Передмова

Last updated
Save as PDF

Page ID: 105519

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ця книга розрахована на один семестр вступ до абстрактної алгебри. Більшість вступних підручників з абстрактної алгебри написані з урахуванням двосеместрового курсу. Дивіться, наприклад, книги, перераховані в бібліографії нижче. Ці книги перераховані в приблизному порядку зростаючої складності. Пошук бібліотеки за ключовими словами абстрактної алгебри або сучасної алгебри дозволить отримати набагато довший список таких книг. Деякі будуть читаються новачком, деякі будуть досить просунутими і буде важко зрозуміти без великого фону. Пошук за групою ключових слів і кільце також дасть ряд більш спеціалізованих книг з тематики цього курсу. Якщо ви хочете побачити, що відбувається на кордоні теми, ви можете поглянути на деякі останні випуски журналів Журнал алгебри або комунікацій в алгебрі, які ви знайдете в нашій бібліотеці.

Замість того, щоб витрачати багато часу на вивчення довідкового матеріалу, ми переходимо безпосередньо до первинної тематики. Ми обговорюємо методи доказування та необхідні передумови у міру виникнення потреби. Тим не менш, ви повинні принаймні знежирити додатки, де деякі з цього матеріалу можна знайти, щоб ви знали, де шукати, якщо вам потрібен якийсь факт чи техніка.

Оскільки у нас є лише один семестр, ми не встигаємо обговорити жодне з численних застосувань абстрактної алгебри. Студенти, які цікавляться додатками, знайдуть деякі згадані у Fraleigh та Gallian. Багато інших додатків обговорюються в Біркхофф і Барті, а також в Дорнхофф і Хорн.

Хоча абстрактна алгебра має багато застосувань в техніці, інформатиці та фізиці, розумові процеси, які вивчають у цьому курсі, можуть бути більш цінними, ніж конкретний предмет. У цьому курсі людина, можливо, вперше дізнається, як організована математика в суворій манері. Такий підхід, аксіоматичний метод, підкреслює приклади, визначення, теореми і докази. Велике значення приділяється розумінню. Кожна деталь повинна бути зрозуміла. Студенти не повинні розраховувати на отримання цього розуміння без значних зусиль. Моя порада - вивчити кожне визначення, як тільки воно буде висвітлено в класі (якщо не раніше) і докласти реальних зусиль, щоб вирішити кожну проблему в книзі до того, як рішення буде представлено на уроці. Багато проблем вимагають побудови доказу. Навіть якщо ви не в змозі знайти конкретний доказ, зусилля, витрачені на спробу зробити це, допоможуть підвищити ваше розуміння доказу, коли ви його бачите. При достатньому зусиллі збільшиться ваша здатність успішно доводити висловлювання самостійно.

Ми припускаємо, що студенти мають деяке знайомство з базовою теорією множин, лінійною алгеброю та численням. Але зовсім небагато такого характеру знадобиться. Значною мірою курс є самостійним, за винятком вимоги певної кількості математичної зрілості. І, сподіваюся, рівень математичної зрілості студента буде збільшуватися в міру проходження курсу.

Я часто використовуватиму символ\(\blacksquare\), щоб вказати кінець доказу. Або, в деяких випадках,\(\blacksquare\) вкаже на той факт, що більше ніяких доказів не буде надано. У таких випадках доказ буде або призначений у проблемах, або буде надано посилання, де може бути розташований доказ. Цей символ вперше був використаний для цієї мети математиком Полом Хальмосом.

Примітка: при викладанні цього курсу я зазвичай представляю в класі багато підказок та/або контурів рішень для менш рутинних проблем.

Ця версія включає в себе ряд поліпшень і доповнень, запропонованих моїм колегою Milé Krajčevski.