Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Вирішити лінійні нерівності

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

  • Нерівності графа на числовому рядку
  • Вирішити лінійні нерівності
  • Переведіть слова на нерівність і вирішуйте
  • Розв'язуйте програми з лінійними нерівностями

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

  1. Перекласти з алгебри на англійську:15>x.
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
  2. Перевести на алгебраїчний вираз:15 менше, ніжx.
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

Нерівності графа на числовій лінії

Яке число зробить нерівністьx>3 правдою? Ви думаєте, «xможе бути чотири»? Це правильно, алеx може бути 6, теж, або 37, або навіть 3.001. Будь-яке число більше трьох є розв'язком нерівностіx>3. Ми показуємо всі розв'язки нерівностіx>3 на числовій лінії шляхом затінення у всіх числах праворуч від трьох, щоб показати, що всі числа більше трьох є розв'язками. Оскільки цифра три сама по собі не є рішенням, ми ставимо відкриту дужку на три.

Ми також можемо представляти нерівності за допомогою інтервальних позначень. Немає верхнього кінця вирішення цієї нерівності. У інтервальних позначеннях виражаємоx>3 як(3,). Символ читається як «нескінченність». Це не фактичне число. 2.6.1На малюнку показані як числовий рядок, так і інтервальні позначення.

На малюнку показано неякість, x більше 3, графічне на числовому рядку від негативних 5 до 5. Існує затінення, яке починається з 3 і поширюється на числа праворуч. Розв'язок для нерівності записується в інтервальних позначеннях. Це інтервал від 3 до нескінченності, не включаючи 3.
Малюнок2.6.1: Нерівністьx>3 зображується на цьому числовому рядку і записується в інтервальні позначення.

Ми використовуємо символ лівої дужки, (, щоб показати, що кінцева точка нерівності не включена. Символ лівої дужки, [, показує, що кінцева точка включена.

Нерівністьx1 означає всі числа менше або рівні одиниці. Тут нам потрібно показати, що одне - це теж рішення. Ми робимо це, поставивши кронштейн наx=1. Потім ми затінюємо у всіх числах зліва від одного, щоб показати, що всі числа менше одиниці є розв'язками (рис.2.6.2). Немає нижнього кінця цих чисел. Запишемоx1x1 в інтервалі позначення як(,1]. Символ читається як «негативна нескінченність».

На малюнку показано неякість, x менше або дорівнює l, графічне на числовому рядку від від'ємного 5 до 5. Існує затінення, яке починається з 1 і поширюється на числа зліва. Розв'язок для нерівності записується в інтервальних позначеннях. Це інтервал від негативної нескінченності до одиниці, включаючи 1.
Малюнок2.6.2: Нерівністьx1 зображується на цьому числовому рядку і записується в інтервальні позначення.

2.6.3На малюнку показані як числові рядки, так і інтервальні позначення.

НЕРІВНОСТІ, ЧИСЛОВІ РЯДКИ ТА ІНТЕРВАЛЬНІ ПОЗНАЧЕННЯ

На малюнку видно, що розв'язок нерівності x більше, ніж a, вказується на числовій лінії з лівою дужкою на a і затіненням праворуч, і що розв'язком в інтервальних позначеннях є інтервал від a до нескінченності, укладений в дужки. Він показує, що рішення нерівності x більше або дорівнює a вказано на числовій лінії з лівою дужкою на a і затінення праворуч, і що розв'язком в інтервалі позначення є інтервал a до нескінченності в лівій дужці і правій дужці. Показано, що розв'язання нерівності x менше, ніж a, вказано на числовій лінії з правою дужкою на a і затіненням ліворуч, і що розв'язком у інтервальній нотації є інтервал негативної нескінченності до a всередині дужок. Показано, що розв'язок нерівності x менше або дорівнює a вказується на рядку з правою дужкою на a і затіненням ліворуч, і що рішення в інтервальній позначенні є негативною нескінченністю до a в лівій дужці і правій дужці.

Позначення для нерівностей на числовому рядку і в інтервальній нотації використовують однакові символи для вираження кінцевих точок інтервалів.

Приклад2.6.1

Графік кожної нерівності на числовому рядку і запишіть в інтервальні позначення.

  1. x3
  2. x<2.5
  3. x35
Відповідь

  x3
Затіньте праворуч від3, і поставте дужку на3. .
Запишіть в інтервальних позначеннях. [3,)

  x<2.5
Заштрихуйте зліва 2,5 і поставте дужку в 2,5. .
Запишіть в інтервальних позначеннях. (,2.5)

  x35
Затіньте зліва від35, і поставте дужку на35. .
Запишіть в інтервальних позначеннях. (,35]
 

Графік кожної нерівності на числовому рядку і запишіть в інтервальні позначення:

  1. x>2
  2. x1.5
  3. x34.
Відповідь

Графік нерівності x більше 2 вказується на числовій лінії з лівою дужкою в 2 і затіненням праворуч. Розв'язок в інтервальних позначеннях - інтервал від 2 до нескінченності, укладений в дужки.

Графік нерівності x менше або дорівнює від'ємному 1.5 вказується на числовій лінії з правою дужкою при від'ємній 1,5 і затіненням вліво. Розв'язком у інтервальній нотації є інтервал від негативної нескінченності до від'ємного 1.5, укладений у лівій дужці та правій дужці.

Графік нерівності x більше або дорівнює трьом четвертам вказується на числовій лінії з лівою дужкою в три чверті і затіненням вправо. Розв'язок в інтервальному позначенні - інтервал від трьох четвертих до нескінченності, укладений в ліву дужку і ліву дужки.

Приклад2.6.3

Графік кожної нерівності на числовому рядку і запишіть в інтервальні позначення:

  1. x4
  2. x0.5
  3. x<23.
Відповідь

Графік нерівності x менше або дорівнює від'ємному 4 вказується на числовій лінії з правою дужкою при від'ємній 4 і затіненням вліво. Розв'язком у інтервальній нотації є інтервал від негативної нескінченності до негативної 4, укладений у лівій дужці та правій дужці.

Графік нерівності x більше або дорівнює 0,5 вказується на числовій лінії з лівою дужкою на 0,5 і затіненням вправо. Розв'язок в інтервальному позначенні - інтервал від 0,5 до нескінченності, укладений в ліву дужку і праву дужку.

Графік нерівності x менше від'ємних двох третин вказується на числовій лінії з правою дужкою при від'ємних двох третинях і затіненням ліворуч. Розв'язок у інтервальному позначенні - інтервал від негативної нескінченності до від'ємних двох третин, укладених у дужки.

Які числа більше двох, але менше п'яти? Ви думаєте сказати,2.5, 3, 323, 4, 4, 99? Ми можемо уявити всі числа від двох до п'яти з нерівністю2<x<5. Ми можемо показати2<x<5 на числовому рядку, затінюючи всі числа між двома і п'ятьма. Знову ж таки, ми використовуємо дужки, щоб показати цифри два і п'ять не включені. Див. Малюнок.

Графік нерівності 2 менше x, який менше 5 показує відкриті кола a 2 і 5 і затінення між ними.
Малюнок2.6.3
 

Графік кожної нерівності на числовому рядку і запишіть в інтервальні позначення.

3<x<46x<10x2.5

Відповідь

    3<x<4
Тінь між3 і 4.
Поставте дужки на3 і 4.
  .
Запишіть в інтервальних позначеннях.   (3,4)

      6x<1
Затінення між6 і −1.
Поставте дужку за адресою6,
а дужку — −1.
    .
Запишіть в інтервальних позначеннях.     [6,1)

      0x2.5
Тінь між 0 і 2,5.
Поставте кронштейн на 0 і на 2,5.
    .
Запишіть в інтервальних позначеннях.     [0,2.5]
Приклад2.6.5

Графік кожної нерівності на числовому рядку і запишіть в інтервальні позначення:

2<x<15x<41x4.25

Відповідь

Негативний 2 менше x, що менше 1. Є відкриті кола на негативних 2 і 1 і затінення між негативними 2 і 1 на числовій лінії. Поставте дужки на від'ємні 2 та 1. Запишіть в інтервальних позначеннях.

Негативний 5 менше або дорівнює x, який менше від'ємного 4. Існує замкнуте коло при негативному 6 і відкрите коло при негативному 4 та затінення між негативними 5 та негативними 4 на числовій лінії. Поставте дужку на негативну 5 і дужку на негативну 4. Запишіть в інтервальних позначеннях.

1 менше або дорівнює x, що менше 4,25. Існує замкнуте коло на 1 і замкнуте коло на 4,25 і затінення між 1 і 4,25 на цифровій лінії. Ставимо дужки на 1 і 4,25. Запишіть в інтервальних позначеннях.

Приклад2.6.6

Графік кожної нерівності на числовому рядку і запишіть в інтервальні позначення:

6<x<23x<12.5x6

Відповідь

Негативний 6 менше x, що менше 2. Існує відкрите коло при негативному 6 і відкрите коло на 2 і затінення між негативними 6 і 2 на числовій лінії. Поставте дужки на від'ємні 6 і 2. Запишіть в інтервальних позначеннях.

Негативний 3 менше або дорівнює x, який менше від'ємного 1. Існує замкнуте коло при негативному 3 та відкрите коло при негативному 1 та затінення між негативними 3 та негативними 1 на числовій лінії. Поставте дужку на негативну 3, а дужку - негативну 1. Запишіть в інтервальних позначеннях.

2.5 менше або дорівнює x, який меншеабо дорівнює 6. Існує замкнуте коло на 2,5 і замкнуте коло на 6 і затінення між 2,5 і 6 на цифровій лінії. Ставимо кронштейни на 2,5 і 6. Запишіть в інтервальних позначеннях.

Вирішити лінійні нерівності

Лінійна нерівність дуже схожа на лінійне рівняння, але знак рівності замінюється знаком нерівності. Лінійна нерівність - це нерівність в одній змінній, яка може бути записана в одній з формax+b<cax+bc,,ax+b>c, абоax+bc.

ЛІНІЙНА НЕРІВ

Лінійна нерівність - це нерівність в одній змінній, яка може бути записана в одній з наступних форм деa,b, іc є дійсними числами іa0:

ax+b<c,ax+bc,ax+b>c,ax+bc.

Коли ми вирішували лінійні рівняння, ми змогли використовувати властивості рівності для додавання, віднімання, множення або ділення обох сторін і все ще зберегти рівність. Подібні властивості дотримуються і для нерівностей.

Ми можемо додати або відняти однакову величину з обох сторін нерівності і все одно зберегти нерівність. Наприклад:

Негативний 4 менше 2. Негативний 4 мінус 5 менше 2 мінус 5. Негативний 9 менше, ніж негативний 3, що вірно. Негативний 4 менше 2. Негативний 4 плюс 7 менше 2 плюс 7. 3 менше 9, що вірно.

Зверніть увагу, що знак нерівності залишився колишнім.

Це призводить нас до додавання і віднімання властивостей нерівності.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ВЛАСТИВОСТІ НЕРІВНОСТІ

Для будь-яких чиселa,b, іc, якщоa<b, то

a+c<b+cac<bca+c>b+cac>bc

Ми можемо додати або відняти однакову величину з обох сторін нерівності і все одно зберегти нерівність

Що відбувається з нерівністю, коли ми ділимо або множимо обидві сторони на константу?

Давайте спочатку помножимо і розділимо обидві сторони на позитивне число.

10 менше 15. 10 разів 5 менше 15 разів 5. 50 менше 75 істинно. 10 менше 15. 10 ділиться на 5 менше 15 менше 15 - менше 15 ділиться на 5. 2 менше 3 істинно.

Ознаки нерівності залишилися колишніми.

Чи залишається нерівність однаковою, коли ми ділимо або множимо на від'ємне число?

10 менше 15 10 разів негативний 5 порожній 15 разів негативний 5? Негативний 50 порожній негативний 75. Негативний 50 більше від'ємного 75. 10 менше 15. 10 ділиться на від'ємний 5 - порожній 15, розділений на від'ємний 5. Негативний 2 - порожній негативний 3. Негативний 2 - порожній негативний 3.

Зверніть увагу, що коли ми заповнили знаки нерівності, ознаки нерівності змінили свій напрямок.

Коли ми ділимо або множимо нерівність на додатне число, знак нерівності залишається тим самим. Коли ми ділимо або множимо нерівність на негативне число, знак нерівності змінюється.

Це дає нам властивість множення та поділу нерівності.

ВЛАСТИВІСТЬ МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ НЕРІВНОСТІ

Для будь-яких номерівa,b, іc,

multiply or divide by a positive    if a<b and c>0, then ac<bc and ac<bc.    if a>b and c>0, then ac>bc and ac>bc. multiply or divide by a negative     if a<b and c<0, then ac>bc and ac>bc.    if a>b and c<0, then ac<bc and ac<bc.

Коли ми ділимо або множимо нерівність наa:

  • додатне число, нерівність залишається незмінною.
  • негативне число, нерівність змінюється.

Іноді при вирішенні нерівності, як в наступному прикладі, змінна закінчується справа. Ми можемо переписати нерівність у зворотному напрямку, щоб отримати змінну ліворуч.

x>a has the same meaning as a<x

Подумайте про це як «Якщо Ксандер вищий за Енді, то Енді коротший, ніж Ксандер».

Приклад2.6.7

Вирішити кожну нерівність. Графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

x38349y<5415<35z

Відповідь

  .
Додайте 3838 до обох сторін нерівності. .
Спростити. .
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. .

  .
Розділіть обидві сторони нерівності на 9; оскільки
9 позитивна, нерівність залишається однаковою.
.
Спростити. .
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. .

  .

Помножте обидві сторони нерівності на53.
Оскільки53 є позитивним, нерівність залишається незмінною.

.
Спростити. .
Перепишіть зі змінною зліва. .
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. .
 

Розв'яжіть кожну нерівність, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях:

p34169c>722438m

Відповідь

p менше одинадцяти-дванадцятих. Розв'язок на числовій лінії має праву дужку на одинадцять-дванадцятих із затіненням праворуч. Розв'язок в інтервальному позначенні становить, одинадцять-дванадцятих до нескінченності в дужках і дужках.

c менше 8. Рішення на числовому рядку має ліву дужку на 8 з затіненням праворуч. Розв'язок в інтервальних позначеннях дорівнює, від 8 до нескінченності в дужках.

m більше або дорівнює 8. Розв'язок на числовому рядку має праву дужку на 64 з затіненням праворуч. Розв'язок у інтервальному позначенні становить від 64 до нескінченності в дужках і дужках.

Приклад2.6.9

Розв'яжіть кожну нерівність, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях:

r1371212d6024<43n

Відповідь

r менше або дорівнює одинадцяти-дванадцятим. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку на одинадцяти-дванадцятих із затіненням ліворуч. Розв'язок в інтервальному позначенні - негативна нескінченність до одинадцяти дванадцятих в дужках і дужці.

c менше або дорівнює 5. Рішення на числовій лінії має праву дужку на 5 з затіненням ліворуч. Розв'язок у інтервальній нотації - негативна нескінченність до 5 в дужках і дужках.

n більше від'ємного 18. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку при від'ємній 18 із затіненням праворуч. Розв'язок у інтервальній нотації від'ємний від 18 до нескінченності в дужках.

Будьте обережні, коли ви множите або ділите на від'ємне число - пам'ятайте, щоб змінити знак нерівності.

Приклад2.6.10

Розв'яжіть кожну нерівність, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

13m65n28

Відповідь

  .
Розділіть обидві сторони нерівності на13.
Оскільки13 є негативом, нерівність змінюється.
.
Спростити. .
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. .

  .
Помножте обидві сторони нерівності на2.
Оскільки2 є негативом, нерівність змінюється.
.
Спростити. .
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. .
Приклад2.6.11

Розв'яжіть кожну нерівність, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях:

8q<32k1215.

Відповідь

q більше або дорівнює від'ємному 4. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку на від'ємній 4 із затіненням праворуч. Розв'язок у інтервальній нотації від'ємний від 4 до нескінченності в дужках.

k більше або дорівнює від'ємному 180. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку на від'ємній 180 із затіненням праворуч. Розв'язок у інтервальній нотації від'ємний від 180 до нескінченності в дужках і дужках.

Приклад2.6.12

Розв'яжіть кожну нерівність, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях:

7r70u416.

Відповідь

r більше або дорівнює 10. Рішення на числовому рядку має ліву дужку на 10 з затіненням праворуч. Розв'язок в інтервальному позначенні становить від 10 до нескінченності в дужках і дужках.

u менше або дорівнює 64. Розв'язок на числовому рядку має праву дужку на 64 з затіненням ліворуч. Розв'язок у інтервальній нотації - негативна нескінченність до 64 в дужках і дужці.

Більшість нерівностей займе не один крок для вирішення. Ми слідуємо тим самим крокам, які ми використовували в загальній стратегії вирішення лінійних рівнянь, але обов'язково звертайте пильну увагу, коли ми множимо або ділимо, щоб ізолювати змінну.

 

Розв'яжіть нерівність6y11y+17, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь
  .
Відніміть 11y11y з обох сторін
, щоб зібрати змінні зліва.
.
Спростити. .
Розділіть обидві сторони нерівності на −5, −5
та оберніть нерівність.
.
Спростити. .
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. .
 

Розв'яжіть нерівність, графуйте рішення на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальній нотації:3q7q23.

Відповідь

q менше або дорівнює 23, розділеному на 4. Розчин на цифровій лінії має праву дужку на 23, розділену на 4 з затіненням вліво. Розв'язок в інтервальному позначенні - негативна нескінченність до 23, розділена на 4 в дужках і дужці.

Приклад2.6.15

Розв'яжіть нерівність, графуйте рішення на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальній нотації:6x<10x+19.

Відповідь

x більше негативного 19, поділеного на 4. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку з від'ємною 19, розділеною на 4 із затіненням праворуч. Розв'язок в інтервальному позначенні від'ємний 19 ділиться на 4 до нескінченності в дужках.

При вирішенні нерівностей зазвичай найпростіше зібрати змінні на тій стороні, де коефіцієнт змінної найбільший. Це усуває негативні коефіцієнти, і тому нам не доведеться множити або ділити на негатив - це означає, що нам не потрібно пам'ятати, щоб змінити знак нерівності.

Приклад2.6.16

Розв'яжіть нерівність8p+3(p12)>7p28, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь
  8p+3(p12)>7p28
Максимально спрощуйте кожну сторону.  
Розподілити. 8p+3p36>7p28
Поєднуйте подібні терміни. 11p36>7p28
Відніміть7p з обох сторін, щоб зібрати
змінні зліва, так як11>7.
11p367p>7p287p
Спростити. 4p36>28
Додайте36 в обидві сторони, щоб зібрати
константи праворуч.
4p36+36>28+36
Спростити. 4p>8
Розділіть обидві сторони нерівності на
4; нерівність залишається однаковою.
4p4>84
Спростити. p>2
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. (2,)
Приклад2.6.17

Розв'яжіть нерівність9y+2(y+6)>5y24, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь

y більше, ніж від'ємний 6. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку на від'ємній 6 із затіненням праворуч. Розв'язок у інтервальній нотації від'ємний від 6 до нескінченності в дужках.

Приклад2.6.18

Розв'яжіть нерівність6u+8(u1)>10u+32, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь

u більше, ніж від'ємний 10. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку на 10 із затіненням праворуч. Розв'язок в інтервальних позначеннях дорівнює 10 до нескінченності в дужках.

Подібно до того, як деякі рівняння є ідентичностями, а деякі - протиріччями, нерівності можуть бути ідентичностями або протиріччями. Ми визнаємо ці форми, коли нам залишається тільки константи, коли ми вирішуємо нерівність. Якщо результат є істинним твердженням, у нас є ідентичність. Якщо в результаті виявиться помилкове твердження, у нас виникає протиріччя.

Приклад2.6.19

Розв'яжіть нерівність8x2(5x)<4(x+9)+6x, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь
Максимально спрощуйте кожну сторону.   8x2(5x)<4(x+9)+6x
Розподілити.   8x10+2x<4x+36+6x
Поєднуйте подібні терміни.   10x10<10x+36
Відніміть10x з обох сторін, щоб зібрати змінні зліва.   10x1010x<10x+3610x
Спростити.   10<36
Вони пішли, і у нас є правдиве
твердження.x
  Нерівність - це ідентичність.
Рішенням є всі дійсні числа.
Графік розв'язку на числовому рядку.   .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях.   (,)
Приклад2.6.20

Розв'яжіть нерівність4b3(3b)>5(b6)+2b, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь

Нерівність - це ідентичність. Його рішення на числовому рядку затінюється для всіх значень. Розв'язок у інтервальній нотації - негативна нескінченність до нескінченності в дужках.

Приклад2.6.21

Розв'яжіть нерівність9h7(2h)<8(h+11)+8h, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь

Нерівність - це ідентичність. Його рішення на числовому рядку затінюється для всіх значень. Розв'язок у інтервальній нотації - негативна нескінченність до нескінченності в дужках.

Ми можемо очистити дроби в нерівностях так само, як ми це робили в рівняннях. Знову ж таки, будьте обережні зі знаками при множенні або діленні на негатив.

Приклад2.6.22

Розв'яжіть нерівність13a18a>524a+34, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь
  13a18a>524a+34
Помножте обидві сторони на РК-дисплей, 24,
щоб очистити фракції.
24(13a18a)>24(524a+34)
Спростити. 8a3a>5a+18
Поєднуйте подібні терміни. 5a>5a+18
Відніміть5a з обох сторін, щоб зібрати
змінні зліва.
5a5a>5a5a+18
Спростити. 0>18
Заява неправдиве. Нерівність - це протиріччя.
Рішення немає.
Графік розв'язку на числовому рядку. .
Запишіть рішення в інтервальних позначеннях. Рішення немає.
Приклад2.6.23

Розв'яжіть нерівність14x112x>16x+78, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь

Нерівність - це протиріччя. Отже, рішення немає. В результаті на числовому рядку або інтервальних позначеннях немає графіка.

Приклад2.6.24

Розв'яжіть нерівність25z13z<115z35, графік розв'язку на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Відповідь

Нерівність - це протиріччя. Отже, рішення немає. В результаті на числовому рядку або інтервальних позначеннях немає графіка.

Перекласти на нерівність і вирішити

Щоб перевести англійські речення в нерівності, нам потрібно розпізнати фрази, які вказують на нерівність. Деякі слова прості, на кшталт «більше ніж» і «менше, ніж». Але інші не такі очевидні. У таблиці наведені деякі поширені фрази, які вказують на нерівності.

> <
\ (>\) ">\)» data-valign="middle» class="lt-math-17389">більше, ніж

більше, ніж

перевищує

\ (\ geq\)» data-valign="midle">більше або



дорівнює принаймні не менше

мінімального
\ менше, <\)» data-valign="middle"> ніж менше, ніж має

менше, ніж

менше, ніж

нижче
\ (\ leq\)» data-valign="middle">менше або



дорівнює не більше не більше

максимуму
Приклад2.6.25

Перекладіть і вирішуйте. Потім графік рішення на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Twenty-seven less than x is at least 48.

Відповідь
  .
Перекласти. x2748
Вирішити - додайте 27 до обох сторін. x27+2748+27
Спростити. x75
Графік на числовому рядку. .
Запишіть в інтервальних позначеннях. [75,)
 

Перекладіть і вирішуйте. Потім графік рішення на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Nineteen less than p is no less than 47.

Відповідь

р мінус 19 більше або дорівнює 47. Її розчин р більше або дорівнює 66. Розв'язок на числовому рядку має ліву дужку на 66 із затіненням праворуч. Розв'язок у інтервальному позначенні становить 66 до нескінченності в дужці та дужках.

Приклад2.6.27

Перекладіть і вирішуйте. Потім графік рішення на числовому рядку і запишіть рішення в інтервальних позначеннях.

Four more than a is at most 15.

Відповідь

плюс 4 менше або дорівнює 15. Його розчин - а менше або дорівнює 11. Рішення на числовому рядку має праву дужку на 11з затіненням вліво. Розв'язок в інтервальному позначенні - негативна нескінченність до 11 в дужках і дужках.

Розв'язуйте програми з лінійними нерівностями

Багато реальних життєвих ситуацій вимагають від нас вирішення нерівностей. Метод, який ми будемо використовувати для вирішення додатків з лінійними нерівностями, дуже схожий на той, який ми використовували, коли ми вирішували додатки з рівняннями.

Ми прочитаємо проблему і переконаємося, що всі слова зрозумілі. Далі ми визначимо, що ми шукаємо, і присвоїмо змінну для її представлення. Ми повторюємо проблему в одному реченні, щоб її було легко перевести в нерівність. Тоді ми вирішимо нерівність.

Іноді додаток вимагає, щоб рішення було цілим числом, але алгебраїчне рішення нерівності не є цілим числом. У такому випадку ми повинні округлити алгебраїчний розв'язок до цілого числа. Контекст програми визначатиме, округляємо ми вгору чи вниз.

Приклад2.6.28

Dawn виграла міні-грант у розмірі 4000 доларів на придбання планшетних комп'ютерів для свого класу. Планшети, які вона хотіла б придбати, коштують $254,12 кожен, включаючи податок та доставку. Яку максимальну кількість планшетів Dawn можна купити?

Відповідь

Step 1. Read  the problem.Step 2. Identify what you are looking for.the maximum number of tablets Dawn can buyStep 3. Name what you are looking for.Let n= the number of tablets.Choose a variable to represent thatquantity.Step 4. Translate.Write a sentence that gives theinformation to find it.$254.12 times the number of tablets isno more than $4,000.            254.12n4000Translate into an inequality.Step 5. Solve the inequality.                    n15.74                    n15But n must be a whole number oftablets, so round to 15.Step 6. Check the answer in the problemand make sure it makes sense.   Rounding down the price to $250,15   tablets would cost $3,750, while 16   tablets would be $4,000.So a   maximum of 15 tablets at $254.12   seems reasonable.Step 7. Answer the question with a complete sentence.Dawn can buy a maximum of 15 tablets.

Приклад2.6.29

Енджі має 20 доларів, щоб витратити на коробки для соку для дошкільного пікніка її сина. Кожна упаковка коробок для соку коштує $2,63. Яку максимальну кількість пачок вона може купити?

Відповідь

У Енджі можна купити 7 упаковок соку.

Приклад2.6.30

Даніель хоче здивувати свою дівчину з днем народження в її улюбленому ресторані. Це буде коштувати $42.75 на людину за вечерю, включаючи чайові та податок. Його бюджет на вечірку становить 500 доларів. Яку максимальну кількість людей може мати Данило на вечірці?

Відповідь

Даніель може мати 11 осіб на вечірці.

Приклад2.6.31

Телефонний план Талейші коштує їй $28,80 на місяць плюс $0.20 за текстове повідомлення. Скільки текстових повідомлень вона може відправляти/отримувати і тримати її щомісячний телефонний рахунок не більше $50?

Відповідь

Step 1. Read the problem.Step 2. Identify what you are looking for.the number of text messages Taleisha can makeStep 3. Name what you are looking for.Let t=the number of text messages.Choose a variable to represent thatquantity.Step 4. Translate Write a sentence thatgives the information to find it.$28.80 plus $0.20 times the number oftext messages is less than or equal to $50.28.80+0.20t50   Translate into an inequality.Step 5. Solve the inequality.               0.2t21.2                    t106 text messagesStep 6. Check the answer in the problemand make sure it makes sense.   Yes, 28.80+0.20(106)=50.Step 7. Write a sentence that answers the question.Taleisha can send/receive no more than106 text messages to keep her bill nomore than $50.

Приклад2.6.32

Серхіо та Лізет мають дуже жорсткий бюджет на відпустку. Вони планують орендувати автомобіль у компанії, яка стягує $75 на тиждень плюс $0.25 за милю. Скільки миль вони можуть проїхати протягом тижня і все ще тримати в межах свого бюджету $200?

Відповідь

Серхіо і Лізет можуть проїхати не більше 500 миль.

Приклад2.6.33

Раміна рахунок за опалення становить $5.42 на місяць плюс $1,08 за терм. Скільки терм може використовувати Рамін, якщо він хоче, щоб його рахунок за опалення становив максимум $87.50.

Відповідь

Раміна рахунок за опалення становить $5.42 на місяць плюс $1,08 за терм. Скільки терм може використовувати Рамін, якщо він хоче, щоб його рахунок за опалення становив максимум $87.50.

Прибуток - це гроші, які залишаються при відніманні витрат з виручки. У наступному прикладі ми знайдемо кількість робочих місць, які малий бізнес-леді повинен робити щомісяця, щоб отримати певну суму прибутку.

Приклад2.6.34

Фелісіті має каліграфічний бізнес. Вона стягує $2,50 за запрошення на весілля. Її щомісячні витрати складають 650 доларів. Скільки запрошень вона повинна написати, щоб заробити прибуток не менше 2800 доларів на місяць?

Відповідь

Step 1. Read the problem.Step 2. Identify what you are looking for.the number of invitations Felicity needs to writeStep 3. Name what you are looking for.Let j= the number of invitations.   Choose a variable to represent it.Step 4. Translate. Write a sentence thatgives the information to find it.$2.50 times the number of invitationsminus $650 is at least $2,800.   2.50j6502,800   Translate into an inequality.Step 5. Solve the inequality.               2.5j3,450                    j1,380 invitationsStep 6. Check the answer in the problemand make sure it makes sense.   If Felicity wrote 1400 invitations, her   profit would be 2.50(1400)650,or   $2,850. This is more than $2800.Step 7. Write a sentence that answers the question.Felicity must write at least 1,380 invitations.

Приклад2.6.35

Калеб має домашню тварину сидячи бізнес. Він стягує 32 долари на годину. Його щомісячні витрати складають 2 272 долари. Скільки годин він повинен пропрацювати, щоб отримувати прибуток не менше 800 доларів на місяць?

Відповідь

Калеб повинен працювати не менше 96 годин.

Приклад2.6.36

Елліот має бізнес з обслуговування ландшафту. Його щомісячні витрати складають 1100 доларів. Якщо він стягує 60 доларів за роботу, скільки робочих місць він повинен зробити, щоб отримувати прибуток щонайменше 4000 доларів на місяць?

Відповідь

Елліот повинен працювати не менше 85 робочих місць.

Існує безліч ситуацій, в яких кілька величин сприяють загальному витраті. Ми повинні обов'язково враховувати всі індивідуальні витрати, коли ми вирішуємо подібні проблеми.

Приклад2.6.37

Малік планує шестиденну літню відпустку. У нього 840 доларів заощаджень, і він заробляє 45 доларів на годину на репетиторство. Поїздка обійдеться йому в 525 доларів за авіаквитки, 780 доларів за їжу та визначні пам'ятки та 95 доларів за ніч за готель. Скільки годин повинен репетитор, щоб вистачило грошей на оплату поїздки?

Відповідь

Step 1. Read the problem.Step 2. Identify what you are looking for.the number of hours Malik must tutorStep 3. Name what you are looking for.Let h= the number of hours.       Choose a variable to represent that       quantity.Step 4. Translate. Write a sentence thatgives the information to find it.The expenses must be less than or equal tothe income. The cost of airfare plus thecost of food and sightseeing and the hotelbill must be less than the savings plus theamount earned tutoring.       Translate into an inequality.525+780+95(6)840+45hStep 5. Solve the inequality.                1,875840+45h                1,03545h                    23h                       h23Step 6. Check the answer in the problemand make sure it makes sense.We substitute 23 into the inequality.        1,875840+45h        1,875840+45(23)        1,8751875Step 7. Write a sentence that answers the question.Malik must tutor at least 23 hours.

Приклад2.6.38

Найкращий друг Бренда має весілля призначення, і подія триватиме три дні. Бренда має 500 доларів заощаджень і може заробляти 15 доларів на годину няні. Вона розраховує заплатити 350 доларів авіаквитків, 375 доларів за їжу та розваги та 60 доларів за ніч за свою частку в готельному номері. Скільки годин вона повинна сидіти, щоб мати достатньо грошей, щоб оплатити поїздку?

Відповідь

Бренда повинна няньчити не менше 27 годин.

Приклад2.6.39

Josue хоче відправитися в 10-нічну дорожню подорож з друзями наступної весни. Це обійдеться йому в 180 доларів за газ, 450 доларів за їжу та 49 доларів за ніч, щоб розділити номер у мотелі. Він має $520 заощаджень і може заробити $30 за під'їзну дорогу лопати сніг. Скільки під'їзних шляхів він повинен лопати, щоб мати достатньо грошей, щоб оплатити поїздку?

Відповідь

Josue повинен лопати не менше 20 під'їзних шляхів.

Ключові концепції

  • Нерівності, числові рядки та інтервальні позначення
    x>axax<axa
    На малюнку видно, що розв'язок нерівності x більше, ніж a, вказується на числовій лінії з лівою дужкою на a і затіненням праворуч, і що розв'язком в інтервальних позначеннях є інтервал від a до нескінченності, укладений в дужки. Він показує, що рішення нерівності x більше або дорівнює a вказано на числовій лінії з лівою дужкою на a і затінення праворуч, і що розв'язком в інтервалі позначення є інтервал a до нескінченності в лівій дужці і правій дужці. Показано, що розв'язання нерівності x менше, ніж a, вказано на числовій лінії з правою дужкою на a і затіненням ліворуч, і що розв'язком у інтервальній нотації є інтервал негативної нескінченності до a всередині дужок. Показано, що розв'язок нерівності x менше або дорівнює a вказується на рядку з правою дужкою на a і затіненням ліворуч, і що рішення в інтервальній позначенні є негативною нескінченністю до a в лівій дужці і правій дужці.
  • Лінійна нерівність
    • Лінійна нерівність - це нерівність в одній змінній, яка може бути записана в одній з наступних форм, де a, b і c - дійсні числа іa0:

      ax+b<c,ax+bc,ax+b>c,ax+bc.

  • Властивість додавання та віднімання нерівності
    • Для будь-яких чисел a, b і c, якщо a<b, то a<b, то

      a+c<b+cac<bca+c>b+cac>bc

    • Ми можемо додати або відняти однакову величину з обох сторін нерівності і все одно зберегти нерівність.
  • Властивість множення та ділення нерівності
    • Для будь-яких чисел a, b і c,
      multiply or divide by a positive       if a<b and c>0, then ac<bc and ac<bc.       if a>b and c>0, then ac>bc and ac>bc.multiply or divide by a negative       if a<b and c<0, then ac>bc and ac>bc.       if a>b and c<0, then ac<bc and ac<bc.
  • Фрази, що вказують на нерівності
    > <
    \ (>\) ">більше ніж

    більше, ніж

    більше, ніж

    перевищує
    \ (\ geq\)» data-valign="midle">більше або



    дорівнює принаймні не менше

    мінімального
    \ менше, <\)» data-valign="middle"> ніж менше, ніж має

    менше, ніж

    менше, ніж

    нижче
    \ (\ leq\)» data-valign="middle">менше або



    дорівнює не більше не більше

    максимуму