7.1: Найбільший загальний фактор та групування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58407

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому уроці ми зосередимося на факторингу з використанням найбільшого спільного фактора, GCF, полінома. Коли ми множимо многочлени, ми множимо мономи на многочлени шляхом розподілу, таких як

\[4x^2(2x^2-3x+8)=8x^4-12x^3+32x^2\nonumber\]

Ми відпрацьовуємо ту ж проблему, але назад. Ми почнемо з\(8x^2 −12x^3 + 32x^2\) і отримаємо його факторну форму.

По-перше, ми повинні ідентифікувати GCF многочлена. Введемо GCF многочлена, подивившись на приклад в арифметиці. Метод, в якому ми отримали GCF між числами в арифметиці, є тим самим методом, який ми використовуємо для отримання GCF з поліномами.

Пошук найбільшого спільного фактора

Визначення: Найбільший спільний фактор

Факторна форма числа або виразу - це вираз, написаний як добуток факторів.

Найбільшим загальним фактором (ГКФ) многочлена є найбільший многочлен, який є фактором всіх членів многочлена.

Приклад Template:index

Знайдіть GCF\(15\)\(24\), і\(27\).

Рішення

Спочатку отримаємо просту факторизацію кожного числа:

\[\begin{aligned}15&=3\cdot 5 \\ 24&=2^3\cdot 3\\ 27&=3^3\end{aligned}\]

Далі беремо тільки загальні фактори і якщо повторюються якісь загальні фактори, беремо коефіцієнт з найменшим показником. Нагадаємо, ГКФ - найбільший коефіцієнт, який ділиться на всі числа. Нам потрібно взяти\(3\) (беремо тільки\(3^1\) тому, що спільних всього три у всіх трьох числах). Зверніть увагу, немає інших факторів, спільних з усіма трьома числами. Отже,\(\text{GCF}(15, 24, 27) = 3\).

При знаходженні GCF многочлена ми використовуємо той же метод і єдина відмінність полягає в тому, що у нас є змінні в виразі.

Приклад Template:index

Знайти GCF\(24x^4y^2z\)\(18x^2y^4\), і\(12x^3yz^5\)

Рішення

Спочатку отримаємо просту факторизацію кожного мономіала:

\[\begin{aligned}24x^4y^2z&=2^3\cdot 3\cdot x^4\cdot y^2\cdot z \\ 18x^2y^4&=2\cdot 3^2\cdot x^2\cdot y^4 \\ 12x^3yz^5&=2^2\cdot 3\cdot x^3\cdot y\cdot z^5\end{aligned}\]

Далі беремо тільки загальні фактори і якщо повторюються якісь загальні фактори, беремо коефіцієнт з найменшим показником. Нагадаємо, GCF - найбільший фактор, який ділиться на всі терміни у виразі. Нам потрібно взяти\(2\cdot 3\cdot x^2\cdot y\cdot z\). Отже,\(\text{GCF}(24x^4y^2z,\: 18x^2y^4 ,\: 12x^3yz^5) = 6x^2yz\).

Факторинг найбільшого спільного фактора

Як тільки ми отримаємо GCF, ми можемо почати факторинг GCF з виразу. Врешті-решт, ми хочемо мати можливість швидко побачити GCF і почати факторинг відразу. Звичайно, тільки з практикою ми отримуємо кращі навички. Спробуємо приклад.

Приклад Template:index

Фактор з GCF:\(4x^2-20x+16\)

Рішення

Дивлячись на кожен термін, напишемо просту факторизацію кожного члена:

\[\begin{aligned}4x^2&=2^2\cdot x^2 \\ 20x&=2^2\cdot 5\cdot x \\ 16&=2^4\end{aligned}\]

Нам потрібно взяти\(2^2\). Отже,\(\text{GCF}(4x^2,\: 20x,\: 16) = 2^2 = 4\). Перепишемо кожен термін у виразі як добуток GCF і залишені фактори:

\[\begin{array}{rl}4x^2-20x+16&\text{Rewrite with the GCF }4 \\ \color{blue}{4}\color{black}{}\cdot x^2-\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot 5x+\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot 4&\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{4}\color{black}{}(x^2-5x+4)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Кроки для факторингу найбільшого спільного фактора

Крок 1. Знайдіть GCF виразу.

Крок 2. Перепишіть кожен термін як добуток GCF і інших факторів.

Крок 3. Перепишіть як добуток GCF і інші фактори в дужках.

Крок 4. \(\checkmark\)Перевірте факторну форму шляхом множення. Виріб має бути оригінальним виразом.

Приклад Template:index

Фактор з GCF:\(25x^4-15x^3+20x^2\)

Рішення

Дивлячись на кожен термін, давайте почнемо з написання простої факторизації кожного терміна.

\[\begin{aligned}25x^4&=5^2\cdot x^4 \\ 15x^3&=3\cdot 5\cdot x^3 \\ 20x^2&=2^2\cdot 5\cdot x^2\end{aligned}\]

Крок 1. Нам потрібно взяти\(5x^2\). Отже,\(\text{GCF}(25x^4,\: 15x^3,\: 20x^2) = 5x^2\).

Крок 2. Перепишемо кожен термін у виразі як добуток GCF і залишені фактори:\[\begin{array}{rl}25x^4-15x^3+20x^2&\text{Rewrite with the GCF }5x^2 \\ \color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 5x^2-\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 3x+\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 4\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Перепишіть вираз з GCF і іншими факторами в дужках:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 5x^2-\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 3x+\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 4&\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{5x^2}\color{black}{}(5x^2-3x+4)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Крок 4. Давайте перевіримо факторну форму:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{5x^2}\color{black}{}(5x^2-3x+4)&\text{Distribute the GCF} \\ 25x^4-15x^3+20x^2&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]

Таким чином, факторна форма є\(5x^2(5x^2-3x+4)\).

Приклад Template:index

Фактор з GCF:\(3x^3y^2z + 5x^4y^3z^5 − 4xy^4\)

Рішення

Дивлячись на кожен термін, давайте почнемо з написання простої факторизації кожного терміна.

\[\begin{aligned}3x^3y^2z&=3\cdot x^3\cdot y^2\cdot z \\ 5x^4y^3z^5&=5\cdot x^4\cdot y^3\cdot z^5 \\ 4xy^4&=2^2\cdot x\cdot y^4\end{aligned}\]

Крок 1. Нам потрібно взяти\(xy^2\). Отже,\(\text{GCF}(3x^3y^2z,\: 5x^4y^3z^5,\: 4xy^4) = xy^2\).

Крок 2. Перепишемо кожен термін у виразі як добуток GCF і залишені фактори:\[\begin{array}{rl}3x^3y^2z+5x^4y^3z^5-4xy^4&\text{Rewrite with the GCF }xy^2 \\ \color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 3x^2z+\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 5x^3yz^5-\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 4y^2\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Перепишіть вираз з GCF і іншими факторами в дужках:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 3x^2z+\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 5x^3yz^5-\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 4y^2&\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{xy^2}\color{black}{}(3x^2z+5x^2yz^5-4y^2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Крок 4. Давайте перевіримо факторну форму:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{xy^2}\color{black}{}(3x^2z+5x^2yz^5-4y^2)&\text{Distribute the GCF} \\ 3x^3y^2z+5x^4y^3z^5-4xy^4&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]

Таким чином, факторна форма є\(xy^2 (3x^2z + 5x^2yz^5 − 4y^2 )\).

Примітка

Перший записаний алгоритм знаходження найбільшого спільного фактора походить від грецького математика Евкліда приблизно в 300 році до н.е.

Спробуємо приклад з очної кулькою GCF і переписуванням в факторованому вигляді.

Приклад Template:index

Фактор з GCF:\(21x^3+14x^2+7x\)

Рішення

Дивлячись на коефіцієнти, ми можемо побачити, що існує загальний коефіцієнт\(7\) в кожному семестрі. Крім того, ми бачимо спільний\(x\) фактор у всіх трьох термінях. Значить, ми\(7x\) приймаємо за GCF. Зверніть увагу, що ми не взяли більшого показника,\(x\) тому що лише один фактор\(x\) є загальним у всіх трьох термінів.

Перепишемо вираз в факторному вигляді.

\[\begin{array}{rl}21x^3+14x^2+7x&\text{Rewrite with the GCF }7x \\ \color{blue}{7x}\color{black}{}\cdot 3x^2+\color{blue}{7x}\color{black}{}\cdot 2x+\color{blue}{7x}\color{black}{}\cdot 1 &\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{7x}\color{black}{}(3x^2+2x+1)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Ми завжди можемо перевірити факторну форму шляхом розподілу\(7x\) та отримання вихідного виразу.

Біноміал як найбільший спільний фактор

В рамках загальної стратегії факторингу ми завжди шукаємо GCF. Іноді ГКФ є мономіалом, як в попередніх прикладах, або біном. Тут ми обговорюємо факторинг полінома, де GCF є біноміальним. Зазвичай ми називаємо цей фактор групуванням. Розглянемо наведений нижче приклад.

Приклад Template:index

Фактор:\(3ax-7bx\)

Рішення

\[\begin{array}{rl}3a\color{blue}{x}\color{black}{}-7b\color{blue}{x}&\text{Both have }x\text{ in common, factor it out} \\ \color{blue}{x}\color{black}{}(3a-7b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Давайте зробимо це цікавим. Давайте застосуємо цей же метод, але замість GCF буття\(x\), нехай GCF бути біноміальним\(2a + 5b\).

Приклад Template:index

Знайти:\(3a(2a+5b)-7b(2a+5b)\)

Рішення

\[\begin{array}{rl}3a\color{blue}{(2a+5b)}\color{black}{}-7b\color{blue}{(2a+5b)}&\color{black}{\text{Both have }}(2a+5b)\text{ in common, factor it out} \\ \color{blue}{(2a+5b)}\color{black}{}(3a-7b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Фактор за групуванням

У прикладі Template:index, ми врахували GCF так само, як ми враховували\(x\) в прикладі Template:index.\((2a + 5b)\) Цей процес може бути розширений до факторних виразів, де немає GCF. Ми будемо використовувати процес, відомий як фактор шляхом групування. Фактор за групуванням - це метод, який використовується для множника многочленів, коли у виразі є щонайменше чотири члени. Візьмемо наступний приклад.

Приклад Template:index

Помножити:\((2a+3)(5b+2)\)

Рішення

\[\begin{array}{rl}(2a+3)(5b+2)&\text{Distribute }(2a+3)\text{ into second parenthesis} \\ 5b(2a+3)+2(2a+3)&\text{Distribute} \\ 10ab+15b+4a+6&\text{Product}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, що продукт має чотири терміни, жоден з яких не має спільного фактора.

Етапи факторингу шляхом групування

Для фактора шляхом групування ми спочатку помічаємо, що поліноміальний вираз отримує чотири члени.

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів, наприклад,\(ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by)\).

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи, наприклад,\(a(x + y) + b(x + y)\)

Крок 3. Фактор GCF з виразу, наприклад,\((x + y)(a + b)\).

Приклад Template:index

Фактор:\(10ab+15b+4a+6\)

Рішення

Зверніть увагу, що у нас є\(4\) терміни, жоден з яких не має спільного фактора. Отже, ми використовуємо коефіцієнт шляхом групування.

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}10ab+15b+4a+6&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (10ab+15b)+(4a+6)\end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи:\[\begin{array}{rl}(10ab+15b)+(4a+6)&\text{Factor }5b\text{ from the first group and }2\text{ from the second group} \\ 5b(2a+3)+2(2a+3)\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Фактор GCF з виразу:\[\begin{array}{rl}5b\color{blue}{(2a+3)}\color{black}{}+2\color{blue}{(2a+3)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2a+3) \\ \color{blue}{(2a+3)}\color{black}{}(5b+2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Нагадаємо, ми можемо перевірити факторну форму шляхом множення біноміалів і отримання вихідного виразу.

Приклад Template:index

Фактор:\(6x^2+9xy-14x-21y\)

Рішення

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}6x^2+9xy-14x-21y&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (6x^2+9xy)+(-14x-21y)\end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи. \[\begin{array}{rl}(6x^2+9xy)+(-14x-21y)&\text{Factor }3x\text{ from the first group and }-7 \\ &\text{from the second group} \\ 3x(2x+3y)-7(2x+3y)\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Фактор GCF з виразу:\[\begin{array}{rl}3x\color{blue}{(2x+3y)}\color{black}{}-7\color{blue}{(2x+3y)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2x+3y) \\ \color{blue}{(2x+3y)}\color{black}{}(3x-7)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Нагадаємо, ми можемо перевірити факторну форму шляхом множення біноміалів і отримання вихідного виразу.

Примітка

Зверніть увагу після кроку 2. , ми хочемо, щоб GCFto біноміал був ідентичним, так що ми можемо перерахувати його в кроці 3. Переконайтеся, що ці біноміали ідентичні. Поширеною помилкою є те, що біноми не є ідентичними (іноді негативним), а студенти все одно чинники.

Приклад Template:index

Фактор:\(5xy-8x-10y+16\)

Рішення

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}5xy-8x-10y+16&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (5xy-8x)+(-10y+16)\end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи:\[\begin{array}{rl}(5xy-8x)+(-10y+16)&\text{Factor }x\text{ from the first group and }-2 \\ &\text{from the second group} \\ x(5y-8)-2(5y-8)&\text{Both binomials are identical}\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Фактор GCF з виразу:\[\begin{array}{rl}x\color{blue}{(5y-8)}\color{black}{}-2\color{blue}{(5y-8)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(5y-8) \\ \color{blue}{(5y-8)}\color{black}{}(x-2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Нагадаємо, ми можемо перевірити факторну форму шляхом множення біноміалів і отримання вихідного виразу.

Приклад Template:index

Фактор:\(12ab-14a-6b+7\)

Рішення

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}12ab-14a-6b+7&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (12ab-14a)+(-6b+7)\end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи:\[\begin{array}{rl}(12ab-14a)+(-6b+7)&\text{Factor }2a\text{ from the first group and }-1 \\ &\text{from the second group} \\ 2a(6b-7)-1(6b-7)&\text{Both binomials are identical}\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Фактор GCF з виразу:\[\begin{array}{rl}2a\color{blue}{(6b-7)}\color{black}{}-1\color{blue}{(6b-7)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(6b-7) \\ \color{blue}{(6b-7)}\color{black}{}(2a-1)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Обережні в цих типах виразів, де ми множимо весь другий біном і залишаємося з терміном\(1\). Це трапляється іноді з факторингом, і важливо завжди писати\(1\) в кроці 2. щоб ми не забули, що він є. Нагадаємо, ми можемо перевірити факторну форму шляхом множення біноміалів і отримання вихідного виразу.

Фактор за групуванням шляхом перестановки термінів

Іноді після виконання кроку 2. , Біноми не є ідентичними (більш ніж негативним знаком). На цьому етапі ми повинні повернутися до початкової проблеми та переставити терміни так, щоб, коли ми враховуємо групування, ми отримуємо однакові біноми на кроці 2.

Приклад Template:index

Фактор:\(4a^2 − 21b^3 + 6ab − 14ab^2\)

Рішення

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}4a^2-21b^3+6ab-14ab^2&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (4a^2-21b^3)+(6ab-14ab^2)\end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи:\[\begin{array}{rl}(4a^2-21b^3)+(6ab-14ab^2)&\text{Factor }2ab\text{ from the second group} \\ (4a^2-21b^3)+2a(3b-7b^2)&\text{Binomials are NOT identical}\end{array}\nonumber\] Оскільки ці біноми не ідентичні, ми повертаємося до вихідного виразу і переставляємо терміни. Спробуємо перейти\(6ab\) до першої групи і\(−21b^3\) до другої.

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}4a^2+6ab-21b^3-14ab^2&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (4a^2+6ab)+(-21b^3-14ab^2) \end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи:\[\begin{array}{rl}(4a^2+6ab)+(-21b^3-14ab^2)&\text{Factor }2a\text{ from the first group and }-7b^2 \\ &\text{from the second group} \\ 2a(2a+3b)-7b^2(3b+2a)&\text{Rewrite so the binomials are identical} \\ 2a(2a+3b)-7b^2(2a+3b)&\text{Binomials are identical}\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Фактор GCF з виразу:\[\begin{array}{rl}2a\color{blue}{(2a+3b)}\color{black}{}-7b^2\color{blue}{(2a+3b)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2a+3b) \\ \color{blue}{(2a+3b)}\color{black}{}(2a-7b^2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Нагадаємо, ми можемо перевірити факторну форму шляхом множення біноміалів і отримання вихідного виразу.

Приклад Template:index

Фактор:\(8xy-12y+15-10x\)

Рішення

Крок 1. Згрупуйте два набори з двох термінів:\[\begin{array}{rl}8xy-12y+15-10x&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (8xy-12y)+(15-10x)\end{array}\nonumber\]

Крок 2. Фактор GCF з кожної групи:\[\begin{array}{rl}(8xy-12y)+(15-10x)&\text{Factor }4y\text{ from the first group and }5 \\ &\text{from the second group} \\ 4y(2x-3)+5(3-2x)&\text{Binomials are NOT identical, but VERY close}\end{array}\nonumber\] Оскільки ці біноми не ідентичні, але близькі до нього, ми можемо подумати про це ще трохи. Ці біноміали були б ідентичними, якби були\(3\) переключені лише і\(−2x\) в другому біном. Давайте\(−1\) перерахуємо a з другого біноміалу:\[\begin{array}{rl}4y(2x-3)+5(3-2x)&\text{Factor a }-1\text{ from the second binomial} \\ 4y(2x-3)+5\cdot\color{blue}{-1}\color{black}{}(-3+2x)&\text{Rewrite so the binomials are identical} \\ 4y(2x-3)-5(2x-3)&\text{Binomials are identical}\end{array}\nonumber\]

Крок 3. Фактор GCF з виразу:\[\begin{array}{rl}4y\color{blue}{(2x-3)}\color{black}{}-5\color{blue}{(2x-3)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2x-3) \\ \color{blue}{(2x-3)}\color{black}{}(4y-5)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]

Нагадаємо, ми можемо перевірити факторну форму шляхом множення біноміалів і отримання вихідного виразу.

Примітка

Якщо біноми є\((a−b)\) і\((b−a)\), ми будемо враховувати один\(−1\) з бічленів, щоб отримати однакові біноміали.

\[\begin{array}{rl}(b-a)&\text{Factor out }-1 \\ -1(-b+a)&\text{Apply the commutative property to the addition} \\ -1(a-b)&\text{Now the binomial is written as subtraction}\end{array}\nonumber\]

Примітка

Софія Ковалевська Росії була першою жінкою в редакції математичного журналу в кінці\(19^{\text{th}}\) століття. Вона також досліджувала обертові кільця планети Сатурна.

Найбільший загальний фактор та групування домашніх завдань

Фактор найбільший загальний фактор.