Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.8: Графічні квадратичні рішення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58487

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Параболи

    Зараз ми вивчимо графіки квадратичних рівнянь у двох змінних із загальною формою

    \(y = ax^2 + bx + c, a \not= 0\). \(a, b, c\)є дійсними числами.

    Парабола

    Всі такі графіки мають схожу форму. Графік квадратного рівняння цього типу Парабола називається параболою і він буде приймати одну з наступних форм.

    Дві параболи, одна відкривається вгору і одна відкривається вниз. Найнижча точка параболи, що відкривається вгору, і найвища точка параболи, що відкривається вниз, позначені як «Вершина».

    Вершина

    Висока точка або низька точка параболи називається вершиною параболи.

    Побудова графіків парабол

    Ми побудуємо графік параболи, вибравши кілька значень x, обчисливши, щоб знайти відповідні значення y, побудувавши ці впорядковані пари, а потім проведемо гладку криву через них.

    Набір зразків A

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Графік\(y = x^2\). Побудувати таблицю, щоб виставити кілька впорядкованих пар.

    \(x\) \(y=x^2\)
    0 0
    1 1
    2 4
    3 9
    −1 1
    −2 4
    −3 9

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні два, чотири; негативні один, один; нуль, нуль; один, один; і два, чотири.

    Це найголовніша парабола. Хоча інші параболи можуть бути ширшими, вужчими, переміщеними вгору або вниз, переміщеними вліво або вправо, або перевернутими, всі вони матимуть ту саму основну форму. Нам потрібно буде побудувати стільки впорядкованих пар, скільки необхідно, щоб забезпечити цю основну форму.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Графік\(y = x^2 - 2\). Побудувати таблицю впорядкованих пар.

    \(x\) \(y=x^2 -2\)
    0 −2
    1 −1
    2 2
    3 7
    −1 −1
    −2 2
    −3 7

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні два, два; негативний один, негативний один; нуль, від'ємний два, один, від'ємний один; і два, два.

    Зверніть увагу, що графік\(y = x^2 - 2\) - це саме графік,\(y = x^2\) але перекладено 2 одиниці вниз. Порівняйте рівняння\(y = x^2\) і\(y = x^2 - 2\). Ви бачите, що викликає 2 одиниці низхідного перекладу?

    Практика Set A

    Завдання практики\(\PageIndex{1}\)

    Використовуйте ідею, запропоновану в наборі зразків A, щоб намалювати (швидко і, можливо, не зовсім точно) графіки

    \(y = x^2 + 1\)і\(y = x^2 - 3\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік квадратного рівняння y дорівнює x квадрат плюс один, що проходить через п'ять точок з від'ємними координатами два, п'ять; від'ємні один, два; нуль, один, два; і два, п'ять.

    Графік квадратного рівняння y дорівнює x квадрат мінус три, що проходять через п'ять точок з від'ємними координатами два, один; від'ємний один, від'ємний два; нуль, від'ємний три; один, від'ємний два; і два, один.

    Набір зразків B

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Графік\(y = (x + 2)^2\).

    Чи очікуємо ми, що графік буде схожий на графік\(y = x^2\)? Складіть таблицю упорядкованих пар.

    \(x\) \(y\)
    0 4
    1 9
    −1 1
    −2 0
    −3 1
    −4 4

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні чотири, чотири; негативні три, один; негативні два, нуль; негативні один, один; і нуль, чотири.

    Зверніть увагу, що графік\(y = (x + 2)^2\) є саме графіком,\(y = x^2\) але перекладено 2 одиниці ліворуч. \(+2\)Внутрішня частина дужок переміщує\(y = x^2\) дві одиниці вліво. Від'ємне значення всередині дужок робить рух вправо.

    Практика Set B

    Завдання практики\(\PageIndex{1}\)

    Використовуйте ідею, запропоновану в наборі зразків B, щоб намалювати графіки

    \(y = (x-3)^2\)і\(y = (x + 1)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік квадратного рівняння y дорівнює x мінус три цілого квадрата, що проходить через п'ять точок з координатами один, чотири; два, один; три, нуль; чотири, один; і п'ять, чотири.

    Завдання практики\(\PageIndex{3}\)

    Графік\(y = (x-2)^2 + 1\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік квадратного рівняння y дорівнює x квадрат мінус три, що проходять через п'ять точок з координатами нуль, п'ять; один, два, два; три, два; і чотири, п'ять.

    Вправи

    Для наступних задач графуйте квадратні рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    \(y = x^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні два, чотири; негативні один, один; нуль, нуль, один, один; і два, чотири.

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    \(y = -x^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    \(y = (x-1)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні один, чотири; нуль, один; один, нуль, два, один; і три, чотири.

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    \(y = (x-2)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    \(y = (x + 3)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    \(y = (x + 3)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні п'ять, чотири; негативні чотири, один; негативні три, нуль; негативні два, один; і негативний один, чотири.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    \(y = (x + 1)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    \(y = x^2 - 3\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через сім точок з координатами від'ємні три, шість; негативні два, один; негативний один, негативний два; нуль, негативні три; один, від'ємний два; два, один; і три, шість.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    \(y = x^2 - 1\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    \(y = x^2 + 2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні два, шість; негативні один, три; нуль, два; один, три; і два, шість.

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    \(y = x^2 + \dfrac{1}{2}\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    \(y = x^2 - \dfrac{1}{2}\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні два, сім над двома; негативний один, один над двома; нуль, негативний один над двома; один, один над двома; і два, сім над двома.

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    \(y = -x^2 + 1\)(порівняти з проблемою 2)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    \(y = -x^2 - 1\)(порівняти з проблемою 1)
    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні два, негативні п'ять; негативні один, від'ємний два; нуль, негативний один, один, від'ємний два; і два, негативні п'ять.

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    \(y = (x-1)^2 - 1\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    \(y = (x + 3)^2 + 2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами негативні п'ять, шість; негативні чотири, три; негативні три, два; негативні два, три; і негативні один, шість.

    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    \(y = -(x + 1)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    \(y = -(x + 3)^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні п'ять, від'ємні чотири; від'ємні чотири, негативні один; від'ємні три, нуль; негативні два, негативні один; і негативний один, від'ємний чотири.

    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    \(y = 2x^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    \(y = 3x^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через три точки з координатами від'ємні один, три; нуль, нуль; і один, три.

    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    \(y = \dfrac{1}{2}x^2\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю на обох осях.

    Для наступних задач спробуйте вгадати квадратне рівняння, яке відповідає заданому графіку.

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    Графік квадратного рівняння, що проходить через три точки з координатами від'ємні один, три; нуль, два; і один, три.

    Вправа\(\PageIndex{23}\)

    Графік квадратного рівняння, що проходить через три точки з координатами один, чотири; два, один; три, нуль; чотири, один і п'ять, чотири.

    Відповідь

    \(y = (x-3)^2\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\)

    Графік квадратного рівняння, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні чотири, від'ємні чотири; від'ємні три, від'ємні один; від'ємний два, нуль; від'ємний один, від'ємний один; і нуль, від'ємний чотири.

    Вправа\(\PageIndex{25}\)

    Графік квадратного рівняння, що проходить через п'ять точок з координатами від'ємні п'ять, від'ємні два; від'ємні чотири, один; негативні три, два; негативні два, один; і негативний один, негативний два.

    Відповідь

    \(y = -(x + 3)^2 + 2\)

    Вправи для огляду

    Вправа\(\PageIndex{26}\)

    Спростити і написати\((x^{-4}y^5)^{-3}(x^{-6}y^4)^2\) так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.

    Вправа\(\PageIndex{27}\)

    Фактор\(y^2 - y - 42\)

    Відповідь

    \((y+6)(y−7)\)

    Вправа\(\PageIndex{28}\)

    Знайдіть суму:\(\dfrac{2}{a - 3} + \dfrac{3}{a + 3} + \dfrac{18}{a^2 - 9}\)

    Вправа\(\PageIndex{29}\)

    Спростити\(\dfrac{2}{4 + \sqrt{5}}\)

    Відповідь

    \(\dfrac{8 - 2\sqrt{5}}{11}\)

    Вправа\(\PageIndex{30}\)

    Чотири додається до цілого числа і ця сума подвоюється. Коли цей результат множиться на початкове ціле число, добуток дорівнює\(-6\). Знайдіть ціле число.