9.6: Вступ до комплексних чисел та комплексних розв'язків
- Page ID
- 58193
Цілі навчання
- Виконуйте операції з комплексними числами.
- Розв'яжіть квадратні рівняння зі складними розв'язками.
Вступ до комплексних чисел
До цього моменту квадратний корінь від'ємного числа залишався невизначеним. Наприклад, ми знаємо, що\(\sqrt{−9}\) це не реальне число.
\(\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{\text { or} } \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9\)
Немає реального числа, яке при квадраті призводить до негативного числа. Розв'язання цього питання ми починаємо з визначення уявної одиниці, i, як квадратного кореня −1.
\[i=\sqrt{-1} \quad \text { and } \quad i^{2}=-1\]
Для вираження квадратного кореня від'ємного числа через уявну одиницю i ми використовуємо таку властивість, де a представляє будь-яке невід'ємне дійсне число:
З цим ми можемо написати
Якщо\(\sqrt{-9}=3i\), то ми очікуємо, що 3 я в квадраті дорівнює: -9:
Тому квадратний корінь будь-якого негативного дійсного числа можна записати через уявну одиницю. Такі числа часто називають уявними числами.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Перепишіть в терміні уявної одиниці i.
- \(\sqrt{-4}\)
- \(\sqrt{-5}\)
- \(\sqrt{-8}\)
Рішення:
а.\(\sqrt{-4}=\sqrt{-1\cdot 4} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=i\cdot 2 = 2i\)
б.\(\sqrt{-5}=\sqrt{-1\cdot 5} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5} = i\sqrt{5}\)
c.\(\sqrt{-8}=\sqrt{-1\cdot 4\cdot 2} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}\sqrt{2} = i\cdot 2\cdot \sqrt{2} = 2i\sqrt{2}\)
Примітка
Коли уявне число передбачає радикал, поставте його перед радикалом. Розглянемо наступне:
\(2i\sqrt{2} = 2\sqrt{2}i\)
Оскільки множення є комутативним, ці числа еквівалентні. Однак у формі\(2\sqrt{2}i\) уявна одиниця i часто неправильно трактується як частина радиканда. Щоб уникнути цієї плутанини, найкраща практика розмістити i перед радикалом та використовувати\(2i\sqrt{2}\).
Комплексне число - це будь-яке число форми
\[a+bi\]
де a і b - дійсні числа. Тут a називається дійсною частиною, а b - уявною частиною. Наприклад,\(3−4i\) комплексне число з дійсною частиною, 3, і уявною частиною −4. Важливо відзначити, що будь-яке дійсне число також є комплексним числом. Наприклад, дійсне число 5 також є комплексним числом, оскільки його можна записати як\(5+0i\) з дійсною частиною 5, так і уявною частиною 0. Звідси безліч дійсних чисел, що позначаються R, є підмножиною безлічі комплексних чисел, що позначаються С.
Додавання та віднімання комплексних чисел схоже на додавання та віднімання подібних термінів. Додайте або відніміть реальні частини, а потім уявні частини.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Додати:
\((3−4i)+(2+5i)\)
Рішення:
Додайте реальні частини, а потім додайте уявні частини.
Відповідь:
\(5+i\)
Щоб відняти комплексні числа, відніміть дійсні частини і відніміть уявні частини. Це узгоджується з використанням розподільного властивості.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Відніміть:
\((3−4i)−(2+5i)\)
Рішення:
Розподіліть негативний, а потім комбінуйте подібні терміни
Відповідь:
\(1-9i\)
Розподільне властивість застосовується і при множенні комплексних чисел. Скористайтеся тим, що\(i^{2}=−1\) для вирішення результату в стандартну форму:\(a+bi\).
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Помножити:
\(5i(3−4i)\)
Рішення:
Почніть з застосування розподільного властивості.
Відповідь:
\(20+15i\)
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Помножити:
\((3−4i)(4+5i)\)
Рішення
Відповідь:
\(32-i\)
З огляду на комплексне число\(a+bi\), його складний сполучений є\(a−bi\). Далі досліджуємо твір складних кон'югатів.
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Помножити:
\((3−4i)(3+4i)\)
Рішення:
Відповідь:
\(25\)
В цілому добуток складних кон'югатів наступним чином:
\(\begin{aligned}(a+b i)(a-b i) &=a^{2}-a \cdot b i+b i \cdot a-b^{2} i^{2} \\ &=a^{2}-a b i+a b i-b^{2}(-1) \\ &=a^{2}+b^{2} \end{aligned}\)
Зверніть увагу, що результат не передбачає уявної одиниці; отже, результат реальний. Це призводить нас до дуже корисної властивості:
\[(a+b i)(a-b i)=a^{2}+b^{2}\]
Для поділу комплексних чисел застосовуємо методику, яка використовується для раціоналізації знаменника. Помножте чисельник і знаменник (дивіденд і дільник) на сполучений знаменник. Результат потім може бути вирішений в стандартній формі,\(a+bi\).
Приклад\(\PageIndex{7}\)
Розділити:
\(\frac{1}{1-2i}\)
Рішення:
У цьому прикладі сполучений знаменник є\(1+2i\). Помножте на 1 у вигляді\(\frac{(1+2i)}{(1+2i)}\).
Щоб висловити це комплексне число в стандартному вигляді, напишіть кожен член над загальним знаменником 5.
\(\begin{aligned} \frac{1+2 i}{5} &=\frac{1}{5}+\frac{2 i}{5} \\ &=\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i \end{aligned}\)
Відповідь:
\(\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i\)
Приклад\(\PageIndex{8}\)
Розділити:
\(\frac{3−4i}{3+2i}\).
Рішення:
Відповідь:
\(\frac{1}{13}-\frac{18}{13} i\)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Розділити:
\(\frac{5+5i}{1-3i}\)
- Відповідь
-
\(-1+2i\)
Квадратні рівняння зі складними розв'язками
Тепер, коли комплексні числа визначені, ми можемо завершити наше дослідження розв'язків квадратних рівнянь. Часто розв'язки квадратних рівнянь не є реальними.
Приклад\(\PageIndex{9}\)
Вирішіть за допомогою квадратичної формули:
\(x^{2}−2x+5=0\)
Рішення:
Почніть з визначення a, b і c. Тут
Підставте ці значення в квадратичну формулу, а потім спростіть.
Перевірте ці розв'язки, підставивши їх у вихідне рівняння.
\(\begin{array}{r|r}{Check \:x=1-2i}&{Check\:x=1+2i}\\ {x^{2}-2x+5=0}&{x^{2}-2x+5=0}\\{(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}+5=0}&{(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}+5=0}\\{1-4i+4i^{2}-2+4i+5=0}&{1+4i+4i^{2}-2-4i+5=0}\\{4i^{2}+4=0}&{4i^{2}+4=0} \\{4-1+4=0}&{4-1+4=0}\\{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)
Відповідь:
Рішення є\(1−2i\) і\(1+2i\).
Рівняння може бути не дано в стандартній формі. Загальні етапи розв'язання з використанням квадратичної формули викладені в наступному прикладі.
Приклад\(\PageIndex{10}\)
Вирішити:
\((2x+1)(x−3)=x−8\)
Рішення:
Крок 1: Напишіть квадратне рівняння в стандартній формі.
Крок 2: Визначте a, b та c для використання в квадратичній формулі. Тут
Крок 3: Підставте відповідні значення в квадратичну формулу, а потім спростіть.
Відповідь:
Рішення є\(\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} i\). Перевірка необов'язкова.
Приклад\(\PageIndex{11}\)
Вирішити:
\(x(x+2)=−19\)
Рішення:
Почніть з перезапису рівняння в стандартному вигляді.
Тут a=1, b=2 і c = 19. Підставляємо ці значення в квадратичну формулу.
Відповідь:
Рішення є\(-1 - 3 i \sqrt{2}\) і\(-1 + 3 i \sqrt{2}\).
Примітка
Розглянемо наступне:
Обидва числа еквівалентні і\(-1+ 3\sqrt{2}i\) знаходяться в стандартній формі, де дійсна частина дорівнює −1, а уявна частина -\(3\sqrt{2}\). Однак це число часто виражається як\(-1 + 3 i \sqrt{2} \), навіть незважаючи на те, що цей вираз і не в стандартній формі. Знову ж таки, це робиться для того, щоб уникнути можливості неправильного тлумачення уявної одиниці як частини радиканда.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Вирішити:
\((2x+3)(x+5)=5x+4\)
- Відповідь
-
\(-4\pm6i\sqrt{2} = -2\pmi \sqrt{\frac{3}{2}}\)
Ключові винос
- Результатом додавання, віднімання, множення і ділення комплексних чисел є комплексне число.
- Використовуйте комплексні числа для опису розв'язків квадратних рівнянь, які не є дійсними.
Вправа\(\PageIndex{3}\) introduction to complex numbers
Перепишіть з точки зору i.
- \(\sqrt{-64}\)
- \(\sqrt{-81}\)
- \(\sqrt{-20}\)
- \(\sqrt{-18}\)
- \(\sqrt{-50}\)
- \(\sqrt{-48}\)
- \(\sqrt{-45}\)
- \(\sqrt{-8}\)
- \(\sqrt{-14}\)
- \(\sqrt{-29}\)
- Відповідь
-
1. \(8i\)
3. \(2i\sqrt{5}\)
5. \(5i\sqrt{2}\)
7. \(-3i\sqrt{5}\)
9. \(i\sqrt{14}\)
Вправа\(\PageIndex{4}\) introduction to complex numbers
Виконайте операції.
- \((3+5i)+(7−4i)\)
- \((6−7i)+(−5−2i)\)
- \((−8−3i)+(5+2i)\)
- \((−10+15i)+(15−20i)\)
- \((12+34i)+(16−18i)\)
- \((25 −16 i ) + (110 −32 i )\)
- \(( 5 + 2 i)−( 8 − 3 i )\)
- \(( 7 − i)−(− 6 − 9 i )\)
- \((− 9 − 5 i)−( 8 +12 i )\)
- \((−11 + 2 i)−(13 − 7 i )\)
- \((114 +32 i ) − (47 −34 i )\)
- \((38 −13 i ) − (12 −12 i )\)
- \(2 i ( 7 − 4 i )\)
- \(6 i ( 1 − 2 i )\)
- \(− 2 i ( 3 − 4 i )\)
- \(− 5 i ( 2 − i )\)
- \(( 2 + i)( 2 − 3 i )\)
- \(( 3 − 5 i)( 1 − 2 i )\)
- \(( 1 − i)( 8 − 9 i )\)
- \(( 1 + 5 i)( 5 + 2 i )\)
- \(( 4 + 3 i )^{2}\)
- \(( 2 − 5 i )^{2}\)
- \(( 4 − 2 i)( 4 + 2 i )\)
- \(( 6 + 5 i)( 6 − 5 i )\)
- \((12 +23 i)(13 −12 i )\)
- \((23 −13 i)(12 −32 i )\)
- \(15 + 4 i\)
- \(13 − 4 i\)
- \(\frac{20 i}{ 1 − 3 i}\)
- \(\frac{10 i}{ 1 − 2 i}\)
- \(\frac{10 − 5 i}{ 3 − i}\)
- \(\frac{4 − 2 i}{ 2 − 2 i}\)
- \(\frac{5 +10 i}{ 3 + 4 i}\)
- \(\frac{2 − 4 i}{ 5 + 3 i}\)
- \(\frac{1+2i}{2−3i}\)
- \(\frac{3−i}{4−5i}\)
- Відповідь
-
1. \(10+i\)
3. \(−3−i\)
5. \(28+16i\)
7. \(−3+5i\)
9. \(−17−17i\)
11. \(67+66i\)
13. \(8+14i\)
15. \(−8−6i\)
17. \(7−4i\)
19. \(−1−17i\)
21. \(7+24i\)
23. \(20\)
25. \(-140-892i\)
27. \(15+4i\)
29. \(−6+2i\)
31. \(\frac{7-i}{2}\)
33. \(\frac{11+2i}{5}\)
35. \(\frac{−4+7i}{13}\)
Вправа\(\PageIndex{5}\) complex roots
Вирішіть шляхом вилучення коренів, а потім вирішуйте за допомогою квадратичної формули. Перевірте відповіді.
- \(x^{2}+9=0\)
- \(x^{2}+1=0\)
- \(4t^{2}+25=0\)
- \(9t^{2}+4=0\)
- \(4y^{2}+3=0\)
- \(9y^{2}+5=0\)
- \(3x^{2}+2=0\)
- \(5x^{2}+3=0\)
- \((x+1)^{2}+4=0\)
- \((x+3)^{2}+9=0\)
- Відповідь
-
1. \(±3i\)
3. \(±\frac{5}{2}i\)
5. \(±i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
7. \ (± i\ sqrt {\ frac {2} {3}}
9. \(−1±2i\)
Вправа\(\PageIndex{6}\) complex roots
Вирішіть за допомогою квадратичної формули.
- \(x^{2}−2x+10=0\)
- \(x^{2}−4x+13=0\)
- \(x^{2}+4x+6=0\)
- \(x^{2}+2x+9=0\)
- \(y^{2}−6y+17=0\)
- \(y^{2}−2y+19=0\)
- \(t^{2}−5t+10=0\)
- \(t^{2}+3t+4=0\)
- \(−x^{2}+10x−29=0\)
- \(−x^{2}+6x−10=0\)
- \(−y^{2}−y−2=0\)
- \(−y^{2}+3y−5=0\)
- \(−2x^{2}+10x−17=0\)
- \(−8x^{2}+20x−13=0\)
- \(3y^{2}−2y+4=0\)
- \(5y^{2}−4y+3=0\)
- \(2x^{2}+3x+2=0\)
- \(4x^{2}+2x+1=0\)
- \(2x^{2}−12x+14=0\)
- \(3x^{2}−23x+13=0\)
- \(2x(x−1)=−1\)
- \(x(2x+5)=3x−5\)
- \(3t(t−2)+4=0\)
- \(5t(t−1)=t−4\)
- \((2x+3)^{2}=16x+4\)
- \((2y+5)^{2}−12(y+1)=0\)
- \(−3(y+3)(y−5)=5y+46\)
- \(−2(y−4)(y+1)=3y+10\)
- \(9x(x−1)+3(x+2)=1\)
- \(5x(x+2)−6(2x−1)=5\)
- \(3(t−1)−2t(t−2)=6t\)
- \(3(t−3)−t(t−5)=7t\)
- \((2x+3)(2x−3)−5(x^{2}+1)=−9\)
- \(5(x+1)(x−1)−3x^{2}=−8\)
- Відповідь
-
1. \(1±3i\)
3. \(−2±i\sqrt{2}\)
5. \(3±2\sqrt{2}i\)
7. \(\frac{5}{2}±i\frac{\sqrt{15}}{2}\)
9. \(5±2i\)
11. \(\frac{−1}{2}±i\frac{\sqrt{7}}{2}\)
13. \(\frac{5}{2}±i\frac{3}{2}\)
15. \(\frac{1}{3}±i\frac{\sqrt{11}}{3}\)
17. \(\frac{−3}{4}±i\frac{\sqrt{7}}{4}\)
19. \(3\pm\sqrt{2}\)
21. \(\frac{1}{2}±i\frac{1}{2}\)
23. \(1±i\frac{\sqrt{3}}{3}\)
25. \(\frac{1}{2}±i\)
27. \(\frac{1}{6}±i\frac{\sqrt{11}}{6}\)
29. \(\frac{1}{3}±i\frac{2}{3}\)
31. \(\frac{1}{4}±i\frac{\sqrt{23}}{4}\)
33. \(±i\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Вправа\(\PageIndex{7}\) discussion board
- Досліджуйте повноваження i. Поділіться своїми відкриттями на дошці обговорень.
- Досліджуйте та обговоріть багату історію уявних чисел.
- Досліджуйте та обговоріть реальні програми, що включають складні числа.
- Відповідь
-
1. Відповіді можуть відрізнятися
3. Відповіді можуть відрізнятися