5.3.1: Уявні числа
- Page ID
- 54917
Уявне число 'i' дорівнює квадратному кореню від'ємного 1.
Від квадратики до комплексних чисел
У цьому розділі представлені уявні та комплексні числа в контексті розв'язків квадратних рівнянь, які не мають розв'язків дійсних чисел.
Розминка
Місця, де квадратичні функції перетинають вісь x, відображають розв'язки функції. Використовуйте інтерактивні нижче для графіка різних парабол. Пізніше в цьому розділі ви побачите, як комплексні числа можна використовувати для представлення розв'язків квадратичних функцій, які двічі не перетинають вісь x.
Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах
Опрацюйте це 1
Почніть з квадратного рівняння:\(y=x^2−9\).
- Скористайтеся інтерактивним нижче для побудови графіка рівняння.
- Нагадаємо, що розв'язки рівняння - це значення x, які роблять\(y=0\). Оцініть місце розташування (и) на графіку, що представляють ці\((x,y)\) точки. Округлити до найближчого цілого числа.
- Підставити\(x\) -координати замість\(x\) вихідного рівняння,\(y=x^2−9\). Поясніть, як використовувати результат, щоб визначити, чи були ваші оцінки точними.
Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах
Обговорення
Які\(y\) -координати будь-якої точки на осі x? Які\(x\) -координати місць, де графік перетинає\(x\) вісь -?
Нагадаємо, що розв'язками квадратного рівняння є значеннями\(x\), які\(y\) дорівнюють нулю. Якщо ви перевіряєте свої відповіді, підставляючи їх назад у рівняння, чи роблять вони\(y=0\)?
Працюйте це 2
Почніть з квадратного рівняння:\(y=2x^2−2x+2\).
- Використовуйте інтерактивний графік рівняння.
- Нагадаємо, що рішення рівняння\(x\) - це значення, які роблять\(y=0\). Оцініть місце розташування на графіку, що представляє ці\((x,y)\) точки. Поясніть будь-які труднощі, з якими стикаєтеся.
Обговорення
Чому ви не змогли візуалізувати, де вздовж кривої є\(x\) значення, яке робить\(y=0\)?
Оскільки графік не є корисним, як ще можна знайти рішення (и) рівняння:\(0=2x^2−2x+2\)?
Розробити це 3: Квадратична формула та дискримінант
Використовуючи інтерактивний з Active Learning 1, розглянемо графіки кожного з цих квадратних рівнянь. Вони наводяться у вигляді:\(y=ax^2+bx+c\). Зверніть особливу увагу на кількість місць, в яких графік перетинає вісь x в кожному рівнянні.
- \(y=0.5x^2−x−4\)
- \(y=x^2−2x+1\)
- \(y=x^2+2x+4\)
Пам'ятайте, квадратична формула така:\(x= \dfrac{−b\pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a}\). Біноміальний термін нижче радикального знака\(b^2−4ac\), називається дискримінантним.
Обчисліть дискримінант для кожного з трьох рівнянь, які ви намалювали.
Далі порівняйте значення дискримінанту і графік кожного квадратного рівняння, звертаючи особливу увагу на те, чи є дискримінант менше, дорівнює або більше нуля. Що ви помічаєте? Виходячи з ваших висновків, скільки рішень, на вашу думку, існує для квадратного рівняння, де дискримінант більше, менше або дорівнює нулю?
Обговорення
На графіку нижче наведено перше рівняння:\(y=\dfrac{1}{2} x^2−x−4\).
![F-D_DE4D5061C9472A4350DC1682C40A4302EAC4DB4DBCF4A0BBA986B+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15239/f-d_de4d5061c9472a4350dc1682c40a4302eac4d4cb41dbcf4a0bba986b%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Обчислити дискримінант з цього рівняння можна наступним чином:
\(\begin{aligned} \text{Given: }a&=\dfrac{1}{2}, b=-1, c=-4 \\ &=(-1)^2−4\left(\dfrac{1}{2}\right)(-4) \\ &=1−(-8) \\ &=9 \end{aligned}\)
Коли дискримінант квадратного рівняння є додатним, рівняння матиме два чітких рішення дійсних чисел. В даному випадку рішення є\(x=-2\) і\(x=4\).
Визначте дискримінант двох інших рівнянь. Яке узагальнення ви можете зробити, зв'язавши кількість реальних розв'язків зі значенням дискримінантного, позитивного, негативного чи нульового?
Дискримінант та розв'язки квадратних рівнянь
Обчисліть дискримінант\(y=2x^2−5x+4\) рівняння та використовуйте цю інформацію, щоб зробити заяву про рішення.
Рішення
Дискримінант можна обчислити наступним чином:
\(\begin{aligned} \text{Given: } b&=-5, a=2, c=4 \\ &=b^2−4(a)(c) \\ &=(-5)^2−4(2)(4) \\ &=-7\end{aligned}\)
Оскільки дискримінант менше нуля, це рівняння не має реальних розв'язків.
Розглянемо рівняння\(y=2x^2−5x+4\) з цього прикладу. Оскільки дискримінант менше 0, це рівняння не має реальних розв'язків. Однак у нього є два нереальні рішення. Іншими словами, розв'язки цього квадратного рівняння включають уявну складову. Числа з дійсною складовою і уявною складовою називаються комплексними.
Уявні та комплексні числа
![F-D_9BE0E2C091A19B232296C917B0A89C840d840c92224327b545933+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15240/f-d_9be0e2c091a19b232296c917b0a89c50c840d840c92224327b545933%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Коли люди вперше створили поняття чисел, вони мали лише підрахунок чисел (цілі числа більше нуля) 1, 2, 3... і так далі, оскільки числа призначалися для підрахунку фізичних об'єктів. Довгий час було прийнято, що квадратного кореня негативного числа не існує.
Для того щоб існувало рішення рівняння x2=-1, математики винайшли рішення. Цей розв'язок називається уявним числом і відзначається буквою i. Уявні числа, 1i,2i,3i... називаються уявними, оскільки їх неможливо знайти на традиційному числовому рядку дійсних чисел.
Чисте уявне число - це число у вигляді bi, де b - ненульове дійсне число. Приклади включають\(4i\)\(i\sqrt{2}\),, і\(−6i\).
Комплексне число має як дійсну, так і уявну частини, і записується у вигляді a\ pm bi. Цікаво, що будь-яке число можна записати як комплексне число, так як або дійсна, або уявна складова може бути або нульовим, або мати нульовий коефіцієнт.
Приклади комплексних чисел
- Набір комплексних чисел є «надмножиною» всіх інших числових наборів. Це означає, що кожен інший набір чисел є частиною набору комплексних чисел.
- Комплексні числа з'являються у вигляді\(a+bi\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами, і\(i=\sqrt{-1}\).
- Будь-яке число може бути записано як комплексне число:
\(\begin{aligned} \text{The Real Number 4 in Complex form} && =4+0i\\ \text{The Imaginary Number } 5i \text{ in Complex form} && =0+5i\\ \text{The Complex Number } 4+5i \text{ in Complex form } && =4+5i \end{aligned}\)
Враховуючи це\(\sqrt{-1}=i\), що\(i^2\) еквівалентно? Поясніть, чому це примітно.
Рішення
Перш ніж намагатися відповісти на це питання, подумайте, як би ви відповіли на це питання за позитивні цифри. Наприклад, 9—√=3, а отже, шляхом квадрату обох сторін:\(3^2=9\). Аналогічно\(\sqrt{49}=7\), і тому\(49=7^2\). Отже, якщо -1−−√=i, що станеться з кожною стороною рівняння, якщо ви квадратуєте обидві сторони? Іншими словами, що\(i^2\) еквівалентно?
\(\begin{aligned} i^2&=i\cdot i \\ &=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \\&=(\sqrt{-1})^2 \\ &=(-1) \\&=-1 \end{aligned}\)
Один цікавий спосіб думати про це - розглянути, як дивно було б, якби двоє уявних людей змогли мати справжню дитину разом. Це схоже за концепцією на результат зведення уявного числа в квадрат, або множення двох уявних чисел разом.
![F-D_4903БК3БФ 57304ФДД 46158d2B9116AE7152235862 AF9C1550EB20AE5+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15241/f-d_4903bc3bf57304fdd46158d2b9116ae7152235862af9c1550eb20ae5%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Квадратний корінь будь-якого від'ємного числа можна записати через уявне число i Перепишіть такі як уявні числа:
- \(\sqrt{-4}\)
- \(\sqrt{-5}\)
- \(\sqrt{-6}\)
Рішення
- \(\sqrt{4}=\sqrt{4\cdot -1}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2i\)
- \(\sqrt{-5}=\sqrt{5\cdot -1}=\sqrt{5}\sqrt{-1}=i\sqrt{5}\)
- \(\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot -1}=\sqrt{16}\sqrt{-1}=4i\)
Працюйте це 4
Спростіть наступне:
- \(\sqrt{-49}\)
- \(\sqrt{-40}\)
Обговорення
Якщо ви можете зменшити число під радикалом після того, як ви перетворили його на позитивне число, вам слід це зробити.
\(\begin{aligned} \sqrt{-49} \\ &=\sqrt{49\cdot -1} \\ &=\sqrt{49}\sqrt{-1} \\ &=7i \end{aligned}\)
Спрощуйте\(\sqrt{-40}\) аналогічно, але не забудьте спростити\(\sqrt{40}\) після того, як ви маєте справу з квадратним коренем -1.
Працюйте це 5
Парабола не\(y=x^2−2x+3\) має\(x\) -перехоплень, як показано нижче. Чи означає це, що рішень немає? Як комплексні числа можуть допомогти у вирішенні рівняння\(0=x^2−2x+3\)? Які існують рішення цієї функції?
Обговорення
На графіку нижче показано, що крива цього рівняння не перетинається з віссю x.
![F-D_37B4C30F4F3F05E2B9E50E860278B7EAB8ACB9BE4CC0A5D9155CE38C+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15242/f-d_37b4c30f4f3f05e2b9e50e860278b7eab8acb9be4cc0a5d9155ce38c%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Це означає, що розв'язки рівняння не\(x^2−2x+3=0\) є дійсними числами. Розв'язки є комплексними числами (які включають дійсну та уявну частини). Розв'язки все ще можна знайти за квадратичною формулою, але результатом буде 2 комплексних числових розв'язку. Які вони?
Наступне відео демонструє, як визначити складні розв'язки квадратного рівняння.
Розробка 6: Комплексні числові розв'язки квадратичних функцій
Нагадаємо, що коли значення дискримінанту менше нуля, рівняння має два нерівних комплексних числових розв'язку. \(-1+2i\)Підставте в квадратне рівняння\(x^2+2x+5=0\), щоб визначити, чи є воно рішенням. Використовуйте те, що ви визначаєте з підміни, щоб зробити освічену здогадку про те, яке інше рішення може бути. Перевірте це рішення також.
Обговорення
Так само, як і в будь-якому іншому квадратному рівнянні, щоб перевірити рішення, підставити рішення замість\(x\), і спростити вираз, щоб визначити, дорівнює він нулю чи ні.
CK-12 ІНТЕРАКТИВНИЙ
Наступний CK-12 PLIX, «Вертикальний і горизонтальний зсув 2», пропонує додатковий шанс дослідити складні корені квадратики.
Комплексні числові розв'язки квадратичних функцій
Чи\(\dfrac{3}{2}−i\) є рішенням\(2x^2−6x+5=0\)?
Рішення
Підставляємо коефіцієнти в квадратичну формулу і спрощуємо генерацію рівняння:
\ (\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(-6) ^ {2} -4 (5)}} {2 (2)}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(36)} 40}} {4}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {-4}} {4}\
x = &\ лівий\ {\ dfrac {3} {2} +\ dfrac {1} {2} я\ праворуч\}\ текст {або}\ ліворуч\ {\ dfrac {3} {2} -\ dfrac {1} {2} я\ вправо\}
\ кінець {вирівняний}\)
При спрощенні, так як жоден з рішень не є тим, який заявлений в задачі\(\dfrac{3}{2}−i\), а саме, це не рішення.
Крім того, ви можете замінити в даному розв'язку і подивитися, чи рівняння дорівнює нулю.
\ (\ begin {масив} {r}
2\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) ^ {2} -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
2\ ліворуч (\ dfrac {9} {4} -3 i+i^ {2}\ праворуч) -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
2\ ліворуч (\ dfrac {9} {4} -3 i+ (-1)\ праворуч) -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
2\ ліворуч (\ dfrac {5} {4} -3 я\ праворуч) -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
\ dfrac {5} {2} -\ скасувати {6 i} -9+\ скасувати {6i} +5=0? \\
-\ dfrac {3} {2}\ neq 0
\ end {масив}\)
Оскільки він не дорівнює нулю,\(\dfrac{3}{2}−i\) це не рішення.
Рецензія
- Використовуйте графічну утиліту, подібну до інтерактивної на початку цього уроку, щоб скласти графік рівняння\(x^2+2x+1=0\). Використовуйте графік, щоб визначити рішення рівняння, а потім скористайтеся алгеброю, щоб підтвердити правильність відповіді.
Обчисліть дискримінант:
- \(6x^2+10−1=0\)
- \(3x^2+24x+48=0 \)
Створюємо квадратики:
- Складіть квадратичну функцію з двома реальними розв'язками.
- Складіть квадратичну функцію з одним дійсним і одним уявним рішенням.
- Складіть квадратичну функцію з двома уявними розв'язками.
Висловіть кожен як спрощене уявне число.
- \(\sqrt{-300}\)
- \(\sqrt{-32}\)
- \(4\sqrt{-18}\)
- \(\sqrt{-75}\)
- \(\sqrt{-98}\)
Розв'яжіть кожне рівняння і висловіть результат у вигляді комплексного числа.
- \(8x^2−5x+11=0\)
- \(34\dfrac{1}{2}x^2−23x+19\dfrac{1}{6}=0\)