6.1: Послідовності

Послідовність чисел у відповідності один до одного з натуральними числами\(\{1,2,3,4, \ldots\}\) може бути визначена декількома способами. Терміни послідовності можуть бути просто перераховані:
\ [
\ {2,4,8,16,32,\ dots\}
\]
Загальний вираз для послідовності може бути ідентифіковано:
\ [
a_ {n} =2^ {n}
\]
У цій ситуації\(n\) є як правило, розуміється, витягується з упорядкованої множини натуральних чисел. Крім того, послідовність може бути визначена рекурсивно. Тобто кожен наступний термін буде визначатися стосовно попереднього терміну.
Для прикладу, який ми використовуємо вище, рекурсивне визначення буде наступним:
\ [
\ begin {масив} {c}
a_ {1} =2\
a_ {n} =2 * a_ {n-1}\\
\ mathrm {or}\\
a_ {n+1} =2 * a_ {n}
\ end {array}
\]
Послідовність може розглядатися як функція або відношення, в якому область обмежена цілими додатними числами.

Приклади
Знайдіть перші чотири членів заданої послідовності та 10-й член послідовності.
1)\(\quad a_{n}=n^{2}+3\)
\ [
a_ {1} =4, a_ {2} =7, a_ {3} =12, a_ {4} =19, a_ {10} =103
\]
2)\ [\(a_{1}=5\)

\ begin {масив} {l}
a_ {n} =a_ {n-1} +6\
a_ {1} =5, a_ {2} =11, a_ {3} =11, a_ {3} =17, a_ {4} =23, a_ {10} =59
\ end {масив}
\]

Пошук загального або рекурсивного визначення послідовності може бути складнішим, ніж просто написання термінів. Загальні речі шукати -

Це чергування послідовності? Тобто, чи терміни відскакують назад і вперед між позитивними та негативними значеннями. Якщо так, то вам потрібно буде включити\((-1)^{n}\) або\((-1)^{n+1}\) в загальний термін.
\ [
\ begin {масив} {l}
\ текст {Приклад:}\ {-1,2, -3,4,\ ldots\}
\\ qquad a_ {n} =( -1) ^ {n} (n)
\ end {масив}
\]
або
\ [
a_ {1} =-1
\]
\ [
a_ {n } = (-1)\ left (a_ {n-1}\ право) + (-1) ^ {n}
\] Чи
є спільна різниця між термінами? Якщо так, то послідовність поводиться так само, як лінійна функція і матиме форму, подібну до того,\(y=m x+b,\) де\(m\) є загальна різниця.
\ [
\ begin {масив} {l}
\ текст {Приклад:}\ {5,8,11,14,\ ldots\}
\\ qquad a_ {n} =3 n+2
\ end {масив}
\]
або

\ [\ begin {масив} {l}
a_ {1} =5\
a_ {n} = a_ {n-1} +3
\ end {масив}
\]

Чи існує загальний множник? Якщо так, то це має бути силова функція, де конкретна база піднімається в силу\(n\).
\ [
\ begin {масив} {l}
\ текст {Приклад:}\ {3,15,75,375,\ ldots
\}\\ qquad\ почати {масив} {l}
a_ {n} =3 * 5^ {n-1}
\\ текст {або}\\
a_ {1} =3\
a_ {n} =5 * a_ {n-1}
\ кінець {масив}
\ end {array}
\]
Інші шаблони для пошуку - ідеальні квадрати та ідеальні кубики.

Вправи 6.1
Знайдіть перші чотири членів заданої послідовності і 10-й член послідовності.
1)\(\quad a_{n}=3 n+1\)
2)\(\quad a_{n}=4 n-12\)
3)\(\quad a_{n}=-5 n+3\)
4)\(\quad a_{n}=-2 n+7\)
5)\(\quad a_{n}=2 n^{2}\)
6)\(\quad a_{n}=5 n^{2}-1\)
7)\(\quad a_{n}=(-1)^{n}(4 n)\)
8)\(\quad a_{n}=(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{n}\right)\)
9)\(\quad a_{n}=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}\)
10)\(\quad a_{n}=\frac{5^{n}}{2^{n+1}}\)
11)\(\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2 n+5}\)
12)\(\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{3 n-2}\)
13)\(\quad a_{1}=-3 \text{and} a_{n}=a_{n-1}+4 \)
14)\(\quad a_{1}=2 \text{and} a_{n}=a_{n-1}+12\)
15)\(\quad a_{1}=7 \text{and} a_{n}=9-a_{n-1}\)
16)\(\quad a_{1}=-5 \text{and} a_{n}=17-a_{n-1}\)
17)\(\quad a_{1}=1 \text{and} a_{n}=n+a_{n-1}\)
18)\(\quad a_{1}=4 \text{and} a_{n}=n-a_{n-1}\)
19)\(\quad a_{1}=\frac{1}{2} \text{and} a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{a_{n-1}}\)
20)\(\quad a_{1}=\frac{2}{5} \text{and} a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 a_{n-1}}\)

Для кожної з заданих послідовностей - знайти загальний термін,\(a_{n},\) а також знайти рекурсивне визначення для послідовності.
21)\(\quad\{6,7,8,9,10, \dots\}\)
22)\(\quad\{9,11,13,15,17, \dots\}\)
23)\(\quad\{1,4,7,10,13, \dots\}\)
24)\(\quad\{-5,4,13,22,31, \dots\}\)
25)\(\quad\{-2,6,-18,54, \dots\}\)
26)\(\quad\{5,-10,20,-40,80, \dots\}\)
27)\(\quad\{1,-1,-3,-5,-7, \dots\}\)
28)\(\quad\{-8,-15,-22,-29, \dots\}\)
29)\(\left\{\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{16}, \ldots\right\}\)
30) \(\left\{\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \ldots\right\}\)
31)\(\quad\left\{-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots\right\}\)
32)\(\left\{\frac{1}{2},-\frac{2}{5}, \frac{3}{8},-\frac{4}{11}, \ldots\right\}\)
33)\(\quad\{5,-25,125,-625, \dots\}\)
34)\(\quad\left\{1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{9},-\frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots\right\}\)
35)\(\quad\left\{1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6}, \ldots\right\}\)
36)\(\quad\left\{\frac{2}{3}, \frac{9}{4}, \frac{8}{27}, \frac{81}{16}, \frac{32}{243} \dots\right\}\)