1.6: Раціональні вирази

Цілі навчання

У цьому розділі студенти будуть:

• Спростіть раціональні вирази.
• Помножити раціональні вирази.
• Розділіть раціональні вирази.
• Додавання і віднімання раціональних виразів.
• Спростіть складні раціональні вирази.

Кондитерський цех має постійні витрати$$280$ на тиждень та змінні витрати$$9$ на коробку випічки. Витрати магазину за тиждень в$x$ перерахунку на кількість виготовлених коробок, становить$280 +9x$. Ми можемо розділити витрати на тиждень на кількість виготовлених коробок, щоб визначити вартість коробки випічки.

$$\dfrac{280+9x}{x} \nonumber$$

Зверніть увагу, що результатом є поліноміальний вираз, розділений другим поліноміальним виразом. У цьому розділі ми розглянемо частки поліноміальних виразів.

Спрощення раціональних виразів

Частка двох поліноміальних виразів називається раціональним виразом. Ми можемо застосувати властивості дробів до раціональних виразів, таких як спрощення виразів шляхом скасування загальних факторів з чисельника та знаменника. Для цього спочатку потрібно перерахувати і чисельник, і знаменник. Почнемо з показаного раціонального виразу.

$$\dfrac{x^2+8x+16}{x^2+11x+28} \nonumber$$

Ми можемо перерахувати чисельник і знаменник, щоб переписати вираз.

$$\dfrac{{(x+4)}^2}{(x+4)(x+7)} \nonumber$$

Тоді ми можемо спростити цей вираз, скасувавши загальний фактор$(x+4)$.

$$\dfrac{x+4}{x+7} \nonumber$$

Howto: З огляду на раціональний вираз, спростіть його

1. Коефіцієнт чисельника і знаменника.
2. Скасувати будь-які загальні фактори.

Приклад$\PageIndex{1}$: Simplifying Rational Expressions

Спростити$\dfrac{x^2-9}{x^2+4x+3}$

Рішення

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+1)} && \text{Factor the numerator and the denominator}\\ &\dfrac{x-3}{x+1} && \text{Cancel common factor } (x+3) \end{align*}$$

Аналіз

Ми можемо скасувати загальний фактор, оскільки будь-який вираз, розділений сам по собі, дорівнює$1$.

Q&A

Чи можна скасувати$x^2$ термін в останньому прикладі?

Ні. Фактор - це вираз, яке множиться на інший вираз. $x^2$Термін не є множником чисельника або знаменника.

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити$\dfrac{x-6}{x^2-36}$

Відповідь

$\dfrac{1}{x+6}$

Множення раціональних виразів

Множення раціональних виразів працює так само, як множення будь-яких інших дробів. Множимо чисельники, щоб знайти чисельник твору, а потім множимо знаменники, щоб знайти знаменник твору. Перед множенням корисно перерахувати чисельники та знаменники так само, як ми це робили при спрощенні раціональних виразів. Нам часто вдається спростити твір раціональних виразів.

Howto: З огляду на два раціональних вирази, помножте їх

1. Коефіцієнт чисельника і знаменника.
2. Множимо чисельники.
3. Помножте знаменники.
4. Спростити.

Приклад$\PageIndex{2}$: Multiplying Rational Expressions

Помножте раціональні вирази і покажіть твір в найпростішому вигляді:

$\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)}$

Рішення

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)} && \text{Factor the numerator and denominator.}\\[4pt] &\dfrac{(x+5)(x-1)(2x-1)}{3(x+6)(x+5)} && \text{Multiply numerators and denominators}\\[4pt] &\dfrac{(x-1)(2x-1)}{3(x+6)} && \text{Cancel common factors to simplify} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Помножте раціональні вирази і покажіть твір в найпростішому вигляді:

$\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+5x+6}\times\dfrac{x^2+7x+12}{x^2+8x+16}$

Відповідь

$\dfrac{(x+5)(x+6)}{(x+2)(x+4)}$

Розподіл раціональних виразів

Розподіл раціональних виразів працює так само, як і ділення інших дробів. Щоб розділити раціональний вираз іншим раціональним виразом, помножте перший вираз на зворотне другого. Використовуючи такий підхід, ми б переписували$\dfrac{1}{x}÷\dfrac{x^2}{3}$ як продукт$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}$. Після того, як вираз ділення було переписано як вираз множення, ми можемо множити, як ми робили раніше.

$$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3}{x^3} \nonumber$$

Howto: З огляду на два раціональних вирази, розділіть їх

1. Перепишіть як перше раціональне вираз, помножене на зворотне другого.
2. Фактор чисельників і знаменників.
3. Множимо чисельники.
4. Помножте знаменники.
5. Спростити.

Приклад$\PageIndex{3}$: Dividing Rational Expressions

Розділіть раціональні вирази і висловіть частку в найпростішому вигляді:

$\dfrac{2x^2+x-6}{x^2-1}÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x+1}$

Рішення

\ [\ почати {вирівнювати*} &\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1} ÷\ dfrac {х ^2-4} {x^2+2x+1}\ [4pt]
&\ dfrac {2x^2+x-6} {х ^2-1}\ раз\ dfrac {x^2+2x+1} {х ^2-4} && текст {Запишіть як задачу множення}\\ [4pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+2)} {(x-1) (x+1)}\ times\ dfrac {(x+1)} {(x-2) (x+2)} &&\ text {множник чисельника та знаменника.}\\ [6pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+2) (x+1)} {(x-1) (x-1) (x-2) (x+2)} &&\ text {множення чисельників і знаменників}\\ [6pt]
&\ dfrac {(2x-3) (x+1}) {(x-1) (x-2)} &&\ text {Скасувати загальні фактори для спрощення}\ end {align*}\]

Вправа$\PageIndex{3}$

Розділіть раціональні вирази і висловіть частку в найпростішому вигляді:

$$\dfrac{9x^2-16}{3x^2+17x-28}÷\dfrac{3x^2-2x-8}{x^2+5x-14} \nonumber$$

Відповідь

$0$

Додавання та віднімання раціональних виразів

Додавання та віднімання раціональних виразів працює так само, як додавання та віднімання числових дробів. Для додавання дробів нам потрібно знайти спільний знаменник. Давайте розглянемо приклад додавання дробів.

$$\begin{align*} \dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{40} &= \dfrac{25}{120}+\dfrac{3}{120}\\ &= \dfrac{28}{120}\\ &= \dfrac{7}{30} \end{align*}$$

Ми повинні переписати дроби, щоб вони мали спільний знаменник, перш ніж ми зможемо додати. Ми повинні робити те ж саме при додаванні або відніманні раціональних виразів.

Найпростішим спільним знаменником у використанні буде найменш спільний знаменник, або РК. РК-дисплей є найменшим кратним, що знаменники мають спільні. Щоб знайти РК-дисплей двох раціональних виразів, ми множимо вирази і множимо всі різні фактори. Наприклад, якби факторні знаменники були$(x+3)(x+4)$ і$(x+4)(x+5)$, то РК-дисплей був би$(x+3)(x+4)(x+5)$.

Як тільки ми знайдемо РК-дисплей, нам потрібно помножити кожен вираз на форму$1$, яка змінить знаменник на РК-дисплей. Нам потрібно було б помножити вираз$(x+3)(x+4)$ на знаменник від$\dfrac{x+5}{x+5}$ і вираз зі$(x+4)(x+5)$ знаменником від$\dfrac{x+3}{x+3}$.

Howto: За даними двох раціональних виразів, додайте або відніміть їх

1. Коефіцієнт чисельника і знаменника.
2. Знайдіть РК-дисплей виразів.
3. Помножте вирази на форму 1, яка змінює знаменники на РК-дисплей.
4. Додайте або відніміть чисельники.
5. Спростити.

Приклад$\PageIndex{4}$: Adding Rational Expressions

Додайте раціональні вирази: $$\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{y} \nonumber$$

Рішення

По-перше, ми повинні знайти РК-дисплей. В цьому випадку РК-дисплей буде$xy$. Потім ми множимо кожен вираз на відповідну форму,$1$ щоб отримати$xy$ як знаменник для кожного дробу.

$$\begin{align*} &\dfrac{5}{x}\times\dfrac{y}{y}+\dfrac{6}{y}\times\dfrac{x}{x}\\ &\dfrac{5y}{xy}+\dfrac{6x}{xy} \end{align*}$$

Тепер, коли вирази мають однаковий знаменник, ми просто додаємо чисельники, щоб знайти суму.

$$\dfrac{6x+5y}{xy} \nonumber$$

Аналіз

Множення на$\dfrac{y}{y}$ або$\dfrac{x}{x}$ не змінює значення вихідного виразу, оскільки будь-яке число, розділене саме по собі$1$, є, а множення виразу на$1$ дає вихідний вираз.

Приклад$\PageIndex{5}$: Subtracting Rational Expressions

Віднімаємо раціональні вирази: $$\dfrac{6}{x^2+4x+4}-\dfrac{2}{x^2-4}$$

Рішення

\ [\ почати {вирівнювати*}
&\ dfrac {6} {{(x+2)} ^2} -\ dfrac {2} {(x+2) (x-2)} &&\ текст {Фактор}\\
&\ dfrac {6} {(x+2)} ^2} ^2}\ раз\ dfrac {x-2} {x-2} -\ dfrac {2} {x+2) (x-2)}\ times\ dfrac {x+2} {x+2} &&\ text {Помножте кожен дріб, щоб отримати РК-дисплей як знаменник}\\
&\ dfrac {6 (x- 2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} -\ dfrac {2 (x+2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Множення}\\
&\ dfrac {6x-12- (2x+4)} {(x+2)} ^2 (x-2)} &\ text {Застосувати розподільну властивість}\\
&\ dfrac {4x-16} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ текст {Відняти}\
&\ dfrac {4 (x-4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ текст {Спрощення}
\ end {align*}\]

Q&A

Чи потрібно використовувати РК-дисплей для додавання або віднімання раціональних виразів?

Ні. Спрацює будь-який спільний знаменник, але найпростіше використовувати РК-дисплей.

Вправа$\PageIndex{4}$

Віднімаємо раціональні вирази:$\dfrac{3}{x+5}-\dfrac{1}{x-3}$

Відповідь

$\dfrac{2(x-7)}{(x+5)(x-3)}$

Спрощення складних раціональних виразів

Складне раціональне вираз - це раціональний вираз, що містить додаткові раціональні вирази в чисельнику, знаменнику або обох. Ми можемо спростити складні раціональні вирази, переписуючи чисельник і знаменник як одиничні раціональні вирази і ділення. Складне раціональне вираз$\dfrac{a}{\dfrac{1}{b}+c}$ можна спростити, переписуючи чисельник як дріб$\dfrac{a}{1}$ і об'єднавши вирази в знаменнику як$\dfrac{1+bc}{b}$. Потім ми можемо переписати вираз як задачу множення, використовуючи зворотну знаменника. Отримуємо$\dfrac{a}{1}⋅\dfrac{b}{1+bc}$, що дорівнює$\dfrac{ab}{1+bc}$.

Howto: З огляду на складний раціональний вираз, спростіть його

1. Об'єднайте вирази в чисельнику в єдине раціональне вираз шляхом додавання або віднімання.
2. Об'єднайте вирази в знаменнику в єдине раціональне вираз шляхом додавання або віднімання.
3. Перепишіть як чисельник, розділений на знаменник.
4. Перепишіть як множення.
5. Помножити.
6. Спростити.

Приклад$\PageIndex{6}$: Simplifying Complex Rational Expressions

Спростити:$\dfrac{y+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{y}}$

Рішення

Почніть з об'єднання виразів в чисельнику в один вираз.

$$\begin{align*} &y\times\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\qquad \text{Multiply by } \dfrac{x}{x} \text{ to get LCD as denominator}\\ &\dfrac{xy}{x}+\dfrac{1}{x}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\qquad \text{Add numerators} \end{align*}$$

Тепер чисельник є єдиним раціональним виразом, а знаменник - єдиним раціональним виразом.

$$\begin{align*} &\dfrac{\dfrac{xy+1}{x}}{\dfrac{x}{y}}\\ \text{We can rewrite this as division, and then multiplication.}\\ &\dfrac{xy+1}{x}÷\dfrac{x}{y}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\times\dfrac{y}{x}\qquad \text{Rewrite as multiplication}\\ &\dfrac{y(xy+1)}{x^2}\qquad \text{Multiply} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити:$\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{y}$

Відповідь

$\dfrac{x^2-y^2}{xy^2}$

Q&A

Чи завжди можна спростити складне раціональне вираз?

Так. Ми завжди можемо переписати складний раціональний вираз як спрощений раціональний вираз.

Медіа

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з раціональними виразами.

1. Спрощення раціональних виразів

2. Множення і ділення раціональних виразів

3. Додавання та віднімання раціональних виразів

4. Спрощення складного дробу

Ключові концепції

• Раціональні вирази можна спростити, скасувавши загальні множники в чисельнику і знаменнику. Див. Приклад.
• Ми можемо помножити раціональні вирази шляхом множення чисельників і множення знаменників. Див. Приклад.
• Щоб розділити раціональні вирази, помножте на зворотне другого виразу. Див. Приклад.
• Додавання або віднімання раціональних виразів вимагає знаходження спільного знаменника. Див. приклад і приклад.
• Складні раціональні вирази мають дроби в чисельнику або знаменнику. Ці вирази можна спростити. Див. Приклад.