5.3.1: Уявні числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54917

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Уявне число 'i' дорівнює квадратному кореню від'ємного 1.

Від квадратики до комплексних чисел

У цьому розділі представлені уявні та комплексні числа в контексті розв'язків квадратних рівнянь, які не мають розв'язків дійсних чисел.

Розминка

Місця, де квадратичні функції перетинають вісь x, відображають розв'язки функції. Використовуйте інтерактивні нижче для графіка різних парабол. Пізніше в цьому розділі ви побачите, як комплексні числа можна використовувати для представлення розв'язків квадратичних функцій, які двічі не перетинають вісь x.

Інтерактивний елемент

Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах

Опрацюйте це 1

Почніть з квадратного рівняння:\(y=x^2−9\).

Скористайтеся інтерактивним нижче для побудови графіка рівняння.
Нагадаємо, що розв'язки рівняння - це значення x, які роблять\(y=0\). Оцініть місце розташування (и) на графіку, що представляють ці\((x,y)\) точки. Округлити до найближчого цілого числа.
Підставити\(x\) -координати замість\(x\) вихідного рівняння,\(y=x^2−9\). Поясніть, як використовувати результат, щоб визначити, чи були ваші оцінки точними.

Інтерактивний елемент

Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах

Обговорення

Які\(y\) -координати будь-якої точки на осі x? Які\(x\) -координати місць, де графік перетинає\(x\) вісь -?

Нагадаємо, що розв'язками квадратного рівняння є значеннями\(x\), які\(y\) дорівнюють нулю. Якщо ви перевіряєте свої відповіді, підставляючи їх назад у рівняння, чи роблять вони\(y=0\)?

Працюйте це 2

Почніть з квадратного рівняння:\(y=2x^2−2x+2\).

Використовуйте інтерактивний графік рівняння.
Нагадаємо, що рішення рівняння\(x\) - це значення, які роблять\(y=0\). Оцініть місце розташування на графіку, що представляє ці\((x,y)\) точки. Поясніть будь-які труднощі, з якими стикаєтеся.

Обговорення

Чому ви не змогли візуалізувати, де вздовж кривої є\(x\) значення, яке робить\(y=0\)?

Оскільки графік не є корисним, як ще можна знайти рішення (и) рівняння:\(0=2x^2−2x+2\)?

Розробити це 3: Квадратична формула та дискримінант

Використовуючи інтерактивний з Active Learning 1, розглянемо графіки кожного з цих квадратних рівнянь. Вони наводяться у вигляді:\(y=ax^2+bx+c\). Зверніть особливу увагу на кількість місць, в яких графік перетинає вісь x в кожному рівнянні.

\(y=0.5x^2−x−4\)
\(y=x^2−2x+1\)
\(y=x^2+2x+4\)

Пам'ятайте, квадратична формула така:\(x= \dfrac{−b\pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a}\). Біноміальний термін нижче радикального знака\(b^2−4ac\), називається дискримінантним.

Обчисліть дискримінант для кожного з трьох рівнянь, які ви намалювали.

Далі порівняйте значення дискримінанту і графік кожного квадратного рівняння, звертаючи особливу увагу на те, чи є дискримінант менше, дорівнює або більше нуля. Що ви помічаєте? Виходячи з ваших висновків, скільки рішень, на вашу думку, існує для квадратного рівняння, де дискримінант більше, менше або дорівнює нулю?

Обговорення

На графіку нижче наведено перше рівняння:\(y=\dfrac{1}{2} x^2−x−4\).

Обчислити дискримінант з цього рівняння можна наступним чином:

\(\begin{aligned} \text{Given: }a&=\dfrac{1}{2}, b=-1, c=-4 \\ &=(-1)^2−4\left(\dfrac{1}{2}\right)(-4) \\ &=1−(-8) \\ &=9 \end{aligned}\)

Коли дискримінант квадратного рівняння є додатним, рівняння матиме два чітких рішення дійсних чисел. В даному випадку рішення є\(x=-2\) і\(x=4\).

Визначте дискримінант двох інших рівнянь. Яке узагальнення ви можете зробити, зв'язавши кількість реальних розв'язків зі значенням дискримінантного, позитивного, негативного чи нульового?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Дискримінант та розв'язки квадратних рівнянь

Обчисліть дискримінант\(y=2x^2−5x+4\) рівняння та використовуйте цю інформацію, щоб зробити заяву про рішення.

Рішення

Дискримінант можна обчислити наступним чином:

\(\begin{aligned} \text{Given: } b&=-5, a=2, c=4 \\ &=b^2−4(a)(c) \\ &=(-5)^2−4(2)(4) \\ &=-7\end{aligned}\)

Оскільки дискримінант менше нуля, це рівняння не має реальних розв'язків.

Розглянемо рівняння\(y=2x^2−5x+4\) з цього прикладу. Оскільки дискримінант менше 0, це рівняння не має реальних розв'язків. Однак у нього є два нереальні рішення. Іншими словами, розв'язки цього квадратного рівняння включають уявну складову. Числа з дійсною складовою і уявною складовою називаються комплексними.

Уявні та комплексні числа

Коли люди вперше створили поняття чисел, вони мали лише підрахунок чисел (цілі числа більше нуля) 1, 2, 3... і так далі, оскільки числа призначалися для підрахунку фізичних об'єктів. Довгий час було прийнято, що квадратного кореня негативного числа не існує.

Для того щоб існувало рішення рівняння x2=-1, математики винайшли рішення. Цей розв'язок називається уявним числом і відзначається буквою i. Уявні числа, 1i,2i,3i... називаються уявними, оскільки їх неможливо знайти на традиційному числовому рядку дійсних чисел.

Чисте уявне число - це число у вигляді bi, де b - ненульове дійсне число. Приклади включають\(4i\)\(i\sqrt{2}\),, і\(−6i\).

Комплексне число має як дійсну, так і уявну частини, і записується у вигляді a\ pm bi. Цікаво, що будь-яке число можна записати як комплексне число, так як або дійсна, або уявна складова може бути або нульовим, або мати нульовий коефіцієнт.

Приклади комплексних чисел

Набір комплексних чисел є «надмножиною» всіх інших числових наборів. Це означає, що кожен інший набір чисел є частиною набору комплексних чисел.
Комплексні числа з'являються у вигляді\(a+bi\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами, і\(i=\sqrt{-1}\).
Будь-яке число може бути записано як комплексне число:

\(\begin{aligned} \text{The Real Number 4 in Complex form} && =4+0i\\ \text{The Imaginary Number } 5i \text{ in Complex form} && =0+5i\\ \text{The Complex Number } 4+5i \text{ in Complex form } && =4+5i \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Враховуючи це\(\sqrt{-1}=i\), що\(i^2\) еквівалентно? Поясніть, чому це примітно.

Рішення

Перш ніж намагатися відповісти на це питання, подумайте, як би ви відповіли на це питання за позитивні цифри. Наприклад, 9—√=3, а отже, шляхом квадрату обох сторін:\(3^2=9\). Аналогічно\(\sqrt{49}=7\), і тому\(49=7^2\). Отже, якщо -1−−√=i, що станеться з кожною стороною рівняння, якщо ви квадратуєте обидві сторони? Іншими словами, що\(i^2\) еквівалентно?

\(\begin{aligned} i^2&=i\cdot i \\ &=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \\&=(\sqrt{-1})^2 \\ &=(-1) \\&=-1 \end{aligned}\)

Один цікавий спосіб думати про це - розглянути, як дивно було б, якби двоє уявних людей змогли мати справжню дитину разом. Це схоже за концепцією на результат зведення уявного числа в квадрат, або множення двох уявних чисел разом.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Квадратний корінь будь-якого від'ємного числа можна записати через уявне число i Перепишіть такі як уявні числа:

\(\sqrt{-4}\)
\(\sqrt{-5}\)
\(\sqrt{-6}\)

Рішення

\(\sqrt{4}=\sqrt{4\cdot -1}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2i\)
\(\sqrt{-5}=\sqrt{5\cdot -1}=\sqrt{5}\sqrt{-1}=i\sqrt{5}\)
\(\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot -1}=\sqrt{16}\sqrt{-1}=4i\)

Працюйте це 4

Спростіть наступне:

\(\sqrt{-49}\)
\(\sqrt{-40}\)

Обговорення

Якщо ви можете зменшити число під радикалом після того, як ви перетворили його на позитивне число, вам слід це зробити.

\(\begin{aligned} \sqrt{-49} \\ &=\sqrt{49\cdot -1} \\ &=\sqrt{49}\sqrt{-1} \\ &=7i \end{aligned}\)

Спрощуйте\(\sqrt{-40}\) аналогічно, але не забудьте спростити\(\sqrt{40}\) після того, як ви маєте справу з квадратним коренем -1.

Працюйте це 5

Парабола не\(y=x^2−2x+3\) має\(x\) -перехоплень, як показано нижче. Чи означає це, що рішень немає? Як комплексні числа можуть допомогти у вирішенні рівняння\(0=x^2−2x+3\)? Які існують рішення цієї функції?

Обговорення

На графіку нижче показано, що крива цього рівняння не перетинається з віссю x.

Це означає, що розв'язки рівняння не\(x^2−2x+3=0\) є дійсними числами. Розв'язки є комплексними числами (які включають дійсну та уявну частини). Розв'язки все ще можна знайти за квадратичною формулою, але результатом буде 2 комплексних числових розв'язку. Які вони?

Наступне відео демонструє, як визначити складні розв'язки квадратного рівняння.

Комплексні розв'язки квадратного рівняння

Розробка 6: Комплексні числові розв'язки квадратичних функцій

Нагадаємо, що коли значення дискримінанту менше нуля, рівняння має два нерівних комплексних числових розв'язку. \(-1+2i\)Підставте в квадратне рівняння\(x^2+2x+5=0\), щоб визначити, чи є воно рішенням. Використовуйте те, що ви визначаєте з підміни, щоб зробити освічену здогадку про те, яке інше рішення може бути. Перевірте це рішення також.

Обговорення

Так само, як і в будь-якому іншому квадратному рівнянні, щоб перевірити рішення, підставити рішення замість\(x\), і спростити вираз, щоб визначити, дорівнює він нулю чи ні.

CK-12 ІНТЕРАКТИВНИЙ

Наступний CK-12 PLIX, «Вертикальний і горизонтальний зсув 2», пропонує додатковий шанс дослідити складні корені квадратики.

Інтерактивний елемент

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Комплексні числові розв'язки квадратичних функцій

Чи\(\dfrac{3}{2}−i\) є рішенням\(2x^2−6x+5=0\)?

Рішення

Підставляємо коефіцієнти в квадратичну формулу і спрощуємо генерацію рівняння:

\ (\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(-6) ^ {2} -4 (5)}} {2 (2)}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(36)} 40}} {4}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {-4}} {4}\
x = &\ лівий\ {\ dfrac {3} {2} +\ dfrac {1} {2} я\ праворуч\}\ текст {або}\ ліворуч\ {\ dfrac {3} {2} -\ dfrac {1} {2} я\ вправо\}
\ кінець {вирівняний}\)

При спрощенні, так як жоден з рішень не є тим, який заявлений в задачі\(\dfrac{3}{2}−i\), а саме, це не рішення.

Крім того, ви можете замінити в даному розв'язку і подивитися, чи рівняння дорівнює нулю.

\ (\ begin {масив} {r}
2\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) ^ {2} -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
2\ ліворуч (\ dfrac {9} {4} -3 i+i^ {2}\ праворуч) -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
2\ ліворуч (\ dfrac {9} {4} -3 i+ (-1)\ праворуч) -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
2\ ліворуч (\ dfrac {5} {4} -3 я\ праворуч) -6\ ліворуч (\ dfrac {3} {2} -i\ праворуч) +5=0? \\
\ dfrac {5} {2} -\ скасувати {6 i} -9+\ скасувати {6i} +5=0? \\
-\ dfrac {3} {2}\ neq 0
\ end {масив}\)

Оскільки він не дорівнює нулю,\(\dfrac{3}{2}−i\) це не рішення.

Рецензія

Використовуйте графічну утиліту, подібну до інтерактивної на початку цього уроку, щоб скласти графік рівняння\(x^2+2x+1=0\). Використовуйте графік, щоб визначити рішення рівняння, а потім скористайтеся алгеброю, щоб підтвердити правильність відповіді.

Обчисліть дискримінант:

\(6x^2+10−1=0\)
\(3x^2+24x+48=0 \)

Створюємо квадратики:

Складіть квадратичну функцію з двома реальними розв'язками.
Складіть квадратичну функцію з одним дійсним і одним уявним рішенням.
Складіть квадратичну функцію з двома уявними розв'язками.

Висловіть кожен як спрощене уявне число.

\(\sqrt{-300}\)
\(\sqrt{-32}\)
\(4\sqrt{-18}\)
\(\sqrt{-75}\)
\(\sqrt{-98}\)

Розв'яжіть кожне рівняння і висловіть результат у вигляді комплексного числа.

\(8x^2−5x+11=0\)
\(34\dfrac{1}{2}x^2−23x+19\dfrac{1}{6}=0\)

Додаткові ресурси

Відео: Вступ до i та уявних чисел

Практика: Уявні числа