9.5: Графічні параболи

Цілі навчання

• Графік параболи.
• Знайдіть перехоплення і вершину параболи.
• Знайдіть вершину параболи, заповнивши квадрат.

Графік квадратного рівняння

Ми знаємо, що будь-яке лінійне рівняння з двома змінними може бути записано у вигляді$y=mx+b$ і що його графік є лінією. У цьому розділі ми побачимо, що будь-яке квадратне рівняння виду$y=ax^{2}+bx+c$ має вигнутий графік, який називається параболою.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Дві точки визначають будь-яку лінію. Однак, оскільки парабола вигнута, ми повинні знайти більше двох точок. У цьому тексті ми визначимо як мінімум п'ять пунктів як засіб для виготовлення прийнятного ескізу. Для початку ми графуємо нашу першу параболу шляхом побудови точок. Задано квадратне рівняння виду$y=ax^{2}+bx+c$, x є незалежною змінною, а y - залежною змінною. Виберіть деякі значення для x, а потім визначте відповідні y -значення. Потім намалюйте точки і накидайте графік.

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік шляхом побудови точок:

$y=x^{2}-2x-3$

Рішення:

У цьому прикладі оберіть значення x {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} і обчислите відповідні y -значення.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Побудуйте ці точки і визначте форму графіка.

Відповідь:

Малюнок$\PageIndex{3}$

При побудові графіків ми хочемо включити певні спеціальні точки на графіку. Перехоплення y - це точка, де графік перетинає вісь y. X -перехоплення - це точки, де графік перетинає вісь x. Вершина - це точка, яка визначає мінімум або максимум графа. Нарешті, лінія симетрії (її ще називають віссю симетрії) - це вертикальна лінія через вершину, про яку парабола симетрична.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Для будь-якої параболи знайдемо вершину і y -перехоплення. Крім того, якщо x -перехоплення існують, то ми також хочемо визначити їх. Ворожіння на х -значеннях цих спеціальних точок не є практичним, тому ми розробимо прийоми, які полегшать їх пошук. Багато з цих методів будуть широко використовуватися, коли ми прогресуємо в нашому вивченні алгебри. Задано квадратне рівняння виду$y=ax^{2}+bx+c$, знайдіть y -перехоплення, встановивши x=0 та розв'язавши. Загалом$y=a(0)^{2}+b(0)+c=c$, і у нас є

\ (\ color {Cerulean} {y-перехоплення}

\ [(0, с]\)

Далі нагадаємо, що х -перехоплення, якщо вони існують, можна знайти, встановивши y=0. Роблячи це, ми маємо$0=a^{2}+bx+c$, який має загальні рішення, наведені квадратичною формулою,$x=\frac{−b±\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a}$. Тому Х-перехоплення мають такий загальний вигляд:

$\color{Cerulean}{x-intercepts}$

Використовуючи те, що парабола симетрична, ми можемо визначити вертикальну лінію симетрії за допомогою x -перехоплень. Для цього знаходимо x -значення посередині між x -перехопленнями, взявши середнє значення наступним чином:

Тому лінією симетрії є вертикальна лінія:

$\color{Cerulean}{Line\:of\:symmetry}$

$$x=-\frac{b}{2 a}$$

Ми можемо використовувати лінію симетрії, щоб знайти x -значення вершини. Етапи побудови графіка параболи описані в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік:

Рішення

Крок 1: Визначте y -перехоплення. Для цього задаємо x = 0 і вирішуємо для y.

Y -перехоплення є (0, 3).

Крок 2: Визначте x -перехоплення. Для цього задаємо y = 0 і вирішуємо для x.

$\begin{array}{rlr}{x+3} & {=0} & {\text { or }} & {x-1=0} \\ {x} & {=-3} & {} & {x=1}\end{array}$

Тут при y = 0 отримуємо два рішення. Існує два x -перехоплення, (−3, 0) та (1, 0).

Крок 3: Визначаємо вершину. Один із способів зробити це - використовувати рівняння для лінії симетрії$x=\frac{-b}{2 a}$, щоб знайти x -значення вершини. У цьому прикладі a = −1 і b = −2:

Заставте −1 у вихідне рівняння, щоб знайти відповідне значення y.

Вершина дорівнює (−1, 4).

Крок 4: Визначте зайві точки так, щоб у нас було принаймні п'ять точок для побудови сюжету. У цьому прикладі буде достатньо одного іншого пункту. Виберіть x = −2 і знайдіть відповідне значення y.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Наш п'ятий пункт - (-2,3).

Крок 5: Намалюйте точки та намалюйте графік. Нагадаємо, пункти, які ми знайшли, є

Таблиця$\PageIndex{1}$

y-перехоплення:	(0,3)
X-перехоплення:	(-3,0) і (1,0)
Вершина:	(-1,4)
Додаткова точка:	(-2,3)

Відповідь:

Малюнок$\PageIndex{6}$

Парабола відкривається вниз. Загалом, використовуйте провідний коефіцієнт, щоб визначити, чи відкривається парабола вгору або вниз. Якщо провідний коефіцієнт негативний, як в попередньому прикладі, то парабола відкривається вниз. Якщо провідний коефіцієнт позитивний, то парабола відкривається вгору.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Всі квадратні рівняння виду$y=ax^{2}+bx+c$ мають параболічні графи з y -перехопленням (0, в ). Однак не всі параболи мають х перехоплень.

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік:

$y=2x^{2}+4x+5$

Рішення:

Оскільки провідний коефіцієнт 2 позитивний, зверніть увагу, що парабола відкривається вгору. Тут c = 5 і y -перехоплення є (0, 5). Щоб знайти x -перехоплення, встановіть y = 0.

$\begin{array}{l}{y=2 x^{2}+4 x+5} \\ {0=2 x^{2}+4 x+5}\end{array}$

В даному випадку a = 2, b = 4, а c = 5. Використовуйте дискримінант для визначення кількості та типу розв'язків.

Оскільки дискримінант негативний, робимо висновок, що реальних рішень немає. Оскільки реальних рішень немає, немає х -перехоплень. Далі визначаємо x -значення вершини.

Враховуючи, що x -значення вершини дорівнює −1, підставляємо до вихідного рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

$\begin{aligned} y &=2 x^{2}+4 x+5 \\ &=2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+5 \\ &=2-4+5 \\ &=3 \end{aligned}$

Вершина дорівнює (−1, 3). Поки що у нас всього два пункти. Щоб визначити ще три, оберіть декілька x -значень по обидві сторони від лінії симетрії, x = −1. Тут ми вибираємо x -values −3, −2 та 1.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Підводячи підсумок, ми маємо

Таблиця$\PageIndex{2}$

y-перехоплення:	(0,5)
Х-перехоплює:	Жоден
Вершина:	(-1,3)
Додаткові бали	(-3,11), (-2,5), (1,11)

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Малюнок$\PageIndex{9}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік:

Рішення

Зауважте, що a = −2: парабола відкривається вниз. Оскільки c = −18, перехоплення y дорівнює (0, −18). Щоб знайти x -перехоплення, встановіть y = 0.

Вирішити шляхом факторингу.

$\begin{array}{rrr}{x-3=0} & {\text { or }} & {x-3=0} \\ {x=3} && {x=3}\end{array}$

Тут x = 3 - це подвійний корінь, тому існує лише один х -перехоплення, (3, 0). З вихідного рівняння a = −2, b = 12, а c = −18. X -значення вершини можна обчислити наступним чином:

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{12}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-12}{-4} \\ &=3 \end{aligned}$

Враховуючи, що x -значення вершини дорівнює 3, підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Отже, вершина є (3, 0), яка буває тією ж точкою, що і x -перехоплення. Поки що у нас всього два пункти. Щоб визначити ще три, виберіть деякі x -значення по обидва боки від лінії симетрії, x = 3 в даному випадку.

Виберіть x -значення 1, 5 та 6.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Підводячи підсумок, ми маємо

Таблиця$\PageIndex{3}$

y-перехоплення:	(0, -18)
Х-перехоплює:	(3, 0)
Вершина:	(3, 0)
Додаткові бали:	(1, -8), (5, -8), (6, -18)

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Малюнок$\PageIndex{11}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Графік:

Рішення:

Оскільки a = 1, парабола відкривається вгору. Крім того, c = −1, тому перехоплення y дорівнює (0, −1). Щоб знайти x -перехоплення, встановіть y = 0.

У цьому випадку вирішуйте за допомогою квадратичної формули з a = 1, b = −2, а c = −1.

Тут ми отримуємо два реальних рішення для x, і таким чином існує два x -перехоплення:

$(1-\sqrt{2}, 0) \quad \text { and } \qquad(1+\sqrt{2}, 0)$

Приблизні значення за допомогою калькулятора:

$(-0.41,0) \qquad \text { and } \qquad(2.41,0)$

Використовуйте приблизні відповіді, щоб розмістити впорядковану пару на графіку.

Однак ми представимо точні x -перехоплення на графіку. Далі знайдіть вершину.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2}{2} \\ &=1 \end{aligned}$

Враховуючи, що x -значення вершини дорівнює 1, підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина - (1, -2). Нам потрібен ще один пункт.

Малюнок$\PageIndex{12}$

Підводячи підсумок, ми маємо

Таблиця$\PageIndex{4}$

y-перехоплення:	(0, -1)
Х-перехоплює:	$(1-\sqrt{2}, 0)$і$(1+\sqrt{2}, 0)$
Вершина:	$(1, -2)$
Додаткова точка:	$(2, -1)$

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Малюнок$\PageIndex{13}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік:

$y=9x^{2}-5$

Відповідь

Малюнок$\PageIndex{14}$

Пошук максимуму і мінімуму

Часто корисно знайти максимальні та/або мінімальні значення функцій, які моделюють реальні програми. Щоб знайти ці важливі значення, задані квадратичною функцією, ми використовуємо вершину. Якщо провідний коефіцієнт a позитивний, то парабола відкривається вгору і буде мінімальне y -значення. Якщо провідний коефіцієнт a негативний, то парабола відкривається вниз і буде максимальне y -значення.

Приклад$\PageIndex{6}$

Визначаємо максимум або мінімум:

$y=−4x^{2}+24x−35$

Рішення:

Оскільки a = −4, ми знаємо, що парабола відкривається вниз і буде максимальне y -значення. Щоб його знайти, спочатку знайдемо x -значення вершини.

$\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \qquad\quad\color{Cerulean}{x-value\:of\:the\:vertex.} \\ &=-\frac{24}{2(-4)}\quad\:\color{Cerulean}{Substitute\:a=-4\:and\:b=24.} \\ &=-\frac{24}{-8} \qquad\:\: \color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3 \end{aligned}$

Значення x вершини дорівнює 3. Підставте це значення у вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина - (3, 1). Тому максимальне значення y дорівнює 1, що виникає при x = 3, як показано нижче:

Малюнок$\PageIndex{15}$

Примітка

Графік не обов'язковий для відповіді на це питання.

Відповідь:

Максимальний - 1.

Приклад$\PageIndex{7}$

Визначаємо максимум або мінімум:

$y=4x^{2}−32x+62$

Рішення:

Оскільки a = +4, парабола відкривається вгору і існує мінімальне y -значення. Почніть з пошуку x -значення вершини.

$\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \\ &=-\color{black}{\frac{\color{OliveGreen}{-32}}{\color{black}{2}(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}}}\qquad\color{Cerulean}{Substitute\:a=4\:and\:b=-32.} \\ &=-\frac{-32}{8}\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=4 \end{aligned}$

Заставте x = 4 у вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина дорівнює (4, −2). Отже, мінімальне значення y −2 виникає, коли x = 4, як показано нижче:

Малюнок$\PageIndex{16}$

Відповідь:

Мінімальний - -2.

Вправа$\PageIndex{2}$

Визначаємо максимум або мінімум:

$y=(x-3)^{2}-9$

Відповідь

Мінімальним є −9.

Парабола, що відкривається вгору або вниз (на відміну від вбік), визначає функцію і поширюється на невизначений час вправо і вліво, як зазначено стрілками. Тому домен (множина х -значень) складається з усіх дійсних чисел. Однак діапазон (набір y -значень) обмежений y -значенням вершини.

Приклад$\PageIndex{8}$

Визначаємо домен і діапазон:

$y=x^{2}-4x+3$

Рішення:

По-перше, зауважте, що оскільки a = 1 є позитивним, парабола відкривається вгору. Звідси буде мінімальне y -значення. Щоб знайти це значення, знайдіть x -значення вершини:

$x=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-4}{2(1)}=2$

Потім підставляємо в рівняння, щоб знайти відповідне y -значення.

Вершина дорівнює (2, −1). Діапазон складається з множини y -значень, більших або рівних мінімальному y -значенню −1.

Малюнок$\PageIndex{17}$

Відповідь:

Домен: R =$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$[-1, \infty)$

Приклад$\PageIndex{9}$

Висота в ногах снаряда задається функцією$h(t)=−16t^{2}+72t$, де t представляє час у секундах після запуску. Якої максимальної висоти досягається снарядом?

Рішення:

Тут a=−16, і парабола відкривається вниз. Тому y -значення вершини визначає максимальну висоту. Почніть з пошуку x -значення вершини:

$x=-\frac{b}{2 a}=-\frac{72}{2(-16)}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}$

Максимальна висота відбудеться через 9/4 = 2¼ секунди. Підставте цей час у функцію, щоб визначити досягнуту висоту.

$\begin{aligned} h\left(\frac{9}{4}\right) &=-16\left(\frac{9}{4}\right)^{2}+72\left(\frac{9}{4}\right) \\ &=-16\left(\frac{81}{16}\right)+72\left(\frac{9}{4}\right) \\ &=-81+162 \\ &=81 \end{aligned}$

Відповідь:

Максимальна висота снаряда - 81 фут.

Пошук вершини шляхом завершення квадрата

У цьому розділі ми продемонструємо альтернативний підхід до знаходження вершини. Будь-яке квадратне рівняння$y=ax^{2}+bx+c$ можна переписати у вигляді

$$y=a(x-h)^{2}+k$$

У такому вигляді вершина дорівнює (h, k).

Приклад$\PageIndex{10}$

Визначаємо вершину:

$y=-4(x-3)^{2}+1$

Рішення:

Коли рівняння знаходиться в такому вигляді, ми можемо прочитати вершину безпосередньо з рівняння.

$\begin{array}{l}{y=\:a\:(\:x-h)^{2}+k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\qquad\quad\downarrow\quad\:\:\downarrow} \\ {y=-4(x-3)^{2}+1}\end{array}$

Тут h =3 і k =1.

Відповідь:

Вершина - (3, 1).

Приклад$\PageIndex{11}$

Визначаємо вершину:

$y=2(x+3)^{2}-2$

Рішення:

Перепишіть рівняння наступним чином перед визначенням h і k.

$\begin{array}{l}{y=\:a\:(\:x\:-h)^{2}\:\:\:\:+\:\:\:k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\qquad\quad\:\downarrow\qquad\quad\downarrow} \\ {y=2(x-(-3))^{2}+(-2)}\end{array}$

Тут h =-3 і k =-2.

Відповідь:

Вершина - (-3, -2).

Часто рівняння не дається в такому вигляді. Щоб отримати таку форму, заповніть квадрат.

Приклад$\PageIndex{12}$

Перепишіть за$y=a(x−h)^{2}+k$ формою і визначте вершину:$y=x^{2}+4x+9$.

Рішення:

Почніть з звільнення місця для постійного терміну, який завершує квадрат.

$\begin{aligned} y &=x^{2}+4 x+9 \\ &=x^{2}+4 x+\underline\quad+9-\underline\quad\end{aligned}$

Ідея полягає в тому, щоб додати і відняти значення, яке завершує квадрат$\frac{b^{2}}{2}$, а потім коефіцієнт. В цьому випадку додаємо і віднімаємо$\frac{4^{2}}{2} = 2^{2} = 4$.

$\begin{aligned} y &=x^{2}+4 x+9 \qquad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:4.} \\ &=\underbrace{x^{2}+4 x\color{Cerulean}{+4}}_{\text { factor }}+9\color{Cerulean}{-4} \quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=(x+2)(x+2)+5 \\ &=(x+2)^{2}+5 \end{aligned}$

Додавання та віднімання одного і того ж значення всередині виразу не змінює його. Робити це еквівалентно додаванню 0. Як тільки рівняння буде в такому вигляді, ми можемо легко визначити вершину.

$\begin{array}{c}{y=a(x-h)^{2}\:+\:\:k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\quad\quad\:\:\downarrow\qquad\downarrow} \\ {y=(x-(-2))^{2}+5}\end{array}$

Тут h =-2 і k =5.

Відповідь:

Вершина - (-2, 5).

Якщо є провідний коефіцієнт, відмінний від 1, то ми повинні спочатку перерахувати провідний коефіцієнт з перших двох членів триноміала.

Приклад$\PageIndex{13}$

Перепишіть за$y=a(x−h)^{2}+k$ формою і визначте вершину:$y=2x^{2}−4x+8$.

Рішення:

Оскільки a = 2, множник цього з перших двох членів, щоб завершити квадрат. Залиште місце всередині дужок, щоб додати постійний термін.

Тепер скористайтеся −2, щоб визначити значення, яке завершує квадрат. В даному випадку,$\frac{(-2)^{2}}{2}=\((-1)^{2}=1$. Додайте і відніміть 1 і множник наступним чином:

У такому вигляді ми легко можемо визначити вершину.

$\begin{array}{l}{y=a(x-h)^{2}+k} \\ \color{Cerulean}{\qquad\qquad\:\downarrow\quad\:\:\:\downarrow}\\ {y=2(x-1)^{2} \:+6}\end{array}$

Тут h =1 і k =6.

Відповідь:

Вершина - це (1, 6).

Вправа$\PageIndex{3}$

Перепишіть за$y=a(x-h)^{2}+k$ формою і визначте вершину:

$y=-2x^{2}-12x+3$.

Відповідь

$y=-2(x+3)^{2}+21$; вершина:$(-3, 21)$

Ключові виноси

• Графік будь-якого квадратного рівняння$y=ax^{2}+bx+c$, де a, b і c - дійсні числа, а a0, називається параболою.
• При побудові графіків параболи знайдіть вершину і y -перехоплення. Якщо x -перехоплення існують, знайдіть їх також. Також обов'язково знайдіть впорядковані парні рішення по обидва боки від лінії симетрії,$x=\frac{-b^{2}}{a}$.
• Використовуйте провідний коефіцієнт, а, щоб визначити, чи відкривається парабола вгору або вниз. Якщо a позитивний, то він відкривається вгору. Якщо a негативний, то він відкривається вниз.
• Вершина будь-якої параболи має значення x, рівне$x=\frac{-b^{2}}{a}$. Після знаходження x -значення вершини підставляємо його в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне y -значення. Це y -значення є максимумом, якщо парабола відкривається вниз, і це мінімум, якщо парабола відкривається вгору.
• Домен параболи, що відкривається вгору або вниз, складається з усіх дійсних чисел. Діапазон обмежений y -значенням вершини.
• Альтернативним підходом до знаходження вершини є переписування квадратного рівняння у вигляді$y=a(x−h)^{2}+k$. Коли в такому вигляді вершина дорівнює (h, k) і може бути прочитана безпосередньо з рівняння. Щоб отримати цю форму, візьміть$y=ax^{2}+bx+c$ і заповніть квадрат.

Вправа$\PageIndex{4}$ the graph of quadratic equations

Парабола відкривається вгору або вниз? Поясніть.

1. $y=x^{2}−9x+20$
2. $y=x^{2}−12x+32$
3. $y=−2x^{2}+5x+12$
4. $y=−6x^{2}+13x−6$
5. $y=64−x^{2}$
6. $y=−3x+9x^{2}$

Відповідь

1. Вгору

3. Внизу

5. Внизу

Вправа$\PageIndex{5}$ the graph of quadratic equations

Визначте x - і y -перехоплення.

1. $y=x^{2}+4x−12$
2. $y=x^{2}−13x+12$
3. $y=2x^{2}+5x−3$
4. $y=3x^{2}−4x−4$
5. $y=−5x^{2}−3x+2$
6. $y=−6x^{2}+11x−4$
7. $y=4x^{2}−25$
8. $y=9x^{2}−49$
9. $y=x^{2}−x+1$
10. $y=5x^{2}+15x$

Відповідь

1. x -перехоплює:$(−6, 0), (2, 0)$; y -перехоплення:$(0, −12)$

3. x -перехоплює:$(−3, 0), (\frac{1}{2}, 0)$; y -перехоплення:$(0, −3)$

5. x -перехоплює:$(−1, 0), (\frac{2}{5}, 0)$; y -перехоплення:$(0, 2)$

7. x -перехоплює:$(−\frac{5}{2}, 0), (\frac{5}{2}, 0)$; y -перехоплення:$(0, −25)$

9. x -перехоплює: немає; y -перехоплення:$(0, 1)$

Вправа$\PageIndex{6}$ the graph of quadratic equations

Знайдіть вершину і лінію симетрії.

1. $y=−x^{2}+10x−34$
2. $y=−x^{2}−6x+1$
3. $y=−4x^{2}+12x−7$
4. $y=−9x^{2}+6x+2$
5. $y=4x^{2}−1$
6. $y=x^{2}−16$

Відповідь

1. Вершина:$(5, −9)$; лінія симетрії:$x=5$

3. Вершина:$(\frac{3}{2}, 2)$; лінія симетрії:$x= \frac{3}{2}$

5. Вершина:$(0, −1)$; лінія симетрії:$x=0$

Вправа$\PageIndex{7}$ the graph of quadratic equations

Графік. Знайдіть вершину і y -перехоплення. Крім того, знайдіть x -перехоплення, якщо вони існують.

1. $y=x^{2}−2x−8$
2. $y=x^{2}−4x−5$
3. $y=−x^{2}+4x+12$
4. $y=−x^{2}−2x+15$
5. $y=x^{2}−10x$
6. $y=x^{2}+8x$
7. $y=x^{2}−9$
8. $y=x^{2}−25$
9. $y=1−x^{2}$
10. $y=4−x^{2}$
11. $y=x^{2}−2x+1$
12. $y=x^{2}+4x+4$
13. $y=−4x^{2}+12x−9$
14. $y=−4x^{2}−4x+3$
15. $y=x^{2}−2$
16. $y=x^{2}−3$
17. $y=−4x^{2}+4x−3$
18. $y=4x^{2}+4x+3$
19. $y=x^{2}−2x−2$
20. $y=x^{2}−6x+6$
21. $y=−2x^{2}+6x−3$
22. $y=−4x^{2}+4x+1$
23. $y=x^{2}+3x+4$
24. $y=−x^{2}+3x−4$
25. $y=−2x^{2}+3$
26. $y=−2x^{2}−1$
27. $y=2x^{2}+4x−3$
28. $y=3x^{2}+2x−2$

Відповідь

1.

Малюнок$\PageIndex{18}$

3.

Малюнок$\PageIndex{19}$

5.

Малюнок$\PageIndex{20}$

7.

Малюнок$\PageIndex{21}$

9.

Малюнок$\PageIndex{22}$

11.

Малюнок$\PageIndex{23}$

13.

Малюнок$\PageIndex{24}$

15.

Малюнок$\PageIndex{25}$

17.

Малюнок$\PageIndex{26}$

19.

Малюнок$\PageIndex{27}$

21.

Малюнок$\PageIndex{28}$

23.

Малюнок$\PageIndex{29}$

25.

Малюнок$\PageIndex{30}$

27.

Малюнок$\PageIndex{31}$

Вправа$\PageIndex{8}$ maximum or minimum

Визначте максимальне або мінімальне y -значення.

1. $y=−x^{2}−6x+1$
2. $y=−x^{2}−4x+8$
3. $y=25x^{2}−10x+5$
4. $y=16x^{2}−24x+7$
5. \ (y=−x^ {2}
6. $y=1−9x^{2}$
7. $y=20x−10x^{2}$
8. $y=12x+4x^{2}$
9. $y=3x^{2}−4x−2$
10. $y=6x^{2}−8x+5$

Відповідь

1. Максимум:$y = 10$

3. Мінімум:$y = 4$

5. Максимум:$y = 0$

7. Максимум:$y = 10$

9. Мінімум:$y = −\frac{10}{3}$

Вправа$\PageIndex{9}$ maximum or minimum

З огляду на наступні квадратичні функції, визначають область і діапазон.

1. $f(x)=3x^{2}+30x+50$
2. $f(x)=5x^{2}−10x+1$
3. $g(x)=−2x^{2}+4x+1$
4. $g(x)=−7x^{2}−14x−9$
5. Висота в ногах, досягнута бейсболом, кинутим вгору зі швидкістю 48 футів/секунду від землі, задається функцією$h(t)=−16t^{2}+48t$, де t представляє час у секундах. Що таке бейсбол 's максимальна висота і скільки часу буде потрібно, щоб досягти цієї висоти?
6. Висота снаряда, запущеного прямо з кургану, задається функцією$h(t)=−16t^{2}+96t+4$, де t представляє секунди після запуску. Яка максимальна висота?
7. Прибуток у доларах, одержуваний виробництвом та продажем x нестандартних ламп, надається функцією$P(x)=−10x^{2}+800x−12,000$. Яка максимальна прибуток?
8. Дохід у доларах, отриманий від продажу певного товару, моделюється за формулою$R(x)=100x−0.0025x^{2}$, де x представляє кількість проданих одиниць. Яку кількість одиниць потрібно продати, щоб максимізувати дохід?
9. Середня кількість звернень до веб-сайту радіостанції моделюється за формулою$f(x)=450t^{2}−3,600t+8,000$, де t представляє кількість годин з 8:00 ранку, в яку годину дня кількість звернень до веб-сайту мінімально?
10. Значення в доларах нового автомобіля моделюється за формулою$V(t)=125t^{2}−3,000t+22,000$, де t представляє кількість років з моменту його придбання. Визначте мінімальне значення автомобіля.
11. Щоденні виробничі витрати в доларах текстильної компанії, що виробляє спеціальну уніформу, моделюються за формулою$C(x)=0.02x^{2}−20x+10,000$, де х представляє кількість виробленої уніформи.
    1. Скільки уніформи слід виготовити, щоб мінімізувати щоденні витрати на виробництво?
    2. Яка мінімальна добова собівартість виробництва?
12. Площа певного прямокутного пера задається формулою$A=14w−w^{2}$, де w представляє ширину в футах. Визначте ширину, яка виробляє максимальну площу.

Відповідь

1. Домен: R; діапазон:$[−25,∞)$

3. Домен: R; діапазон:$(−∞,3]$

5. Максимальна висота 36 футів настає через 1,5 секунди.

7. 4000 доларів

9. 12:00

11. a. 500 уніформа; б. $5,000

Вправа$\PageIndex{10}$ vertex by completing the square

Визначаємо вершину.

1. $y=−(x−5)^{2}+3$
2. $y=−2(x−1)^{2}+7$
3. $y=5(x+1)^{2}+6$
4. $y=3(x+4)^{2}+10$
5. $y=−5(x+8)^{2}−1$
6. $y=(x+2)^{2}−5$

Відповідь

1. $(5, 3)$

3. $(-1, 6)$

5. $(-8, -1)$

Вправа$\PageIndex{11}$ vertex by completing the square

Перепишіть за$y=a(x−h)^{2}+k$ формою і визначте вершину.

1. $y=x^{2}−14x+24$
2. $y=x^{2}−12x+40$
3. $y=x^{2}+4x−12$
4. $y=x^{2}+6x−1$
5. $y=2x^{2}−12x−3$
6. $y=3x^{2}−6x+5$
7. $y=−x^{2}+16x+17$
8. $y=−x^{2}+10x$

Відповідь

1. $y=(x−7)^{2}−25$; вершина:$(7, −25)$

3. $y=(x+2)^{2}−16$; вершина:$(−2, −16)$

5. $y=2(x−3)^{2}−21$; вершина:$(3, −21)$

7. $y=−(x−8)^{2}+81$; вершина:$(8, 81)$

Вправа$\PageIndex{12}$ vertex by completing the square

Графік.

1. $y=x^{2}−1$
2. $y=x^{2}+1$
3. $y=(x−1)^{2}$
4. $y=(x+1)^{2}$
5. $y=(x−4)^{2}−9$
6. $y=(x−1)^{2}−4$
7. $y=−2(x+1)^{2}+8$
8. $y=−3(x+2)^{2}+12$
9. $y=−5(x−1)^{2}$
10. $y=−(x+2)^{2}$
11. $y=−4(x−1)^{2}−2$
12. $y=9(x+1)^{2}+2$
13. $y=(x+5)^{2}−15$
14. $y=2(x−5)^{2}−3$
15. $y=−2(x−4)^{2}+22$
16. $y=2(x+3)^{2}−13$

Відповідь

1.

Малюнок$\PageIndex{32}$

3.

Малюнок$\PageIndex{33}$

5.

Малюнок$\PageIndex{34}$

7.

Малюнок$\PageIndex{35}$

9.

Малюнок$\PageIndex{36}$

11.

Малюнок$\PageIndex{37}$

13.

Малюнок$\PageIndex{38}$

15.

Малюнок$\PageIndex{39}$

Вправа$\PageIndex{13}$ discussion board

1. Запишіть свій план складання параболи на іспиті. Що ви будете шукати і як ви представите свою відповідь? Поділіться своїм планом на дошці обговорень.
2. Чому будь-яка парабола, яка відкривається вгору або вниз, є функцією? Поясніть однокласнику, як визначити домен і діапазон.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися