9.5: Графічні параболи

Цілі навчання

• Графік параболи.
• Знайдіть перехоплення і вершину параболи.
• Знайдіть вершину параболи, заповнивши квадрат.

Графік квадратного рівняння

Ми знаємо, що будь-яке лінійне рівняння з двома змінними може бути записано у вигляді\(y=mx+b\) і що його графік є лінією. У цьому розділі ми побачимо, що будь-яке квадратне рівняння виду\(y=ax^{2}+bx+c\) має вигнутий графік, який називається параболою.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Дві точки визначають будь-яку лінію. Однак, оскільки парабола вигнута, ми повинні знайти більше двох точок. У цьому тексті ми визначимо як мінімум п'ять пунктів як засіб для виготовлення прийнятного ескізу. Для початку ми графуємо нашу першу параболу шляхом побудови точок. Задано квадратне рівняння виду\(y=ax^{2}+bx+c\), x є незалежною змінною, а y - залежною змінною. Виберіть деякі значення для x, а потім визначте відповідні y -значення. Потім намалюйте точки і накидайте графік.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Графік шляхом побудови точок:

\(y=x^{2}-2x-3\)

Рішення:

У цьому прикладі оберіть значення x {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} і обчислите відповідні y -значення.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Побудуйте ці точки і визначте форму графіка.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

При побудові графіків ми хочемо включити певні спеціальні точки на графіку. Перехоплення y - це точка, де графік перетинає вісь y. X -перехоплення - це точки, де графік перетинає вісь x. Вершина - це точка, яка визначає мінімум або максимум графа. Нарешті, лінія симетрії (її ще називають віссю симетрії) - це вертикальна лінія через вершину, про яку парабола симетрична.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Для будь-якої параболи знайдемо вершину і y -перехоплення. Крім того, якщо x -перехоплення існують, то ми також хочемо визначити їх. Ворожіння на х -значеннях цих спеціальних точок не є практичним, тому ми розробимо прийоми, які полегшать їх пошук. Багато з цих методів будуть широко використовуватися, коли ми прогресуємо в нашому вивченні алгебри. Задано квадратне рівняння виду\(y=ax^{2}+bx+c\), знайдіть y -перехоплення, встановивши x=0 та розв'язавши. Загалом\(y=a(0)^{2}+b(0)+c=c\), і у нас є

\ (\ color {Cerulean} {y-перехоплення}

\ [(0, с]\)

Далі нагадаємо, що х -перехоплення, якщо вони існують, можна знайти, встановивши y=0. Роблячи це, ми маємо\(0=a^{2}+bx+c\), який має загальні рішення, наведені квадратичною формулою,\(x=\frac{−b±\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a}\). Тому Х-перехоплення мають такий загальний вигляд:

\(\color{Cerulean}{x-intercepts}\)

Використовуючи те, що парабола симетрична, ми можемо визначити вертикальну лінію симетрії за допомогою x -перехоплень. Для цього знаходимо x -значення посередині між x -перехопленнями, взявши середнє значення наступним чином:

Тому лінією симетрії є вертикальна лінія:

\(\color{Cerulean}{Line\:of\:symmetry}\)

\[x=-\frac{b}{2 a}\]

Ми можемо використовувати лінію симетрії, щоб знайти x -значення вершини. Етапи побудови графіка параболи описані в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Графік:

Рішення

Крок 1: Визначте y -перехоплення. Для цього задаємо x = 0 і вирішуємо для y.

Y -перехоплення є (0, 3).

Крок 2: Визначте x -перехоплення. Для цього задаємо y = 0 і вирішуємо для x.

\(\begin{array}{rlr}{x+3} & {=0} & {\text { or }} & {x-1=0} \\ {x} & {=-3} & {} & {x=1}\end{array}\)

Тут при y = 0 отримуємо два рішення. Існує два x -перехоплення, (−3, 0) та (1, 0).

Крок 3: Визначаємо вершину. Один із способів зробити це - використовувати рівняння для лінії симетрії\(x=\frac{-b}{2 a}\), щоб знайти x -значення вершини. У цьому прикладі a = −1 і b = −2:

Заставте −1 у вихідне рівняння, щоб знайти відповідне значення y.

Вершина дорівнює (−1, 4).

Крок 4: Визначте зайві точки так, щоб у нас було принаймні п'ять точок для побудови сюжету. У цьому прикладі буде достатньо одного іншого пункту. Виберіть x = −2 і знайдіть відповідне значення y.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Наш п'ятий пункт - (-2,3).

Крок 5: Намалюйте точки та намалюйте графік. Нагадаємо, пункти, які ми знайшли, є

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

y-перехоплення:	(0,3)
X-перехоплення:	(-3,0) і (1,0)
Вершина:	(-1,4)
Додаткова точка:	(-2,3)

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Парабола відкривається вниз. Загалом, використовуйте провідний коефіцієнт, щоб визначити, чи відкривається парабола вгору або вниз. Якщо провідний коефіцієнт негативний, як в попередньому прикладі, то парабола відкривається вниз. Якщо провідний коефіцієнт позитивний, то парабола відкривається вгору.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Всі квадратні рівняння виду\(y=ax^{2}+bx+c\) мають параболічні графи з y -перехопленням (0, в ). Однак не всі параболи мають х перехоплень.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Графік:

\(y=2x^{2}+4x+5\)

Рішення:

Оскільки провідний коефіцієнт 2 позитивний, зверніть увагу, що парабола відкривається вгору. Тут c = 5 і y -перехоплення є (0, 5). Щоб знайти x -перехоплення, встановіть y = 0.

\(\begin{array}{l}{y=2 x^{2}+4 x+5} \\ {0=2 x^{2}+4 x+5}\end{array}\)

В даному випадку a = 2, b = 4, а c = 5. Використовуйте дискримінант для визначення кількості та типу розв'язків.

Оскільки дискримінант негативний, робимо висновок, що реальних рішень немає. Оскільки реальних рішень немає, немає х -перехоплень. Далі визначаємо x -значення вершини.

Враховуючи, що x -значення вершини дорівнює −1, підставляємо до вихідного рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

\(\begin{aligned} y &=2 x^{2}+4 x+5 \\ &=2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+5 \\ &=2-4+5 \\ &=3 \end{aligned}\)

Вершина дорівнює (−1, 3). Поки що у нас всього два пункти. Щоб визначити ще три, оберіть декілька x -значень по обидві сторони від лінії симетрії, x = −1. Тут ми вибираємо x -values −3, −2 та 1.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Підводячи підсумок, ми маємо

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

y-перехоплення:	(0,5)
Х-перехоплює:	Жоден
Вершина:	(-1,3)
Додаткові бали	(-3,11), (-2,5), (1,11)

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Графік:

Рішення

Зауважте, що a = −2: парабола відкривається вниз. Оскільки c = −18, перехоплення y дорівнює (0, −18). Щоб знайти x -перехоплення, встановіть y = 0.

Вирішити шляхом факторингу.

\(\begin{array}{rrr}{x-3=0} & {\text { or }} & {x-3=0} \\ {x=3} && {x=3}\end{array}\)

Тут x = 3 - це подвійний корінь, тому існує лише один х -перехоплення, (3, 0). З вихідного рівняння a = −2, b = 12, а c = −18. X -значення вершини можна обчислити наступним чином:

\(\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{12}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-12}{-4} \\ &=3 \end{aligned}\)

Враховуючи, що x -значення вершини дорівнює 3, підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Отже, вершина є (3, 0), яка буває тією ж точкою, що і x -перехоплення. Поки що у нас всього два пункти. Щоб визначити ще три, виберіть деякі x -значення по обидва боки від лінії симетрії, x = 3 в даному випадку.

Виберіть x -значення 1, 5 та 6.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Підводячи підсумок, ми маємо

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

y-перехоплення:	(0, -18)
Х-перехоплює:	(3, 0)
Вершина:	(3, 0)
Додаткові бали:	(1, -8), (5, -8), (6, -18)

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Графік:

Рішення:

Оскільки a = 1, парабола відкривається вгору. Крім того, c = −1, тому перехоплення y дорівнює (0, −1). Щоб знайти x -перехоплення, встановіть y = 0.

У цьому випадку вирішуйте за допомогою квадратичної формули з a = 1, b = −2, а c = −1.

Тут ми отримуємо два реальних рішення для x, і таким чином існує два x -перехоплення:

\((1-\sqrt{2}, 0) \quad \text { and } \qquad(1+\sqrt{2}, 0)\)

Приблизні значення за допомогою калькулятора:

\((-0.41,0) \qquad \text { and } \qquad(2.41,0)\)

Використовуйте приблизні відповіді, щоб розмістити впорядковану пару на графіку.

Однак ми представимо точні x -перехоплення на графіку. Далі знайдіть вершину.

\(\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2}{2} \\ &=1 \end{aligned}\)

Враховуючи, що x -значення вершини дорівнює 1, підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина - (1, -2). Нам потрібен ще один пункт.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Підводячи підсумок, ми маємо

Таблиця\(\PageIndex{4}\)

y-перехоплення:	(0, -1)
Х-перехоплює:	\((1-\sqrt{2}, 0)\)і\((1+\sqrt{2}, 0)\)
Вершина:	\((1, -2)\)
Додаткова точка:	\((2, -1)\)

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Графік:

\(y=9x^{2}-5\)

Відповідь

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Пошук максимуму і мінімуму

Часто корисно знайти максимальні та/або мінімальні значення функцій, які моделюють реальні програми. Щоб знайти ці важливі значення, задані квадратичною функцією, ми використовуємо вершину. Якщо провідний коефіцієнт a позитивний, то парабола відкривається вгору і буде мінімальне y -значення. Якщо провідний коефіцієнт a негативний, то парабола відкривається вниз і буде максимальне y -значення.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Визначаємо максимум або мінімум:

\(y=−4x^{2}+24x−35\)

Рішення:

Оскільки a = −4, ми знаємо, що парабола відкривається вниз і буде максимальне y -значення. Щоб його знайти, спочатку знайдемо x -значення вершини.

\(\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \qquad\quad\color{Cerulean}{x-value\:of\:the\:vertex.} \\ &=-\frac{24}{2(-4)}\quad\:\color{Cerulean}{Substitute\:a=-4\:and\:b=24.} \\ &=-\frac{24}{-8} \qquad\:\: \color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3 \end{aligned}\)

Значення x вершини дорівнює 3. Підставте це значення у вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина - (3, 1). Тому максимальне значення y дорівнює 1, що виникає при x = 3, як показано нижче:

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Примітка

Графік не обов'язковий для відповіді на це питання.

Відповідь:

Максимальний - 1.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Визначаємо максимум або мінімум:

\(y=4x^{2}−32x+62\)

Рішення:

Оскільки a = +4, парабола відкривається вгору і існує мінімальне y -значення. Почніть з пошуку x -значення вершини.

\(\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \\ &=-\color{black}{\frac{\color{OliveGreen}{-32}}{\color{black}{2}(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}}}\qquad\color{Cerulean}{Substitute\:a=4\:and\:b=-32.} \\ &=-\frac{-32}{8}\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=4 \end{aligned}\)

Заставте x = 4 у вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина дорівнює (4, −2). Отже, мінімальне значення y −2 виникає, коли x = 4, як показано нижче:

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

Відповідь:

Мінімальний - -2.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Визначаємо максимум або мінімум:

\(y=(x-3)^{2}-9\)

Відповідь

Мінімальним є −9.

Парабола, що відкривається вгору або вниз (на відміну від вбік), визначає функцію і поширюється на невизначений час вправо і вліво, як зазначено стрілками. Тому домен (множина х -значень) складається з усіх дійсних чисел. Однак діапазон (набір y -значень) обмежений y -значенням вершини.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Визначаємо домен і діапазон:

\(y=x^{2}-4x+3\)

Рішення:

По-перше, зауважте, що оскільки a = 1 є позитивним, парабола відкривається вгору. Звідси буде мінімальне y -значення. Щоб знайти це значення, знайдіть x -значення вершини:

\(x=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-4}{2(1)}=2\)

Потім підставляємо в рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина дорівнює (2, −1). Діапазон складається з множини y -значень, більших або рівних мінімальному y -значенню −1.

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Відповідь:

Домен: R =\((-\infty, \infty)\); Діапазон:\([-1, \infty)\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Висота в ногах снаряда задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+72t\), де t представляє час у секундах після запуску. Якої максимальної висоти досягається снарядом?

Рішення:

Тут a=−16, і парабола відкривається вниз. Тому y -значення вершини визначає максимальну висоту. Почніть з пошуку x -значення вершини:

\(x=-\frac{b}{2 a}=-\frac{72}{2(-16)}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}\)

Максимальна висота відбудеться через 9/4 = 2¼ секунди. Підставте цей час у функцію, щоб визначити досягнуту висоту.

\(\begin{aligned} h\left(\frac{9}{4}\right) &=-16\left(\frac{9}{4}\right)^{2}+72\left(\frac{9}{4}\right) \\ &=-16\left(\frac{81}{16}\right)+72\left(\frac{9}{4}\right) \\ &=-81+162 \\ &=81 \end{aligned}\)

Відповідь:

Максимальна висота снаряда - 81 фут.

Пошук вершини шляхом завершення квадрата

У цьому розділі ми продемонструємо альтернативний підхід до знаходження вершини. Будь-яке квадратне рівняння\(y=ax^{2}+bx+c\) можна переписати у вигляді

\[y=a(x-h)^{2}+k\]

У такому вигляді вершина дорівнює (h, k).

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Визначаємо вершину:

\(y=-4(x-3)^{2}+1\)

Рішення:

Коли рівняння знаходиться в такому вигляді, ми можемо прочитати вершину безпосередньо з рівняння.

\(\begin{array}{l}{y=\:a\:(\:x-h)^{2}+k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\qquad\quad\downarrow\quad\:\:\downarrow} \\ {y=-4(x-3)^{2}+1}\end{array}\)

Тут h =3 і k =1.

Відповідь:

Вершина - (3, 1).

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Визначаємо вершину:

\(y=2(x+3)^{2}-2\)

Рішення:

Перепишіть рівняння наступним чином перед визначенням h і k.

\(\begin{array}{l}{y=\:a\:(\:x\:-h)^{2}\:\:\:\:+\:\:\:k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\qquad\quad\:\downarrow\qquad\quad\downarrow} \\ {y=2(x-(-3))^{2}+(-2)}\end{array}\)

Тут h =-3 і k =-2.

Відповідь:

Вершина - (-3, -2).

Часто рівняння не дається в такому вигляді. Щоб отримати таку форму, заповніть квадрат.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Перепишіть за\(y=a(x−h)^{2}+k\) формою і визначте вершину:\(y=x^{2}+4x+9\).

Рішення:

Почніть з звільнення місця для постійного терміну, який завершує квадрат.

\(\begin{aligned} y &=x^{2}+4 x+9 \\ &=x^{2}+4 x+\underline\quad+9-\underline\quad\end{aligned}\)

Ідея полягає в тому, щоб додати і відняти значення, яке завершує квадрат\(\frac{b^{2}}{2}\), а потім коефіцієнт. В цьому випадку додаємо і віднімаємо\(\frac{4^{2}}{2} = 2^{2} = 4\).

\(\begin{aligned} y &=x^{2}+4 x+9 \qquad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:4.} \\ &=\underbrace{x^{2}+4 x\color{Cerulean}{+4}}_{\text { factor }}+9\color{Cerulean}{-4} \quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=(x+2)(x+2)+5 \\ &=(x+2)^{2}+5 \end{aligned}\)

Додавання та віднімання одного і того ж значення всередині виразу не змінює його. Робити це еквівалентно додаванню 0. Як тільки рівняння буде в такому вигляді, ми можемо легко визначити вершину.

\(\begin{array}{c}{y=a(x-h)^{2}\:+\:\:k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\quad\quad\:\:\downarrow\qquad\downarrow} \\ {y=(x-(-2))^{2}+5}\end{array}\)

Тут h =-2 і k =5.

Відповідь:

Вершина - (-2, 5).

Якщо є провідний коефіцієнт, відмінний від 1, то ми повинні спочатку перерахувати провідний коефіцієнт з перших двох членів триноміала.

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Перепишіть за\(y=a(x−h)^{2}+k\) формою і визначте вершину:\(y=2x^{2}−4x+8\).

Рішення:

Оскільки a = 2, множник цього з перших двох членів, щоб завершити квадрат. Залиште місце всередині дужок, щоб додати постійний термін.

Тепер скористайтеся −2, щоб визначити значення, яке завершує квадрат. В даному випадку,\(\frac{(-2)^{2}}{2}=\((-1)^{2}=1\). Додайте і відніміть 1 і множник наступним чином:

У такому вигляді ми легко можемо визначити вершину.

\(\begin{array}{l}{y=a(x-h)^{2}+k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\qquad\:\downarrow\quad\:\:\:\downarrow}\\ {y=2(x-1)^{2} \:+6}\end{array}\)

Тут h =1 і k =6.

Відповідь:

Вершина - це (1, 6).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Перепишіть за\(y=a(x-h)^{2}+k\) формою і визначте вершину:

\(y=-2x^{2}-12x+3\).

Відповідь

\(y=-2(x+3)^{2}+21\); вершина:\((-3, 21)\)

Ключові виноси

• Графік будь-якого квадратного рівняння\(y=ax^{2}+bx+c\), де a, b і c - дійсні числа, а a0, називається параболою.
• При побудові графіків параболи знайдіть вершину і y -перехоплення. Якщо x -перехоплення існують, знайдіть їх також. Також обов'язково знайдіть впорядковані парні рішення по обидва боки від лінії симетрії,\(x=\frac{-b^{2}}{a}\).
• Використовуйте провідний коефіцієнт, а, щоб визначити, чи відкривається парабола вгору або вниз. Якщо a позитивний, то він відкривається вгору. Якщо a негативний, то він відкривається вниз.
• Вершина будь-якої параболи має значення x, рівне\(x=\frac{-b^{2}}{a}\). Після знаходження x -значення вершини підставляємо його в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення. Це y -значення є максимумом, якщо парабола відкривається вниз, і це мінімум, якщо парабола відкривається вгору.
• Домен параболи, що відкривається вгору або вниз, складається з усіх дійсних чисел. Діапазон обмежений y -значенням вершини.
• Альтернативним підходом до знаходження вершини є переписування квадратного рівняння у вигляді\(y=a(x−h)^{2}+k\). Коли в такому вигляді вершина дорівнює (h, k) і може бути прочитана безпосередньо з рівняння. Щоб отримати цю форму, візьміть\(y=ax^{2}+bx+c\) і заповніть квадрат.

Вправа\(\PageIndex{4}\) the graph of quadratic equations

Парабола відкривається вгору або вниз? Поясніть.

1. \(y=x^{2}−9x+20\)
2. \(y=x^{2}−12x+32\)
3. \(y=−2x^{2}+5x+12\)
4. \(y=−6x^{2}+13x−6\)
5. \(y=64−x^{2}\)
6. \(y=−3x+9x^{2}\)

Відповідь

1. Вгору

3. Внизу

5. Внизу

Вправа\(\PageIndex{5}\) the graph of quadratic equations

Визначте x - і y -перехоплення.

1. \(y=x^{2}+4x−12\)
2. \(y=x^{2}−13x+12\)
3. \(y=2x^{2}+5x−3\)
4. \(y=3x^{2}−4x−4\)
5. \(y=−5x^{2}−3x+2\)
6. \(y=−6x^{2}+11x−4\)
7. \(y=4x^{2}−25\)
8. \(y=9x^{2}−49\)
9. \(y=x^{2}−x+1\)
10. \(y=5x^{2}+15x\)

Відповідь

1. x -перехоплює:\((−6, 0), (2, 0)\); y -перехоплення:\((0, −12)\)

3. x -перехоплює:\((−3, 0), (\frac{1}{2}, 0)\); y -перехоплення:\((0, −3)\)

5. x -перехоплює:\((−1, 0), (\frac{2}{5}, 0)\); y -перехоплення:\((0, 2)\)

7. x -перехоплює:\((−\frac{5}{2}, 0), (\frac{5}{2}, 0)\); y -перехоплення:\((0, −25)\)

9. x -перехоплює: немає; y -перехоплення:\((0, 1)\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) the graph of quadratic equations

Знайдіть вершину і лінію симетрії.

1. \(y=−x^{2}+10x−34\)
2. \(y=−x^{2}−6x+1\)
3. \(y=−4x^{2}+12x−7\)
4. \(y=−9x^{2}+6x+2\)
5. \(y=4x^{2}−1\)
6. \(y=x^{2}−16\)

Відповідь

1. Вершина:\((5, −9)\); лінія симетрії:\(x=5\)

3. Вершина:\((\frac{3}{2}, 2)\); лінія симетрії:\(x= \frac{3}{2}\)

5. Вершина:\((0, −1)\); лінія симетрії:\(x=0\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) the graph of quadratic equations

Графік. Знайдіть вершину і y -перехоплення. Крім того, знайдіть x -перехоплення, якщо вони існують.

1. \(y=x^{2}−2x−8\)
2. \(y=x^{2}−4x−5\)
3. \(y=−x^{2}+4x+12\)
4. \(y=−x^{2}−2x+15\)
5. \(y=x^{2}−10x\)
6. \(y=x^{2}+8x\)
7. \(y=x^{2}−9\)
8. \(y=x^{2}−25\)
9. \(y=1−x^{2}\)
10. \(y=4−x^{2}\)
11. \(y=x^{2}−2x+1\)
12. \(y=x^{2}+4x+4\)
13. \(y=−4x^{2}+12x−9\)
14. \(y=−4x^{2}−4x+3\)
15. \(y=x^{2}−2\)
16. \(y=x^{2}−3\)
17. \(y=−4x^{2}+4x−3\)
18. \(y=4x^{2}+4x+3\)
19. \(y=x^{2}−2x−2\)
20. \(y=x^{2}−6x+6\)
21. \(y=−2x^{2}+6x−3\)
22. \(y=−4x^{2}+4x+1\)
23. \(y=x^{2}+3x+4\)
24. \(y=−x^{2}+3x−4\)
25. \(y=−2x^{2}+3\)
26. \(y=−2x^{2}−1\)
27. \(y=2x^{2}+4x−3\)
28. \(y=3x^{2}+2x−2\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{21}\)

9.

Малюнок\(\PageIndex{22}\)

11.

Малюнок\(\PageIndex{23}\)

13.

Малюнок\(\PageIndex{24}\)

15.

Малюнок\(\PageIndex{25}\)

17.

Малюнок\(\PageIndex{26}\)

19.

Малюнок\(\PageIndex{27}\)

21.

Малюнок\(\PageIndex{28}\)

23.

Малюнок\(\PageIndex{29}\)

25.

Малюнок\(\PageIndex{30}\)

27.

Малюнок\(\PageIndex{31}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\) maximum or minimum

Визначте максимальне або мінімальне y -значення.

1. \(y=−x^{2}−6x+1\)
2. \(y=−x^{2}−4x+8\)
3. \(y=25x^{2}−10x+5\)
4. \(y=16x^{2}−24x+7\)
5. \ (y=−x^ {2}
6. \(y=1−9x^{2}\)
7. \(y=20x−10x^{2}\)
8. \(y=12x+4x^{2}\)
9. \(y=3x^{2}−4x−2\)
10. \(y=6x^{2}−8x+5\)

Відповідь

1. Максимум:\(y = 10\)

3. Мінімум:\(y = 4\)

5. Максимум:\(y = 0\)

7. Максимум:\(y = 10\)

9. Мінімум:\(y = −\frac{10}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\) maximum or minimum

З огляду на наступні квадратичні функції, визначають область і діапазон.

1. \(f(x)=3x^{2}+30x+50\)
2. \(f(x)=5x^{2}−10x+1\)
3. \(g(x)=−2x^{2}+4x+1\)
4. \(g(x)=−7x^{2}−14x−9\)
5. Висота в ногах, досягнута бейсболом, кинутим вгору зі швидкістю 48 футів/секунду від землі, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+48t\), де t представляє час у секундах. Що таке бейсбол 's максимальна висота і скільки часу буде потрібно, щоб досягти цієї висоти?
6. Висота снаряда, запущеного прямо з кургану, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+96t+4\), де t представляє секунди після запуску. Яка максимальна висота?
7. Прибуток у доларах, одержуваний виробництвом та продажем x нестандартних ламп, надається функцією\(P(x)=−10x^{2}+800x−12,000\). Яка максимальна прибуток?
8. Дохід у доларах, отриманий від продажу певного товару, моделюється за формулою\(R(x)=100x−0.0025x^{2}\), де x представляє кількість проданих одиниць. Яку кількість одиниць потрібно продати, щоб максимізувати дохід?
9. Середня кількість звернень до веб-сайту радіостанції моделюється за формулою\(f(x)=450t^{2}−3,600t+8,000\), де t представляє кількість годин з 8:00 ранку, в яку годину дня кількість звернень до веб-сайту мінімально?
10. Значення в доларах нового автомобіля моделюється за формулою\(V(t)=125t^{2}−3,000t+22,000\), де t представляє кількість років з моменту його придбання. Визначте мінімальне значення автомобіля.
11. Щоденні виробничі витрати в доларах текстильної компанії, що виробляє спеціальну уніформу, моделюються за формулою\(C(x)=0.02x^{2}−20x+10,000\), де х представляє кількість виробленої уніформи.
    1. Скільки уніформи слід виготовити, щоб мінімізувати щоденні витрати на виробництво?
    2. Яка мінімальна добова собівартість виробництва?
12. Площа певного прямокутного пера задається формулою\(A=14w−w^{2}\), де w представляє ширину в футах. Визначте ширину, яка виробляє максимальну площу.

Відповідь

1. Домен: R; діапазон:\([−25,∞)\)

3. Домен: R; діапазон:\((−∞,3]\)

5. Максимальна висота 36 футів настає через 1,5 секунди.

7. 4000 доларів

9. 12:00

11. a. 500 уніформа; б. $5,000

Вправа\(\PageIndex{10}\) vertex by completing the square

Визначаємо вершину.

1. \(y=−(x−5)^{2}+3\)
2. \(y=−2(x−1)^{2}+7\)
3. \(y=5(x+1)^{2}+6\)
4. \(y=3(x+4)^{2}+10\)
5. \(y=−5(x+8)^{2}−1\)
6. \(y=(x+2)^{2}−5\)

Відповідь

1. \((5, 3)\)

3. \((-1, 6)\)

5. \((-8, -1)\)

Вправа\(\PageIndex{11}\) vertex by completing the square

Перепишіть за\(y=a(x−h)^{2}+k\) формою і визначте вершину.

1. \(y=x^{2}−14x+24\)
2. \(y=x^{2}−12x+40\)
3. \(y=x^{2}+4x−12\)
4. \(y=x^{2}+6x−1\)
5. \(y=2x^{2}−12x−3\)
6. \(y=3x^{2}−6x+5\)
7. \(y=−x^{2}+16x+17\)
8. \(y=−x^{2}+10x\)

Відповідь

1. \(y=(x−7)^{2}−25\); вершина:\((7, −25)\)

3. \(y=(x+2)^{2}−16\); вершина:\((−2, −16)\)

5. \(y=2(x−3)^{2}−21\); вершина:\((3, −21)\)

7. \(y=−(x−8)^{2}+81\); вершина:\((8, 81)\)

Вправа\(\PageIndex{12}\) vertex by completing the square

Графік.

1. \(y=x^{2}−1\)
2. \(y=x^{2}+1\)
3. \(y=(x−1)^{2}\)
4. \(y=(x+1)^{2}\)
5. \(y=(x−4)^{2}−9\)
6. \(y=(x−1)^{2}−4\)
7. \(y=−2(x+1)^{2}+8\)
8. \(y=−3(x+2)^{2}+12\)
9. \(y=−5(x−1)^{2}\)
10. \(y=−(x+2)^{2}\)
11. \(y=−4(x−1)^{2}−2\)
12. \(y=9(x+1)^{2}+2\)
13. \(y=(x+5)^{2}−15\)
14. \(y=2(x−5)^{2}−3\)
15. \(y=−2(x−4)^{2}+22\)
16. \(y=2(x+3)^{2}−13\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{32}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{33}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{34}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{35}\)

9.

Малюнок\(\PageIndex{36}\)

11.

Малюнок\(\PageIndex{37}\)

13.

Малюнок\(\PageIndex{38}\)

15.

Малюнок\(\PageIndex{39}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\) discussion board

1. Запишіть свій план складання параболи на іспиті. Що ви будете шукати і як ви представите свою відповідь? Поділіться своїм планом на дошці обговорень.
2. Чому будь-яка парабола, яка відкривається вгору або вниз, є функцією? Поясніть однокласнику, як визначити домен і діапазон.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися