9.3: Квадратична формула

Цілі навчання

• Розв'яжіть квадратні рівняння з реальними розв'язками за допомогою квадратичної формули.

Квадратична формула

У цьому розділі ми розробимо формулу, яка дає розв'язки будь-якого квадратного рівняння в стандартній формі. Для цього ми починаємо з загального квадратного рівняння в стандартному вигляді і вирішуємо для х, заповнивши квадрат. Тут a, b і c - дійсні числа і a0:

\(\begin{aligned}a x^{2}+b x+c&=0 \\ \color{black}{\frac{a x^{2}+b x+c}{\color{Cerulean}{a}}}&=\color{black}{\frac{0}{\color{Cerulean}{a}}} \quad\quad\quad \color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:a.} \\ x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}&=0 \quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Subtract \:\frac{c}{a}\:from\:both\:sides.} \\ x^{2}+\frac{b}{a} x&=-\frac{c}{a}\end{aligned}\)

Визначте константу, яка завершує квадрат: візьміть коефіцієнт х, розділіть його на 2, а потім квадрат.

\[\left(\color{black}{\frac{\color{OliveGreen}{b / a}}{2}}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}}\]

Додайте це до обох сторін рівняння та коефіцієнта.

Вирішити шляхом вилучення коренів.

Ця деривація дає нам формулу, яка вирішує будь-яке квадратне рівняння в стандартній формі. Враховуючи\(ax^{2}+bx+c=0\), де a, b і c - дійсні числа і a0, то розв'язки можна обчислити за квадратичною формулою:

Розглянемо квадратне рівняння\(2x^{2}−7x+3=0\). Вирішити її можна за допомогою факторингу наступним чином:

\(\begin{array}{rrr}{2 x-1=0} & {\text { or } x-3=0} \\ {2 x=1} & {x=3} \\ {x=\frac{1}{2}}\end{array}\)

Розчини бувають 1/2 і 3. Наступний приклад показує, що ми можемо отримати однакові результати за допомогою квадратичної формули.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\(2x^{2}-7x+3=0\).

Рішення

Почніть з визначення a, b та c як коефіцієнтів кожного члена.

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу, а потім спрощуємо.

Розділіть «плюс або мінус» на два рівняння і спростіть кожне окремо.

\(\begin{array}{ll}{x=\frac{7-5}{4}} & {\text { or } }&{ x=\frac{7+5}{4}} \\ {x=\frac{2}{4}} && {x=\frac{12}{4}} \\ {x=\frac{1}{2}} && {x=3}\end{array}\)

Відповідь:

Розчини бувають 1/2 і 3.

Звичайно, якщо квадратичні фактори, то краще за все вирішувати це шляхом факторингу. Однак не всі квадратичні многочлени множника; проте квадратична формула надає нам засоби для розв'язання таких рівнянь.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\(5x^{2}+2x−1=0\).

Рішення:

Почніть з визначення a, b і c.

\(a=5 \qquad b=2 \qquad c=-1\)

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{-1 \pm \sqrt{6}}{5}\)

Часто терміни відсутні. Коли це так, використовуйте 0 як коефіцієнт.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\(x^{2}−18=0\).

Рішення:

Придумайте це рівняння з наступними коефіцієнтами:

\(1 x^{2}+0 x-18=0\)

Тут

\(a=1 \qquad b=0 \qquad c=-18\)

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу.

Відповідь:

Рішення є\(\pm 3 \sqrt{2}\)

Оскільки коефіцієнт х дорівнював 0, ми могли б вирішити рівняння шляхом вилучення коренів. Як вправу вирішіть попередній приклад за допомогою цього методу і переконайтеся, що результати однакові.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\(9x^{2}−12x+4=0\).

Рішення:

У цьому випадку

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу, а потім спрощуємо.

У цьому прикладі зверніть увагу, що радиканд квадратного кореня дорівнює 0. Це призводить до лише одного розв'язку цього квадратного рівняння. Зазвичай ми очікуємо двох рішень. Коли ми знаходимо тільки одне рішення, рішення називається подвійним коренем. Якщо вирішити це рівняння факторингом, то рішення з'являється двічі.

\ (3 x-2) (3 x-2) &=0\ end {вирівняний}\) </p">

\(\begin{array}{rlr}{3 x-2=0} & {\text { or } }&{ 3 x-2=0} \\ {3 x=2} && {3 x=2} \\ {x=\frac{2}{3}} && {x=\frac{2}{3}}\end{array}\)

Відповідь:\(\frac{2}{3}\), подвійний корінь

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\(x^{2}+x+1=0\).

Рішення:

У цьому випадку

\(a=1 \qquad b=1 \qquad c=1\)

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу.

Рішення передбачає квадратний корінь від'ємного числа; отже, рішення не є реальними. Це квадратне рівняння має два нереальні розв'язки і буде розглянуто докладніше, як ми продовжуємо в нашому вивченні алгебри. Наразі просто скажіть, що рівняння не має реальних розв'язків.

Відповідь:

Немає реальних рішень

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити\(x^{2}-2x-2=0\).

Відповідь

\(1\pm \sqrt{3}\)

Важливо помістити квадратне рівняння в стандартній формі перед використанням квадратної формули.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:

\((2 x+1)(2 x-1)=24 x+8\)

Рішення:

Почніть з використання розподільної властивості, щоб розширити ліву частину та об'єднати подібні члени, щоб отримати рівняння в стандартній формі, рівне 0.

Після того, як рівняння буде в стандартній формі, визначте a, b і c. Тут

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу, а потім спрощуємо.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{6 \pm 3 \sqrt{5}}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити\(3x(x-2)=1\)

Відповідь

\(\frac{3\pm 2 \sqrt{3}}{3}\)

Ключові виноси

• Використовуйте квадратичну формулу для вирішення будь-якого квадратного рівняння в стандартній формі.
• Щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння, спочатку перепишіть в стандартному вигляді\(ax^{2}+bx+c=0\), підставляйте відповідні коефіцієнти в квадратичну формулу\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\), а потім спростіть.

Вправа\(\PageIndex{3}\) quadratic formula

Визначте коефіцієнти a, b і c, використовувані в квадратичній формулі. Чи не вирішуйте.

1. \(x^{2}−x+5=0\)
2. \(x^{2}−3x−1=0\)
3. \(3x^{2}−10=0\)
4. \(−y^{2}+5=0\)
5. \(5t^{2}−7t=0\)
6. \(−y^{2}+y=0\)
7. \(−x^{2}+x=−6\)
8. \(−2x^{2}−x=−15\)
9. \((3x+1)(2x+5)=19x+4\)
10. \((4x+1)(2x+1)=16x+4\)

Відповідь

1. a=1, b=−1 і c = 5

3. a=3, b=0 і c = −10

5. a=5, b=−7 та c = 0

7. a=−1, b=1 і c = 6

9. a=6, b=−2 та c = 1

Вправа\(\PageIndex{4}\) quadratic formula

Вирішіть факторингом, а потім вирішуйте за допомогою квадратичної формули. Перевірте відповіді.

1. \(x^{2}−10x+24=0\)
2. \(x^{2}−3x−18=0\)
3. \(t^{2}+6t+5=0\)
4. \(t^{2}+9t+14=0\)
5. \(2x^{2}−7x−4=0\)
6. \(3x^{2}−x−2=0\)
7. \(−2x^{2}−x+3=0\)
8. \(−6x^{2}+x+1=0\)
9. \(y^{2}−2y+1=0\)
10. \(y^{2}−1=0\)

Відповідь

1. 4, 6

3. −5, −1

5. −1/2, 4

7. −3/2, 1

9. 1, подвійний корінь

Вправа\(\PageIndex{5}\) quadratic formula

Використовуйте квадратичну формулу, щоб вирішити наступне.

1. \(x^{2}−6x+4=0\)
2. \(x^{2}−4x+1=0\)
3. \(x^{2}+2x−5=0\)
4. \(x^{2}+4x−6=0\)
5. \(t^{2}−4t−1=0\)
6. \(t^{2}−8t−2=0\)
7. \(−y^{2}+y+1=0\)
8. \(−y^{2}−3y+2=0\)
9. \(−x^{2}+16x−62=0\)
10. \(−x^{2}+14x−46=0\)
11. \(2t^{2}−4t−3=0\)
12. \(4t^{2}−8t−1=0\)
13. \(−4y^{2}+12y−9=0\)
14. \(−25x^{2}+10x−1=0\)
15. \(3x^{2}+6x+2=0\)
16. \(5x^{2}+10x+2=0\)
17. \(9t^{2} + 6 t −11 = 0\)
18. \(8t^{2} + 8 t + 1 = 0\)
19. \(x^{2} − 2 = 0\)
20. \(x^{2} −18 = 0\)
21. \(9x^{2} − 3 = 0\)
22. \(2x^{2} − 5 = 0\)
23. \(y^{2} + 9 = 0\)
24. \(y^{2} + 1 = 0\)
25. \(2x^{2} = 0\)
26. \(x^{2} = 0\)
27. \(−2y^{2} + 5y = 0\)
28. \(−3y^{2] + 7y = 0\)
29. \(t^{2} − t = 0\)
30. \(t^{2] + 2 t = 0\)
31. \(x^{2} −0.6x −0.27 = 0\)
32. \(x^{2} −1.6x −0.8 = 0\)
33. \(y^{2} −1.4y −0.15 = 0\)
34. \(y^{2} −3.6y +2.03 = 0\)
35. \(12t^{2} + 5 t +32 = 0\)
36. \(−t^{2} + 3 t−34 = 0\)
37. \(3y^{2} +12y −13 = 0\)
38. \(−2y^{2} +13y +12 = 0\)
39. \(2x^{2} −10 x + 3 = 4\)
40. \(3x^{2} + 6x + 1 = 8\)
41. \(−2y^{2} = 3 (y − 1 )\)
42. \(3y^{2} = 5 ( 2y − 1 )\)
43. \(( t + 1 )^{2} = 2 t+ 7\)
44. \(( 2 t − 1 )^{2} =73 − 4 t\)
45. \((x + 5)(x − 1)= 2 x + 1\)
46. \((x+7)(x−2)=3(x+1)\)
47. \(x(x+5)=3(x−1)\)
48. \(x(x+4)=−7\)
49. \((5x+3)(5x−3)−10(x−1)=0\)
50. \((3x+4)(3x−1)−33x=−20\)
51. \(27y(y+1)+2(3y−2)=0\)
52. \(8(4y^{2}+3)−3(28y−1)=0\)
53. \((x+2)^{2}−2(x+7)=4(x+1)\)
54. \((x+3)^{2}−10(x+5)=−2(x+1)\)

Відповідь

1. \(3\pm \sqrt{5}\)

3. \(-1\pm \sqrt{6}\)

5. \(2\pm \sqrt{5}\)

7. \(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

9. \(8\pm \sqrt{2}\)

11. \(\frac{2\pm \sqrt{10}}{2}\)

13. \(\frac{3}{2}\), подвійний корінь

15. \(\frac{-3\pm \sqrt{3}}{3}\)

17. \(\frac{-1\pm 2 \sqrt{3}}{3}\)

19. \(\pm\sqrt{2}\)

21. \(\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)

23. Немає реальних рішень

25. \(0\), подвійний корінь

27. \(0, \frac{5}{2}\)

29. \(0, 1\)

31. \(−0.3, 0.9\)

33. \(−0.1, 1.5\)

35. Немає реальних рішень

37. \(\frac{-6\pm 5 \sqrt{3}}{3}\)

39. \(\frac{5\pm 3 \sqrt{3}}{2}\)

41. \(\frac{-3\pm \sqrt{33}}{4}\)

43. \(\pm\sqrt{6}\)

45. \(-1\pm\sqrt{7}\)

47. Немає реальних рішень

49. \(\frac{1}{5}\), подвійний корінь

51. \(-\frac{4}{3}\),\(\frac{1}{9}\)

53. \(1\pm 2 \sqrt{10}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) discussion board

1. Говорячи про квадратне рівняння в стандартній формі\(ax^{2}+bx+c=0\), чому потрібно констатувати, що a0? Що станеться, якщо a дорівнює 0?
2. Дослідити та обговорити історію квадратичної формули та розв'язків квадратних рівнянь.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися