6.2: Наукові позначення
- Page ID
- 58326
Одним із застосувань властивостей експоненти є наукове позначення. Наукові позначення використовуються для представлення дійсно великих або дійсно малих чисел, таких як числа, які занадто великі або малі для відображення на калькуляторі. Наприклад, відстань, яку світло проходить за рік в милі, становить дуже велике число (\(5,879,000,000,000\)), а маса одного атома водню в грамах - дуже мале число (\(0.00000000000000000000000167\)). Основні операції, такі як множення та ділення, з цими числами були б досить громіздкими. Однак властивості експоненти дозволяють нам зробити більш прості обчислення.
Наукові позначення - це позначення для подання надзвичайно великих або малих чисел у вигляді\[a\times 10^N,\nonumber\] де\(N\) є цілим числом\(1 ≤ a < 10\), і\(N\) це кількість десяткових знаків справа або зліва ми переїхали, щоб отримати\(a\).
Кілька зауважень щодо наукових позначень:
- \(N\)це спосіб перетворення між науковими та стандартними позначеннями.
- \(N\)являє собою кількість разів, які ми множимо або ділимо на\(10\). (Нагадаємо, множення на\(10\) переміщує десяткову крапку числа одне місце значення.)
- Ми вирішуємо, в якому напрямку рухатися десяткове (вліво або вправо), пам'ятаючи, що в стандартних позначеннях позитивні показники - це числа більше десяти, а негативні показники - числа менше одиниці (але більші за нуль).
Випадок 1. Якщо перемістити десяткове число вліво з числом в стандартних позначеннях, то\(N\) буде додатним.
Випадок 2. Якщо ми перемістимо десяткове вправо з числом в стандартних позначеннях, то\(N\) буде негативним.
Перетворення чисел на наукові позначення
\(14,200\)Перетворити на наукові позначення.
Рішення
Так як це число більше\(10\), то ми переміщаємо десяткове вліво і\(N\) є додатним. Спочатку знайдемо\(a\), потім\(N\).
\[\begin{array}{rl}14200\color{blue}{.0}\color{black}{}&\text{Identify the location of the decimal} \\1\color{blue}{.}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{black}{4\:}}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{black}{2}}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{black}{0}}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft }}{\color{black}{0. 0}}&\text{Four decimal places to the left} \\ 1.42&\text{The value of }a\end{array}\nonumber\]
Оскільки ми перемістили\(4\) десяткові розряди вліво\(1.42\), щоб отримати\(N = 4\), то ми знаємо, тобто показник на\(10\) є\(4\). Значить,\(14,200\) переписуючи зі стандартних позначень на наукові, отримуємо\[1.42\times 10^4\nonumber\]
Переконайтеся, що завжди переміщайте десяткове число, однак багато знаків після коми, щоб отримати число між\(1\) і\(10\). У прикладі Template:index ми перемістили лише чотири знака після коми, оскільки це кількість десяткових знаків, яку нам потрібно перемістити, щоб отримати число між\(1\) і\(10\).
\(0.0042\)Перетворити на наукові позначення.
Рішення
Так як це число менше\(1\) (але більше нуля), то ми переміщаємо десяткове вправо і\(N\) є від'ємним. Спочатку знайдемо\(a\), потім\(N\).
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{0.}\color{black}{}0042&\text{Identify the location of the decimal} \\ \stackrel{\color{blue}{\curvearrowright\: .}}{\color{black}{0.\: 0}}\stackrel{\color{blue}{\:\curvearrowright\: .}}{\: \color{black}{0}} \stackrel{\color{blue}{\curvearrowright\: }}{\color{black}{\:4}} .2&\text{Three decimal places to the right} \\ 4.2&\text{The value for }a\end{array}\nonumber\]
Оскільки ми перемістили\(3\) десяткові розряди вправо\(4.2\), щоб отримати\(N = −3\), то ми знаємо, тобто показник на\(10\) є\(−3\). Значить,\(0.0042\) переписуючи зі стандартних позначень на наукові, отримуємо\[4.2\times 10^{-3}\nonumber\]
Перетворення чисел з наукового позначення на стандартні позначення
Щоб перетворити число з наукового позначення форми\[a\times 10^{N}\nonumber\] в стандартні позначення, ми можемо слідувати цим правилам.
- Якщо\(N\) позитивний, це означає, що вихідне число було більше\(10\), ми переміщаємо десяткове число в потрібний\(N\) час.
- Якщо\(N\) від'ємний, це означає, що вихідне число було менше\(1\) (але більше нуля), ми переміщаємо десяткове число\(N\) вліво.
\(3.21\times 10^5\)Перетворити на стандартні позначення.
Рішення
Оскільки\(N = 5\), що є додатним, то це означає стандартне позначення числа більше, ніж\(10\) і ми переміщаємо десяткове число в потрібні\(5\) часи.
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{3.}\color{black}{}21&\text{Identify the location of the decimal} \\ \stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\color{black}{3.\: 2}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\: \color{black}{1}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\:\color{blue}{0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\:\color{blue}{0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright }}{\:\color{blue}{0}}&\text{Five decimal places to the right} \\ 321000.&\text{Standard notation}\end{array}\nonumber\]
Оскільки ми перемістили\(5\) десяткові розряди вправо\(321,000\), щоб отримати, зверніть увагу, як ми рухалися десяткової, були значень місця без цифр і тому ми писали в нулі. Взагалі, ми робимо це тоді, коли при розширенні чисел є значення місця без цифр.
\(7.4\times 10^{-3}\)Перетворити на стандартні позначення.
Рішення
Оскільки\(N = −3\), що є від'ємним, то це означає стандартне позначення числа менше\(1\) (але більше нуля) і ми переміщаємо десяткове число\(3\) вліво.
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{7.}\color{black}{4}&\text{Identify the location of the decimal} \\ \stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{blue}{0.0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{blue}{\: 0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft}}{\color{black}{7.}}4&\text{Three decimal places to the left} \\ 0.0074&\text{Standard notation}\end{array}\nonumber\]
Оскільки ми перемістили\(3\) десяткові розряди вліво\(0.0074\), щоб отримати, зверніть увагу, що ми повинні були записати нулі для десятих і сотих місць.
Множення та ділення чисел у наукових позначеннях
Перетворення чисел між стандартними позначеннями та науковими позначеннями має важливе значення для розуміння наукової позначення та її мети. Далі множимо і ділимо числа в наукових позначеннях, використовуючи властивості експоненти. Якщо безпосередній результат не буде записаний в наукові позначення, ми виконаємо додатковий крок у написанні відповіді в науковій нотації.
Крок 1. Перепишіть коефіцієнти як множення або ділення\(a\) -значення, а потім множення або ділення\(10^N\) значень.
Крок 2. Помножте або діліть\(a\) значення та застосуйте добуток або часткове правило експонентів\(N\), щоб додати або відняти показники\(10\), відповідно.
Крок 3. Переконайтеся, що результат знаходиться в наукових позначеннях. Якщо немає, то перепишіть в наукові позначення.
Помножити:\((2.1\times 10^{-7})(3.7\times 10^5)\)
Рішення
Крок 1. Перепишіть коефіцієнти як множення\(a\) -значення, а потім множення\(10^N\) значень. \[(2.1)(3.7)\times (10^{-7}\cdot 10^5)\nonumber\]
Крок 2. Помножте\(a\) значення та застосуйте правило добутку експонент до\(10^N\) значень. \[\begin{array}{rl}(2.1)(3.7)\times 10^{-7+5}&\text{Simplify} \\ 7.77\times 10^{-2}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Оскільки продукт призвів до наукового позначення, ми залишаємо його як є.
Розділити:\(\dfrac{4.96\times 10^4}{3.1\times 10^{-3}}\)
Рішення
Крок 1. Перепишіть множники як ділильні\(a\) -значення, а потім ділення\(10^N\) значень. \[\dfrac{4.96}{3.1}\times \dfrac{10^4}{10^{-3}}\nonumber\]
Крок 2. \(a\)Помножте значення та застосуйте часткове правило показників до\(10^N\) значень. \[\begin{array}{rl}\dfrac{4.96}{3.1}\times 10^{4-(-3)}&\text{Simplify} \\ 1.6\times 10^7&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Оскільки частка призвела до наукового позначення, ми залишаємо його як є.
Помножити:\((4.7\times 10^{-3})(6.1\times 10^9)\)
Рішення
Крок 1. Перепишіть коефіцієнти як множення\(a\) -значення, а потім множення\(10^N\) значень. \[(4.7)(6.1)\times (10^{-3}\times 10^9)\nonumber\]
Крок 2. Помножте\(a\) значення та застосуйте правило добутку експонент на\(10^N\) значення. \[\begin{array}{rl}(4.7)(6.1)\times 10^{-3+9}&\text{Simplify} \\ 28.67\times 10^6&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Оскільки продукт привів число не в науковому позначенні, ми переписали його так, щоб воно було в науковому позначенні. Отже, ми повинні\(a\) бути числом принаймні\(1\) і менше\(10\), ніж, і\(28.67\) більше\(10\), то ми переміщаємо десяткове вліво і\(N\) є додатним. \[\begin{array}{rl}(2\color{blue}{8.}\color{black}{}67)\times 10^6&\text{Identify the location of the decimal} \\ \left( \stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft}}{\color{black}{2}\color{blue}{.8}}\color{black}{}.67\times 10^1\right)\times 10^6&\text{One decimal place to the left} \\ 2.867\times 10^1\times 10^6&\text{Apply product rule of exponents} \\ 2.867\times 10^7&\text{Scientific notation}\end{array}\nonumber\]
Архімед (287 до н.е. - 212 до н.е.), грецький математик, розробив систему представлення великих чисел за допомогою системи, дуже схожої на наукові позначення. Він використовував свою систему для обчислення кількості піщинок, необхідних для заповнення Всесвіту. Його висновком\(10^{63}\) стали піщинки, тому що він вважав, що Всесвіт має\(10^{14}\) діаметр стадіонів або близько\(2\) світлових років.
Розділити:\(\dfrac{2.014\times 10^{-3}}{3.8\times 10^{-7}}\)
Рішення
Крок 1. Перепишіть множники як ділильні\(a\) -значення, а потім ділення\(10^N\) значень. \[\dfrac{2.014}{3.8}\times \dfrac{10^{-3}}{10^{-7}}\nonumber\]
Крок 2. Розділіть\(a\) значення та застосуйте часткове правило показників до\(10^N\) значень. \[\begin{array}{rl}\dfrac{2.014}{3.8}\times 10^{-3-(-7)}&\text{Simplify} \\ 0.53\times 10^4 &\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Оскільки частка привела число не в науковому позначенні, ми переписали його так, щоб воно було в науковому позначенні. Отже, нам\(a\) потрібно бути числом принаймні\(1\) і менше, і менше\(10\), ніж\(1\) (але більше нуля), потім ми переміщаємо десяткове вправо і\(N\) є від'ємним.\(0.53\) \[\begin{array}{rl}(\color{blue}{0.}\color{black}{}53)\times 10^4 &\text{Identify the location of the decimal} \\ \left(0.\color{blue}{\stackrel{\curvearrowright}{5}}\color{black}{}.3\times 10^{-1}\right)\times 10^4&\text{One decimal place to the right} \\ 5.3\times 10^{-1}\times 10^4&\text{Apply product rule of exponents} \\ 5.3\times 10^3&\text{Scientific notation}\end{array}\nonumber\]
Наукове позначення Домашнє завдання
Запишіть кожне число в науковому позначенні
\(885\)
\(0.081\)
\(0.039\)
\(0.000744\)
\(1.09\)
\(15,000\)
Запишіть кожне число в стандартних позначеннях.
\(8.7\times 10^5\)
\(9\times 10^{-4}\)
\(2\times 10^0\)
\(2.56\times 10^2\)
\(5\times 10^4\)
\(6\times 10^{-5}\)
Спростити. Напишіть кожну відповідь в науковому позначенні.
\((7\times 10^{-1})(2\times 10^{-3})\)
\((5.26\times 10^{-5})(3.16\times 10^{-2})\)
\((2.6\times 10^{-2})(6\times 10^{-2})\)
\(\dfrac{4.9\times 10^1}{2.7\times 10^{-3}}\)
\(\dfrac{5.33\times 10^{-6}}{9.62\times 10^{-2}}\)
\((5.5\times 10^{-5})^2\)
\((7.8\times 10^{-2})^5\)
\((8.03\times 10^4)^{-4}\)
\(\dfrac{6.1\times 10^{-6}}{5.1\times 10^{-4}}\)
\((3.6\times 10^0)(6.1\times 10^{-3})\)
\((1.8\times 10^{-5})^{-3}\)
\(\dfrac{9\times 10^4}{7.83\times 10^{-2}}\)
\(\dfrac{3.22\times 10^{-3}}{7\times 10^{-6}}\)
\(\dfrac{2.4\times 10^{-6}}{6.5\times 10^0}\)
\(\dfrac{6\times 10^3}{5.8\times 10^{-3}}\)
\((2\times 10^{-6})(8.8\times 10^{-5})\)
\((5.1\times 10^6)(9.84\times 10^{-1})\)
\(\dfrac{7.4\times 10^4}{1.7\times 10^{-4}}\)
\(\dfrac{7.2\times 10^{-1}}{7.32\times 10^{-1}}\)
\(\dfrac{3.2\times 10^{-3}}{5.02\times 10^0}\)
\((9.6\times 10^3)^{-4}\)
\((5.4\times 10^6)^{-3}\)
\((6.88\times 10^{-4})(4.23\times 10^1)\)
\(\dfrac{8.4\times 10^5}{7\times 10^{-2}}\)
\((3.15\times 10^3)(8\times 10^{-1})\)
\(\dfrac{9.58\times 10^{-2}}{1.14\times 10^{-3}}\)
\((8.3\times 10^1)^5\)
\(\dfrac{5\times 10^6}{6.69\times 10^2}\)
\((9\times 10^{-2})^{-3}\)
\((2\times 10^4)(6\times 10^1)\)