8.1: Прелюдія до аналітичної геометрії

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Грецький математик Menaechmus (c. 380—c. 320 до н.е.), як правило, приписують виявлення форм, утворених перетином площини та правого кругового конуса. Залежно від того, як він нахиляв площину, коли вона перетинала конус, він формував різні форми на перетині - красиві форми з майже ідеальною симетрією. Також було сказано, що Аристотель, можливо, мав інтуїтивне розуміння цих форм, оскільки він спостерігав, як орбіта планети має бути круговою. Він припускав, що планети рухалися по кругових орбітах навколо Землі, і протягом майже $2000$ років це було поширеною вірою.

Ілюстрація $\PageIndex{1}$ : (а) грецький філософ Арістотель (384—322 рр. До н.е.) (б) німецький математик і астроном Йоганнес Кеплер (1571—1630)

Лише в Ренесансному русі Йоганнес Кеплер помітив, що орбіти планети не були круговими за своєю природою. Його опублікований закон руху планет в 1600-х роках змінив наш погляд на Сонячну систему назавжди. Він стверджував, що сонце знаходиться на одному кінці орбіт, а планети оберталися навколо Сонця овальним шляхом. У цьому розділі ми будемо досліджувати двовимірні фігури, які утворюються при перетині правого кругового конуса площиною. Почнемо з вивчення кожної з трьох фігур, створених таким чином. Ми розробимо визначальні рівняння для кожної фігури, а потім навчимося використовувати ці рівняння для вирішення різноманітних задач.