5.3.5: Теореми про добуток і частку

Спрощений спосіб множення і ділення комплексних чисел.

Комплексні числа зустрічаються в реальних розрахунках, що включають: квантову механіку, аналіз сигналів, динаміку рідини, теорію управління та багато інших полів.

В електротехніці комплексні числа використовуються для розрахунків, що включають імпеданс (опір електричному потоку в ланцюзі).

Інженерам-електрикам знайома формула:

\(V=V_0e^{j\omega t}=V_0(\cos \omega t+j\sin \omega t)\)

порівнявши його з аналогічним виразом нижче, який досліджується в цьому уроці, чи можете ви визначити змінну\(j\)?

\(r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\)

Теореми про добуток і частку

Теорема про добуток

Оскільки комплексні числа можуть бути перетворені в полярну форму, множення комплексних чисел може здійснюватися і в полярній формі. Припустимо, ми знаємо\(z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\),\(z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)

Щоб помножити два комплексних числа в полярному вигляді:

\(\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)\cdot r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)\\ &=r_1r_2(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)(\cos \theta_2+i \sin \theta_2) \\ &=r_1r_2\cdot (\cos \theta_1 \cos \theta_2+i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2+i^2 \sin \theta_1 \sin \theta_2) \\ &=r_1r_2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 +i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2 −\sin \theta_1 \sin \theta_2)\\ &=r_1r_2 (\cos \theta_1 \cos \theta_2−\sin \theta_1 \sin \theta_2+i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2) \\ &=r_1r_2 ([\cos \theta_1 \cos \theta_2−\sin \theta_1 \sin \theta_2]+i[\cos \theta_1 \sin \theta_2+\sin \theta_1 \cos \theta_2]) \end{aligned}\)

(Використовуйте\(i^2 = -1\), збирайте як терміни, коефіцієнт i, підставляйте формули суми кута як для синуса, так і для косинуса)

\(z_1 \cdot z_2 =r_1r_2 cis \; [(\theta_1+\theta_2)]\)

Це останнє рівняння стверджує, що добуток двох комплексних чисел у полярній формі можна отримати шляхом множення полярних r значень кожного з комплексних чисел, а потім множення цього значення на cis суми кожного з двох кутів окремих комплексних чисел. Це більш лаконічна, ніж прямокутна форма для множення комплексних чисел.

Теорема про частку

Ділення комплексних чисел у полярній формі можна показати за допомогою аналогічного доказу, який використовувався для показу множення комплексних чисел. Тут опускаємо докази і даємо результат. Для\(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\) і\(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\), потім\(\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{r_1}{r_2} \times \; cis \; [\theta_1−\theta_2]\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано визначити змінну j за такою формулою:

\(V=V_0e^{j\omega t}=V_0(\cos \omega t+j\sin \omega t)\)

Рішення

В електричних розрахунках буква I зазвичай використовується для позначення струму, тому уявні числа ототожнюються з a j.

Зверніть увагу на аналогічне використання i in\(r(\cos \theta+i\sin \theta)\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Помножити\(z_1 \cdot z_2 \) де\(z_1 =2+2i\) і\(z_2 =1−\sqrt{3i}\).

Рішення

Для\(z_1 \),

\(\begin{aligned} r_1&=\sqrt{2^2+2^2} \\ &=\sqrt{8} \\ &=2\sqrt{2} \end{aligned}\)

і

\(\begin{aligned} \tan \theta_1&=\dfrac{2}{2} \\ \tan \theta_1&=1 \\ \theta_1&=\dfrac{\pi }{4}\end{aligned}\)

Зверніть увагу, що\(\theta_1\) знаходиться в першому квадранті з тих пір\(a\), і\(b > 0\).

Для\(z_2 \),

\(\begin{aligned} r_2&=\sqrt{1^2+(−\sqrt{3})^2} \\&=\sqrt{1+3} \\ &=\sqrt{4}\\ &=2\end{aligned}\)

і

\(\begin{aligned} \tan \theta_2 &=\dfrac{- \sqrt{3}}{1} \\ \theta_2&=\dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}\)

Тепер ми можемо скористатися формулою\(z_1 \cdot z_2 =r_1\cdot r_2\; cis \; (\theta_1+\theta_2)\)

Заміна дає:

\(\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 =2\sqrt{2} \times 2 \; cis \; \left[\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{3} \right] \\ =4\sqrt{2} \; cis \; \left[\dfrac{23\pi }{12}\right] \end{aligned}\)

Отже, у нас є

\(z_1 \cdot z_2 =4\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{23\pi }{12} +i \sin \dfrac{23\pi }{12}\right)\)

Перезапис в приблизному десятковому вигляді:

\(5.656 (0.966 – 0.259i)\)

\(5.46 - 1.46i\)

Якщо проблема була зроблена за допомогою тільки прямокутних одиниць, то

\(\begin{aligned} z_1 \times z_2 &=(2+2i)(1−\sqrt{3} i) \text{ or }\\ &=2−2\sqrt{3} i+2i−2\sqrt{3} i^2 \end{aligned}\)

Збір подібних термінів та використання\(i^2 = -1\)

\(=(2+2\sqrt{3} )−(2\sqrt{3} +2)i\)

або

\(5.46−1.46i\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Використовуючи полярне множення, знайдіть твір\((6−2\sqrt{3} i)(4+4\sqrt{3} i)\).

Рішення

Нехай\(z_1 =6−2\sqrt{3} i\) і\(z_2 =4+4\sqrt{3} i\)

\(r_1=\sqrt{(6)^2−(2\sqrt{3} )^2}\)і\(r_2=\sqrt{(4)^2+(4\sqrt{3} )^2}\)

\(r_1=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} \)і\(r_2=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8\)

Для\(\theta_1\), перша знахідка\(\tan \theta_{ref}=\left | \dfrac{y}{x} \right|\)

\(\begin{aligned} \tan \theta_{ref}&=\dfrac{(2\sqrt{3} )}{6} \\ \tan \theta_{ref}&=\dfrac{\sqrt{3} }{3} \\ \theta_{ref}&=\dfrac{\pi}{6} \end{aligned}\)

Так як\(x > 0\) і\(y < 0\) ми знаємо, що\(\theta_1\) знаходиться в ^4-му квадранті:

\(\theta_1=11\dfrac{\pi}{6}\)

Для\(\theta_2\),

\(\begin{aligned} \tan \theta_{ref}&=\dfrac{(4\sqrt{3} )}{4} \\ \tan \theta_{ref}&=\sqrt{3} \\ \theta_{ref}&=\dfrac{\pi}{3} \end{aligned}\)

Так як\(\theta_2\) знаходиться в першому квадранті,

\(\theta_2=\dfrac{\pi}{3}\)

Використовуючи полярне множення,

\(\begin{aligned} z_1 \times z_2 &=4\sqrt{3} \times 8\left(\; cis \; \left[\dfrac{11\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right] \right) \\ z_1 \times z_2 &=32\sqrt{3} \left(\; cis \; \left[\dfrac{13 \pi}{6}\right] \right) \end{aligned}\)

віднімання\(2\pi\) з примноження:

\(z_1 \times z_2 =32\sqrt{3} \left(\; cis \; \left[\dfrac{\pi}{6}\right]\right)\)

або в розгорнутому вигляді:\(32\sqrt{3} \left(\cos \left[\dfrac{\pi}{6}\right]+i \sin \left[\dfrac{\pi}{6}\right] \right)\)

У десятковій формі це стає:\(55.426(0.866 + 0.500i)\) або\(48 + 27.713i\)

Перевірка:

\(\begin{aligned} (6−2\sqrt{3} i)(4+4\sqrt{3} i)&=24+24\sqrt{3} i−8\sqrt{3} i−24i^2\\ &=24+16\sqrt{3} i+24 \\ &=48+27.713i \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Використовуючи полярне ділення, знайдіть частку\(z_1 z_2 \) заданого, що\(z_1 =5−5i\) і\(z_2 =−2\sqrt{3} −2i\).

Рішення

Для\(z_1 \):\(r_1=\sqrt{5^2+(−5)^2}\) або\( 5\sqrt{2} \) і\(\tan \theta_1=\dfrac{−5}{5}\), так\(\theta_1=\dfrac{7\pi}{4}\) (4-й квадрант)

Для\(z_2 \):\(r_2=\sqrt{(−2\sqrt{3} )^2+(−2)^2}\) або\(\sqrt{16}=4\) і\(\tan \theta_2=\dfrac{−2}{(−2\sqrt{3} )}\), так\(\theta_2=\dfrac{7 \pi}{6}\) (^3-й квадрант)

Використовуючи формулу,\(z_1 z_2 =r_1r_2\times \; cis \; [\theta_1−\theta_2]\) або

\(\begin{aligned} &=5\sqrt{2} 4\times \; cis \; \left[\dfrac{7\pi}{4}−\dfrac{7 \pi}{6}\right] \\ &=5\sqrt{2} 4\times \; cis \; \left[\dfrac{7 \pi}{12}\right] \\ &=5\sqrt{2} 4\left[\cos \dfrac{7 \pi}{12}+i \sin \dfrac{7 \pi}{12}\right]\\ &=1.768[−0.259+(0.966)i] \\ &=−0.458+1.708i \end{aligned}\)

Перевірте за допомогою складного сполучення, щоб зробити поділ у прямокутній формі:

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {5-5 я} {-2\ sqrt {3} -2 я}\ cdot\ dfrac {-2\ sqrt {3} +2 я} &=\ dfrac {-10\ sqrt {3} +10\ sqrt {3} i-10 i ^ {2}} {-2\ sqrt {3} sqrt {3}) ^ {2} - (2 i) ^ {2}}\\
&=\ dfrac {-10\ sqrt {3} +10\ sqrt {3} i+10} {12+4}\
&=\ dfrac {(-10\ sqrt {3} +10 ) + (10+10\ sqrt {3}) i} {16}\
&=\ dfrac {(-17.3+10) + (10+17.3) i} {16}\
&=\ dfrac {(-7.3) + (27.3) i} {16}\ qquad\ текст {або}\; -0,456+1.706 i
\ кінець {вирівняний}\)

Два кардинально різні підходи дають однакову відповідь. Невелика різниця між двома відповідями є результатом десяткового округлення.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть товар:\(\left(7\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\cdot \left(5 \left (−\dfrac{\pi}{4}\right) \right)\).

Рішення

Цей простіше, ніж здається: Згадайте\(z_1 \cdot z_2 =r_1\cdot r_2 \; cis \; (\theta_1+\theta_2)\).

\ (\ почати {вирівняний} r_ {1}\ dot r_ {2} &\ rightarrow 7\ dot 5 = 35 &\ text {За допомогою підстановки та множення}\\ theta_ {1} +\ theta_ {2} &\ стрілка вправо\ ліворуч (\ drac {\ pi} {6}\ праворуч) +\ dfrac {- pi} {4}\ праворуч) &&\ текст {Заміна}\\
&\ ліворуч (\ dfrac {2\ pi} {12}\ праворуч) +\ ліворуч (\ dfrac {- 3\ pi} {12}\ праворуч) &&\ text {Знайти спільні знаменники}\\ &\ left (\ dfrac {-\ pi} {12}\ праворуч) &&\ text {спростити}\\
&\ отже 35\; cis\;\ left (\ dfrac {-\ pi} {12}\ праворуч) &&\ текст {продукт}\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть частку:\(\dfrac{1+2i}{2−i}\).

Рішення

Спочатку знайдіть частку по полярному множенню:

\(r_1=\sqrt{(1)^2+(2)^2}=\sqrt{5} \qquad r_2=\sqrt{(2)^2+(−1)^2}=\sqrt{5}\)

\(\begin{aligned} \tan \theta_1&=\dfrac{2}{1} \\ \tan \theta_1&=2 \\ \theta_{ref}&=1.107 \text{ radians} \end{aligned}\)

так як кут знаходиться в 1-му ^{квадранті}

\(\theta_1 = 1.107 \text{ radians}\)

для\(\theta_2\),

\(\begin{aligned} \tan \theta_2&=\dfrac{−1}{2} \\ \tan \theta_{ref}&=\dfrac{1}{2} \\ \theta_{ref}&=0.464 \text{ radians }\end{aligned}\)

оскільки\(\theta_2\) знаходиться в ^4-му квадранті, між 4.712 (або\(\dfrac{3 \pi }{2}\)) і 6.282 радіани (або\(2\pi \))

\(\theta_2 = 5.820 radians\)

Нарешті, використовуючи формулу ділення,

\(\begin{aligned} \dfrac{z_1 }{z_2} &=\dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5} }[\; cis \; (1.107−5.820)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2} &=[\; cis \; (−4.713)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=[\cos (−4.713)+i \sin (−4.713)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=[\cos (1.570)+i \sin (1.570)] \end{aligned}\)

Якщо припустити\(\dfrac{\pi }{2}=1.570\), що, то

\(\begin{aligned} &\approx \dfrac{z_1 }{z_2}=[\cos \left(\dfrac{\pi }{2}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi }{2}\right)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=0+1i=i \end{aligned}\)

Рецензія

1. Знайдіть виріб, використовуючи полярну форму:\((2+2i)(\sqrt{3}−i)\)
2. \(2 cis \; (40)\cdot 4 cis \; (20)\)
3. Помножити:\(2\left(\cos \dfrac{\pi }{8}+i \sin \dfrac{\pi }{8}\right)\cdot 2 \left(\cos \dfrac{\pi }{10}+i \sin \dfrac{\pi }{10}\right)\)
4. \(\dfrac{2cis \; (80)}{6cis \; (200)}\)
5. Розділити:\(3cis \; (130^{\circ}) \div 4cis \; (270^{\circ})\)

Якщо\(z_1 =7\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) і\(z_2 =5\left(\dfrac{−\pi }{4}\right)\) знайти:

6. \(z_1 \cdot z_2\)
7. \(\left(\dfrac{z_1 }{z_2} \right)\)
8. \(\left(\dfrac{z_2 }{z_1 }\right)\)

Якщо\(z_1 =8\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) і\(z_2 =5\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) знайти:

9. \(z_1 z_2\)
10. \(\left(\dfrac{z_1 }{z_2} \right)\)
11. \(\left(\dfrac{z_2 }{z_1 }\right)\)
12. \((z_1 )^2\)
13. \((z_2 )^3\)

Знайдіть продукти.

14. Знайдіть виріб, використовуючи полярну форму:\((2+2i)(\sqrt{3} −i)\)
15. \(2(\cos 40^{\circ}+i\sin 40^{\circ})\cdot 4(\cos 20^{\circ}+i\sin 20^{\circ})\)
16. \(2\left(\cos \dfrac{\pi }{8}+i\sin \dfrac{\pi }{8}\right)\cdot 2\left(\cos \dfrac{\pi }{10}+i\sin \dfrac{\pi }{10}\right)\)

Знайдіть коефіцієнти.

17. \(2(\cos 80^{\circ}+i\sin 80^{\circ})\div 6(\cos 200^{\circ}+i\sin 200^{\circ})\)
18. \(3cis \; (130^{\circ})\div 4cis \; (270^{\circ})\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.9.

Лексика

Термін	Визначення
Складний кон'югат	Складні кон'югати - це пари складних біноміалів. Складний сполучений з\(a+bi\) є\(a−bi\). Коли складні кон'югати множаться, результатом є\ sin gle дійсне число.
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді\(a+bi\).
прямокутна форма	Прямокутна форма точки або кривої задається через x і y і зображується на декартовій площині.

Додаткові ресурси

Відео: Теорема про складні кон'югати - огляд

Практика: Теореми про добуток і частку