq] і, отже, [picard:diffeq].

Ми хочемо показати, що послідовність\{ f_k \} сходиться рівномірно до деякої функції на[-h,h]. По-перше, дляt \in [-h,h] нас є наступні корисні\left\lvert {F\bigl(t,f_{n}(t)\bigr) - F\bigl(t,f_{k}(t)\bigr)} \right\rvert \leq L \left\lvert {f_n(t)-f_k(t)} \right\rvert \leq L \left\lVert {f_n-f_k} \right\rVert_u , зв'язки де\left\lVert {f_n-f_k} \right\rVert_u є єдиною нормою, тобто supremum\left\lvert {f_n(t)-f_k(t)} \right\rvert fort \in [-h,h]. Тепер зауважте, що\left\lvert {x} \right\rvert \leq h \leq \frac{\alpha}{M+L\alpha}. Тому\begin{split} \left\lvert {f_n(x) - f_k(x)} \right\rvert & = \left\lvert {\int_{0}^x F\bigl(t,f_{n-1}(t)\bigr)~dt - \int_{0}^x F\bigl(t,f_{k-1}(t)\bigr)~dt} \right\rvert \\ & = \left\lvert {\int_{0}^x F\bigl(t,f_{n-1}(t)\bigr)- F\bigl(t,f_{k-1}(t)\bigr)~dt} \right\rvert \\ & \leq L\left\lVert {f_{n-1}-f_{k-1}} \right\rVert_u \left\lvert {x} \right\rvert \\ & \leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha} \left\lVert {f_{n-1}-f_{k-1}} \right\rVert_u . \end{split} НехайC := \frac{L\alpha}{M+L\alpha} і відмітить, щоC < 1. Беручи супремум з лівого боку, ми отримуємо\left\lVert {f_n-f_k} \right\rVert_u \leq C \left\lVert {f_{n-1}-f_{k-1}} \right\rVert_u . Без втрати спільності, припустимоn \geq k. Тоді ми можемо показати,\left\lVert {f_n-f_k} \right\rVert_u \leq C^{k} \left\lVert {f_{n-k}-f_{0}} \right\rVert_u . боx \in [-h,h] ми маємо\left\lvert {f_{n-k}(x)-f_{0}(x)} \right\rvert = \left\lvert {f_{n-k}(x)-y_0} \right\rvert \leq \alpha . Отже,\left\lVert {f_n-f_k} \right\rVert_u \leq C^{k} \left\lVert {f_{n-k}-f_{0}} \right\rVert_u \leq C^{k} \alpha . якC < 1,\{f_n\} є рівномірно Коші, і ми отримуємо, що рівномірно\{ f_n \} сходиться[-h,h] до якоїсь функціїf \colon [-h,h] \to {\mathbb{R}}. Функціяf є рівномірною межею безперервних функцій і, отже, безперервної. Далі, так як всеf_n([-h,h]) \subset [y_0-\alpha,y_0+\alpha], тоf([-h,h]) \subset [y_0-\alpha,y_0+\alpha] (навіщо?).

Тепер нам потрібно показати, щоf вирішує [picard:inteq]. По-перше, як і раніше ми\left\lvert {F\bigl(t,f_{n}(t)\bigr) - F\bigl(t,f(t)\bigr)} \right\rvert \leq L \left\lvert {f_n(t)-f(t)} \right\rvert \leq L \left\lVert {f_n-f} \right\rVert_u . помічаємо\left\lVert {f_n-f} \right\rVert_u As сходиться до 0, потімF\bigl(t,f_n(t)\bigr) сходиться рівномірноF\bigl(t,f(t)\bigr) дляt \in [-h,h]. Значить, дляx \in [-h,h] конвергенції є рівномірним дляt \in [0,x] (або[x,0] якщоx < 0). Тому\begin{aligned} y_0 + \int_0^{x} F(t,f(t)\bigr)~dt & = y_0 + \int_0^{x} F\bigl(t,\lim_{n\to\infty} f_n(t)\bigr)~dt & & \\ & = y_0 + \int_0^{x} \lim_{n\to\infty} F\bigl(t,f_n(t)\bigr)~dt & & \text{(by continuity of $F$)} \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( y_0 + \int_0^{x} F\bigl(t,f_n(t)\bigr)~dt \right) & & \text{(by uniform convergence)} \\ & = \lim_{n\to\infty} f_{n+1}(x) = f(x) . & &\end{aligned} ми застосовуємо фундаментальну теорему числення, щоб показати, щоf диференційовно, а його похідна єF\bigl(x,f(x)\bigr). Очевидно, щоf(0) = y_0.

Нарешті, що залишилося зробити, - це показати унікальність. Припустимоg \colon [-h,h] \to J \subset {\mathbb{R}}, це інше рішення. Як і раніше використовуємо те, що\left\lvert {F\bigl(t,f(t)\bigr) - F\bigl(t,g(t)\bigr)} \right\rvert \leq L \left\lVert {f-g} \right\rVert_u. Тоді\begin{split} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert & = \left\lvert { y_0 + \int_0^{x} F\bigl(t,f(t)\bigr)~dt - \left( y_0 + \int_0^{x} F\bigl(t,g(t)\bigr)~dt \right) } \right\rvert \\ & = \left\lvert { \int_0^{x} F\bigl(t,f(t)\bigr) - F\bigl(t,g(t)\bigr)~dt } \right\rvert \\ & \leq L\left\lVert {f-g} \right\rVert_u\left\lvert {x} \right\rvert \leq Lh\left\lVert {f-g} \right\rVert_u \leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha}\left\lVert {f-g} \right\rVert_u . \end{split} як і раніше,C = \frac{L\alpha}{M+L\alpha} < 1. Приймаючи supremumx \in [-h,h] на лівій стороні ми отримуємо\left\lVert {f-g} \right\rVert_u \leq C \left\lVert {f-g} \right\rVert_u . Це можливо тільки якщо\left\lVert {f-g} \right\rVert_u = 0. f=gТому і рішення унікальне.

Приклади

Давайте розглянемо кілька прикладів. Доказ теореми дає нам явний спосіб знайтиh те, що працює. Однак це не дає нам найкращогоh. Часто можна знайти набагато більший,h для якого тримається висновок теореми.

Доказ також дає нам ітерації Пікарда як наближення до рішення. Таким чином, доказ насправді говорить нам, як отримати рішення, а не тільки те, що рішення існує.

Розглянемоf'(x) = f(x), \qquad f(0) = 1 . Тобто, ми дозволяємоF(x,y) = y, і ми шукаємо функціюf таку, щоf'(x) = f(x). Підбираємо будь-якийI, який містить 0 в інтер'єрі. Підбираємо довільнийJ, який містить 1 в своєму інтер'єрі. Ми можемо використовуватиL = 1. Теорема гарантуєh > 0 таке, що існує унікальне рішенняf \colon [-h,h] \to {\mathbb{R}}. Це рішення зазвичай позначаєтьсяe^x := f(x) . Ми залишаємо його читачеві, щоб переконатися, що, вибравшиI і доситьJ великий доказ теореми гарантує, що ми можемо вибрати\alpha таке, що ми отримуємо будь-яке, щоh хочемо до тих пір, покиh < \nicefrac{1}{2}. Опускаємо розрахунок.

Звичайно, ми знаємо, що ця функція існує як функція для всіхx, томуh довільна повинна працювати. За тими ж міркуваннями, що і вище, незалежно від того, щоx_0 іy_0 є, доказ гарантує довільний до тихh пір, покиh < \nicefrac{1}{2}. Закріпіть такийh. Ми отримуємо унікальну функцію, визначену на[x_0-h,x_0+h]. Після визначення функції на[-h,h] ми знаходимо рішення на інтервалі[0,2h] і помічаємо, що дві функції повинні збігатися[0,h] за єдиністю. Таким чином, ми ітераційно будуємо експоненціальну для всіхx \in {\mathbb{R}}. Тому теорема Пікара може бути використана для доведення існування та єдиності експоненції.

Давайте обчислимо ітерації Picard. Починаємо з постійної функціїf_0(x) := 1. Тоді\begin{aligned} f_1(x) & = 1 + \int_0^x f_0(s)~ds = 1+x, \\ f_2(x) & = 1 + \int_0^x f_1(s)~ds = 1 + \int_0^x (1+s)~ds = 1 + x + \frac{x^2}{2}, \\ f_3(x) & = 1 + \int_0^x f_2(s)~ds = 1 + \int_0^x \left(1+ s + \frac{s^2}{2} \right)~ds = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} .\end{aligned} Ми визнаємо початок серії Тейлора для експоненціальної.

Припустимо, ми маємо рівнянняf'(x) = {\bigl(f(x)\bigr)}^2 \qquad \text{and} \qquad f(0)=1. З елементарних диференціальних рівнянь, які ми знаємо,f(x) = \frac{1}{1-x} є рішенням Рішення визначено лише на(-\infty,1). Тобто ми вміємо використовуватиh < 1, але ніколи більшеh. Функція, яка приймаєy доy^2 не Lipschitz як функція на всіх{\mathbb{R}}. У міру наближенняx=1 зліва розчин стає все більше і більше. Похідне розчину зростає якy^2, а томуL потрібного доведеться вy_0 міру зростання бути більше і більше. Таким чином, якщо ми застосуємо теорему зx_0 близьким до 1, іy_0 = \frac{1}{1-x_0} ми виявимоh, що докази гарантій будуть меншими і меншими, якx_0 підходи 1.

Підібравши\alpha правильно, доказ теореми гарантуєh=1-\nicefrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.134 (ми опускаємо розрахунок) дляx_0=0 іy_0=1, хоча ми бачили вище, що будь-якийh < 1 повинен працювати.

Розглянемоf'(x) = 2 \sqrt{\left\lvert {f(x)} \right\rvert}, \qquad f(0) = 0 . рівнянняF(x,y) = 2 \sqrt{\left\lvert {y} \right\rvert} Функція неперервна, але не Ліпшиц вy (чому?). Рівняння не задовольняє гіпотезам теореми. Функціяf(x) = \begin{cases} x^2 & \text{ if $x \geq 0$,}\\ -x^2 & \text{ if $x < 0$,} \end{cases} є рішенням, але такожf(x) = 0 є рішенням. Рішення існує, але не є унікальним.

Розглянемоy' = \varphi(x), де\varphi(x) := 0 якщоx \in {\mathbb{Q}} і\varphi(x):=1 якщоx \not\in {\mathbb{Q}}. Рівняння не має розв'язку незалежно від початкових умов. Рішення матиме похідну\varphi, але\varphi не має властивості проміжного значення в будь-якій точці (чому?). Жодного рішення не існує. Тому для того, щоб отримати існування рішення, необхіднаF деяка гіпотеза безперервності.

Вправи

I, J \subset {\mathbb{R}}Дозволяти бути інтервалами. F \colon I \times J \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервною функцією двох змінних і припустимо,f \colon I \to J що неперервна функція. Показати, щоF\bigl(x,f(x)\bigr) є безперервною функцією наI.

I, J \subset {\mathbb{R}}Дозволяти бути замкнуті обмежені інтервали. Показати,F \colon I \times J \to {\mathbb{R}} що якщо безперервний,F то обмежений.

Теорему Пікара ми довели за припущенням, щоx_0 = 0. Доведіть повне твердження теореми Пікара для довільногоx_0.

Нехайf'(x)=x f(x) буде наше рівняння. Почніть з початкової умовиf(0)=2 і знайдіть ітерації Пікардаf_0,f_1,f_2,f_3,f_4.

Припустимо,F \colon I \times J \to {\mathbb{R}} це функція, яка є безперервною в першій змінній, тобто для будь-якогоy фіксованого функція, яка приймаєx до,F(x,y) є безперервною. Далі, припустимо,F є Ліпшиц у другій змінній, тобто існуєL таке число, що\left\lvert {F(x,y) - F(x,z)} \right\rvert \leq L \left\lvert {y-z} \right\rvert \ \ \ \text{ for all $y,z \in J$, $x \in I$} . Show щоF є безперервним як функція двох змінних. Тому гіпотези в теоремі можна було б зробити ще слабкіше.

Загальним типом рівняння, з яким стикається є лінійні диференціальні рівняння першого порядку, тобто рівняння у виглядіy' + p(x) y = q(x) , \qquad y(x_0) = y_0 . теореми Прова Пікара для лінійних рівнянь. Припустимо,I це інтервалx_0 \in I,p \colon I \to {\mathbb{R}} іq \colon I \to {\mathbb{R}} є безперервними. Показати, що існує унікальна диференційовнаf \colon I \to {\mathbb{R}}, така, якаy = f(x) задовольняє рівнянню і початковій умові. Підказка: Припустіть існування експоненціальної функції та використовуйте формулу інтегруючого фактора для існуванняf (доведіть, що вона працює):f(x) := e^{-\int_{x_0}^x p(s)\, ds} \left( \int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^t p(s)\, ds} q(t) ~dt + y_0 \right).

Метричні простори

Метричні пробіли

Примітка: 1,5 лекції

Як згадувалося у вступі, основна ідея в аналізі полягає в тому, щоб взяти межі. У нас навчилися приймати межі послідовностей дійсних чисел. І в ми навчилися приймати межі функцій, як реальне число наблизилося до деякого іншого дійсного числа.

Ми хочемо взяти обмеження в більш складних контекстах. Наприклад, ми хочемо мати послідовності точок у тривимірному просторі. Ми хочемо визначити неперервні функції декількох змінних. Ми навіть хочемо визначити функції на просторах, які трохи складніше описати, наприклад, поверхню землі. Ми все ще хочемо поговорити про обмеження там.

Нарешті, ми побачили межу послідовності функцій в. Ми хочемо уніфікувати всі ці поняття, щоб нам не довелося знову і знову докорювати теореми в кожному контексті. Поняття метричного простору є елементарним, але потужним інструментом аналізу. І хоча недостатньо описати кожен тип ліміту, який ми знаходимо в сучасному аналізі, він дійсно отримує нас дуже далеко.

XДозволяти бути набір, іd \colon X \times X \to {\mathbb{R}} нехай функція така, що

  1. [метрика:pos]d(x,y) \geq 0 для всіхx, y вX,
  2. [метрика:нуль]d(x,y) = 0 якщо і тільки тодіx = y,
  3. [Метрика:ком]d(x,y) = d(y,x),
  4. [metric:triang]d(x,z) \leq d(x,y)+ d(y,z) (нерівність трикутника).

Тоді пара(X,d) називається метричним простором. Функціяd називається метричною або іноді функцією відстані. Іноді ми просто говоримо, щоX це метричний простір, якщо метрика зрозуміла з контексту.

Геометрична ідея полягає вd тому, що це відстань між двома точками. Елементи [metric:pos][metric:com] мають очевидну геометричну інтерпретацію: відстань завжди невід'ємна, єдина точка, якаx знаходиться на відстані 0,x сама по собі, і, нарешті, відстань відx доy така ж, як відстань від yдоx. Нерівність трикутника [metric:triang] має інтерпретацію, наведену в.

Для цілей креслення зручно малювати фігури та схеми в площині і мати метрику стандартної відстані. Однак це лише один конкретний метричний простір. Просто тому, що певний факт здається зрозумілим з малюнка, не означає, що це правда. Ви можете отримати в сторону інтуїції від евклідової геометрії, тоді як концепція метричного простору є набагато більш загальною.

Наведемо кілька прикладів метричних просторів.

Набір дійсних чисел{\mathbb{R}} є метричним простором з метрикоюd(x,y) := \left\lvert {x-y} \right\rvert . Items [metric:pos][metric:com] визначення легко перевірити. Нерівність трикутника [metric:triang] випливає відразу зі стандартної нерівності трикутника для дійсних чисел:d(x,z) = \left\lvert {x-z} \right\rvert = \left\lvert {x-y+y-z} \right\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert = d(x,y)+ d(y,z) . Ця метрика є стандартною метрикою на{\mathbb{R}}. Якщо говорити про{\mathbb{R}} як про метричний простір без згадки конкретної метрики, ми маємо на увазі саме цю метрику.

Ми також можемо поставити іншу метрику на множину дійсних чисел. Наприклад, візьмемо набір дійсних чисел{\mathbb{R}} разом з метрикоюd(x,y) := \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+1} . Items [metric:pos][metric:com] знову легко перевірити. Нерівність трикутника [metric:triang] трохи складніше. Зверніть увагу, щоd(x,y) = \varphi(\left\lvert {x-y} \right\rvert) де\varphi(t) = \frac{t}{t+1} і\varphi є зростаючою функцією (додатною похідною). Отже,\begin{split} d(x,z) & = \varphi(\left\lvert {x-z} \right\rvert) = \varphi(\left\lvert {x-y+y-z} \right\rvert) \leq \varphi(\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert) \\ & = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} + \frac{\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} \\ & \leq \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+1} + \frac{\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} = d(x,y)+ d(y,z) . \end{split} тут ми маємо приклад нестандартної метрики на{\mathbb{R}}. За допомогою цієї метрики ми бачимо, наприклад, щоd(x,y) < 1 для всіхx,y \in {\mathbb{R}}. Тобто будь-які дві точки знаходяться менше 1 одиниці один від одного.

Важливим метричним простором єn -мірний евклідовий простір{\mathbb{R}}^n = {\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}. Використовуємо такі позначення для очок:x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n. Ми також просто пишемо0 \in {\mathbb{R}}^n, щоб означати вектор(0,0,\ldots,0). Перш ніж зробити{\mathbb{R}}^n метричний простір, доведемо важливу нерівність, так звану нерівність Коші-Шварца.

Візьмітьx =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n іy =(y_1,y_2,\ldots,y_n) \in {\mathbb{R}}^n. Тоді{\biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr)}^2 \leq \biggl(\sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl(\sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) .

Будь-який квадрат дійсного числа є невід'ємним. Отже, будь-яка сума квадратів невід'ємна:\begin{split} 0 & \leq \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n {(x_j y_k - x_k y_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \bigl( x_j^2 y_k^2 + x_k^2 y_j^2 - 2 x_j x_k y_j y_k \bigr) \\ & = \biggl( \sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n y_k^2 \biggr) + \biggl( \sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n x_k^2 \biggr) - 2 \biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n x_k y_k \biggr) \end{split} Ми позначимо і ділимо на 2, щоб отримати те0 \leq \biggl( \sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) - {\biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr)}^2 ,, що саме те, що ми хотіли.

Побудуємо стандартну метрику для{\mathbb{R}}^n. Визначтеd(x,y) := \sqrt{ {(x_1-y_1)}^2 + {(x_2-y_2)}^2 + \cdots + {(x_n-y_n)}^2 } = \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 } .n=1 For, реальну лінію, ця метрика узгоджується з тим, що ми зробили вище. Знову ж таки, єдина складна частина визначення для перевірки - нерівність трикутника. Менш безладно працювати з квадратом метрики. Далі зверніть увагу на використання нерівності Коші-Шварца. \begin{split} {\bigl(d(x,z)\bigr)}^2 & = \sum_{j=1}^n {(x_j-z_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j+y_j-z_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n \Bigl( {(x_j-y_j)}^2+{(y_j-z_j)}^2 + 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \Bigr) \\ & = \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 + \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 + \sum_{j=1}^n 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \\ & \leq \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 + \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 + 2 \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 } \\ & = {\left( \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 } + \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 } \right)}^2 = {\bigl( d(x,y) + d(y,z) \bigr)}^2 . \end{split}Беручи квадратний корінь обох сторін, ми отримуємо правильну нерівність, оскільки квадратний корінь є зростаючою функцією.

Прикладом, який слід пам'ятати, є так звана дискретна метрика. XДозволяти будь-який набір і визначитиd(x,y) := \begin{cases} 1 & \text{if $x \not= y$}, \\ 0 & \text{if $x = y$}. \end{cases} Тобто всі точки однаково віддалені один від одного. КолиX є кінцевим набором, ми можемо намалювати діаграму, див. Наприклад. Речі стають тонкимиX, коли є нескінченний набір, такий як дійсні числа.

Хоча цей конкретний приклад рідко зустрічається на практиці, він дає корисний «тест на запах». Якщо ви робите заяву про метричні простори, спробуйте його з дискретною метрикою. Щоб показати, що(X,d) це дійсно метричний простір залишається як вправа.

[Example:MSC01]C([a,b],{\mathbb{R}}) Дозволяти бути множиною неперервних дійсних функцій на інтервалі[a,b]. Визначте метрику даліC([a,b],{\mathbb{R}}), якd(f,g) := \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert . Давайте перевіримо властивості. По-перше,d(f,g) є кінцевим, як і\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert неперервна функція на замкнутому обмеженому інтервалі[a,b], і так обмежена. Зрозумілоd(f,g) \geq 0, що це супремум невід'ємних чисел. Якщоf = g то\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert = 0 для всіхx і значитьd(f,g) = 0. І навпаки якщоd(f,g) = 0, то для будь-якого уx нас є\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert \leq d(f,g) = 0 і значитьf(x) = g(x) для всіхx іf=g. d(f,g) = d(g,f)Це однаково тривіально. Для показу нерівності трикутника ми використовуємо стандартну нерівність трикутника. \begin{split} d(f,g) & = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-h(x)+h(x)-g(x)} \right\rvert \\ & \leq \sup_{x \in [a,b]} ( \left\lvert {f(x)-h(x)} \right\rvert+\left\lvert {h(x)-g(x)} \right\rvert ) \\ & \leq \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-h(x)} \right\rvert+ \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {h(x)-g(x)} \right\rvert = d(f,h) + d(h,g) . \end{split}РозглядаючиC([a,b],{\mathbb{R}}) як метричний простір без згадки метрики, ми маємо на увазі саме цю метрику. Зверніть увагу на теd(f,g) = \left\lVert {f-g} \right\rVert_u, що, єдина норма.

Цей приклад може здатися езотеричним спочатку, але виявляється, що робота з такими просторами, як насправдіC([a,b],{\mathbb{R}}) є м'ясом значної частини сучасного аналізу. Обробка множин функцій як метричних просторів дозволяє нам абстрагуватися від великої кількості грубих деталей і довести потужні результати, такі як теорема Пікара з меншою роботою.

Часто корисно розглядати підмножину більшого метричного простору як сам метричний простір. Отримуємо наступну пропозицію, яке має банальний доказ.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іY \subset X, тоді обмеженняd|_{Y \times Y} є метрикою наY.

Якщо(X,d) є метричним просторомY \subset X, іd' := d|_{Y \times Y},(Y,d') то, як кажуть, підпростір(X,d).

Зазвичай просто писатиd для метрики наY, оскільки це обмеження метрики наX. Іноді ми говоримоd', що це підпростір метрика іY має підпростір топології.

Підмножина дійсних чисел обмежується всякий раз, коли всі його елементи знаходяться на максимальній фіксованій відстані від 0. Ми також визначаємо обмежені множини в метричному просторі. При роботі з довільним метричним простором може не бути якоїсь природної фіксованої точки 0. Для цілей обмеженості це не має значення.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір. ПідмножинаS \subset X, як кажуть, обмежений, якщо існуєp \in X іB \in {\mathbb{R}} такий, щоd(p,x) \leq B \quad \text{for all $x \in S$}. Ми говоримо(X,d) обмежена, якщоX сама є обмеженою підмножиною.

Наприклад, набір дійсних чисел зі стандартною метрикою не є обмеженим метричним простором. Неважко помітити, що підмножина дійсних чисел обмежена в сенсі якщо і тільки тоді, коли вона обмежена як підмножина метричного простору дійсних чисел стандартною метрикою.

З іншого боку, якщо взяти дійсні числа з дискретною метрикою, то отримаємо обмежений метричний простір. По суті, будь-яка множина з дискретною метрикою обмежена.

Вправи

Показати, що для будь-якоїX множини дискретна метрика (d(x,y) = 1якщоx\not=y іd(x,x) = 0) дає метричний простір(X,d).

НехайX := \{ 0 \} буде набір. Чи можете ви зробити це в метричному просторі?

НехайX := \{ a, b \} буде набір. Чи можете ви зробити це в два різних метричних простори? (визначити дві різні показники на ньому)

Нехай набірX := \{ A, B, C \} представляє 3 будівлі на території кампусу. Припустимо, ми хочемо, щоб наша відстань була часом, необхідним для прогулянки від однієї будівлі до іншої. Це займає 5 хвилин в будь-якому випадку між будівлямиA іB. Однак будівляC знаходиться на пагорбі, і це займає 10 хвилин відA і 15 хвилин від,B щоб дістатисяC. З іншого боку, потрібно 5 хвилин, щоб перейти відC доA і 7 хвилин, щоб перейти відC доB, як ми йдемо вниз. Чи визначають ці відстані метрику? Якщо так, доведіть це, якщо ні, скажіть чому б і ні.

Припустимо,(X,d) це метричний простір і\varphi \colon [0,\infty) \to {\mathbb{R}} є функцією така, що\varphi(t) \geq 0 для всіхt і\varphi(t) = 0 якщо і тільки якщоt=0. Також припустимо\varphi це субдобавка, тобто\varphi(s+t) \leq \varphi(s)+\varphi(t). Показуємоd'(x,y) := \varphi\bigl(d(x,y)\bigr), що з, отримаємо новий метричний простір(X,d').

[Вправа: mscross](Y,d_Y) Дозволяти(X,d_X) і бути метричними пробілами.
а) Показати, що(X \times Y,d) withd\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := d_X(x_1,x_2) + d_Y(y_1,y_2) - це метричний простір.
б) Показати, що(X \times Y,d) withd\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := \max \{ d_X(x_1,x_2) , d_Y(y_1,y_2) \} - це метричний простір.

XДозволяти бути набір безперервних функцій на[0,1]. Нехай\varphi \colon [0,1] \to (0,\infty) буде безперервним. Визначити «d(f,g) := \int_0^1 \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert\varphi(x)~dx .Показати», що(X,d) є метричним простором.

[Вправа: mshausdorffpseudo](X,d) Дозволяти бути метричним пробілом. Для непорожніх обмежених підмножинA іB нехайd(x,B) := \inf \{ d(x,b) : b \in B \} \qquad \text{and} \qquad d(A,B) := \sup \{ d(a,B) : a \in A \} . Тепер визначте метрику Hausdorff якd_H(A,B) := \max \{ d(A,B) , d(B,A) \} . Примітка:d_H може бути визначена для довільних непорожніх підмножин, якщо ми дозволимо розширені реали.
а)Y \subset {\mathcal{P}}(X) Дозволяти бути множиною обмежених непорожніх підмножин. Довести, що(Y,d_H) є так званим псевдометричним простором:d_H задовольняє метричні властивості [metric:pos], [metric:com], [metric:triang], і даліd_H(A,A) = 0 для всіхA \in Y.
б) Покажіть на прикладі, щоd сама по собі не симетрична, тобтоd(A,B) \not= d(B,A).
в) Знайдіть метричний простірX і дві різні непорожні обмежені підмножиниA іB такі, щоd_H(A,B) = 0.

Відкриті та закриті набори

Примітка: 2 лекції

Топологія

Корисно визначити так звану топологію. Тобто ми визначаємо замкнуті та відкриті множини в метричному просторі. Перш ніж це зробити, давайте визначимо два спеціальних множини.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір,x \in X і\delta > 0. Потім визначте відкриту кулю або просто кулю радіуса\delta навколо,x якB(x,\delta) := \{ y \in X : d(x,y) < \delta \} . Аналогічно ми визначаємо закриту кулю якC(x,\delta) := \{ y \in X : d(x,y) \leq \delta \} .

Коли ми маємо справу з різними метричними просторами, іноді зручно підкреслити, в якому метричному просторі знаходиться куля. Робимо це шляхом написанняB_X(x,\delta) := B(x,\delta) абоC_X(x,\delta) := C(x,\delta).

Візьміть метричний простір{\mathbb{R}} зі стандартною метрикою. Заx \in {\mathbb{R}}, і\delta > 0 отримуємоB(x,\delta) = (x-\delta,x+\delta) \qquad \text{and} \qquad C(x,\delta) = [x-\delta,x+\delta] .

Будьте обережні при роботі над підпростором. Припустимо, ми приймаємо метричний простір[0,1] як підпростір{\mathbb{R}}. Тоді в[0,1] ми отримуємоB(0,\nicefrac{1}{2}) = B_{[0,1]}(0,\nicefrac{1}{2}) = [0,\nicefrac{1}{2}) . Це відрізняється від\(B_

ParseError: invalid DekiScript (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[39]/div/div[1]/p[5]/span[5]/span, line 1, column 1
(0,\nicefrac{1}{2}) = (-\nicefrac{1}{2},\nicefrac{1}{2})\). Важливо пам'ятати, в якому метричному просторі ми працюємо.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір. НабірV \subset X відкритий, якщо для кожногоx \in V, існує\delta > 0 такий, щоB(x,\delta) \subset V. Див. НабірE \subset X закривається, якщо доповненняE^c = X \setminus E відкрите. Коли навколишній простір неX є зрозумілим з контексту, ми говоримо,V щоE відкритийX і закритийX.

Якщоx \in V іV відкритий, то ми говоримо, щоV це відкрите сусідствоx (або іноді просто сусідство).

Інтуїтивно відкритий набір - це набір, який не включає його «межу», де б ми не знаходилися в наборі, нам дозволяється трохи «похитуватися» і залишатися в наборі. Зауважте, що не кожен набір є відкритим або закритим, насправді, як правило, більшість підмножин не є ні.

Набір не[0,1) \subset {\mathbb{R}} відкритий і не закритий. По-перше, кожен куля{\mathbb{R}} навколо0(-\delta,\delta), містить негативні числа і, отже, не міститься в[0,1) і[0,1) тому не відкритий. По-друге, кожна куля{\mathbb{R}} навколо1(1-\delta,1+\delta) містить цифри строго менше 1 і більше 0 (наприклад, до тих1-\nicefrac{\delta}{2} пір, поки\delta < 2). При цьому{\mathbb{R}}\setminus [0,1) не відкривається, і так[0,1) не закривається.

[prop:topology:open](X,d) Дозволяти бути метричним простором.

  1. [топологія:openi]\emptyset іX відкриті вX.
  2. [топологія:openii] ЯкщоV_1, V_2, \ldots, V_k відкриті,\bigcap_{j=1}^k V_j то також відкрито. Тобто кінцеве перетин відкритих множин відкрито.
  3. [топологія:openiii] Якщо\{ V_\lambda \}_{\lambda \in I} є довільною колекцією відкритих множин, то\bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda вона також відкрита. Тобто об'єднання відкритих наборів є відкритим.

Зауважте, що індекс, встановлений у [топологія:openiii], довільно великий. Під\bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda ми просто маємо на увазі сукупність всьогоx такого, що хоча бx \in V_\lambda за одну\lambda \in I.

НабориX і явно\emptyset відкриті вX.

Доведемо [топологія:openii]. Якщоx \in \bigcap_{j=1}^k V_j, тоx \in V_j для всіхj. ЯкV_j і всі відкриті, для кожногоj існує\delta_j > 0 таке, щоB(x,\delta_j) \subset V_j. Візьміть\delta := \min \{ \delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_k \} і помічайте\delta > 0. У насB(x,\delta) \subset B(x,\delta_j) \subset V_j на кожногоj і такB(x,\delta) \subset \bigcap_{j=1}^k V_j. Отже, перехрестя відкрите.

Доведемо [топологія:openiii]. Якщоx \in \bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda, тоx \in V_\lambda для деяких\lambda \in I. ЯкV_\lambda відкрито, існує\delta > 0 таке, щоB(x,\delta) \subset V_\lambda. Але тодіB(x,\delta) \subset \bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda і так союз відкритий.

Головне, на що слід звернути увагу, це різниця між пунктами [топологія:openii] та [топологія:openiii]. Пункт [топологія:openii] не відповідає дійсності для довільного перетину, наприклад\bigcap_{n=1}^\infty (-\nicefrac{1}{n},\nicefrac{1}{n}) = \{ 0 \}, яке не є відкритим.

Доказ наступного аналогічного пропозиції для закритих сетів залишають як вправу.

[prop:topology:closed](X,d) Дозволяти бути метричним простором.

  1. [топологія:closedi]\emptyset іX закриті вX.
  2. [топологія:closedii] Якщо\{ E_\lambda \}_{\lambda \in I} є довільною сукупністю замкнених множин, то також\bigcap_{\lambda \in I} E_\lambda є замкнутим. Тобто перетин замкнутих множин закрито.
  3. [топологія:closediii] ЯкщоE_1, E_2, \ldots, E_k закриті\bigcup_{j=1}^k E_j, то також закриті. Тобто кінцеве об'єднання замкнутих множин замкнуто.

Ми ще не показали, що відкритий куля відкритий, а закритий куля закритий. Давайте зараз покажемо цей факт, щоб обґрунтувати термінологію.

[prop: топологія: кулі відкриті закриті](X,d) Дозволяти бути метричний простірx \in X, і\delta > 0. ПотімB(x,\delta) відкривається іC(x,\delta) закривається.

Нехайy \in B(x,\delta). Нехай\alpha := \delta-d(x,y). Звичайно\alpha > 0. Тепер давайтеz \in B(y,\alpha). Тодіd(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + \alpha = d(x,y) + \delta-d(x,y) = \delta . Томуz \in B(x,\delta) для кожногоz \in B(y,\alpha). ТакB(y,\alpha) \subset B(x,\delta) іB(x,\delta) відкрито.

Доказ того,C(x,\delta) що закритий, залишають як вправу.

Знову будьте обережні з тим, що таке навколишній метричний простір. Як і[0,\nicefrac{1}{2}) відкритий куля в[0,1], це означає, що[0,\nicefrac{1}{2}) це відкритий набір в[0,1]. З іншого боку[0,\nicefrac{1}{2}), ні відкритий, ні закритий{\mathbb{R}}.

Корисний спосіб думати про відкритий набір - це об'єднання відкритих куль. ЯкщоU відкритий, то для кожногоx \in U, є\delta_x > 0 (в залежності відx) такий, щоB(x,\delta_x) \subset U. ПотімU = \bigcup_{x\in U} B(x,\delta_x).

Доказ наступної пропозиції залишають як вправу. Зверніть увагу, що є багато інших відкритих і закритих наборів в{\mathbb{R}}.

[prop:топологія: інтервали:openclosed]a < b Дозволяти бути двома дійсними числами. Потім(a,b)(a,\infty), і(-\infty,b) відкриваються в{\mathbb{R}}. Крім того[a,b][a,\infty), і(-\infty,b] закриті в{\mathbb{R}}.

З'єднані набори

Непорожній метричний простір(X,d) з'єднується, якщо єдиними підмножинамиX, які є відкритими і закритими, є\emptyset іX самі. Якщо(X,d) не підключений, ми говоримо, що він відключений.

Коли ми застосовуємо термін, пов'язаний з непорожнім підмножиноюA \subset X, ми просто маємо на увазі, щоA з підпростором топологія пов'язана.

Іншими словами, непорожнійX підключається, якщо всякий раз, коли ми пишемоX = X_1 \cup X_2 деX_1 \cap X_2 = \emptysetX_1 і іX_2 відкриті, то абоX_1 = \emptyset абоX_2 = \emptyset. Таким чином, щоб показатиX відключений, нам потрібно знайти непорожні нероз'єднані відкриті множиниX_1 іX_2 чиє об'єднанняX. Для підмножин ми висловлюємо цю ідею як пропозицію.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір. Непорожній набір неS \subset X підключається тоді і тільки тоді, коли існують відкритіU_1 множини іU_2 вX, такі щоU_1 \cap U_2 \cap S = \emptyset,U_1 \cap S \not= \emptyset,U_2 \cap S \not= \emptyset, іS = \bigl( U_1 \cap S \bigr) \cup \bigl( U_2 \cap S \bigr) .

ЯкщоU_j відкритий вX, тоU_j \cap S відкритийS в топології підпростору (з метрикою підпростору). Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що якщоB_X(x,\delta) \subset U_j, то якB_S(x,\delta) = S \cap B_X(x,\delta), у нас єB_S(x,\delta) \subset U_j \cap S. Так що якщоU_1 іU_2 як вище існують, тоX відключається на основі обговорення вище.

Доказ іншого напрямку слід за допомогою знайтиU_1 іU_2 з двох відкритих нез'єднаних підмножинS.

НехайS \subset {\mathbb{R}} будуть такі, щоx < z < y зx,y \in S іz \notin S. Претензія:S не підключається. Доказ: Повідомлення\bigl( (-\infty,z) \cap S \bigr) \cup \bigl( (z,\infty) \cap S \bigr) = S .

НепорожняS \subset {\mathbb{R}} множина підключається тоді і лише тоді, коли це інтервал або одна точка.

ПрипустимоS, підключено. ЯкщоS це одна точка, то ми закінчили. Так припустимоx < y іx,y \in S. Якщоz такийx < z < y, що, то(-\infty,z) \cap S непорожній і(z,\infty) \cap S непорожній. Два набори є нероз'ємними. ЯкS це пов'язано, ми повинні мати у них їх союзу немаєS, так щоz \in S.

Припустимо,S це обмежена, пов'язана, але не єдина точка. Нехай\alpha := \inf \, S\beta := \sup \, S і зауважте, що\alpha < \beta. Припустимо\alpha < z < \beta. Як\alpha є інфімум, то єx \in S таке, що\alpha \leq x < z. Аналогічно відбуваєтьсяy \in S таке, що\beta \geq y > z. Ми показали вищеz \in S, що, так(\alpha,\beta) \subset S. Якщоw < \alpha, тоw \notin S як\alpha був інфімум, аналогічно якщоw > \beta тодіw \notin S. Тому єдиними можливостями дляS є(\alpha,\beta),[\alpha,\beta),(\alpha,\beta],[\alpha,\beta].

Доказ того, що необмеженим зв'язкомS є інтервал, залишається як вправа.

З іншого боку, припустимоS, це інтервал. ПрипустимоU_2,U_1 і є відкритими{\mathbb{R}}U_1 \cap S підмножинами, іU_2 \cap S є непорожніми, іS = \bigl( U_1 \cap S \bigr) \cup \bigl( U_2 \cap S \bigr). Ми покажемо, щоU_1 \cap S іU_2 \cap S містять загальну точку, щоб вони не розмежовувалися, а значить, іS повинні бути пов'язані. Припустимо, єx \in U_1 \cap S іy \in U_2 \cap S. Без втрати спільності припустимоx < y. ЯкS є інтервал[x,y] \subset S. Нехайz := \inf (U_2 \cap [x,y]). Якщоz = x, тоz \in U_1. Якщоz > x, то для будь-якого\delta > 0 кулькиB(z,\delta) = (z-\delta,z+\delta) містяться точкиS, яких немає вU_2, а такz \notin U_2 якU_2 відкрито. Тому,z \in U_1. Як іU_1 відкрито,B(z,\delta) \subset U_1 для невеликого вистачить\delta > 0. Як іz інфімумU_2 \cap [x,y], повинні існувати деякіw \in U_2 \cap [x,y] такі, щоw \in [z,z+\delta) \subset B(z,\delta) \subset U_1. Томуw \in U_1 \cap U_2 \cap [x,y]. ТакU_1 \cap S і неU_2 \cap S роз'єднані іS значить пов'язані.

У багатьох випадкахB(x,\delta) підключається куля. Але це не обов'язково вірно в кожному метричному просторі. Для найпростішого прикладу візьмемо двоточковий простір\{ a, b\} з дискретною метрикою. ПотімB(a,2) = \{ a , b \}, які не з'єднуються якB(a,1) = \{ a \} іB(b,1) = \{ b \} є відкритими і роз'єднаними.

Закриття та межа

Іноді ми бажаємо взяти набір і кинути в нього все, що нам може підійти зі знімального майданчика. Це поняття називається закриттям.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X. Тоді замиканняA - це множина\overline{A} := \bigcap \{ E \subset X : \text{$E$ is closed and $A \subset E$} \} . Тобто перетин всіх замкнутих множин, які містятьA.\overline{A}

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X. Закриття\overline{A} закрите. Крім тогоA, якщо закритий тоді\overline{A} = A.

По-перше, замикання - це перетин замкнутих наборів, тому воно закривається. По-друге, якщоA замкнутий, то беремоE = A, звідси перетин всіх замкнутих множин,E що містять,A має дорівнюватиA.

Закриття(0,1) в{\mathbb{R}} є[0,1]. Доказ: Просто зверніть увагу,E що якщо закритий і містить(0,1), тоE повинен містити0 і1 (чому?). Таким чином[0,1] \subset E. Але[0,1] також закритий. Тому закриття\overline{(0,1)} = [0,1].

Будьте обережні, щоб помітити, з яким навколишнім метричним простором ви працюєте. ЯкщоX = (0,\infty), то закриття(0,1) в(0,\infty) є(0,1]. Доказ: Аналогічно, як вище(0,1], закрито в(0,\infty) (чому?). Будь-який закритий набірE, який містить,(0,1) повинен містити 1 (чому?). Тому(0,1] \subset E, а значить, і\overline{(0,1)} = (0,1] при роботі в(0,\infty).

Обгрунтуємо твердження, що закриття - це все, до чого ми можемо «підійти» з безлічі.

[prop:msclosureappr](X,d) Дозволяти бути метричним пробілом іA \subset X. Тодіx \in \overline{A} якщо і тільки для кожного\delta > 0,B(x,\delta) \cap A \not=\emptyset.

Доведемо два контрапозитиви. Давайте покажемо, щоx \notin \overline{A} якщо і тільки тоді існує\delta > 0 таке, щоB(x,\delta) \cap A = \emptyset.

Спочатку припустимоx \notin \overline{A}. Ми знаємо,\overline{A} що закрито. При цьому відбувається\delta > 0 таке, щоB(x,\delta) \subset \overline{A}^c. ЯкA \subset \overline{A} ми бачимо, щоB(x,\delta) \subset A^c і звідсиB(x,\delta) \cap A = \emptyset.

З іншого боку припустимо, що є\delta > 0 такеB(x,\delta) \cap A = \emptyset. Тоді{B(x,\delta)}^c це закритий набір, і у нас єA \subset {B(x,\delta)}^c, що, алеx \notin {B(x,\delta)}^c. Таким чином, як\overline{A} і перетин замкнутих множинA, що містять, ми маємоx \notin \overline{A}.

Також можна говорити про те, що є в інтер'єрі гарнітура і що знаходиться на кордоні.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X, тоді інтер'єрA єA^\circ := \{ x \in A : \text{there exists a $\delta > 0$ such that $B(x,\delta) \subset A$} \} . множиною AМежа множини\partial A := \overline{A}\setminus A^\circ.

ПрипустимоA=(0,1], іX = {\mathbb{R}}. Тоді це не важко побачити\overline{A}=[0,1]A^\circ = (0,1), і\partial A = \{ 0, 1 \}.

ПрипустимоX = \{ a, b \} з дискретною метрикою. НехайA = \{ a \}, потім\overline{A} = A^\circ = A і\partial A = \emptyset.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X. ПотімA^\circ відкривається і\partial A закривається.

Враховуючи уx \in A^\circ нас\delta > 0 таке, щоB(x,\delta) \subset A. Якщоz \in B(x,\delta), то як відкриті кульки відкриті, є\epsilon > 0 такеB(z,\epsilon) \subset B(x,\delta) \subset A, що, такz є вA^\circ. ТомуB(x,\delta) \subset A^\circ і такA^\circ відкрито.

ЯкA^\circ відкрита,\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ = \overline{A} \cap {(A^\circ)}^c то закрита.

Кордон - це сукупність точок, близьких як до множини, так і до його доповнення.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X. Тодіx \in \partial A якщо і тільки для кожного\delta > 0,B(x,\delta) \cap A іB(x,\delta) \cap A^c обидва непорожні.

Припустимоx \in \partial A = \overline{A} \setminus A^\circ і нехай\delta > 0 будуть довільними. За,B(x,\delta) містить точку зA. B(x,\delta)Якби не містив пунктівA^c, тоx був би вA^\circ. Отже,B(x,\delta) містить точку,A^c а також.

Доведемо інший напрямок контрапозитивним. Якщоx \notin \overline{A}, то є\delta > 0 таке, щоB(x,\delta) \subset \overline{A}^c як\overline{A} закрито. Так що неB(x,\delta) містить ніяких точокA, тому що\overline{A}^c \subset A^c.

Тепер припустимоx \in A^\circ, тоді існує\delta > 0 такеB(x,\delta) \subset A, що, але це означає, що неB(x,\delta) містить точокA^c.

Отримаємо наступний безпосередній наслідок закриттяA іA^c. Ми просто застосовуємо.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X. Потім\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}.

Вправи

Доведіть. Підказка: розгляньте доповнення наборів і застосовуйте.

Завершіть доказ, доводячи,C(x,\delta) що закрито.

Доведіть.

Припустимо,(X,d) це непорожній метричний простір з дискретною топологією. Показати, щоX підключено лише тоді і лише тоді, коли він містить рівно один елемент.

Показати, що якщоS \subset {\mathbb{R}} є зв'язаним необмеженим набором, то це (необмежений) інтервал.

Показати, що кожен відкритий набір може бути записаний як об'єднання замкнутих множин.

а) Показати, щоE закрито, якщо і тільки якщо\partial E \subset E. б) Показати, щоU відкрито, якщо і тільки якщо\partial U \cap U = \emptyset.

а) Показати, щоA відкрито, якщо і тільки якщоA^\circ = A. б) Припустимо, щоU це відкритий набір іU \subset A. Покажіть, щоU \subset A^\circ.

XДозволяти бути набір іd,d' бути дві метрики наX. Припустимо, існує\alpha > 0 і\beta > 0 таке, що\alpha d(x,y) \leq d'(x,y) \leq \beta d(x,y) для всіхx,y \in X. Показати,U що відкрито,(X,d) якщо і тільки якщоU відкрито в(X,d'). Тобто топології(X,d) і(X,d') однакові.

Припустимо\{ S_i \},i \in {\mathbb{N}} це сукупність з'єднаних підмножин метричного простору(X,d). Припустимо, існуєx \in X таке, щоx \in S_i для всіхi \in {\mathbb{N}}. Показати, що\bigcup_{i=1}^\infty S_i підключено.

AДозволяти бути підключений набір. а) Чи\overline{A} підключено? Доведіть або знайдіть зустрічний приклад. б) ЧиA^\circ підключено? Доведіть або знайдіть контрприклад. Підказка: Подумайте про набори в{\mathbb{R}}^2.

Визначення відкритих множин у наступній вправі прийнято називати топологією підпростору. Вас попросять показати, що ми отримуємо ту саму топологію, враховуючи метрику підпростору.

[Вправа: msssubspace] Припустимо(X,d), що це метричний простір іY \subset X. Показати, що з метрикою підпросторуY увімкнено,U \subset Y множина відкрита (inY), коли існує відкритий набір,V \subset X такий, щоU = V \cap Y.

(X,d)Дозволяти бути метричним проміжком. а) Для будь-якогоx \in X і\delta > 0, показати\overline{B(x,\delta)} \subset C(x,\delta). б) Чи завжди це правда\overline{B(x,\delta)} = C(x,\delta)? Доведіть або знайдіть контрприклад.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA \subset X. Покажіть, щоA^\circ = \bigcup \{ V : V \subset A \text{ is open} \}.

Послідовності та збіжність

Примітка: 1 лекція

Послідовності

Поняття послідовності в метричному просторі дуже схоже на послідовність дійсних чисел. Визначення по суті ті ж самі, що і для дійсних чисел в сенсі того, де{\mathbb{R}} зі стандартною метрикоюd(x,y)=\left\lvert {x-y} \right\rvert замінюється довільний метричний пробіл(X,d).

Послідовність у метричному просторі(X,d) - це функціяx \colon {\mathbb{N}}\to X. Як і раніше пишемоx_n дляn го елемента в послідовності і використовуємо позначення\{ x_n \}, а точніше\{ x_n \}_{n=1}^\infty .

Послідовність\{ x_n \} обмежена, якщо існує точкаp \in X іB \in {\mathbb{R}} така, щоd(p,x_n) \leq B \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$.} Іншими словами, послідовність\{x_n\} обмежується щоразу, коли\{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\} множина обмежена.

Якщо\{ n_j \}_{j=1}^\infty послідовність натуральних чисел така, щоn_{j+1} > n_j для всіхj, то послідовність, як кажуть,\{ x_{n_j} \}_{j=1}^\infty є підпослідовністю\{x_n \}.

Аналогічно ми також визначаємо конвергенцію. Знову ж таки, ми будемо трохи обманювати, і ми будемо використовувати певний артикль перед лімітом слів, перш ніж довести, що межа унікальна.

Послідовність\{ x_n \} у(X,d) метричному просторі, як кажуть, сходиться до точкиp \in X, якщо для кожного\epsilon > 0, існуєM \in {\mathbb{N}} така, щоd(x_n,p) < \epsilon для всіхn \geq M. pСправа, як кажуть, межа\{ x_n \}. пишемо\lim_{n\to \infty} x_n := p .

Послідовність, яка сходиться, кажуть, що збігається. В іншому випадку послідовність кажуть, що розходиться.

Доведемо, що ліміт унікальний. Зверніть увагу, що доказ майже ідентичний тому ж факту для послідовностей дійсних чисел. Багато результатів, які ми знаємо для послідовностей дійсних чисел, можуть бути доведені в більш загальних налаштуваннях метричних просторів. Ми повинні\left\lvert {x-y} \right\rvert замінити наd(x,y) в доказах і правильно застосувати нерівність трикутника.

[prop:mslimisunique] Конвергентна послідовність у метричному просторі має унікальну межу.

Припустимо, послідовність\{ x_n \} має межуx і межуy. Візьміть довільну\epsilon > 0. З визначення знайтиM_1 таке, що для всіхn \geq M_1,d(x_n,x) < \nicefrac{\epsilon}{2}. Аналогічно знаходимоM_2 таке, що для всіх уn \geq M_2 нас єd(x_n,y) < \nicefrac{\epsilon}{2}. Тепер візьмітьn таку, щоn \geq M_1 і такожn \geq M_2\begin{split} d(y,x) & \leq d(y,x_n) + d(x_n,x) \\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split} Якd(y,x) < \epsilon для всіх\epsilon > 0, тоd(x,y) = 0 іy=x. Звідси межа (якщо вона існує) є унікальною.

У якості вправ залишаються докази наступних пропозицій.

[prop:msconvbound] Збіжна послідовність у метричному просторі обмежена.

[prop:msconvifa] Послідовність\{ x_n \} у метричному просторі(X,d) сходиться доp \in X if і тільки тоді, коли існує послідовність\{ a_n \} дійсних чисел така, щоd(x_n,p) \leq a_n \quad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$}, і\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

[prop:mssubseq]\{ x_n \} Дозволяти бути послідовністю в метричному просторі(X,d).

  1. Якщо\{ x_n \} сходиться доp \in X, то кожна підпослідовність\{ x_{n_k} \} сходиться доp.
  2. Якщо для деякихK \in {\mathbb{N}}K\{ x_n \}_{n=K+1}^\infty -tail сходиться доp \in X, то\{ x_n \} сходиться доp.

Конвергенція в евклідовому просторі

Корисно відзначити, що означає конвергенція в евклідовому просторі{\mathbb{R}}^n.

[prop:msconveuc]\{ x_j \}_{j=1}^\infty Дозволяти бути послідовність в{\mathbb{R}}^n, де ми пишемоx_j = \bigl(x_{j,1},x_{j,2},\ldots,x_{j,n}\bigr) \in {\mathbb{R}}^n. Потім\{ x_j \}_{j=1}^\infty сходиться якщо і тільки якщо\{ x_{j,k} \}_{j=1}^\infty сходиться для кожногоk, і в цьому випадку\lim_{j\to\infty} x_j = \Bigl( \lim_{j\to\infty} x_{j,1}, \lim_{j\to\infty} x_{j,2}, \ldots, \lim_{j\to\infty} x_{j,n} \Bigr) .

\{ x_j \}_{j=1}^\inftyДозволяти збіжну послідовність в{\mathbb{R}}^n, де ми пишемоx_j = \bigl(x_{j,1},x_{j,2},\ldots,x_{j,n}\bigr) \in {\mathbb{R}}^n. Нехайy = (y_1,y_2,\ldots,y_n) \in {\mathbb{R}}^n буде межа. З огляду на\epsilon > 0, існуєM таке, що для всіх уj \geq M нас єd(y,x_j) < \epsilon. Fix деякіk=1,2,\ldots,n. Боj \geq M ми маємо\bigl\lvert y_k - x_{j,k} \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(y_k - x_{j,k} \bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(y_\ell-x_{j,\ell}\bigr)}^2} = d(y,x_j) < \epsilon . Отже послідовність\{ x_{j,k} \}_{j=1}^\infty сходиться доy_k.

Для іншого напрямку припустимо, що\{ x_{j,k} \}_{j=1}^\infty сходитьсяy_k для кожногоk=1,2,\ldots,n. Значить\epsilon > 0, дано, підібрати такийM, що якщоj \geq M то\bigl\lvert y_k-x_{j,k} \bigr\rvert < \nicefrac{\epsilon}{\sqrt{n}} для всіхk=1,2,\ldots,n. Потім\[d(y,x_j) = \sqrt{\sum_{k=1}^n {\bigl(y_k-x_{j,k}\bigr)}^2} < \sqrt{\sum_{k=1}^n {\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)}^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n \frac

ParseError: invalid DekiScript (click for details)
Callstack:
    at (Математика/Аналіз/Вступ_до_реального_аналізу_(Lebl)/02:_Реальні_числа/2.01:_Основні_властивості), /content/body/div[40]/div/div[2]/p[4]/span[9]/span, line 1, column 1
{n}} = \epsilon .\] послідовність\{ x_j \} сходиться доy \in {\mathbb{R}}^n і ми закінчили.

Конвергенція і топологія

Топологія, тобто набір відкритих наборів простору кодує, які послідовності сходяться.

[prop:msconvtopo](X,d) Дозволяти бути метричним\{x_n\} пробілом і послідовністю вX. Потім\{ x_n \} сходиться,x \in X якщо і тільки якщо для кожного відкритогоU сусідстваx, існуєM \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq M нас єx_n \in U.

Спочатку припустимо,\{ x_n \} сходиться. НехайU буде відкрите сусідствоx, тоді існує\epsilon > 0 таке, щоB(x,\epsilon) \subset U. У міру сходження послідовності знайдітьM \in {\mathbb{N}} таку, яка для всіх уn \geq M нас єd(x,x_n) < \epsilon або іншими словамиx_n \in B(x,\epsilon) \subset U.

Доведемо інший напрямок. \epsilon > 0Дано нехайU := B(x,\epsilon) буде сусідствоx. Тоді єM \in {\mathbb{N}} таке, що дляn \geq M нас єx_n \in U = B(x,\epsilon) або іншими словами,d(x,x_n) < \epsilon.

Безліч закривається, коли він містить межі своїх збіжних послідовностей.

[prop:msclosedlim](X,d) Дозволяти бути метричним простором,E \subset X замкнутою\{ x_n \} множиною і послідовністю вE якій збігається з деякимиx \in X. Потімx \in E.

Доведемо контрапозитив. Припустимо,\{ x_n \} це послідовністьX, яка сходиться доx \in E^c. ЯкE^c відкрито, говорить єM таке, що для всіхn \geq M,x_n \in E^c. Так\{ x_n \} що не послідовність вE.

Коли ми беремо закриття наборуA, ми дійсно кидаємо в саме ті точки, які є межами послідовностей вA.

[prop:msclosureapprseq](X,d) Дозволяти бути метричним пробілом іA \subset X. Тодіx \in \overline{A} якщо і тільки в тому випадку, якщо існує\{ x_n \} послідовність елементів вA такому, що\lim\, x_n = x.

Нехайx \in \overline{A}. Ми знаємо, що за даними\nicefrac{1}{n}, існує точкаx_n \in B(x,\nicefrac{1}{n}) \cap A. Якd(x,x_n) < \nicefrac{1}{n}, у нас є\lim\, x_n = x.

Інший напрямок див.

Вправи

[Вправа: reverseclosedseq](X,d) Дозволяти бути метричним пробілом і нехайA \subset X. EДозволяти бути безліч всіхx \in X таких, що існує послідовність\{ x_n \} вA що сходиться доx. ПоказатиE = \overline{A}.

a) Показати, щоd(x,y) := \min \{ 1, \left\lvert {x-y} \right\rvert \} визначає метрику на{\mathbb{R}}. b) Показати, що послідовність збігається у тому випадку,({\mathbb{R}},d) якщо і тільки якщо вона збігається у стандартній метриці. c) Знайти обмежену послідовність({\mathbb{R}},d), в якій немає збіжної підпослідовності.

Доведіть.

Доведіть.

Припустимо,\{x_n\}_{n=1}^\infty сходиться доx. Припустимо,f \colon {\mathbb{N}} \to {\mathbb{N}} це функція один-на-один. Покажіть, що\{ x_{f(n)} \}_{n=1}^\infty сходиться доx.

If(X,d) - метричний простір, деd дискретна метрика. Припустимо,\{ x_n \} є збіжною послідовністю вX. Покажіть, що існуєK \in {\mathbb{N}} таке, що для всіх уn \geq K нас єx_n = x_K.

НабірS \subset X, як кажуть, щільний,X якщо для кожногоx \in X, існує послідовність\{ x_n \},S яка сходиться доx. Доведіть, що{\mathbb{R}}^n містить обчислювальну щільну підмножину.

\{ U_n \}_{n=1}^\inftyПрипустимо, щоU_{n+1} \subset U_n спадна (для всіхn) послідовність відкритих множин в метричному просторі(X,d) така, що\bigcap_{n=1}^\infty U_n = \{ p \} для деякихp \in X. \{ x_n \}Припустимо, послідовність точок вX такому, щоx_n \in U_n. Чи\{ x_n \} обов'язково сходиться доp? Доведіть або побудуйте контрприклад.

E \subset XДозволяти бути закриті і нехай\{ x_n \} послідовність вX сходженні доp \in X. Припустимоx_n \in E для нескінченно багатьохn \in {\mathbb{N}}. Показатиp \in E.

Візьміть{\mathbb{R}}^* = \{ -\infty \} \cup {\mathbb{R}}\cup \{ \infty \} за собою розширені реали. Визначитиx, y \in {\mathbb{R}},d(x,y) := \bigl\lvert \frac{x}{1+\left\lvert {x} \right\rvert} - \frac{y}{1+\left\lvert {y} \right\rvert} \bigr\rvert якщоd(\infty,x) := \bigl\lvert 1 - \frac{x}{1+\left\lvert {x} \right\rvert} \bigr\rvert, визначити,d(-\infty,x) := \bigl\lvert 1 + \frac{x}{1+\left\lvert {x} \right\rvert} \bigr\rvert для всіхx \in {\mathbb{R}}, і нехайd(\infty,-\infty) := 2. а) Показати, що({\mathbb{R}}^*,d) це метричний простор. б) Припустимо\{ x_n \}, що послідовність дійсних чисел такаM \in {\mathbb{R}}, що для кожного існуєN така, щоx_n \geq M для всіхn \geq N. Показати, що\lim\, x_n = \infty в({\mathbb{R}}^*,d). c) Показати, що послідовність дійсних чисел збігається з дійсним числом,({\mathbb{R}}^*,d) якщо і тільки якщо вона збігається{\mathbb{R}} зі стандартною метрикою.

Припустимо,\{ V_n \}_{n=1}^\infty це колекція відкритих наборів в(X,d) такому, щоV_{n+1} \supset V_n. \{ x_n \}Дозволяти послідовність така, щоx_n \in V_{n+1} \setminus V_n і припустимо\{ x_n \} сходиться доp \in X. Покажіть, щоp \in \partial V деV = \bigcup_{n=1}^\infty V_n.

Доведіть.

Повнота і компактність

Примітка: 2 лекції

Послідовності Коші і повнота

Так само, як і з послідовностями дійсних чисел, ми визначаємо послідовності Коші.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір. Послідовність\{ x_n \} вX - це послідовність Коші, якщо для кожного\epsilon > 0 існуєM \in {\mathbb{N}} така, що для всіхn \geq M і всіх уk \geq M нас єd(x_n, x_k) < \epsilon .

Визначення - це знову просто переклад поняття з дійсних чисел в метричні простори. Таким чином, послідовність дійсних чисел Коші в сенсі якщо і тільки якщо це Коші в сенсі вище, за умови, що ми обладнаємо дійсні числа стандартною метрикоюd(x,y) = \left\lvert {x-y} \right\rvert.

Конвергентна послідовність у метричному просторі - Коші.

Припустимо,\{ x_n \} сходиться доx. Враховуючи\epsilon > 0 єM таке, що дляn \geq M нас єd(x,x_n) < \nicefrac{\epsilon}{2}. Отже, для всіх уn,k \geq M нас єd(x_n,x_k) \leq d(x_n,x) + d(x,x_k) < \nicefrac{\epsilon}{2} + \nicefrac{\epsilon}{2} = \epsilon.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір. Ми говоримоX, що є повним або Коші-повним, якщо кожна послідовність Коші\{ x_n \} вX сходиться доx \in X.

Простір{\mathbb{R}}^n зі стандартною метрикою - це повний метричний простір.

Для{\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1 повноти була доведена в. Доказом вищевикладеної пропозиції є зведення до одновимірного випадку.

\{ x_j \}_{j=1}^\inftyДозволяти бути послідовність Коші в{\mathbb{R}}^n, де ми пишемоx_j = \bigl(x_{j,1},x_{j,2},\ldots,x_{j,n}\bigr) \in {\mathbb{R}}^n. Оскільки послідовність Коші, дана\epsilon > 0, існуєM така, що для всіх уi,j \geq M нас єd(x_i,x_j) < \epsilon.

Виправте деякіk=1,2,\ldots,n,i,j \geq M бо у нас\{ x_{j,k} \}_{j=1}^\infty є\bigl\lvert x_{i,k} - x_{j,k} \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(x_{i,k} - x_{j,k}\bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(x_{i,\ell}-x_{j,\ell}\bigr)}^2} = d(x_i,x_j) < \epsilon . Отже послідовність Коші. Як{\mathbb{R}} і повна послідовність сходиться; існуєy_k \in {\mathbb{R}} така, щоy_k = \lim_{j\to\infty} x_{j,k}.

Пишітьy = (y_1,y_2,\ldots,y_n) \in {\mathbb{R}}^n. До нас є, що\{ x_j \} сходитьсяy \in {\mathbb{R}}^n і, отже{\mathbb{R}}^n, є повним.

Зверніть увагу, що підмножина{\mathbb{R}}^n з метрикою підпростору не повинна бути повною. Наприклад,(0,1] з підпростором метрика не є повною, як\{ \nicefrac{1}{n} \} і послідовність Коші в(0,1] без обмежень в(0,1]. Але дивіться також.

Компактність

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іK \subset X. НабірK, як кажуть, компактний, якщо для будь-якої колекції відкритих множин,\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I} таких, щоK \subset \bigcup_{\lambda \in I} U_\lambda , існує кінцева підмножина,\{ \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_k \} \subset I така, щоK \subset \bigcup_{j=1}^k U_{\lambda_j} .

Колекція відкритих наборів\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I}, як зазначено вище, як кажуть, є відкритою кришкоюK. Таким чином, спосіб сказати, щоK компактний - це сказати, що кожна відкрита кришкаK має кінцеву підпокриття.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір. Компактний набірK \subset X закритий і обмежений.

Спочатку доведемо, що компактний набір обмежений. Виправитиp \in X. У нас відкрита кришкаK \subset \bigcup_{n=1}^\infty B(p,n) = X . ЯкщоK компактна, то існує якийсь набір індексів,n_1 < n_2 < \ldots < n_kK \subset \bigcup_{j=1}^k B(p,n_j) = B(p,n_k) . такихK що As міститься в кулі,K обмежений.

Далі ми показуємо набір, який не закритий не компактний. Припустимо\overline{K} \not= K, тобто є сенсx \in \overline{K} \setminus K. Якщоy \not= x, то дляn з у\nicefrac{1}{n} < d(x,y) нас єy \notin C(x,\nicefrac{1}{n}). Крім тогоx \notin K, такK \subset \bigcup_{n=1}^\infty {C(x,\nicefrac{1}{n})}^c . як закритий куля закритий,{C(x,\nicefrac{1}{n})}^c відкритий, і тому у нас є відкрита кришка. Якщо взяти будь-яку скінченну колекцію індексівn_1 < n_2 < \ldots < n_k, то\bigcup_{j=1}^k {C(x,\nicefrac{1}{n_j})}^c = {C(x,\nicefrac{1}{n_k})}^c Asx знаходиться в закритті,C(x,\nicefrac{1}{n_k}) \cap K \not= \emptyset. Таким чином, немає кінцевого підпокриву іK не компактний.

Нижче доведено, що у скінченно-вимірному евклідовому просторі кожна замкнута обмежена множина є компактною. Так замкнуті обмежені множини{\mathbb{R}}^n є прикладами компактних множин. Неправда, що в кожному метричному просторі замкнутий і обмежений еквівалентний компактності. Простим прикладом може бути неповний метричний простір, наприклад,(0,1) з метрикою підпростору. Але є багато повних і дуже корисних метричних просторів, де замкнутих і обмежених недостатньо для додання компактності, див.:C([a,b],{\mathbb{R}}) це повний метричний простір, але закритий блок куліC(0,1) не компактний. Однак див.

Корисна властивість компактних множин у метричному просторі полягає в тому, що кожна послідовність має збіжну підпослідовність. Такі набори іноді називають послідовно компактними. Доведемо, що в контексті метричних просторів множина є компактною тоді і тільки тоді, коли вона послідовно компактна. Спочатку доведемо лему.

[ms:lebesgue](X,d) Дозволяти бути метричним пробілом іK \subset X. Припустимо, кожна послідовність вK має збіжну підпослідовність вK. З огляду на\{ U_\lambda \}_{\lambda \in I} відкриту кришкуK, існує\delta > 0 таке, що для кожногоx \in K, існує\lambda \in I зB(x,\delta) \subset U_\lambda.

Важливо визнати, про що говорить лема. У ньому йдеться про те, що з огляду на будь-яку обкладинку є єдине\delta > 0. \deltaМоже залежати від кришки, але звичайно це не залежить відx.

Доведемо лему контрапозитивом. Якщо висновок не відповідає дійсності, то існує відкрита кришка\{ U_\lambda \}_{\lambda \in I}K з наступним властивістю. Для кожногоn \in {\mathbb{N}} існуєx_n \in K таке, що неB(x_n,\nicefrac{1}{n}) є підмножиною жодногоU_\lambda. З огляду на будь-якийx \in K, є\lambda \in I таке, щоx \in U_\lambda. Звідси є\epsilon > 0 таке, щоB(x,\epsilon) \subset U_\lambda. ВізьмітьM таку, що\nicefrac{1}{M} < \nicefrac{\epsilon}{2}. Якщоy \in B(x,\nicefrac{\epsilon}{2}) іn \geq M, то по нерівності трикутникаB(y,\nicefrac{1}{n}) \subset B(y,\nicefrac{1}{M}) \subset B(y,\nicefrac{\epsilon}{2}) \subset B(x,\epsilon) \subset U_\lambda . Іншими словами, для всіхn \geq M,x_n \notin B(x,\nicefrac{\epsilon}{2}). Отже, послідовність не може мати підпослідовності, що сходиться доx. Якx \in K було довільно ми зробили.

[thm:mscompactisseqcpt](X,d) Дозволяти бути метричним пробілом. ТодіK \subset X є компактним набором тоді і тільки тоді, коли кожна послідовність вK має підпослідовність, що сходиться до точки вK.

K \subset XДозволяти бути\{ x_n \} набір і послідовність вK. Припустимоx \in K, що для кожного знайдеться куляB(x,\alpha_x) для якогось\alpha_x > 0 такого, щоx_n \in B(x,\alpha_x) для тільки скінченно багатьохn \in {\mathbb{N}}. ТодіK \subset \bigcup_{x \in K} B(x,\alpha_x) . будь-яка кінцева колекція цих куль буде містити лише скінченно багатоx_n. При цьому для будь-якої кінцевої колекції таких куль існує такийx_n \in K, який не є в союзі. Тому неK є компактним.

Так що якщоK компактний, то існуєx \in K таке, що для будь-якого\delta > 0,B(x,\delta) міститьx_k для нескінченно багатьохk \in {\mathbb{N}}. М'ячB(x,1) містить деякіx_k так нехайn_1 := k. Якщоn_{j-1} визначено, то має існуватиk > n_{j-1} такеx_k \in B(x,\nicefrac{1}{j}), що, так визначтеn_j := k. Зауважте, щоd(x,x_{n_j}) < \nicefrac{1}{j}. За,\lim\, x_{n_j} = x.

Для іншого напрямку, припустимо, що кожна послідовність вK має підпослідовність, що сходиться вK. Беремо\{ U_\lambda \}_{\lambda \in I} відкриту кришкуK. Використовуючи Лебег, що охоплює лему вище, ми знаходимо\delta > 0 такеx, що для кожного існує\lambda \in I зB(x,\delta) \subset U_\lambda.

Підібратиx_1 \in K і знайти\lambda_1 \in I такі, щоB(x_1,\delta) \subset U_{\lambda_1}. ЯкщоK \subset U_{\lambda_1}, ми зупиняємося, як ми знайшли скінченну підкриття. В іншому випадку повинна бути точкаx_2 \in K \setminus U_{\lambda_1}. Зауважте, щоd(x_2,x_1) \geq \delta. Повинно існувати\lambda_2 \in I такі, щоB(x_2,\delta) \subset U_{\lambda_2}. Ми працюємо індуктивно. \lambda_{n-1}Припустимо, визначено. АбоU_{\lambda_1} \cup U_{\lambda_2} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}} є кінцевою обкладинкоюK, в цьому випадку ми зупиняємося, або там повинна бути точкаx_n \in K \setminus \bigl( U_{\lambda_1} \cup U_{\lambda_2} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}}\bigr). Зверніть увагу, щоd(x_n,x_j) \geq \delta для всіхj = 1,2,\ldots,n-1. Далі повинні бути\lambda_n \in I такі, щоB(x_n,\delta) \subset U_{\lambda_n}.

Або в якийсь момент ми отримуємо скінченне підпокриттяK або отримуємо нескінченну послідовність,\{ x_n \} як зазначено вище. Для протиріччя припустимо, що немає кінцевого підпокриву, і ми маємо послідовність\{ x_n \}. Для всіхn іkn \not= k, у нас єd(x_n,x_k) \geq \delta, так що жодна підпослідовність не\{ x_n \} може бути Коші. Звідси жодна підпослідовність не\{ x_n \} може бути збіжною, що є протиріччям.

Теорема Больцано-Вейєрштрасса для послідовностей дійсних чисел () говорить, що будь-яка обмежена послідовність в{\mathbb{R}} має збіжну підпослідовність. Тому будь-яка послідовність в замкнутому інтервалі[a,b] \subset {\mathbb{R}} має збіжну підпослідовність. Межа також повинна бути в,[a,b] оскільки межі зберігають несуворі нерівності. Отже, замкнутий обмежений інтервал[a,b] \subset {\mathbb{R}} є компактним.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір і нехайK \subset X бути компактним. ЯкщоE \subset K закритий набір, тоE компактний.

\{ x_n \}Дозволяти бути послідовність вE. Це також послідовність вK. Тому він має збіжну підпослідовність\{ x_{n_j} \}, яка сходиться до деякоїx \in K. ЯкE закрито межа послідовності вE також вE і такx \in E. При цьомуE повинен бути компактним.

[thm:msbw] Закрита обмежена підмножинаK \subset {\mathbb{R}}^n є компактною.

Таким чином,{\mathbb{R}}^n підмножини компактні, якщо і тільки якщо вони замкнуті і обмежені, умова, що набагато простіше перевірити. Повторюємо, що теорема Гейна-Бореля тримається лише для метричних просторів,{\mathbb{R}}^n а не для метричних просторів загалом. Взагалі, компактний має на увазі замкнутий і обмежений, але не навпаки.

Бо{\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1 якщоK \subset {\mathbb{R}} замкнутий і обмежений, то будь-яка послідовність\{ x_k \} вK обмежена, тому вона має збіжну підпослідовність за теоремою Больцано-Вейєрштрасса (). ЯкK замкнуто, межа підпослідовності повинна бути елементомK. ТакK виглядає компактно.

Здійснимо доказ дляn=2 і залишимо довільнеn як вправу. ЯкK \subset {\mathbb{R}}^2 обмежений, існує безлічB=[a,b]\times[c,d] \subset {\mathbb{R}}^2 таких, щоK \subset B. Ми покажемо,B що компактний. ТодіK, будучи замкнутим підмножиною компактB, також компактний.

\{ (x_k,y_k) \}_{k=1}^\inftyДозволяти бути послідовність вB. Тобто,a \leq x_k \leq b іc \leq y_k \leq d для всіхk. Обмежена послідовність дійсних чисел має збіжну підпослідовність, тому існує підпослідовність\{ x_{k_j} \}_{j=1}^\infty, яка є збіжною. Підпослідовність також\{ y_{k_j} \}_{j=1}^\infty є обмеженою послідовністю, тому існує підпослідовність\{ y_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty, яка є збіжною. Підпослідовність збіжної послідовності все ще збіжна, так і\{ x_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty збіжна. Нехайx := \lim_{i\to\infty} x_{k_{j_i}} \qquad \text{and} \qquad y := \lim_{i\to\infty} y_{k_{j_i}} . By,\bigl\{ (x_{k_{j_i}},y_{k_{j_i}}) \bigr\}_{i=1}^\infty сходиться до(x,y). Крім того, якa \leq x_k \leq b іc \leq y_k \leq d назавждиk, ми це знаємо(x,y) \in B.

Дискретна метрика знову наводить цікаві зустрічніприклади. (X,d)Дозволяти бути метричний простір з дискретною метрикою, тобтоd(x,y) = 1 якщоx \not= y. ПрипустимоX, це нескінченна безліч. Потім:

  1. (X,d)є повним метричним простором.
  2. Будь-якаK \subset X підмножина замкнута та обмежена.
  3. ПідмножинаK \subset X компактна тоді і лише тоді, коли вона є кінцевою множиною.
  4. Висновок Лебега, що охоплює лему, завжди задовольняється\delta = \nicefrac{1}{2}, наприклад, навіть для некомпактнихK \subset X.

Докази цих тверджень або тривіальні, або віднесені до наведених нижче вправ.

Вправи

(X,d)Дозволяти бути метричний простір іA скінченна підмножинаX. Покажіть,A що компактний.

ДозвольтеA = \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} \subset {\mathbb{R}}. а) Показати, що неA є компактним безпосередньо за допомогою визначення. б) Показати, щоA \cup \{ 0 \} компактний безпосередньо за допомогою визначення.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір з дискретної метрики. а) Довести,X що повно. б) Довести, щоX компактний, якщо і тільки якщоX є кінцевою множиною.

а) Покажіть, що об'єднання нескінченно багатьох компактних наборів - це компактний набір. б) Знайдіть приклад, коли об'єднання нескінченно багатьох компактних наборів не є компактним.

Доведіть для довільного виміру. Підказка: Хитрість полягає у використанні правильних позначень.

Показати, що компактний набірK є повним метричним простором (за допомогою метрики підпростору).

[Вправа: CABRComplete]C([a,b],{\mathbb{R}}) Дозволяти бути метричним простором, як у. Показати, щоC([a,b],{\mathbb{R}}) є повним метричним простором.

[Вправа: msclbounnotCompt]C([0,1],{\mathbb{R}}) Дозволяти бути метричним простором. Нехай0 позначимо нульову функцію. Потім покажіть, щоC(0,1) закритий куля не компактний (навіть якщо він закритий і обмежений). Підказки: Побудувати послідовність різних неперервних функцій,\{ f_n \} таких якd(f_n,0) = 1 іd(f_n,f_k) = 1 для всіхn \not= k. Покажіть, що набір\{ f_n : n \in {\mathbb{N}}\} \subset C(0,1) закритий, але не компактний. Дивіться для натхнення.

Показати, що існує метрика{\mathbb{R}}, яка{\mathbb{R}} перетворюється в компактний набір.

Припустимо(X,d), є повним і припустимо, що у нас є незліченно нескінченна колекція непорожніх компактних множинE_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset \cdots потім довести\bigcap_{j=1}^\infty E_j \not= \emptyset

C([0,1],{\mathbb{R}})Дозволяти бути метричний простір. KДозволятиf \in C([0,1],{\mathbb{R}}) множина таких, щоf дорівнює квадратичному многочлену, тобтоf(x) = a+bx+cx^2, і такого, що\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq 1 для всіхx \in [0,1], тобтоf \in C(0,1). Покажіть,K що компактний.

[Вправа: mstotbound](X,d) Дозволяти бути повним метричним простором. Показати, щоK \subset X компактний тоді і тільки тоді, колиK закритий і такий, що для кожного\epsilon > 0 існує скінченна множина точокx_1,x_2,\ldots,x_n сK \subset \bigcup_{j=1}^n B(x_j,\epsilon). Примітка: Такий набірK вважається повністю обмеженим, тому в повному метричному просторі набір компактний тоді і лише тоді, коли він закритий і повністю обмежений.

Візьміть{\mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}} за допомогою стандартної метрики. Знайдіть відкриту обкладинку{\mathbb{N}} такого, що укладення Лебега, що охоплює лему, не тримається.

Доведіть загальну теорему Больцано-Вейєрштрасса: Будь-яка обмежена послідовність\{ x_k \} в{\mathbb{R}}^n має збіжну підпослідовність.

XДозволяти метричний простір іC \subset {\mathcal{P}}(X) множина непорожніх компактних підмножинX. Використовуючи метрику Хаусдорфа з, показати, що(C,d_H) це метричний простір. Тобто показати, що якщоL іK є непорожніми компактними підмножинами, тоd_H(L,K) = 0 якщо і тільки якщоL=K.

[Вправа: closedcomplete](X,d) Дозволяти бути повним метричнимE \subset X простором і замкнутим набором. Показати, щоE з метрикою підпростору є повний метричний простір.

Безперервні функції

Примітка: 1 лекція

Безперервність

(Y,d_Y)Дозволяти(X,d_X) і бути метричні пробіли іc \in X. Потімf \colon X \to Y безперервно вc якщо для кожного\epsilon > 0 є\delta > 0 таке, що колиx \in X іd_X(x,c) < \delta, тоd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon.

Колиf \colon X \to Y є безперервним взагаліc \in X, то ми просто говоримо, щоf це безперервна функція.

Визначення узгоджується з визначенням fromf when є дійсною функцією на дійсній лінії, якщо взяти стандартну метрику далі{\mathbb{R}}.

[prop:contiscont](Y,d_Y) Дозволяти(X,d_X) і бути метричними пробілами. Потімf \colon X \to Y є безперервним,c \in X якщо і тільки якщо для кожної послідовності\{ x_n \} вX сходженні доc, послідовність\{ f(x_n) \} сходиться доf(c).

fПрипустимо, безперервний приc. \{ x_n \}Дозволяти послідовність вX сходженні доc. З огляду на\epsilon > 0, є\delta > 0 таке, щоd_X(x,c) < \delta має на увазіd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon. Так що візьмиM таке, що для всіхn \geq M, у нас єd_X(x_n,c) < \delta, тодіd_Y\bigl(f(x_n),f(c)\bigr) < \epsilon. Звідси\{ f(x_n) \} сходиться доf(c).

З іншого боку, припустимоf, не є безперервним приc. Тоді існує такий\epsilon > 0, що для кожногоn \in {\mathbb{N}} існує одинx_n \in X, зd_X(x_n,c) < \nicefrac{1}{n} таким, щоd_Y\bigl(f(x_n),f(c)\bigr) \geq \epsilon. Потім\{ x_n \} сходиться доc, але\{ f(x_n) \} не сходиться доf(c).

f \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}}Припустимо, це многочлен. Тобтоf(x,y) = \sum_{j=0}^d \sum_{k=0}^{d-j} a_{jk}\,x^jy^k = a_{0\,0} + a_{1\,0} \, x + a_{0\,1} \, y+ a_{2\,0} \, x^2+ a_{1\,1} \, xy+ a_{0\,2} \, y^2+ \cdots + a_{0\,d} \, y^d , для деякихd \in {\mathbb{N}} (ступінь) іa_{jk} \in {\mathbb{R}}. Тоді ми стверджуємоf, що це безперервно. \{ (x_n,y_n) \}_{n=1}^\inftyДозволяти послідовність в{\mathbb{R}}^2 тому, що сходиться до(x,y) \in {\mathbb{R}}^2. Ми довели, що це означає, що\lim\, x_n = x і\lim\, y_n = y. Таким чином, у насf є\lim_{n\to\infty} f(x_n,y_n) = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=0}^d \sum_{k=0}^{d-j} a_{jk} \, x_n^jy_n^k = \sum_{j=0}^d \sum_{k=0}^{d-j} a_{jk} \, x^jy^k = f(x,y) . Так безперервно в(x,y), і як(x,y) було довільноf безперервно всюди. Аналогічно многочлен уn змінних є безперервним.

Компактність і безперервність

Безперервні карти не відображають закриті набори на закриті набори. Наприклад,f \colon (0,1) \to {\mathbb{R}} визначенийf(x) := x бере набір(0,1), який закритий в(0,1), до набору(0,1), який не закритий в{\mathbb{R}}. З іншого боку, безперервні карти зберігають компактні набори.

[lemma:continuouscompact](X,d_X)(Y,d_Y) Дозволяти і бути метричні простори іf \colon X \to Y неперервна функція. ЯкщоK \subset X це компактний набір, тоf(K) це компактний набір.

Послідовність вf(K) може бути записана як\{ f(x_n) \}_{n=1}^\infty, де\{ x_n \}_{n=1}^\infty послідовність вK. НабірK компактний і тому є підпослідовність\{ x_{n_i} \}_{i=1}^\infty, яка сходиться до деякоїx \in K. За безперервністю,\lim_{i\to\infty} f(x_{n_i}) = f(x) \in f(K) . Таким чином, кожна послідовність вf(K) має підпослідовність збігається до точки вf(K), іf(K) компактна по.

Як і раніше,f \colon X \to {\mathbb{R}} досягає абсолютного мінімумуc \in X приf(x) \geq f(c) \qquad \text{ for all $x \in X$.} if З іншого боку,f досягає абсолютного максимуму приc \in X якщоf(x) \leq f(c) \qquad \text{ for all $x \in X$.}

(X,d)Дозволяти бути компактним метричним простором іf \colon X \to {\mathbb{R}} безперервною функцією. Потімf обмежується і фактичноf досягає абсолютного мінімуму і абсолютного максимуму наX.

ОскількиXf компактний і безперервний, у насf(X) \subset {\mathbb{R}} є компактний. Звідсиf(X) є замкнутим і обмеженим. Зокрема,\sup f(X) \in f(X) і\inf f(X) \in f(X), тому що і sup, і inf можуть бути досягнуті послідовностями вf(X) іf(X) закрито. Тому є деякіx \in X такі, щоf(x) = \sup f(X) і деякіy \in X такі, щоf(y) = \inf f(X).

Безперервність і топологія

Давайте подивимося, як визначити безперервність з точки зору топології, тобто відкритих множин. Ми вже бачили, що топологія визначає, які послідовності сходяться, і тому не дивно, що топологія також визначає безперервність функцій.

[lemma:mstopcontloc] Дозволяти(X,d_X) і(Y,d_Y) бути метричними пробілами. Функціяf \colon X \to Y є безперервною,c \in X якщо і тільки якщо для кожного відкритогоU сусідстваf(c) inYf^{-1}(U) множина містить відкрите сусідствоc inX.

По-перше, припустимо,f що безперервно вc. НехайU буде відкрите сусідствоf(c) вY, тоB_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr) \subset U для деяких\epsilon > 0. За безперервністюf, існує\delta > 0 таке, що всякий раз, колиx такеd_X(x,c) < \delta, що, тоd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon. Іншими словами,B_X(c,\delta) \subset f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) \subset f^{-1}(U) , іB_X(c,\delta) є відкритим сусідствомc.

Для іншого напрямку, нехай\epsilon > 0 буде дано. Якщоf^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) міститьW відкриту околицюc, вона містить кулю. Тобто, є деякі\delta > 0 такі,B_X(c,\delta) \subset W \subset f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) . що Це означає саме, що якщоd_X(x,c) < \delta потімd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon, іf так безперервно вc.

[thm:mstopocont](Y,d_Y) Дозволяти(X,d_X) і бути метричними пробілами. Функціяf \colon X \to Y є безперервною, якщо і тільки якщо для кожногоf^{-1}(U) відкритогоU \subset Y, відкрита вX.

Доказ випливає з і залишається як вправа.

f \colon X \to YДозволяти безперервна функція. говорить нам,E \subset Y що якщо закритий,f^{-1}(E) = X \setminus f^{-1}(E^c) то теж закритий. Тому якщо у нас є безперервна функціяf \colon X \to {\mathbb{R}}, то нульоваf множинаf^{-1}(0) = \{ x \in X : f(x) = 0 \}, тобто замкнута. Щойно доведено найголовніший результат алгебраїчної геометрії — дослідження нульових множин многочленів.

Аналогічноf множина де невід'ємна,f^{-1}\bigl( [0,\infty) \bigr) = \{ x \in X : f(x) \geq 0 \} тобто закривається. З іншого боку набір, деf позитивний,f^{-1}\bigl( (0,\infty) \bigr) = \{ x \in X : f(x) > 0 \} відкритий.

Рівномірна безперервність

Що стосується безперервних функцій на реальній лінії, то при визначенні безперервності іноді зручно мати можливість підібрати одну\delta для всіх точок.

(Y,d_Y)Дозволяти(X,d_X) і бути метричні пробіли. Тодіf \colon X \to Y рівномірно безперервно, якщо для кожного\epsilon > 0 є\delta > 0 таке, що колиx,c \in X іd_X(x,c) < \delta, тоd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon.

Рівномірно безперервна функція є безперервною, але не обов'язково навпаки, як ми бачили.

[THM:XCompactFunifCont](Y,d_Y) Дозволяти(X,d_X) і бути метричними пробілами. Припустимоf \colon X \to Y, суцільний іX компактний. Потімf рівномірно безперервно.

Нехай\epsilon > 0 дадуть. Для кожного підбирайте\delta_c > 0 такіc \in X, щоd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \nicefrac{\epsilon}{2} коли завгодноd_X(x,c) < \delta_c. КуліB(c,\delta_c) покриваютьX, а простірX компактне. Застосовуйте для отримання\delta > 0 такого, що для кожногоx \in X, єc \in X для чогоB(x,\delta) \subset B(c,\delta_c).

Якщоx_1, x_2 \in X деd_X(x_1,x_2) < \delta, знайдітьc \in X таку, щоB(x_1,\delta) \subset B(c,\delta_c). Потімx_2 \in B(c,\delta_c). За нерівністю трикутника і визначенням\delta_c ми маємоd_Y\bigl(f(x_1),f(x_2)\bigr) \leq d_Y\bigl(f(x_1),f(c)\bigr) + d_Y\bigl(f(c),f(x_2)\bigr) < \nicefrac{\epsilon}{2}+ \nicefrac{\epsilon}{2} = \epsilon . \qedhere

Корисними прикладами рівномірно неперервних функцій знову є так звані неперервні функції Ліпшица. Тобто якщо(X,d_X) і(Y,d_Y) є метричними просторами, тоf \colon X \to Y називається Lipschitz абоK -Lipschitz якщо існуєK \in {\mathbb{R}} таке щоd_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) \leq K d_X(x,c) \ \ \ \ \text{for all } x,c \in X. Не важко довести, що Ліпшиц має на увазі рівномірно безперервний, просто взяти\delta = \nicefrac{\epsilon}{K}. І ми вже бачили у випадку функцій на реальному рядку, функція може бути рівномірно безперервної, але не Ліпшіц.

Варто згадати, що якщо функцією є Ліпшиц, то, як правило, найпростіше просто показати, що це Ліпшиц, навіть якщо ми зацікавлені лише в тому, щоб знати безперервність.

Вправи

Розглянемо{\mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}} зі стандартною метрикою. (X,d)Дозволяти бути метричний простір іf \colon X \to {\mathbb{N}} безперервна функція. а) Доведіть, що якщоX підключений, тоf є постійним (діапазон одиничне значення). б) знайти приклад, деX відключений і неf є постійним.f

f \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатисяf(0,0) := 0, іf(x,y) := \frac{xy}{x^2+y^2} якщо(x,y) \not= (0,0). а) Показати, що для будь-якого фіксованого функціяx, яка приймаєy до,f(x,y) є безперервною. Аналогічно для будь-якого фіксованогоy, функція, яка приймаєx до,f(x,y) є безперервною. б) Показати, що неf є безперервною.

Припустимо, щоf \colon X \to Y є безперервним для метричних просторів(X,d_X) і(Y,d_Y). ДозвольтеA \subset X. а) Показати, щоf(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}. б) Показати, що підмножина може бути правильною.

Доведіть. Підказка: Використовуйте.

[extrace:msconnconn] Припустимо, щоf \colon X \to Y є неперервним для метричних просторів(X,d_X) і(Y,d_Y). Показати, що якщоX підключений, тоf(X) підключений.

Доведіть наступну версію. (X,d)Дозволяти бути з'єднаний метричний простір іf \colon X \to {\mathbb{R}} безперервна функція. Припустимо, що існуютьx_0,x_1 \in X іy \in {\mathbb{R}} такі, щоf(x_0) < y < f(x_1). Тоді доведіть, що існуєz \in X таке, щоf(z) = y. Підказка: Див.

Безперервна функціяf \colon X \to Y для метричних просторів(X,d_X) і(Y,d_Y) вважається правильноюK \subset Y, якщо для кожного компактного набору набірf^{-1}(K) компактний. Припустимо, що безперервнийf \colon (0,1) \to (0,1)\{ x_n \} є правильним і є послідовністю в(0,1) що сходиться до0. Показати, що не\{ f(x_n) \} має підпослідовності, яка сходиться в(0,1).

(X,d_X)(Y,d_Y)Дозволяти і бути метричним простором іf \colon X \to Y бути один до одного і на безперервну функцію. XПрипустимо, компактний. Доведіть, щоf^{-1} \colon Y \to X зворотне є безперервним.

Візьміть метричний простір неперервних функційC([0,1],{\mathbb{R}}). k \colon [0,1] \times [0,1] \to {\mathbb{R}}Дозволяти бути безперервної функції. f \in C([0,1],{\mathbb{R}})Задано визначення\varphi_f(x) := \int_0^1 k(x,y) f(y) ~dy . а) Показати, щоT(f) := \varphi_f визначає функціюT \colon C([0,1],{\mathbb{R}}) \to C([0,1],{\mathbb{R}}).
б) Показати, щоT є безперервним.

(X,d)Дозволяти бути метричний простір.
а) Якщоp \in X, показати, щоf \colon X \to {\mathbb{R}} визначеноf(x) := d(x,p) є безперервним.
б) Визначте метрику,X \times X як у частині b, і показати, щоg \colon X \times X \to {\mathbb{R}} визначеноg(x,y) := d(x,y) є безперервним.
в) Показати, що якщоK_1 іK_2 є компактними підмножинамиX, то існуєp \in K_1 іq \in K_2 таке, що мінімально, тобтоd(p,q) = \inf \{ (x,y) \colon x \in K_1, y \in K_2 \}.d(p,q)

Теорема фіксованої точки та теорема Пікара знову

Примітка: 1 лекція (необов'язково, не вимагає)

У цьому розділі доведено теорему фіксованої точки для відображень стиснення. Як додаток доведено теорему Пікара, яку ми довели без метричних просторів в. Доказ, який ми представляємо тут, схожий, але доказ йде набагато плавніше з метричними просторами та теоремою фіксованої точки.

Теорема про фіксовану точку

(X',d')Дозволяти(X,d) і бути метричні пробіли. f \colon X \to X'кажуть, що це скорочення (або контрактивна карта), якщо це картаk -Lipschitz для деякихk < 1, тобто якщо існуєk < 1 таке, щоd'\bigl(f(x),f(y)\bigr) \leq k d(x,y) \ \ \ \ \text{for all } x,y \in X.

Iff \colon X \to X є картою,x \in X називається фіксованою точкою iff(x)=x.

[Принцип відображення стиснення або теорема фіксованої точки] [thm:contr] Дозволяти(X,d) бути непорожнім повним метричнимf \colon X \to X простором і стисненням. Потімf має унікальну фіксовану точку.

Слова повне і стиснення необхідні. Див.

Підібрати будь-якийx_0 \in X. Визначте послідовність\{ x_n \} поx_{n+1} := f(x_n). d(x_{n+1},x_n) = d\bigl(f(x_n),f(x_{n-1})\bigr) \leq k d(x_n,x_{n-1}) \leq \cdots \leq k^n d(x_1,x_0) .Припустимоm > n, тоді\begin{split} d(x_m,x_n) & \leq \sum_{i=n}^{m-1} d(x_{i+1},x_i) \\ & \leq \sum_{i=n}^{m-1} k^i d(x_1,x_0) \\ & = k^n d(x_1,x_0) \sum_{i=0}^{m-n-1} k^i \\ & \leq k^n d(x_1,x_0) \sum_{i=0}^{\infty} k^i = k^n d(x_1,x_0) \frac{1}{1-k} . \end{split} зокрема послідовність Коші (чому?). ОскількиX завершено, ми дозволяємоx := \lim\, x_n, і ми стверджуємо, щоx це наша унікальна фіксована точка.

Фіксована точка? fФункція безперервна, оскільки це скорочення, тому Ліпшиц безперервний. Звідсиf(x) = f( \lim \, x_n) = \lim\, f(x_n) = \lim\, x_{n+1} = x .

Унікальний? Нехайx іy обидва будуть фіксованими точками. d(x,y) = d\bigl(f(x),f(y)\bigr) \leq k d(x,y) .Якk < 1 це означає, щоd(x,y) = 0 і значитьx=y. Доведено теорему.

Доказ є конструктивним. Мало того, що ми знаємо, що існує унікальна фіксована точка. Ми також знаємо, як його знайти. Ми починаємо з будь-якої точкиx_0 \in X і просто перебираємоf(x_0)f(f(x_0))f(f(f(x_0))),, і т.д... Насправді, ви навіть можете знайти, наскільки далеко від фіксованої точки ви знаходитесь, дивіться вправи. Тому ідея доказу використовується в реальних програмах.

Теорема Пікара

Перш ніж ми перейдемо до Пікара, згадаємо, до якого метричного простору ми будемо застосовувати теорему фіксованої точки. Ми будемо використовувати метричний простірC([a,b],{\mathbb{R}}). Тобто простір неперервних функційf \colon [a,b] \to {\mathbb{R}} з метричноюd(f,g) = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert . збіжністю в цій метриці є збіжністю в рівномірній нормі, або іншими словами, рівномірною збіжністю.C([a,b],{\mathbb{R}}) Тому дивіться,C([a,b],{\mathbb{R}}) являє собою повний метричний простір.

Використаємо теорему фіксованої точки для доведення класичної теореми Пікара про існування та єдиність звичайних диференціальних рівнянь. Розглянемо рівняння\frac{dy}{dx} = F(x,y) . Враховуючи деякіx_0, y_0 ми шукаємо функціюy=f(x) таку, щоf(x_0) = y_0 і таке, щоf'(x) = F\bigl(x,f(x)\bigr) . Щоб уникнути необхідності придумувати багато імен ми часто просто пишемоy' = F(x,y) іy(x) для рішення.

Найпростішим прикладом є, наприкладy' = y, рівняння,y(0) = 1. Рішення - експоненціальнаy(x) = e^x. Дещо більш складним прикладом є теy' = -2xyy(0) = 1, чиє рішення - Гауссоваy(x) = e^{-x^2}.

Є деякі тонкі питання, наприклад, як довго існує рішення. Подивіться на рівнянняy' = y^2,y(0)=1. Тодіy(x) = \frac{1}{1-x} є рішення. ХочаF є досить «приємною» функцією і, зокрема, існує для всіхx іy, рішення «вибухає» наx=1. Додаткові приклади, пов'язані з теоремою Пікара, див.

НехайI, J \subset {\mathbb{R}} будуть компактні інтервали, нехайI_0 іJ_0 будуть їх інтер'єри, і нехай(x_0,y_0) \in I_0 \times J_0. ПрипустимоF \colon I \times J \to {\mathbb{R}}, безперервний і Ліпшиц в другій змінній, тобто існуєL \in {\mathbb{R}} така що\left\lvert {F(x,y) - F(x,z)} \right\rvert \leq L \left\lvert {y-z} \right\rvert \ \ \ \text{ for all $y,z \in J$, $x \in I$} . Тоді існуєh > 0 і унікальна диференційована функціяf \colon [x_0 - h, x_0 + h] \to J \subset {\mathbb{R}}, така, щоf'(x) = F\bigl(x,f(x)\bigr) \qquad \text{and} \qquad f(x_0) = y_0.

Без втрати спільності припускаємоx_0 =0. ОскількиI \times JF(x,y) компактний і безперервний, він обмежений. Так що знайтиM > 0, такий, що\left\lvert {F(x,y)} \right\rvert \leq M для всіх(x,y) \in I\times J. Підібрати\alpha > 0 такі, що[-\alpha,\alpha] \subset I і[y_0-\alpha, y_0 + \alpha] \subset J. Нехайh := \min \left\{ \alpha, \frac{\alpha}{M+L\alpha} \right\} . Примітка[-h,h] \subset I. ВизначитиY := \{ f \in C([-h,h],{\mathbb{R}}) : f([-h,h]) \subset J \} . % [y_0-\alpha,y_0+\alpha] \} . множинуY Тобто простір безперервних функцій на[-h,h] зі значеннями вJ, іншими словами, саме тих функцій, де маєF\bigl(x,f(x)\bigr) сенс. Використовувана метрика є стандартною метрикою, наведеною вище.

Покажіть,Y \subset C([-h,h],{\mathbb{R}}) що закрито. JПідказка: закрита.

ПростірC([-h,h],{\mathbb{R}}) є повним, а замкнута підмножина повного метричного простору - це повний метричний простір з метрикою підпростору, див. ТакY з підпростором метрика завершена.

Визначте відображенняT \colon Y \to C([-h,h],{\mathbb{R}}) заT(f)(x) := y_0 + \int_0^x F\bigl(t,f(t)\bigr)~dt .

Показати, що якщоf \colon [-h,h] \to J є безперервнимF\bigl(t,f(t)\bigr), то є безперервним[-h,h] як функціяt. Використовуйте це, щоб показати,T що чітко визначено і щоT(f) \in C([-h,h],{\mathbb{R}}).

Нехайf \in Y і\left\lvert {x} \right\rvert \leq h. ЯкF обмежено уM нас є\begin{split} \left\lvert {T(f)(x) - y_0} \right\rvert &= \left\lvert {\int_0^x F\bigl(t,f(t)\bigr)~dt} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {x} \right\rvert M \leq hM \leq \frac{\alpha M}{M+ L\alpha} \leq \alpha . \end{split} ТакT(f)([-h,h]) \subset [y_0-\alpha,y_0+\alpha] \subset J, іT(f) \in Y. Іншими словами,T(Y) \subset Y. Таким чином, ми розглядаємоT як відображенняY доY.

Ми стверджуємоT \colon Y \to Y, що це скорочення. По-перше, дляx \in [-h,h] іf,g \in Y ми маємо\left\lvert {F\bigl(x,f(x)\bigr) - F\bigl(x,g(x)\bigr)} \right\rvert \leq L\left\lvert {f(x)- g(x)} \right\rvert \leq L \, d(f,g) . Тому,\begin{split} \left\lvert {T(f)(x) - T(g)(x)} \right\rvert &= \left\lvert {\int_0^x F\bigl(t,f(t)\bigr) - F\bigl(t,g(t)\bigr)~dt} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {x} \right\rvert L \, d(f,g) \leq h L\, d(f,g) \leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha} \, d(f,g) . \end{split} Ми вибралиM > 0 і так\frac{L\alpha}{M+L\alpha} < 1. Претензія доведена шляхом прийняття supremum надx \in [-h,h] лівою стороною вище, щоб отриматиd\bigl(T(f),T(g)\bigr) \leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha} \, d(f,g).

Застосовуємо теорему фіксованої точки (), щоб знайти унікальнуf \in Y такуT(f) = f, що, тобто%\label{equation:msinteqpicard} f(x) = y_0 + \int_0^x F\bigl(t,f(t)\bigr)~dt . за фундаментальною теоремою числення,T(f) є унікальною диференційовною функцією, похідною якої єF\bigl(x,f(x)\bigr) іT(f)(0) = y_0. Томуf є унікальним рішеннямf'(x) = F\bigl(x,f(x)\bigr) іf(0) = y_0.

Доведіть, що твердження «Без втрати спільності припускаютьx_0 = 0» є обґрунтованим. Тобто довести, що якщо ми знаємо теорему зx_0 = 0, теорема вірна, як зазначено.

Вправи

Більше вправ, пов'язаних з теоремою Пікара див.

F \colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}Дозволяти визначатисяF(x) := kx + b де0 < k < 1,b \in {\mathbb{R}}.
а) Показати, щоF це скорочення.
б) Знайдіть фіксовану точку і покажіть безпосередньо, що вона унікальна.

f \colon [0,\nicefrac{1}{4}] \to [0,\nicefrac{1}{4}]Дозволяти визначатисяf(x) := x^2 - це скорочення.
а) Покажіть, щоf це скорочення, і знайдіть найкраще (найменше)k з визначення, яке працює.
б) Знайдіть фіксовану точку і покажіть безпосередньо, що вона унікальна.

[Вправа: nofixedpoint] a) Знайти приклад скороченняf \colon X \to X неповного метричного просторуX без фіксованої точки. b) Знайдіть картуf \colon X \to X 1-Ліпшіца повного метричного просторуX без фіксованої точки.

Розглянемоy' =y^2,y(0)=1. Скористайтеся схемою ітерації з доказу принципу відображення стиснення. Почніть зf_0(x) = 1. Знайдіть кілька ітерацій (принаймні доf_2). Доведіть, що точково межаf_n є\frac{1}{1-x}, тобто для кожногоx з\left\lvert {x} \right\rvert < h для деякихh > 0, довести, що\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) = \frac{1}{1-x}.

Припустимо,f \colon X \to X це скорочення дляk < 1. Припустимо, ви використовуєте процедуру ітерації зx_{n+1} := f(x_n) як у доведенні теореми фіксованої точки. Припустимо,x це фіксована точкаf.
а) Покажіть, щоd(x,x_n) \leq k^n d(x_1,x_0) \frac{1}{1-k} для всіхn \in {\mathbb{N}}.
б) Припустимоd(y_1,y_2) \leq 16 для всіхy_1,y_2 \in X, іk= \nicefrac{1}{2}. ЗнайдітьN таке, що починається в будь-якій точціx_0 \in X,d(x,x_n) \leq 2^{-16} для всіхn \geq N.

Нехайf(x) := x-\frac{x^2-2}{2x}. (Ви можете розпізнати метод Ньютона для\sqrt{2})
a) Доведітьf\bigl([1,\infty)\bigr) \subset [1,\infty).
б) Доведіть, щоf \colon [1,\infty) \to [1,\infty) це скорочення.
в) Застосуйте теорему фіксованої точки, щоб знайтиx \geq 1 такуf(x) = x, що, і показати, щоx = \sqrt{2}.

Припустимо,f \colon X \to X це скорочення, і(X,d) є метричним простором з дискретною метрикою, тобтоd(x,y) = 1 коли завгодноx \not= y. Покажіть, щоf є постійним, тобто існуєc \in X таке, щоf(x) = c для всіхx \in X.


  1. Термін «модерн» відноситься до кінця 19 століття до теперішнього часу.
  2. Для шанувальників телешоу Футурама є кінотеатр в одному епізоді під назвою\aleph_0 a-plex.
  3. Алгебраїст сказав би, що{\mathbb{Z}} це впорядковане кільце, або, можливо, точніше комутативне впорядковане кільце.
  4. Унікальність залежить від ізоморфізму, але ми хочемо уникнути надмірного використання алгебри. Для нас досить просто припустити, що набір дійсних чисел існує. Див. Рудін для будівництва та більш докладної інформації.
  5. Названо на честь швейцарського математика Якова Бернуллі (1655 — 1705 рр.).
  6. Гіпотеза обмеженості призначена для простоти, її можна скинути, якщо ми дозволимо розширені дійсні числа.
  7. використовуйте позначення(x_n) для позначення послідовності замість того\{ x_n \}, що використовує. Обидва поширені.
  8. Названо на честь англійського фізика і математика Ісаака Ньютона (1642 — 1726/7).
  9. Названий на честь чеського математика Бернхарда Плачіда Йоганна Непомука Больцано (1781 — 1848) та німецького математика Карла Теодора Вільгельма Вайєрштрасса (1815 — 1897).
  10. Іноді кажуть, що\{ x_n \} сходиться до нескінченності.
  11. Названо на честь французького математика Августена-Луї Коші (1789—1857).
  12. Розбіжність гармонічного ряду була відома ще до того, як теорія рядів була зроблена суворою. Насправді доказ, який ми даємо, є найбільш раннім доказом і був наведений Ніколь Оресме (1323? —1382).
  13. Демонстрація цього факту зробила відомим швейцарський математик Леонхард Пол Ейлер (1707 — 1783).
  14. Названий на честь італійського математика Ернесто Сеса а-ро (1859 — 1906 рр.).
  15. Названа на честь німецького математика Йоганнеса Карла Томае (1840 — 1921 рр.).
  16. Названо на честь німецького математика Рудольфа Отто Сігізмунда Ліпшица (1832—1903).
  17. Названий на честь німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца (1646—1716).
  18. Названо на честь французького математика Мішеля Ролля (1652—1719).
  19. Названий на честь англійського математика Брука Тейлора (1685—1731). Вперше його знайшов шотландський математик Джеймс Грегорі (1638 — 1675). Заява, яку ми даємо, була доведена Жозеф-Луї Лагранжем (1736 — 1813 рр.)
  20. Названо на честь німецького математика Георга Фрідріха Бернхарда Рімана (1826—1866).
  21. Названа на честь французького математика Жана-Гастона Дарбу (1842—1917).
  22. Такий,h як кажуть, має обмежену варіацію.
  23. Порівняйте цю гіпотезу з.
  24. Названий на честь швейцарського математика Леонарда Поля Ейлера (1707 — 1783) та італійського математика Лоренцо Машероні (1750 — 1800).
  25. Скорочено від латинської: синус кардиналіс
  26. Позначення, ні термінологія не повністю стандартизовані. Норму ще називають нормою sup або нормою нескінченності,\left\lVert {f} \right\rVert_u а крім і\left\lVert {f} \right\rVert_S її іноді пишуть як\left\lVert {f} \right\rVert_{\infty} або\left\lVert {f} \right\rVert_{\infty,S}.
  27. Названий на честь французького математика Шарля Еміля Пікара (1856—1941).