6.1: Проблеми
- (а) Встановити всі абстрактні групи, що мають порядок2≤N≤6. Обчислити типові продукти. Які групи є Абелеви? Вкажіть принаймні дві ізоморфні реалізації для кожної групи.
(b) Визначте підгрупи. Які є інваріантними?
- Запишіть перестановкиn=3 іn=4 об'єктів. Оформіть результат компактно. Розглянемо спочатку підгрупу парних перестановок (чергуються групи). Скористайтеся циклами.
- Знайдіть спільний ефект двох дзеркальних площин (див. Рис. Розглянемо також паралельні дзеркала.
- Сферичний хвильовий імпульс розходиться від просторово-часової точки (0, 0, 0, 0) в інерційній рамці∑. Розглянемо кадр, що∑′ рухається вздовж напрямку z зі швидкістюβ=tanhμ. Спостерігач в∑′ бачить також сферичні хвильові фронти. Однак просторово-часові точки, що складають поверхню,r′=ct′=const не виглядають синхронно, отже, сферичні∑. Показати, що поверхні є еліпсоїдами обертання з одним загальним фокусом. Знайти великі і другорядні осі a, b, і ексцентриситет з точки зоруr′ іβ. Знайдіть також довжини перигелія і афелія. Використовуйте полярні координати.
- Розглянемо склад ротацій вSU(2) формалізмі:U″=U′U деU=l0=−i→l⋅→σ, з
l0=cosϕ2,→l=sinϕ2ˆu
(а) Експрес з{l″0,→l″} точки зору{l′0,→l′} і{l0,→l}.
(b) Зверніться до теореми Родрієса-Гамільтона (рис. 2.1) та отримайте косинусний закон сферичної тригонометрії.
(c) Отримати закон синуса.
6. Перевірте свої загальні вирази, застосувавши особливі випадки:
(а)U″=UU=U2
(б)\boldsymbol{\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1),}&{\phi = \frac{2 \pi}{3}}
\boldsymbol{\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 0, 0),}&{\phi = \frac{\pi}{2}}
Зауважте, що U і U 'генерують операції симетрії на кубі.
7. Розглянемо одновимірний рух частинки спокою масою m, під впливом силиeEz. Уt=0 частинки знаходиться в стані спокою. Покажіть, що траєкторія представлена в площині z, ct у вигляді гіперболи і знайдіть напівдіаметр. Розробіть аналогію з проблемою циклотрона, наскільки зможете. Обговоріть значення наближення
γ−1=√1−β2≃1
8. Розглянемо електромагнітне поле
→f=→E+i→B
в невеликому просторово-часовому регіоні. Інваріант Лоренца поля:
f2=E2−B2+2iE⋅B=I1+iI2=g2exp(2iψ)
(а) Розглянемо випадокf2≠0. У цьому випадку існує канонічний кадр, в якомуEcan∥Bcan іζ=Bcan/Ecan, крок, є дійсним числом (яке може бути 0 або∞). Обговоріть можливі значенняζ за ознакамиI1 іI2. Підсумуйте свої висновки в таблиці, подібній до наведеної в таблиці B.1.
Таблиця B.1: Таблиця для завдання 8
(б) Експрес зEcan,Bcan,ζ точки зоруI1,I2 іg,ψ.
(c) Припустимоζ≠0,∞. Візьмітьˆx з собоюEcan. Розглянемо пасивне перетворення Лоренца вˆz напрямку, до кадру швидкостіv(β=v/c=tanhμ) по відношенню до канонічного кадру. ЗнайтиtanθE,tanθB,tan(θE−θB) в терміні,β,ζ а такожμ,ψ, деθE іθB є кути, на які обертаються електричне і магнітне поля при перетворенні Лоренца, як показано на малюнку В.2.
Малюнок В.2: Задача 8 координатний кадр і кути.
(d) Розглянемо зараз випадкиζ=0;ζ=∞. Візьмітьˆx в сторону незникаючого канонічного поля. Обговоріть ефект перетворення Лоренца, подібний до того, що розглядається в (c). Дайте співвідношення величин електричного і магнітного полів після перетворення Лоренца.
9. (a) Знайти полярне розкладання матриці
(1ζ01)
Перевірити співвідношення (11б) на стор II-53. Розглянемо випадкиδ=1 іδ<<1.
(б) Знайти
Pˆa(→p⋅→σ)Pˆa
де
Pˆa=12(1+ˆa⋅→σ)
10. Перевірте Eq (23) - (26) на II-42, 43.
11. Показати, що матриця полівF=(→E+i→B)⋅→σ може бути виведена з матричного еквівалента чотирипотенціалу. Які умови, якщо такі є, повинні бути накладені останнім?
12. (а) Висловити відображення чотиривектораK=k01+→k⋅→σ в рухомій площині. Нормаль площини єˆa. Його швидкість -v=vˆa сv/c=tanhμ. (Підказка: перетворити на решту кадру дзеркала.)
(б) Показати, що поєднання двох→v1=v1ˆa1 дзеркал→v2=v2ˆa2 дає і Лоренца перетворення.
13. Перевірте еквівалентність рівнянь (4) та (5) у розділі 4.2 шляхом перетворення кожного фактора від простору до корпусу.
14. Показати, що відношення
|ξ⟩⟨ξ|=12(1+ˆk⋅→σ)
можна отримати за допомогою стереографічної проекції.
Підказка: Спроектуйте сферуk21+k22+k23=1 від південного полюса до екваторіальної площини, інтерпретовану як складну z-площину. Експрес зk1,k2,k3 точки зоруz,z∗ і набірz=ξ1/ξ0 с|ξ0|2+|ξ1|2=1.
15. Знайдіть унітарну матрицю U, яка з'єднує два заданих множини спінорів між собою:
(|η⟩,|ˉη⟩)=(|ξ⟩,|ˉξ⟩)U
Висловлюйте спочатку його елементи, потім його складові в планіξ0,ξ1,η0,η1.
16. Алгебру Паулі можна розглядати як узагальнення елементарної векторної алгебри, і знання останньої корисно в матричних маніпуляціях.
Однак можна підійти до проблеми і з зворотної точки зору і вивести векторні відносини за допомогою матричних операцій. Визначте
A=→a⋅→σ,B=→b⋅→σ,C=→c⋅→σ
і асоційовані
→a⋅→bwith12{A,B}=12(AB+BA)
→a×→bwith12i{A,B}=12i(AB−BA)
Розглянемо ідентичність Якобі
[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0
і умова асоціативності:
A(BC)−(AB)C=0
(Рівняння B.1.5 легко перевіряється для комутаторів. Про його значення див. [Hal74].)
Перевести рівняння B.1.5 та B.1.6 за допомогою рівнянь B.1.3 та B.1.4 та отримати знайомі співвідношення для потрійних векторних добутків.
17. Дайте явні спіноріальні вирази для наступних форм поляризації:|x⟩ (лінійна поляризація по осі х);|θ/2⟩ (поляризована під кутомθ/2 з віссю х);|R⟩ (права кругова поляризація).
(а) Скористайтесяˆκ(ϕ,θ,ψ) схемою таϕ=ψ=θ=0 призначте|x⟩=(1,0). Експрес з|θ/2⟩,|θ/2⟩,|R⟩,|ˉR⟩ точки зору|x⟩ і|ˉx⟩.
(б) Скористайтесяˆs(α,β,γ) схемою. Призначитиβ=0,α=γ=π/2 до|R⟩. Висловіть вищезгадані спінори з точки зору|R⟩ і|ˉR⟩. Зверніть увагу, що результати (a) і (b) узгоджуються один з одним.
18. Дайте матриці зображення чверті хвилі, пластини, полуволновой пластини, ротатора і плоского поляризатора в обохˆk іˆs схемах.
19. (a) Ми знаємо про оптичний інструмент лише те, що він|R⟩ перетворюється на|ˉR⟩ і навпаки. Знайдіть найбільш загальний матричний оператор, що відповідає цьому факту.
(б) Заточити цю відповідь, використовуючи додаткову інформацію про те, що прилад пропускає промінь|x⟩ без змін. Як називається цей пристрій?
20. Розглянемо довільну ермітієву2×2 матрицю:S=s0+→s⋅→σ зs20−→s2≠0 в загальному.
(а) Показати, що можна розкласти S на суму двох матриць з детермінантним нулем. Тобто:
S=K′+K″
де
K′=k′0+→k′⋅→σk′20−→k′2
K″=k″0+→k″⋅→σk″20−→k″2
(b) Показати, що якщо хтось нав'язує:
→k′=k′ˆk→k″=k″ˆk→k′and→k″parallel
розкладання стає унікальним. Знайтиk′0,k″0,k′,k″,hatk.
21. Розглянемо приблизно монохроматичний промінь неполяризованого світла, було запропоновано розглядати такий промінь як випадкову послідовність еліптично поляризованого світла, завдяки чому параметри еліптичностіα,β змінюються повільно порівняно з,1/ω але швидко в порівнянні з часом спостереження (див. 45]). Автор показує, що середня еліптичність задається медіанним значенням.
(a2a1)m=tan(15∘)
Такий результат можна отримати дуже просто. Припустимо, що всі представницькі точки сфери Пуанкаре е однаково вірогідні. Враховуйте кількість:
S=2a1a2a21+a22
для довільної точки на сфері.
Візьміть середнє значення|S| над сферою Пуанкаре, використовуючи статистичне припущення вище.
Вивести значення
(a2a1)0
що відповідає⟨|S|⟩.