10.2: Розв'язування квадратних рівнянь

Стандартна форма квадратного рівняння

У главі 5 ми вивчали лінійні рівняння в одній і двох змінних і методи їх розв'язання. Ми спостерігали, що лінійне рівняння в одній змінній - це будь-яке рівняння, яке можна записати у формі$ax + b = 0, a\not = 0$, а лінійне рівняння у двох змінних - будь-яке рівняння, яке можна записати у вигляді$ax + by = c$, де$a$ і не$b$ обидва$0$. Тепер ми хочемо вивчити квадратні рівняння в одній змінній.

Квадратне рівняння

Квадратне рівняння - рівняння виду$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$.

Стандартною формою квадратного рівняння є$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$.

Для квадратного рівняння в стандартній формі$ax^2 + bx + c = 0$

$a$це коефіцієнт$x^2$.

$b$це коефіцієнт$x$.

$c$є постійним терміном.

Набір зразків A

Нижче наведені квадратні рівняння.

Приклад$\PageIndex{1}$

$3x^2 + 2x - 1 = 0$. $a = 3, b = 2, c = -1$

Приклад$\PageIndex{2}$

$5x^2 + 8x = 0$. $a = 5, b = 8, c = 0$

Зверніть увагу, що це рівняння може бути записано$5x^2 + 8x + 0 = 0$. Тепер зрозуміло, що$c = 0$.

Приклад$\PageIndex{3}$

$x^2 + 7 = 0$. $a = 1, b = 0, c = 7$.

Зверніть увагу, що це рівняння може бути записано$x^2 + 0x + 7 = 0$. Тепер зрозуміло, що$b = 0$

Нижче наведені не квадратні рівняння.

Приклад$\PageIndex{4}$

$3x + 2 = 0$. $a = 0$. Це рівняння лінійне.

Приклад$\PageIndex{5}$

$8x^2 + \dfrac{3}{x} - 5 = 0$

Вираз з лівого боку знака рівності має змінну в знаменнику і, отже, не є квадратичним.

Практика Set A

Які з наступних рівнянь є квадратними рівняннями? Відповідь «так» або «ні» на кожне рівняння.

Завдання практики$\PageIndex{1}$

$6x^2 - 4x + 9 = 0$

Відповідь

так

Завдання практики$\PageIndex{2}$

$5x+8=0$

Відповідь

ні

Завдання практики$\PageIndex{3}$

$4x^3 - 5x^2 + x + 6 = 8$

Відповідь

ні

Завдання практики$\PageIndex{4}$

$4x^2 - 2x + 4 = 1$

Відповідь

так

Завдання практики$\PageIndex{5}$

$\dfrac{2}{x} - 5x^2 = 6x + 4$

Відповідь

ні

Завдання практики$\PageIndex{6}$

$9x^2 - 2x + 6 = 4x^2 + 8$

Відповідь

так

Нерухомість з нульовим фактором

Наша мета - розв'язувати квадратні рівняння. Метод розв'язання квадратичних рівнянь заснований на нульовій факторній властивості дійсних чисел. Ми познайомилися з властивістю нульового фактора в розділі 8.2. Ми заявляємо про це ще раз.

Нерухомість з нульовим фактором

Якщо два числа$a$ і$b$ множаться разом і отримане добуток є$0$, то хоча б одне з чисел повинно бути$0$. Алгебраїчно, якщо$a \cdot b = 0$, то$a = 0$ або обидва$a = 0$ і$b = 0$.

Набір зразків B

Використовуйте властивість нульового фактора для вирішення кожного рівняння.

Приклад$\PageIndex{6}$

Якщо$9x = 0$, то$x$ обов'язково$0$.

Приклад$\PageIndex{7}$

Якщо$-2x^2 = 0$, то$x^2 = 0, x = 0$

Приклад$\PageIndex{8}$

Якщо$5$ то$x-1$ повинно бути$0$, так як не$5$ дорівнює нулю.

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
х - 1 &= 0\\
x &= 1
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{9}$

Якщо$x(x+6) = 0$, то

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
х &= 0 &\ текст {або} & x+6&= 0\\ x
& = 0, -6 && x &= -6
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{10}$

Якщо$(x+2)(x+3) = 0$, то

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
х + 2 &= 0 &\ текст {або} & x + 3 &= 0\\
x &= -2 && x = -3\
x &= -2, -3
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{11}$

Якщо$(x+10)(4x - 5) = 0$, то

\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
х + 10 &= 0 &\ текст {або} & 4x - 5 &= 0\\
x &= -10 & 4x &= 5\
x &= -10,\ dfrac {5} {4} &&=\ dfrac {5} {4}
\ кінець {масив}\)

Практика Set B

Використовуйте властивість нульового фактора для вирішення кожного рівняння.

Завдання практики$\PageIndex{7}$

$6(a−4)=0$

Відповідь

$a=4$

Завдання практики$\PageIndex{8}$

$(y+6)(y−7)=0$

Відповідь

$y=−6, 7$

Завдання практики$\PageIndex{9}$

$(x+5)(3x−4)=0$

Відповідь

$x = -5, \dfrac{4}{3}$

Вправи

Для наступних задач запишіть значення$a$$b$, і$c$ в квадратних рівняннях.

Вправа$\PageIndex{1}$

$3x^2 + 4x - 7 = 0$

Відповідь

$3,4,−7$

Вправа$\PageIndex{2}$

$7x^2 + 2x + 8 = 0$

Вправа$\PageIndex{3}$

$2y^2 - 5y + 5 = 0$

Відповідь

$2,−5,5$

Вправа$\PageIndex{4}$

$7a^2 + a - 8 = 0$.

Вправа$\PageIndex{5}$

$-3a^2 + 4a - 1 = 0$

Відповідь

$−3,4,−1$

Вправа$\PageIndex{6}$

$7b^2 + 3b + 0$

Вправа$\PageIndex{7}$

$2x^2 + 5x + 0$

Відповідь

$2, 5, 0$

Вправа$\PageIndex{8}$

$4y^2 + 9 = 0$

Вправа$\PageIndex{9}$

$8a^2 - 2a = 0$

Відповідь

$8,−2,0$

Вправа$\PageIndex{10}$

$6x^2 = 0$

Вправа$\PageIndex{11}$

$4y^2 = 0$

Відповідь

$4, 0, 0$

Вправа$\PageIndex{12}$

$5x^2 - 3x + 9 = 4x^2$

Вправа$\PageIndex{13}$

$7x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + x - 9$

Відповідь

$1, 1, 10$

Вправа$\PageIndex{14}$

$-3x^2 + 4x - 1 = -4x^2 - 4x + 12$

Вправа$\PageIndex{15}$

$5x - 7 = -3x^2$

Відповідь

$3,5,−7$

Вправа$\PageIndex{16}$

$3x - 7 = -2x^2 + 5x$

Вправа$\PageIndex{17}$

$0 = x^2 + 6x - 1$

Відповідь

$1,6,−1$

Вправа$\PageIndex{18}$

$9 = x^2$

Вправа$\PageIndex{19}$

$x^2 = 9$

Відповідь

$1,0,−9$

Вправа$\PageIndex{20}$

$0 = -x ^2$

Для наступних задач використовуйте властивість нульового фактора для розв'язання рівнянь.

Вправа$\PageIndex{21}$

$4x = 0$

Відповідь

$x=0$

Вправа$\PageIndex{22}$

$16y=0$

Вправа$\PageIndex{23}$

$9a=0$

Відповідь

$a=0$

Вправа$\PageIndex{24}$

$4m=0$

Вправа$\PageIndex{25}$

$3(k+7)=0$

Відповідь

$k=−7$

Вправа$\PageIndex{26}$

$8(y−6)=0$

Вправа$\PageIndex{27}$

$−5(x+4)=0$

Відповідь

$x=−4$

Вправа$\PageIndex{28}$

$−6(n+15)=0$

Вправа$\PageIndex{29}$

$y(y−1)=0$

Відповідь

$y=0,1$

Вправа$\PageIndex{30}$

$a(a−6)=0$

Вправа$\PageIndex{31}$

$n(n+4)=0$

Відповідь

$n=0,−4$

Вправа$\PageIndex{32}$

$x(x+8)=0$

Вправа$\PageIndex{33}$

$9(a−4)=0$

Відповідь

$a=4$

Вправа$\PageIndex{34}$

$−2(m+11)=0$

Вправа$\PageIndex{35}$

$x(x+7) = 0$

Відповідь

$x=−7 \text{ or } x=0$

Вправа$\PageIndex{36}$

$n(n−10)=0$

Вправа$\PageIndex{37}$

$(y−4)(y−8)=0$

Відповідь

$y=4 \text{ or } y=8$

Вправа$\PageIndex{38}$

$(k−1)(k−6)=0$

Вправа$\PageIndex{39}$

$(x+5)(x+4)=0$

Відповідь

$x=−4 \text{ or } x=−5$

Вправа$\PageIndex{40}$

$(y+6)(2y+1)=0$

Вправа$\PageIndex{41}$

$(x−3)(5x−6)=0$

Відповідь

$x = \dfrac{6}{5} \text{ or } x = 3$

Вправа$\PageIndex{42}$

$(5a+1)(2a−3)=0$

Вправа$\PageIndex{43}$

$(6m+5)(11m−6)=0$

Відповідь

$m = -\dfrac{5}{6} \text{ or } m = \dfrac{6}{11}$

Вправа$\PageIndex{44}$

$(2m−1)(3m+8)=0$

Вправа$\PageIndex{45}$

$(4x+5)(2x−7)=0$

Відповідь

$x = \dfrac{-5}{4}, \dfrac{7}{2}$

Вправа$\PageIndex{46}$

$(3y + 1)(2y + 1) = 0$

Вправа$\PageIndex{47}$

$(7a + 6)(7a - 6) = 0$

Відповідь

$a = \dfrac{-6}{7}, \dfrac{6}{7}$

Вправа$\PageIndex{48}$

$(8x+11)(2x−7)=0$

Вправа$\PageIndex{49}$

$(5x−14)(3x+10)=0$

Відповідь

$x = \dfrac{14}{5}, \dfrac{-10}{3}$

Вправа$\PageIndex{50}$

$(3x−1)(3x−1)=0$

Вправа$\PageIndex{51}$

$(2y+5)(2y+5)=0$

Відповідь

$y = \dfrac{-5}{2}$

Вправа$\PageIndex{52}$

$(7a - 2)^2 = 0$

Вправа$\PageIndex{53}$

$(5m - 6)^2 = 0$

Відповідь

$m = \dfrac{6}{5}$

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{54}$

Фактор$12ax - 3x + 8a - 2$ за групуванням.

Вправа$\PageIndex{55}$

Побудувати граф$6x + 10y - 60 = 0$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{56}$

Знайдіть різницю:$\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} - \dfrac{1}{x^2 - 1}$.

Вправа$\PageIndex{57}$

Спростити$\sqrt{7}(\sqrt{2} + 2)$

Відповідь

$\sqrt{14} + 2\sqrt{7}$

Вправа$\PageIndex{58}$

Вирішити радикальне рівняння$\sqrt{3x + 10} = x + 4$