9.2: Завершення площі

Цілі навчання

• Вирішіть квадратні рівняння, заповнивши квадрат.

Завершення площі

У цьому розділі ми розробимо метод перезапису будь-якого квадратного рівняння виду

\[a x^{2}+b x+c=0\]

у формі

\[(x-p)^{2}=q\]

Цей процес називається завершенням квадрата. Як ми бачили, квадратні рівняння в такому вигляді легко вирішуються шляхом вилучення коренів. Почнемо з розгляду ідеальних квадратних триномів:

\(\begin{aligned}(x+3)^{2}=\:\:\:x^{2}\:\:\:+\:\:\:& 6 x\:\:\:+&9 \\ & \color{Cerulean}{\downarrow} &\color{Cerulean}{\uparrow} \\ & \left(\frac{6}{2}\right)^{2}=(3)^{2}=&9 \end{aligned}\)

Останній член, 9, - квадрат половини коефіцієнта х. Взагалі, це справедливо для будь-якого ідеального квадратного триноміала форми\(x^{2}+bx+c\).

\(\begin{aligned}\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} &=x^{2}+2 \cdot \frac{b}{2} x+\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \\ &=x^{2}+b x+\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \end{aligned}\)

Іншими словами, будь-який триноміал форми\(x^{2}+bx+c\) буде ідеальним квадратним триноміалом, якщо

\[c=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\]

Примітка

Важливо зазначити, що провідний коефіцієнт повинен дорівнювати 1, щоб це було правдою.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

завершити квадрат\(x^{2}+8x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)

Рішення:

У цьому прикладі коефіцієнт середнього члена b = 8, тому знайдіть значення, яке завершує квадрат, наступним чином:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{8}{2}\right)^{2}=(4)^{2}=\color{Cerulean}{16}\)

Значення, яке завершує квадрат, дорівнює 16.

\(\begin{aligned} x^{2}+8 x+16 &=(x+4)(x+4) \\ &=(x+4)^{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

завершити квадрат\(x^{2}+3x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)

Рішення

Тут b = 3, тому знайдіть значення, яке буде завершувати квадрат наступним чином:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{9}{4}}\)

Значення 9/4 завершує квадрат:

\(\begin{aligned} x^{2}+3 x+\color{Cerulean}{\frac{9}{4}} &\color{black}{=}\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right) \\ &=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(x^{2}+3x+94=(x+\frac{3}{2})^{2}\)

Ми можемо використовувати цю методику для вирішення квадратних рівнянь. Ідея полягає в тому, щоб взяти будь-яке квадратне рівняння в стандартній формі і заповнити квадрат, щоб ми могли вирішити його, витягнувши коріння. Нижче наведені загальні кроки для вирішення квадратного рівняння з провідним коефіцієнтом 1 в стандартній формі шляхом заповнення квадрата.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}+14x+46=0\).

Рішення:

Крок 1: Додайте або відніміть постійний член, щоб отримати рівняння у вигляді\(x^{2}+bx   =c\). У цьому прикладі відніміть 46, щоб перемістити його в праву частину рівняння.

Крок 2: Використовуйте\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) для визначення значення, яке завершує квадрат. Тут b = 14:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{14}{2}\right)^{2}=(7)^{2}=\color{Cerulean}{49}\)

Крок 3: Додайте\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) до обох сторін рівняння та заповніть квадрат.

\ (x+7) (x+7) &=3\\ (x+7) ^ {2} &=3\ кінець {вирівняний}\) </p">

Крок 4: Вирішіть шляхом вилучення коренів.

Відповідь:

Рішення є\(−7−\sqrt{3}\) або\(−7+\sqrt{3}\). Перевірка необов'язкова.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}-18x+72=0\)

Рішення:

Почніть з віднімання 72 з обох сторін.

Далі знайдіть значення, яке завершує квадрат, використовуючи b = −18.

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-18}{2}\right)^{2}=(-9)^{2}=\color{Cerulean}{81}\)

Щоб завершити квадрат, додайте 81 в обидві сторони, завершіть квадрат, а потім вирішіть, витягнувши коріння.

\ (x-9) (x-9) &= 9\\ (x-9) ^ {2} &= 9\ quad\ quad\ quad\ quad\:\ quad\ color {Cerulean} {Витяг\ :коріння.}\\ x-9 & =\ pm\ sqrt {9}\\ x-9 & =\ pm3\\ x & = 9\ pm 3\ кінець {вирівняний}\) </x п">

У цей момент розділіть «плюс або мінус» на два рівняння і вирішіть кожне.

\(\begin{array}{ll}{x=9-3} & {\text { or } \quad x=9+3} \\ {x=6} & \quad\quad\:\:{x=12}\end{array}\)

Відповідь:

Рішення 6 і 12.

Зверніть увагу, що в попередньому прикладі рішення є цілими числами. Якщо це так, то вихідне рівняння буде коефіцієнтом.

\ (x-6) (x-12) &=0\ кінець {вирівняний}\) </p">

Якщо це фактори, ми можемо вирішити це шляхом факторингу. Однак не всі квадратні рівняння будуть факторами.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}+10x+1=0\).

Рішення:

Почніть з віднімання 1 з обох сторін рівняння.

Тут b = 10, і визначаємо значення, яке завершує квадрат наступним чином:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{10}{2}\right)^{2}=(5)^{2}=\color{Cerulean}{25}\)

Щоб завершити квадрат, додайте 25 до обох сторін рівняння.

\(\begin{array}{l}{x^{2}+10 x=-1} \\ {x^{2}+10 x\color{Cerulean}{+25}\color{black}{=}-1\color{Cerulean}{+25}} \\ {x^{2}+10 x\color{Cerulean}{+25}\color{black}{=}24}\end{array}\)

Фактор і потім вирішують шляхом вилучення коренів.

Відповідь:

Рішення є\(-5 - 2 \sqrt{6}\) і\(-5 + 2 \sqrt{6}\)

Іноді квадратні рівняння не мають реальних розв'язків.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}−2x+3=0\).

Рішення:

Почніть з віднімання 3 з обох сторін рівняння.

Тут b = −2, і ми маємо

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=\color{Cerulean}{1}\)

Тому,

\ (x-1) ^ {2} &=-2\ end {вирівняний}\) </p">

У цей момент ми бачимо, що витяг кореня призводить до квадратного кореня негативного числа.

Відповідь:

Немає реального рішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}−2x−27=0\).

Відповідь

\(x=1\)±\(2\sqrt{7}\)

Коефіцієнт х не завжди ділиться на 2.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2}+3x−2=0\)

Рішення:

Почніть з додавання 2 в обидві сторони.

\(\begin{array}{l}{x^{2}+3 x-2=0} \\ {x^{2}+3 x=2}\end{array}\)

Використовуйте b = 3, щоб знайти значення, яке завершує квадрат:

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{9}{4}}\)

Щоб завершити квадрат, додайте 9/4 до обох сторін рівняння.

\(\begin{array}{c}{x^{2}+3 x=2} \\ {x^{2}+3 x\color{Cerulean}{+\frac{9}{4}}\color{black}{=}2\color{Cerulean}{+\frac{9}{4}}} \\ {\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)=\frac{8}{4}+\frac{9}{4}} \\ {\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}}\end{array}\)

Вирішити шляхом вилучення коренів.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\)

Поки що всі приклади мали провідний коефіцієнт 1. Формула\((\frac{b}{2})^{2}\) визначає значення, яке завершує квадрат, тільки якщо провідний коефіцієнт дорівнює 1. Якщо це не так, то просто розділіть обидві сторони на провідний коефіцієнт.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(2x^{2}+5x-1=0\).

Рішення:

Зверніть увагу, що провідний коефіцієнт дорівнює 2. Тому розділіть обидві сторони на 2 перед початком кроків, необхідних для вирішення, виконавши квадрат.

\(\begin{array}{l}{\frac{2 x^{2}+5 x-1}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=}\frac{0}{\color{Cerulean}{2}}} \\ {\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{5 x}{2}-\frac{1}{2}=0} \\ {x^{2}+\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=0}\end{array}\)

Почніть з додавання 1/2 до обох сторін рівняння.

\(\begin{array}{l}{x^{2}+\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=0} \\ {x^{2}+\frac{5}{2} x=\frac{1}{2}}\end{array}\)

Тут b = 5/2, і ми можемо знайти значення, яке завершує квадрат наступним чином:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\color{black}{\left(\frac{\color{Cerulean}{\frac{5}{2}}}{2}\right)}^{2}=\left(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{25}{16}}\)

Щоб завершити квадрат, додайте 25/16 до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} x^{2}+\frac{5}{2} x &=\frac{1}{2} \\ x^{2}+\frac{5}{2} x\color{Cerulean}{+\frac{25}{16}} &\color{black}{=}\frac{1}{2}\color{Cerulean}{+\frac{25}{16}} \\\left(x+\frac{5}{4}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right) &=\frac{8}{16}+\frac{25}{16} \\\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2} &=\frac{33}{16} \end{aligned}\)

Далі вирішують шляхом вилучення коренів.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити\(2x^{2}-2x-3=0\).

Відповідь

\(\frac{1\pm\sqrt{13}}{4}\)

Ключові винос

• Вирішіть будь-яке квадратне рівняння, заповнивши квадрат.
• Ви можете застосувати властивість квадратного кореня для вирішення рівняння, якщо ви можете спочатку перетворити рівняння у форму\((x−p)^{2}=q\).
• Щоб завершити квадрат, спочатку переконайтеся, що рівняння має форму\(x^{2}+bx   =c\). Потім додайте значення\((\frac{b}{2})^{2}\) в обидві сторони і коефіцієнт.
• Процес завершення квадрата працює завжди, але може привести до якихось виснажливих розрахунків з дробами. Це той випадок, коли середній член, b, не ділиться на 2.

Вправа\(\PageIndex{3}\) completing the square

Завершіть квадрат.

1. \(x^{2}+6x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
2. \(x^{2}+8x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
3. \(x^{2}−2x+   ?  =(x−  ? )^{2}\)
4. \(x^{2}−4x+   ?  =(x−  ? )^{2}\)
5. \(x^{2}+7x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
6. \(x^{2}+3x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
7. \(x^{2}+23x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
8. \(x^{2}+45x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
9. \(x^{2}+34x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
10. \(x^{2}+53x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)

Відповідь

1. \(x^{2}+6x+9=(x+ 3)^{2}\)

3. \(x^{2}−2x+1=(x− 1)^{2}\)

5. \(x^{2}+7x+494=(x+ 72)^{2}\)

7. \(x^{2}+23x+19=(x+ 13)^{2}\)

9. \(x^{2}+34x+964=(x+ 38)^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішіть факторингом, а потім вирішуйте, заповнивши квадрат. Перевірте відповіді.

1. \(x^{2}+2x−8=0\)
2. \(x^{2}−8x+15=0\)
3. \(y^{2}+2y−24=0\)
4. \(y^{2}−12y+11=0\)
5. \(t^{2}+3t−28=0\)
6. \(t^{2}−7t+10=0\)
7. \(2x^{2}+3x−2=0\)
8. \(3x^{2}−x−2=0\)
9. \(2y^{2}−y−1=0\)
10. \(2y^{2}+7y−4=0\)

Відповідь

1. −4, 2

3. −6, 4

5. −7, 4

7. 1/2, −2

9. −1/2, 1

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат.

1. \(x^{2}+6x−1=0\)
2. \(x^{2}+8x+10=0\)
3. \(x^{2}−2x−7=0\)
4. \(x^{2}−6x−3=0\)
5. \(x^{2}−2x+4=0\)
6. \(x^{2}−4x+9=0\)
7. \(t^{2}+10t−75=0\)
8. \(t^{2}+12t−108=0\)
9. \(x^{2}−4x−1=15\)
10. \(x^{2}−12x+8=−10\)
11. \(y^{2}−20y=−25\)
12. \(y^{2}+18y=−53\)
13. \(x^{2}−0.6x−0.27=0\)
14. \(x^{2}−1.6x−0.8=0\)
15. \(x^{2}−23x−13=0\)
16. \(x^{2}−45x−15=0\)
17. \(x^{2}+x−1=0\)
18. \(x^{2}+x−3=0\)
19. \(y^{2}+3y−2=0\)
20. \(y^{2}+5y−3=0\)
21. \(x^{2}+3x+5=0\)
22. \(x^{2}+x+1=0\)
23. \(x^{2}−7x+112=0\)
24. \(x^{2}−9x+32=0\)
25. \(t^{2}−12t−1=0\)
26. \(t^{2}−13t−2=0\)
27. \(x^{2}−1.7x−0.0875=0\)
28. \(x^{2}+3.3x−1.2775=0\)
29. \(4x^{2}−8x−1=0\)
30. \(2x^{2}−4x−3=0\)
31. \(3x^{2}+6x+1=0\)
32. \(5x^{2}+10x+2=0\)
33. \(3x^{2}+2x−3=0\)
34. \(5x^{2}+2x−5=0\)
35. \(4x^{2}−12x−15=0\)
36. \(2x^{2}+4x−43=0\)
37. \(2x^{2}−4x+10=0\)
38. \(6x^{2}−24x+42=0\)
39. \(2x^{2}−x−2=0\)
40. \(2x^{2}+3x−1=0\)
41. \(3x^{2}+2x−2=0\)
42. \(3x^{2}−x−1=0\)
43. \(x(x+1)−11(x−2)=0\)
44. \((x+1)(x+7)−4(3x+2)=0\)
45. \(y^{2}=(2y+3)(y−1)−2(y−1)\)
46. \((2y+5)(y−5)−y(y−8)=−24\)
47. \((t+2)^{2}=3(3t+1)\)
48. \((3t+2)(t−4)−(t−8)=1−10t\)

Відповідь

1. \(−3\pm\sqrt{10}\)

3. \(1\pm 2\sqrt{2}\)

5. Немає реального рішення

7. −15, 5

9. \(2(1\pm\sqrt{5})\)

11. \(5(2\pm \sqrt{3})\)

13. −0,3, 0,9

15. −1/3, 1

17. \(\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)

19. \(\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}\)

21. Немає реального рішення

23. \(=\frac{7}{2}\pm i \frac{\sqrt{399}}{2}\)

25. \(6\pm\sqrt{37}\)

27. −0,05, 1,75

29. \(\frac{2\pm \sqrt{5}}{2}\)

31. \(\frac{-3\pm \sqrt{6}}{3}\)

33. \(\frac{-1\pm \sqrt{10}}{3}\)

35. \(\frac{3\pm 2 \sqrt{6}}{2}\)

37. Немає реального рішення

39. \(\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}\)

41. \(\frac{-1\pm \sqrt{7}}{3}\)

43. \(5\pm\sqrt{3}\)

45. \(1\pm 5\sqrt{2}\)

47. \(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат і округляйте рішення до сотих

1. \((2x−1)^{2}=2x\)
2. \((3x−2)^{2}=5−15x\)
3. \((2x+1)(3x+1)=9x+4\)
4. \((3x+1)(4x−1)=17x−4\)
5. \(9x(x−1)−2(2x−1)=−4x\)
6. \((6x+1)2−6(6x+1)=0\)

Відповідь

1. 0,19, 1,31

3. −0,45, 1.12

5. 0,33, 0,67

Вправа\(\PageIndex{7}\) discussion board

1. Дослідіть та обговоріть індуїстський метод завершення квадрата.
2. Поясніть, чому методика виконання квадрата, описана в цьому розділі, вимагає, щоб провідний коефіцієнт дорівнював 1.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися