5.3.11: Теорема ДемоІвра
- Page ID
- 54891
Спростити обчислення ступенів комплексних чисел.
Повноваження та коріння комплексних чисел
Вручну обчислення (спрощення) такого твердження, як:\((14−17i)^5\) або\(\sqrt[4]{(3−2i)}\) в теперішній (прямокутній) формі, було б дуже інтенсивним процесом у кращому випадку.
На щастя, ви дізнаєтеся на цьому уроці, що є альтернатива: теорема Де Муавра. Теорема Де Муавра дійсно є єдиним практичним методом знаходження степенів або коренів комплексного числа, але є підступ...
Що потрібно зробити з комплексним числом, перш ніж теорема Де Муавра може бути використана?
Повноваження та коріння комплексних чисел
Повноваження комплексних чисел
Як ми піднімаємо комплексне число до степеня? Почнемо з прикладу:
\((−4−4i)^3=(−4−4i)\cdot (−4−4i)\cdot (−4−4i)\)
У прямокутній формі це може вийти дуже складним. А як щодо\(r \; cis \; \theta\) форми?
\((−4−4i)=4\sqrt{2} \; cis \; \left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)\)
Таким чином, проблема стає
\(4\sqrt{2} \; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)\cdot 4\sqrt{2} \; cis \;\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\cdot 4\sqrt{2} \; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)\)
і використовуючи наше правило множення з попереднього розділу,
\((−4−4i)^3=(4\sqrt{2} )^3 \; cis \;(\dfrac{15\pi}{4})\)
Зауважте,\((a + bi)^3= r^3 \; cis \; 3 \theta\)
У словах: Підніміть r -значення до того ж ступеня, що і комплексне число піднімається, а потім\(\; cis \;\) помножте його на кут, помножений на число градуса.
Розмірковуючи над прикладом вище, ми можемо виділити теорему Де Муавра:
\(z = r(\cos \theta + i \sin \theta )\)Дозволяти складне число за\(r\; cis \;\theta\) формою. Якщо n є натуральним числом,\(z^n\) дорівнює\(z^n = r (\cos (n\theta ) + i \sin (n\theta ))\)
Повинно бути зрозуміло, що полярна форма забезпечує набагато швидший результат для підняття комплексного числа до степені, ніж виконання завдання в прямокутній формі.
Коріння комплексних чисел
Ви, напевно, давно помітили, що коли нова операція представлена в математиці, часто слід зворотна операція. Це, як правило, тому, що зворотна операція часто процедурно схожа, і має сенс вивчати обидва одночасно.
Це не виняток:
Зворотна операція знаходження потужності для числа полягає в пошуку кореня того ж числа.
- Нагадаємо з алгебри, що будь-який корінь можна записати як\(x^{1/n}\)
- З огляду на, що формула теореми Де Муавра працює і для дробових ступенів, ту ж формулу можна використовувати для знаходження коренів:
\(z ^{1/n}=(a+bi)^{1/n}=r^{1/n} \; cis \;\left(\dfrac{\theta }{n}\right)\)
Раніше вас запитали, що потрібно зробити з комплексним числом, перш ніж ви зможете використовувати теорему Де Муавра про нього.
Рішення
Операція з комплексним числом, записана в прямокутній формі, наприклад:\((13−4i)^3\) повинна бути перетворена в полярну форму перед використанням теореми Де Муавра.
Знайдіть значення\((1+\sqrt{3} i)^4\).
Рішення
\(r=\sqrt{(1)^2+(\sqrt{3} )^2}=2\)
\(\tan \theta_{ref} =\dfrac{\sqrt{3} }{1}\),
і\(\theta \) знаходиться в 1-му квадранті, так
\(\theta =\dfrac{\pi}{3}\)
Використовуючи наше рівняння зверху:
\(\begin{aligned} z^4 &=r^4 \; cis \; 4\theta \\ z^4 &=(2)^4 \; cis \; \dfrac{4 \pi}{3} \end{aligned}\)
Розширюється\(\; cis \;\) форма:
\(\begin{aligned} z^4 &=16\left(\cos \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)\right) \\ &= 16((−0.5)−0.866i)\end{aligned}\)
Нарешті у нас є
\(z^4 = -8 - 13.856i\)
Знайти\(\sqrt{1+i}\).
Рішення
По-перше, рерайт в експоненціальному вигляді:\((1 + i)^{1/2}\)
А тепер в полярному вигляді:
\(\sqrt{1+i}=\left(\sqrt{2} \; cis \; \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)^{1/2}\)
Розширюється\(\; cis \;\) форма,
\(=\left(\sqrt{2} \left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{1/2}\)
Використовуючи формулу:
\(\begin{aligned}&=(2^{1/2})^{1/2}\left(\cos \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{4}\right)+i \sin \left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi }{4}\right)\right) \\ &=2^{1/4}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{8} \right)\right)\end{aligned}\)
У десятковій формі отримуємо
\(\begin{aligned} &=1.189( 0.924 + 0.383i) \\ &=1.099 + 0.455i\end{aligned}\)
Для перевірки помножимо результат на себе в прямокутному вигляді:
\(\begin{aligned} (1.099+0.455i) \cdot (1.099+0.455i) &=1.0992+1.099(0.455i)+1.099(0.455i) + (0.455i)^2 \\ &=1.208+0.500i+0.500i+0.208i^2 \\ &=1.208+i−0.208 \text{ or } \\ &=1+i \end{aligned}\)
Знайдіть значення\(x\):\(x_3=(1−\sqrt{3} i)\).
Рішення
Спочатку ставимо\(1−\sqrt{3} i\) в полярному вигляді.
Використовувати\(x=1\),\(y=−\sqrt{3} \) щоб отримати\(r=2\),\(\theta =5\dfrac{\pi}{3}\)
\(\begin{aligned} \text{let } z&=(1−\sqrt{3} i) && \text{in rectangular form} \\ z&=2 \; cis \; \left(5\dfrac{\pi}{3}\right) && \text{in polar form }\\ x&=(1−\sqrt{3} i)^{1/3} \\ x&=\left[2\; cis \; \left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right]^{1/3}\end{aligned}\)
Скористайтеся теоремою Де Муйвра, щоб знайти перший розв'язок:
\(x_1=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{5\pi /3}{3}\right)\)або\(2^{1/3}\; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{9}\right)\)
Залиште відповідь у\(\; cis \;\) формі, щоб знайти решту рішень:
\(n = 3\)що означає, що рішення 3\(\dfrac{2 \pi}{3}\) радіани один від одного або
\(x_2=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{5 \pi}{9}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)і\(x_3=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{5 \pi}{9}+\dfrac{2 \pi}{3}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)
ПРИМІТКА: Не потрібно додавати\(\dfrac{2 \pi}{3}\) знову. Додавання\(\dfrac{2 \pi}{3}\) тричі дорівнює\(2\pi \). Це призведе до обертання навколо повного кола і початку, де все почалося - це перше рішення.
Три рішення:
\(\begin{aligned} x_1&=2^{1/3}\; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{9}\right) \\ x_2&=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{11 \pi}{9}\right) \\ x_3&=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{17\pi}{ 9}\right) \end{aligned}\)
Кожне з цих рішень при графіку буде\(\dfrac{2 \pi}{3}\) розділено.
![F-D_2cda8a19e936092 ЕС97КБС5279 АЦД 0А1730д9С385302А0А1А7АФ +зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15255/f-d_2cda8a19e936092ec97cbc5279acd0ea1730d9c385302a0a1da72aef%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Перевірте будь-яке з цих рішень, щоб перевірити, чи підтверджені результати.
Перевірка другого рішення:
\(\begin{aligned} x_2&=2^{1/3}\; cis \;(\dfrac{11 \pi}{9}) \\ &=1.260\left[\cos \left(\dfrac{11 \pi}{9}\right)+i \sin \left(\dfrac{11 \pi}{9}\right) \right] \\&=1.260[−0.766−0.643i] \\ &=−0.965−0.810i \end{aligned}\)
Чи є\((-0.965 – 0.810i)^3\) чи\((-0.965 – 0.810i) (-0.965 – 0.810i) (-0.965 – 0.810i)\)
\(=(1−\sqrt{3} i)\)?
Які два квадратних кореня\(i\)?
Рішення
Нехай\(z=\sqrt{0+i}\).
\(\begin{aligned} z_1 &=\left[1\times \; cis \;\dfrac{\pi}{4}\right] &\quad \text{ or } \quad& z_2=\left[1\times \; cis \;5\dfrac{\pi}{4}\right] \\ z_1 &=1\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+i \sin \dfrac{\pi}{4}\right) &\quad \text{ or } \quad& z_2=1\left(\cos 5\dfrac{\pi}{4}+i \sin 5\dfrac{\pi}{4}\right) \\ z_1 &=0.707+0.707i &\quad \text{or } \quad& z_2=−0.707−0.707i \end{aligned}\)
Перевірте\(z_1 \) рішення:\((0.707 + 0.707i)^2 = i\)?
\(0.500 + 0.500i + 0.500i + 0.500i^2= 0.500 + i + 0.500(-1)\)або\(i\)
Розрахувати\(\sqrt[4]{(1+0i)}\). Які чотири четверті корені 1?
Рішення
Нехай\(z = 1\) або\(z = 1 + 0i\). Тоді проблема стає знахідкою\(z^{1/4}= (1 + 0i)^{1/4}\).
Так як\(r=1 \theta =0\),\(z^{1/4}=[1\times \; cis \; 0]^{1/4}\) з\(z_1 =1^{1/4} \left(\cos \dfrac{0}{4}+i \sin \dfrac{0}{4}\right)\) або\(1(1+0)\) або\(1\)
Цей корінь не є несподіванкою. Тепер використовуйте De Moivre, щоб знайти інші корені:
\(z_2=1^{1/4} \left[\cos \left(0+\dfrac{\pi}{2} \right)+i \sin \left(0+\dfrac{\pi}{2} \right) \right] \)
Так як існує 4 кореня,\(2\pi\) діливши на 4 врожайності\(0.5\pi\)
\(0 + i\)або просто\(i\)\(z_3=1^{1/4}\left[\cos \left(0+\dfrac{2 \pi}{2} \right)+i \sin \left(0+\dfrac{2 \pi}{2} \right) \right]\) яка врожайність\(z_3 = -1\)
Нарешті,\(z_4=1^{1/4} \left[\cos \left(0+\dfrac{3 \pi}{2} \right)+i \sin \left(0+\dfrac{3 \pi}{2} \right)\right]\) або z_4 =−i
Чотири четвертих кореня 1 - це 1, i, -1 і -i.
Розрахувати\((\sqrt{3} +i)^7\).
Рішення
Для обчислення\((\sqrt{3} +i)^7\) почніть з перетворення в\(r\; cis \; \) форму.
Спочатку знайдіть\(r\). Нагадаємо\(r=\sqrt{\sqrt{3}^2 +1^2}\).
\(\begin{aligned} r&=\sqrt{3+1} \\ r&=2 \end{aligned}\)
Якщо\(\cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) і\(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\) тоді\(\theta =30^{\circ}\) і знаходиться в квадранті I. Тепер, коли ми маємо тригонометричну форму, все інше легко:
\(\begin{aligned} (\sqrt{3} +i)^7&=[2(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ})]^7 && \text{Write the original problem in } r \; cis \; \text{form} \\ &=2^7[(\cos (7\cdot 30^{\circ})+i\sin (7\cdot 30^{\circ})] && \text{De Moivre's theorem}\\ &=128 \left[−\dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{−1}{2} i \right] && \text{Simplify} \\ (\sqrt{3} +i)^7&=−64\sqrt{3} −64i &&\text{Simplify again} \\ \therefore (\sqrt{3} +i)^7&=−64\sqrt{3} −64i \end{aligned}\)
Рецензія
Виконайте зазначену операцію над цими комплексними числами:
- Розділити:\(\dfrac{2+3i}{1−i}\)
- Помножити:\((−6−i)(−6+i)\)
- Помножити:\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}−\dfrac{1}{2} i\right)^2\)
- Знайдіть виріб, використовуючи полярну форму:\((2+2i)(\sqrt{3} −i)\)
- Помножити:\(2(\cos 40^{\circ} +i \sin 40^{\circ} )\cdot 4(\cos 20^{\circ} +i \sin 20^{\circ} )\)
- Помножити:\(2(\cos \dfrac{\pi}{8} +i \sin \dfrac{\pi}{8} )\cdot 2\left(\cos \dfrac{\pi}{10} +i \sin \dfrac{\pi}{10} \right)\)
- Розділити:\(2(\cos 80^{\circ} +i \sin 80^{\circ} )\div 6(\cos 200^{\circ} +i \sin 200^{\circ} )\)
- Розділити:\(3 \; cis \;(130^{\circ} )\div 4 \; cis \;(270^{\circ} )\)
Використовуйте теорему Де Муйвра.
- \([3(\cos 80^{\circ} +i \sin 80^{\circ} )]^3\)
- \(\left[\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{5\pi }{16}+i \sin \dfrac{5 \pi}{16} \right)\right]^4\)
- \((\sqrt{3} −i)^6\)
- Визначте 3 складних кубових коренів\(1+i\)
- Визначте 4 складних четвертих кореня\(−16i\)
- Визначте п'ять складних п'ятих коренів\(i\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.10.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
комплексне число | Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді\(a+bi\). |
Теорема Де Муівра | Теорема Де Муавра є єдиним практичним ручним методом ідентифікації степенів або коренів комплексних чисел. Теорема стверджує,\(z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\) що якщо комплексне число за\(r\; cis \;\theta \) формою, а n - натуральне, то\(z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))\). |