9.6: Вступ до комплексних чисел та комплексних розв'язків

Цілі навчання

• Виконуйте операції з комплексними числами.
• Розв'яжіть квадратні рівняння зі складними розв'язками.

Вступ до комплексних чисел

До цього моменту квадратний корінь від'ємного числа залишався невизначеним. Наприклад, ми знаємо, що\(\sqrt{−9}\) це не реальне число.

\(\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{\text { or} } \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9\)

Немає реального числа, яке при квадраті призводить до негативного числа. Розв'язання цього питання ми починаємо з визначення уявної одиниці, i, як квадратного кореня −1.

\[i=\sqrt{-1} \quad \text { and } \quad i^{2}=-1\]

Для вираження квадратного кореня від'ємного числа через уявну одиницю i ми використовуємо таку властивість, де a представляє будь-яке невід'ємне дійсне число:

З цим ми можемо написати

Якщо\(\sqrt{-9}=3i\), то ми очікуємо, що 3 я в квадраті дорівнює: -9:

Тому квадратний корінь будь-якого негативного дійсного числа можна записати через уявну одиницю. Такі числа часто називають уявними числами.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Перепишіть в терміні уявної одиниці i.

1. \(\sqrt{-4}\)
2. \(\sqrt{-5}\)
3. \(\sqrt{-8}\)

Рішення:

а.\(\sqrt{-4}=\sqrt{-1\cdot 4} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=i\cdot 2 = 2i\)

б.\(\sqrt{-5}=\sqrt{-1\cdot 5} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5} = i\sqrt{5}\)

c.\(\sqrt{-8}=\sqrt{-1\cdot 4\cdot 2} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}\sqrt{2} = i\cdot 2\cdot \sqrt{2} = 2i\sqrt{2}\)

Примітка

Коли уявне число передбачає радикал, поставте його перед радикалом. Розглянемо наступне:

\(2i\sqrt{2} = 2\sqrt{2}i\)

Оскільки множення є комутативним, ці числа еквівалентні. Однак у формі\(2\sqrt{2}i\) уявна одиниця i часто неправильно трактується як частина радиканда. Щоб уникнути цієї плутанини, найкраща практика розмістити i перед радикалом та використовувати\(2i\sqrt{2}\).

Комплексне число - це будь-яке число форми

\[a+bi\]

де a і b - дійсні числа. Тут a називається дійсною частиною, а b - уявною частиною. Наприклад,\(3−4i\) комплексне число з дійсною частиною, 3, і уявною частиною −4. Важливо відзначити, що будь-яке дійсне число також є комплексним числом. Наприклад, дійсне число 5 також є комплексним числом, оскільки його можна записати як\(5+0i\) з дійсною частиною 5, так і уявною частиною 0. Звідси безліч дійсних чисел, що позначаються R, є підмножиною безлічі комплексних чисел, що позначаються С.

Додавання та віднімання комплексних чисел схоже на додавання та віднімання подібних термінів. Додайте або відніміть реальні частини, а потім уявні частини.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Додати:

\((3−4i)+(2+5i)\)

Рішення:

Додайте реальні частини, а потім додайте уявні частини.

Відповідь:

\(5+i\)

Щоб відняти комплексні числа, відніміть дійсні частини і відніміть уявні частини. Це узгоджується з використанням розподільного властивості.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Відніміть:

\((3−4i)−(2+5i)\)

Рішення:

Розподіліть негативний, а потім комбінуйте подібні терміни

Відповідь:

\(1-9i\)

Розподільне властивість застосовується і при множенні комплексних чисел. Скористайтеся тим, що\(i^{2}=−1\) для вирішення результату в стандартну форму:\(a+bi\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Помножити:

\(5i(3−4i)\)

Рішення:

Почніть з застосування розподільного властивості.

Відповідь:

\(20+15i\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Помножити:

\((3−4i)(4+5i)\)

Рішення

Відповідь:

\(32-i\)

З огляду на комплексне число\(a+bi\), його складний сполучений є\(a−bi\). Далі досліджуємо твір складних кон'югатів.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Помножити:

\((3−4i)(3+4i)\)

Рішення:

Відповідь:

\(25\)

В цілому добуток складних кон'югатів наступним чином:

\(\begin{aligned}(a+b i)(a-b i) &=a^{2}-a \cdot b i+b i \cdot a-b^{2} i^{2} \\ &=a^{2}-a b i+a b i-b^{2}(-1) \\ &=a^{2}+b^{2} \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що результат не передбачає уявної одиниці; отже, результат реальний. Це призводить нас до дуже корисної властивості:

\[(a+b i)(a-b i)=a^{2}+b^{2}\]

Для поділу комплексних чисел застосовуємо методику, яка використовується для раціоналізації знаменника. Помножте чисельник і знаменник (дивіденд і дільник) на сполучений знаменник. Результат потім може бути вирішений в стандартній формі,\(a+bi\).

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Розділити:

\(\frac{1}{1-2i}\)

Рішення:

У цьому прикладі сполучений знаменник є\(1+2i\). Помножте на 1 у вигляді\(\frac{(1+2i)}{(1+2i)}\).

Щоб висловити це комплексне число в стандартному вигляді, напишіть кожен член над загальним знаменником 5.

\(\begin{aligned} \frac{1+2 i}{5} &=\frac{1}{5}+\frac{2 i}{5} \\ &=\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Розділити:

\(\frac{3−4i}{3+2i}\).

Рішення:

Відповідь:

\(\frac{1}{13}-\frac{18}{13} i\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розділити:

\(\frac{5+5i}{1-3i}\)

Відповідь

\(-1+2i\)

Квадратні рівняння зі складними розв'язками

Тепер, коли комплексні числа визначені, ми можемо завершити наше дослідження розв'язків квадратних рівнянь. Часто розв'язки квадратних рівнянь не є реальними.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\(x^{2}−2x+5=0\)

Рішення:

Почніть з визначення a, b і c. Тут

Підставте ці значення в квадратичну формулу, а потім спростіть.

Перевірте ці розв'язки, підставивши їх у вихідне рівняння.

\(\begin{array}{r|r}{Check \:x=1-2i}&{Check\:x=1+2i}\\ {x^{2}-2x+5=0}&{x^{2}-2x+5=0}\\{(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}+5=0}&{(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}+5=0}\\{1-4i+4i^{2}-2+4i+5=0}&{1+4i+4i^{2}-2-4i+5=0}\\{4i^{2}+4=0}&{4i^{2}+4=0} \\{4-1+4=0}&{4-1+4=0}\\{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(1−2i\) і\(1+2i\).

Рівняння може бути не дано в стандартній формі. Загальні етапи розв'язання з використанням квадратичної формули викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вирішити:

\((2x+1)(x−3)=x−8\)

Рішення:

Крок 1: Напишіть квадратне рівняння в стандартній формі.

Крок 2: Визначте a, b та c для використання в квадратичній формулі. Тут

Крок 3: Підставте відповідні значення в квадратичну формулу, а потім спростіть.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} i\). Перевірка необов'язкова.

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Вирішити:

\(x(x+2)=−19\)

Рішення:

Почніть з перезапису рівняння в стандартному вигляді.

Тут a=1, b=2 і c = 19. Підставляємо ці значення в квадратичну формулу.

Відповідь:

Рішення є\(-1 - 3 i \sqrt{2}\) і\(-1 + 3 i \sqrt{2}\).

Примітка

Розглянемо наступне:

Обидва числа еквівалентні і\(-1+ 3\sqrt{2}i\) знаходяться в стандартній формі, де дійсна частина дорівнює −1, а уявна частина -\(3\sqrt{2}\). Однак це число часто виражається як\(-1 + 3 i \sqrt{2} \), навіть незважаючи на те, що цей вираз і не в стандартній формі. Знову ж таки, це робиться для того, щоб уникнути можливості неправильного тлумачення уявної одиниці як частини радиканда.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\((2x+3)(x+5)=5x+4\)

Відповідь

\(-4\pm6i\sqrt{2} = -2\pmi \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Ключові винос

• Результатом додавання, віднімання, множення і ділення комплексних чисел є комплексне число.
• Використовуйте комплексні числа для опису розв'язків квадратних рівнянь, які не є дійсними.

Вправа\(\PageIndex{3}\) introduction to complex numbers

Перепишіть з точки зору i.

1. \(\sqrt{-64}\)
2. \(\sqrt{-81}\)
3. \(\sqrt{-20}\)
4. \(\sqrt{-18}\)
5. \(\sqrt{-50}\)
6. \(\sqrt{-48}\)
7. \(\sqrt{-45}\)
8. \(\sqrt{-8}\)
9. \(\sqrt{-14}\)
10. \(\sqrt{-29}\)

Відповідь

1. \(8i\)

3. \(2i\sqrt{5}\)

5. \(5i\sqrt{2}\)

7. \(-3i\sqrt{5}\)

9. \(i\sqrt{14}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) introduction to complex numbers

Виконайте операції.

1. \((3+5i)+(7−4i)\)
2. \((6−7i)+(−5−2i)\)
3. \((−8−3i)+(5+2i)\)
4. \((−10+15i)+(15−20i)\)
5. \((12+34i)+(16−18i)\)
6. \((25 −16 i ) + (110 −32 i )\)
7. \(( 5 + 2 i)−( 8 − 3 i )\)
8. \(( 7 − i)−(− 6 − 9 i )\)
9. \((− 9 − 5 i)−( 8 +12 i )\)
10. \((−11 + 2 i)−(13 − 7 i )\)
11. \((114 +32 i ) − (47 −34 i )\)
12. \((38 −13 i ) − (12 −12 i )\)
13. \(2 i ( 7 − 4 i )\)
14. \(6 i ( 1 − 2 i )\)
15. \(− 2 i ( 3 − 4 i )\)
16. \(− 5 i ( 2 − i )\)
17. \(( 2 + i)( 2 − 3 i )\)
18. \(( 3 − 5 i)( 1 − 2 i )\)
19. \(( 1 − i)( 8 − 9 i )\)
20. \(( 1 + 5 i)( 5 + 2 i )\)
21. \(( 4 + 3 i )^{2}\)
22. \(( 2 − 5 i )^{2}\)
23. \(( 4 − 2 i)( 4 + 2 i )\)
24. \(( 6 + 5 i)( 6 − 5 i )\)
25. \((12 +23 i)(13 −12 i )\)
26. \((23 −13 i)(12 −32 i )\)
27. \(15 + 4 i\)
28. \(13 − 4 i\)
29. \(\frac{20 i}{ 1 − 3 i}\)
30. \(\frac{10 i}{ 1 − 2 i}\)
31. \(\frac{10 − 5 i}{ 3 − i}\)
32. \(\frac{4 − 2 i}{ 2 − 2 i}\)
33. \(\frac{5 +10 i}{ 3 + 4 i}\)
34. \(\frac{2 − 4 i}{ 5 + 3 i}\)
35. \(\frac{1+2i}{2−3i}\)
36. \(\frac{3−i}{4−5i}\)

Відповідь

1. \(10+i\)

3. \(−3−i\)

5. \(28+16i\)

7. \(−3+5i\)

9. \(−17−17i\)

11. \(67+66i\)

13. \(8+14i\)

15. \(−8−6i\)

17. \(7−4i\)

19. \(−1−17i\)

21. \(7+24i\)

23. \(20\)

25. \(-140-892i\)

27. \(15+4i\)

29. \(−6+2i\)

31. \(\frac{7-i}{2}\)

33. \(\frac{11+2i}{5}\)

35. \(\frac{−4+7i}{13}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) complex roots

Вирішіть шляхом вилучення коренів, а потім вирішуйте за допомогою квадратичної формули. Перевірте відповіді.

1. \(x^{2}+9=0\)
2. \(x^{2}+1=0\)
3. \(4t^{2}+25=0\)
4. \(9t^{2}+4=0\)
5. \(4y^{2}+3=0\)
6. \(9y^{2}+5=0\)
7. \(3x^{2}+2=0\)
8. \(5x^{2}+3=0\)
9. \((x+1)^{2}+4=0\)
10. \((x+3)^{2}+9=0\)

Відповідь

1. \(±3i\)

3. \(±\frac{5}{2}i\)

5. \(±i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

7. \ (± i\ sqrt {\ frac {2} {3}}

9. \(−1±2i\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) complex roots

Вирішіть за допомогою квадратичної формули.

1. \(x^{2}−2x+10=0\)
2. \(x^{2}−4x+13=0\)
3. \(x^{2}+4x+6=0\)
4. \(x^{2}+2x+9=0\)
5. \(y^{2}−6y+17=0\)
6. \(y^{2}−2y+19=0\)
7. \(t^{2}−5t+10=0\)
8. \(t^{2}+3t+4=0\)
9. \(−x^{2}+10x−29=0\)
10. \(−x^{2}+6x−10=0\)
11. \(−y^{2}−y−2=0\)
12. \(−y^{2}+3y−5=0\)
13. \(−2x^{2}+10x−17=0\)
14. \(−8x^{2}+20x−13=0\)
15. \(3y^{2}−2y+4=0\)
16. \(5y^{2}−4y+3=0\)
17. \(2x^{2}+3x+2=0\)
18. \(4x^{2}+2x+1=0\)
19. \(2x^{2}−12x+14=0\)
20. \(3x^{2}−23x+13=0\)
21. \(2x(x−1)=−1\)
22. \(x(2x+5)=3x−5\)
23. \(3t(t−2)+4=0\)
24. \(5t(t−1)=t−4\)
25. \((2x+3)^{2}=16x+4\)
26. \((2y+5)^{2}−12(y+1)=0\)
27. \(−3(y+3)(y−5)=5y+46\)
28. \(−2(y−4)(y+1)=3y+10\)
29. \(9x(x−1)+3(x+2)=1\)
30. \(5x(x+2)−6(2x−1)=5\)
31. \(3(t−1)−2t(t−2)=6t\)
32. \(3(t−3)−t(t−5)=7t\)
33. \((2x+3)(2x−3)−5(x^{2}+1)=−9\)
34. \(5(x+1)(x−1)−3x^{2}=−8\)

Відповідь

1. \(1±3i\)

3. \(−2±i\sqrt{2}\)

5. \(3±2\sqrt{2}i\)

7. \(\frac{5}{2}±i\frac{\sqrt{15}}{2}\)

9. \(5±2i\)

11. \(\frac{−1}{2}±i\frac{\sqrt{7}}{2}\)

13. \(\frac{5}{2}±i\frac{3}{2}\)

15. \(\frac{1}{3}±i\frac{\sqrt{11}}{3}\)

17. \(\frac{−3}{4}±i\frac{\sqrt{7}}{4}\)

19. \(3\pm\sqrt{2}\)

21. \(\frac{1}{2}±i\frac{1}{2}\)

23. \(1±i\frac{\sqrt{3}}{3}\)

25. \(\frac{1}{2}±i\)

27. \(\frac{1}{6}±i\frac{\sqrt{11}}{6}\)

29. \(\frac{1}{3}±i\frac{2}{3}\)

31. \(\frac{1}{4}±i\frac{\sqrt{23}}{4}\)

33. \(±i\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) discussion board

1. Досліджуйте повноваження i. Поділіться своїми відкриттями на дошці обговорень.
2. Досліджуйте та обговоріть багату історію уявних чисел.
3. Досліджуйте та обговоріть реальні програми, що включають складні числа.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися