6.6: Поліноміальне поділ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58325

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ділильні многочлени - це процес, дуже схожий на довге ділення цілих чисел. Перш ніж ми розглянемо довге ділення поліномами, ми спочатку освоїмо ділення многочлена на мономіал.

Поліноміальний поділ з мономіалами

Ми ділимо многочлен на мономіал, переписуючи вираз як відокремлені дроби, а не один дріб. Використовуємо факт

\[\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\nonumber\]

Приклад Template:index

Розділити:\(\dfrac{9x^5+6x^4-18x^3-24x^2}{3x^2}\)

Рішення

Зверніть увагу, що у нас є чотири терміни з однаковим знаменником. Ми можемо переписати цей вираз як\(4\) дроби з однаковим знаменником, а потім спростити.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{9x^5+6x^4-18x^3-24x^2}{3x^2}&\text{Rewrite as four fractions with the same denominator} \\ \dfrac{9x^5}{3x^2}+\dfrac{6x^4}{3x^2}-\dfrac{18x^3}{3x^2}-\dfrac{24x^2}{3x^2}&\text{Reduce and apply the quotient rule of exponents} \\ 3x^3+2x^2-6x-8&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Розділити:\(\dfrac{8x^3+4x^2-2x+6}{4x^2}\)

Рішення

\[\begin{array}{rl}\dfrac{8x^3+4x^2-2x+6}{4x^2}&\text{Rewrite as four fractions with the same denominator} \\ \dfrac{8x^3}{4x^2}+\dfrac{4x^2}{4x^2}-\dfrac{2x}{4x^2}+\dfrac{6}{4x^2}&\text{Reduce and apply the quotient rule of exponents} \\ 2x+1-\dfrac{1}{2}x^{-1}+\dfrac{3}{2}x^{-2}&\text{Rewrite with positive exponents} \\ 2x+1-\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{2x^2}&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, що іноді у нас є дроби в частці. Поки фракції скорочуються, це правильно. Також другий термін\(\dfrac{4x^2}{4x^2}\) зводиться повністю до одиниці.

Поліноміальне поділ з многочленами

Довге ділення потрібно при діленні на многочлен, тобто коли в знаменнику є сума або різниця членів. Довге ділення поліномами працює аналогічно довгому діленню цілими числами. Розглянемо приклад.

Приклад Template:index

Розділити:\(631\div 4\)

Рішення

Давайте розглянемо цей приклад. Дільник є,\(4\) а дивіденд є\(631\). Відповідь називається часткою. Спочатку ми переписуємо ділення з дільником зовні, потім довгий символ ділення, і дивіденд всередині довгого символу ділення.

\[\begin{aligned} \;\;1\;\; 5\;\; 7 \\ 4\overline{)\;\;6\;\; 3\;\; 1}&\qquad \text{How many times does }4\text{ divide into }6\text{?} \\ \underline{-4\qquad}&\qquad \text{Once. We write }1\text{ over the }6\text{, keeping place values.}\\ 2\;\;\;3\quad\; &\qquad\text{Bring down the next place value, }3\text{, and how many times does }4\text{ divide into }23\text{?} \\ \underline{-2\;\;0\quad}&\qquad 5\text{ times. We write }5\text{ over the }3\text{, keeping place values.} \\ 3\;\; 1 \\ \underline{-\;\;2\;\;8}&\qquad\text{Bring down the next place value, }1\text{, and how many times does }4\text{ divide into }31\text{?} \\ 3&\qquad 7\text{ times. We write }7\text{ over the }1\text{, keeping place values.} \end{aligned}\]

Значить,\(3\) є залишок. Отже, пишемо відповідь у вигляді частки, плюс залишок у вигляді дробу:

\[157+\dfrac{3}{4}\nonumber\]

Спрощуючи цю суму, пишемо\(157\dfrac{3}{4}\).

Цей метод може здатися елементарним, але це не арифметика, яку ми хочемо переглянути, це метод. Ми використовуємо той же метод, що і в арифметиці, але тепер з поліномами.

Примітка

При написанні відповіді з залишком пишемо відповідь як\[\text{quotient}+\dfrac{\text{remainder}}{\text{divisor}}\nonumber\]

Нагадаємо, якщо нам дано\(a\div b=c\), то\[\underset{\color{blue}{\text{dividend}}}{\underbrace{a}}\color{black}{}\div\underset{\color{blue}{\text{divisor}}}{\underbrace{b}}\color{black}{}=\underset{\color{blue}{\text{quotient}}}{\underbrace{c}}\nonumber\]

Приклад Template:index

Розділити:\(\dfrac{3x^3-5x^2-32x+7}{x-4}\).

Рішення

Почнемо з написання поділу, як довго ділення:

\[x\; -\; 4)\overline{\;\;3x^3\;\;-5x^2\;\;-32x\;\;+7}\nonumber\]

Тепер ми дотримуємося того ж методу, як ми зробили для арифметики. Обов'язково зберігайте значення місця і міняйте знаки для віднімання.

\[\begin{aligned}3x^2\;\;\;\; +7x\;\;-4 \\ x\; -\; 4\overline{)\quad\;\; 3x^3\;\;-5x^2\;\;-32x\;\;+7}&\qquad\text{How many times does }x\text{ divide into }3x^3\text{?} \\ \underline{-\;\; (3x^3\;-12x^2)\qquad\qquad\quad}&\qquad \text{Multiply }3x^2\text{ and }(x-4)\text{, then subtract.} \\ 7x^2\;\;-32x\;\qquad &\qquad\text{Bring down the next place value} \\ \underline{-(7x^2\;\;-28x)\qquad}&\qquad\text{How many times does }x\text{ divide into }7x^2\text{?}\:\color{blue}{7x} \\ -4x\;\;+7&\qquad\text{Bring down the next place value} \\ \underline{-(-4x)\;+16)}&\qquad\text{How many times does }x\text{ divide into }-4x\text{?}\:\color{blue}{-4} \\ -9&\qquad\text{Remainder} \end{aligned}\]

Тепер ми бачимо, що метод просто повторюється, поки ми не отримаємо значення, на яке дільник не ділиться, і ми отримаємо залишок. Так як залишок є\(−9\), то у нас є

\[3x^2+7x-4-\dfrac{9}{x-4}\nonumber\]

Приклад Template:index

Розділити:\(\dfrac{6x^3-8x^2+10x+103}{2x+4}\)

Рішення

Дотримуючись тієї ж схеми, що і раніше, ми переписуємо поділ як довгий поділ, а потім завершуємо довгий процес поділу. Однак в цьому прикладі ми будемо: «Намалюйте лінію і поміняйте знаки», щоб відразу розподілити віднімання.

\[\begin{aligned}3x^2\;\;\; -10x\;\;\;+25 \\ 2x\; +\; 4\overline{)\quad\;\; 6x^3\;\;-8x^2\;\;+10x\;\;+103} \\ \underline{ -6x^3\;-12x^2\qquad\qquad\qquad\;} \\ -20x^2\;\;+10x\;\;\qquad \\ \underline{20x^2\;\;+40x\qquad\;\;} \\ 50x\;\;+103 \\ \underline{-50x\;-100} \\ 3 \end{aligned}\]

Так як залишок є\(3\), то у нас є

\[3x^2-10x+25+\dfrac{3}{2x+4}\nonumber\]

Примітка

У прикладі Template:index замість того, щоб писати знак віднімання з кожним кроком, ми змінили умови на протилежні, оскільки це по суті те, що ми зробили в попередньому прикладі. Ми говоримо: «Намалюйте лінію, і поміняйте знаки», для малювання горизонтальної смуги і віднімання. Таким чином, ми можемо просто додати вертикально. Це на розсуд студента, яким способом відняти, або відняти безпосередньо, або додати протилежності

Поліноміальний поділ з відсутніми термінами

Іноді при діленні на многочлени в дивіденді може бути відсутній термін. Ми не ігноруємо термін, ми просто запишемо в\(0\) якості коефіцієнта.

Приклад Template:index

Розділити:\(\dfrac{2x^3-4x+42}{x+3}\)

Рішення

Переписуємо ділення як довге ділення і слідуємо тим же методом, але ставимо в нуль для коефіцієнта. У цьому випадку ми пропускаємо\(x^2\) термін; отже, ми поставимо\(0x^2\) для цього терміну, а потім розділимо, як завжди.

\[\begin{aligned}2x^2\;\;\; -6x\;\;\;+14 \\ x\; +\; 3\overline{)\;\; 2x^3\;\;\color{blue}{+0x^2}\;\;\;\color{black}{-4x}\;\;\:+42} \\ \underline{ -2x^3\;-6x^2\qquad\qquad\quad\;\;} \\ -6x^2\;\;-4x\;\;\qquad \\ \underline{6x^2\;\;+18x\qquad\;\;} \\ 14x\;\;+42 \\ \underline{-14x\;-42} \\ 0 \end{aligned}\]

Так як залишок є\(0\), то у нас є

\[2x^2-6x+14\nonumber\]

Важливо скористатися моментом, щоб перевірити кожну проблему, щоб переконатися, що показники опускаються і відсутні терміни. Якщо так, то нам доведеться налаштувати проблему, як ми зробили в прикладі Template:index. Крім того, цей останній приклад ілюструє, так само, як і при регулярному довгому діленні, іноді ми не маємо залишку в довгій задачі ділення.

Поліноміальний поділ з функціями

Ми можемо розділити дві поліноміальні функції так само, як ми ділимо поліноміальні вирази, за винятком, тепер у нас є функції. Метод той же, але позначення і проблеми змінюються.

Визначення

Якщо\(f\) і\(g\) є двома функціями\(x\), то\[(f\div g)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\nonumber\] де\(x\) знаходиться в області\(f\) і\(g\), і\(g(x)\neq 0\).

Приклад Template:index

Нехай\(f(x)=x^2-4x-5\) і\(g(x)=x-5\). Знайти\((f\div g)(x)\).

Рішення

Починаємо з застосування визначення, потім спрощуємо повністю.

\[\begin{aligned}(f\div g)(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\ (f\div g)(x)&=\dfrac{x^2-4x-5}{x-5}\end{aligned}\]

Взявши дільник\(x − 5\), а дивіденд повинен бути\(x^2 − 4x − 5\), отримуємо

\[\begin{aligned} x\;\;\;+1 \\ x\; -\; 5\overline{)\;\;x^2\;\;-4x\;\;-5} \\ \underline{-x^2\;\;+5x\qquad\;} \\ x\;\; -5 \\ \underline{-x\;\;+5} \\ 0 \end{aligned}\]

Так як залишку немає, то\((f\div g)(x) = x + 1\).

Поліноміальний поділ за синтетичним поділом

Іншим способом поділу многочленів, заданих біноміальним дільником виду,\(x−a\) є використання виключно коефіцієнтів многочленів. Синтетичне ділення - це метод ділення многочленів без використання заданих змінних многочленів, а тільки коефіцієнтів.

Примітка

Паоло Руффіні був італійським математиком початку\(19^{\text{th}}\) століття. У 1809 році він першим описав процес, який називається синтетичним діленням, який також можна було використовувати для поділу поліномів. Його ще називають поділом через правління Руффіні.

Приклад Template:index

Давайте візьмемо приклад Template:index і застосуємо синтетичне ділення, щоб отримати ті ж результати, що і при поліноміальному діленні. Розділити:\(\dfrac{3x^3-5x^2-32x+7}{x-4}\)

Рішення

Спочатку беремо виключене значення виразу, яке є коли\(x = 4\). Ставимо це в правому верхньому куті таблиці синтетичного поділу:

\[\begin{aligned} 4|& \\ &\: \underline{\qquad\qquad\qquad} \end{aligned}\]

Потім, слідуючи виключеному значенню, розміщуємо коефіцієнти дивідендів в тому ж верхньому ряду, в стандартному порядку:

\[\begin{aligned}4|&\;\;3\;\;-5\;\;-32\;\;7 \\ &\:\underline{\qquad\qquad\qquad\quad}\end{aligned}\]

Звести провідний коефіцієнт вниз до нижнього ряду:

\[\begin{aligned}4|&\;\;3\;\;-5\;\;-32\;\;7 \\ &\:\underline{\downarrow \qquad\qquad\qquad} \\ &\;\;\color{blue}{3}\qquad\qquad\qquad \end{aligned}\]

Помножте\(x = 4\) виключене значення на провідний коефіцієнт, тобто\(4\cdot 3 = 12\), і поставте твір під другий коефіцієнт:

\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12 \\ \hline &\color{blue}{3}\end{array}\nonumber\]

Скласти вниз коефіцієнт і твір, тобто скласти\(−5 + 12 = 7\), і розмістити на нижньому ряду поруч з провідним коефіцієнтом:

\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}\end{array}\nonumber\]

Помножте\(x = 4\) виключене значення на\(7\), тобто\(4\cdot 7 = 28\), і поставте твір під третій коефіцієнт:

\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}\end{array}\nonumber\]

Скласти вниз коефіцієнт і твір, тобто додати\(−32 + 28 = −4\), і розмістити на нижньому ряду поруч з\(7\):

\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}&\color{blue}{-4}\end{array}\nonumber\]

Помножте\(x = 4\) виключене значення на\(−4\), тобто\(4\cdot −4 = −16\), і поставте твір під четвертий коефіцієнт:

\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28&-16 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}&\color{blue}{-4}\end{array}\nonumber\]

Скласти вниз коефіцієнт і твір, тобто додати\(7 + (−16) = −9\), і розмістити на нижньому ряду поруч з\(4\):

\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28&-16 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}&\color{blue}{-4}&\color{red}{-9}\end{array}\nonumber\]

Перші три числа в останньому рядку нашої таблиці синтетичного поділу - це коефіцієнти частного многочлена. Пам'ятайте, ми почали з полінома третього ступеня і розділили на многочлен першого ступеня, тому частка є поліном другого ступеня. Значить, частка є\(\color{blue}{3}\color{black}{}x^2+\color{blue}{7}\color{black}{}x−\color{blue}{4}\). Число в нижньому правому куті\(\color{red}{−9}\), є залишком. Таким чином, відповідь, написана з часткою і залишком, є\[\color{blue}{3}\color{black}{}x^2+\color{blue}{7}\color{black}{}x-\color{blue}{4}\color{black}{}-\dfrac{\color{red}{9}}{\color{black}{x-4}}\nonumber\]

Якщо порівняти цей результат з результатом, отриманим у прикладі Template:index, то можна побачити, що вони ідентичні. Незалежно від того, ділилися ми за допомогою поліноміального ділення або синтетичного ділення, ми отримали той самий результат.

Взагалі синтетичне ділення є інструментом вибору для ділення многочленів на дільники виду\(x−c\). Важливо відзначити, що він працює тільки для цих видів дільників. Старомодний добрий поліноміальний довгий ділення для дільників ступеня більше, ніж\(1\) слід використовувати в інших випадках. Також врахуйте, що коли многочлен (ступеня не менше\(1\)) ділиться на\(x − c\), в результаті виходить многочлен рівно на один менший ступінь.

Домашнє завдання з поділу поліномів

Розділити.