5.1.1: Ділянки полярних координат
- Page ID
- 54932
Точки як відстань від початку та кута від осі.
Граючи в дартс зі своїм другом, ви вирішите побачити, чи можете ви побудувати координати того, де ваші дартс приземляються. Дартс виглядає так
![Ф-Д_9Е0А 62ДА 9Ф90Б25Ф7369Б9975СА4 ДК 95ДФ01840БК4 ЕСКД46А425А2ДЕ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15178/f-d_9e0a62da9f90b25f7369b9975ca4dc95df01840bc4eccd46a425a2de%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Намагаючись налаштувати прямокутну систему координат, ваш друг каже вам, що було б простіше побудувати позиції ваших дротиків за допомогою «полярної системи координат». Ви можете це зробити?
Ділянки полярних координат
Графічний папір, який ви використовували для побудови точок та ескізів графіків, був прямокутним сітковим папером. Усі точки були побудовані у прямокутній формі,\((x,y)\) посилаючись на набір перпендикулярних\(x\) − і\(y\) − осей. У цьому розділі ви знайдете альтернативу графіку на прямокутному сітковому папері - графіку на круглому сітковому папері.
Подивіться на два варіанти нижче:
![F-D_16a6ce1E77FC838F684185 ЕФЦ9А6 АБФ 4666096 погано BB16091A6838F3D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15179/f-d_16a6ce1e77fc838f684185efc9a6abf4666096badbb16091a6838f3d%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
![Ф-Д_494Ф 460c9e0397 ДД3С1С21А4А64Ф0021ЕАББ 895 С928253А3854C52+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15180/f-d_494f460c9e0397dd3cd1c21a4a64f0021eeabb895c928253a3854c52%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Ви всі знайомі з прямокутним сітчастим папером, показаним вище. Однак циркулярний папір піддається новим відкриттям. Стаття складається з ряду концентричних кіл-кіл, які мають спільний центр. Загальний центр\(O\), відомий як полюс або походження, а полярна вісь - це горизонтальна лінія\(r\), яка проводиться від полюса в позитивному напрямку. Точка\(P\), яка нанесена, описується як спрямована відстань\(r\) від полюса і кутом, який\(\overline{OP} \) робить з полярною віссю. Координати\(P\) є\((r,\theta )\).
Ці координати є результатом припущення, що кут повернутий проти годинникової стрілки. Якби кут був повернений за годинниковою стрілкою, то координати були\(P\) б\((r,−\theta )\). Ці значення для\(P\) називаються полярними координатами і мають вигляд,\(P(r,\theta )\) де\(r\) абсолютне значення відстані від полюса до\(P\) і\(\theta \) є кутом, утвореним полярною віссю і кінцевим плечем\(\overline{OP} \).
Графік точок
Побудуйте точку\(A(5,−255^{\circ})\) і точку\(B(3,60^{\circ})\).
Для побудови графіка А, рухайтеся від полюса до кола, яке має,\(r=5\) а потім поверніть\(255^{\circ}\) за годинниковою стрілкою від полярної осі і нанесіть точку на колі. Позначте його\(A\).
![Ф-Д_88 ЕД 5575Д8Ф31ФББББББББ559ФЦ4Д7755540ФЕ 8ЕС19694220336EE710+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15181/f-d_88ed5575d8f31fbbba07b559fc4d7755540fe8ec19694220336ee710%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Для побудови графіка B, рухайтеся від полюса до кола, який має,\(r=3\) а потім поверніть\(60^{\circ}\) проти годинникової стрілки від полярної осі і нанесіть точку на колі. Позначте його\(B\).
![Ф-ДД5Ф 561ДФ 21ФА82461 ФЕ76Б59Д 96476670801Д0100Д12ФА025АА2СС7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15182/f-d_dd5f561df21fa82461fe76b59d96476670801d0100d12fa025aa2cc7%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Визначення пар полярних координат
Визначте чотири пари полярних координат, які представляють наступну точку,\(P(r,\theta )\) таку, що\(−360^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}\).
![Ф-д_5202 ДДФ 283 Ба 2ДФ 1 феб 440c11ec077117Ф5С6ФБ4КС84272 Fe2F46+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15183/f-d_5202ddf283bab2d1fefeb440c11ec077117f5c6fb4cc84272fea2f46%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Пара 1\(\rightarrow (4,120^{\circ})\). Пара 2\(\rightarrow (4,−240^{\circ})\) походить від використання\(k=−1\) and\((r,\theta +360^{\circ}k)\), (4,120^ {\ circ} +360 (−1)). Пара 3\(\rightarrow (−4,300^{\circ})\) походить від використання\(k=0\) і\((−r,\theta +[2k+1]180^{\circ}),(−4,120^{\circ}+[2(0)+1]180^{\circ})\). Пара 4\(\rightarrow (−4,−60^{\circ})\) походить від використання\(k=−1\) і\((−r,\theta +[2k+1]180^{\circ})\),\((−4,120^{\circ}+[2(−1)+1]180^{\circ})\).
Побудова полярних координат
Побудуйте наступні координати в полярному вигляді і дайте їх опис в полярному вираженні:\((1,0)\)\((0,1)\),\((-1,0)\),,\((-1,1)\).
![Ф-Д_68А 601Б0213Д43Ф830Ф588А21Ф2А1Е71Д614065С54КБФ9Ф235Д2КБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15184/f-d_68a601b0213d43f830ff588a21f2ab1e71d614065c54cbf9f235d2cb%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Наведені точки показані вище. Оскільки кожна точка знаходиться на відстані 1 одиниці від початку, ми знаємо, що радіус кожної точки в полярній формі буде дорівнює 1.
Перша точка лежить на позитивній осі «x», тому кут у полярних координатах дорівнює\(0^{\circ}\). Друга точка лежить на позитивній осі «y», тому кут у полярних координатах дорівнює\(90^{\circ}\). Третя точка лежить на від'ємній осі «x», тому кут у полярних координатах дорівнює\(180^{\circ}\). Четверта точка лежить на від'ємній осі «y», тому кут у полярних координатах дорівнює\(270^{\circ}\).
Раніше вас попросили побудувати позиції ваших дротиків за допомогою полярної системи координат.
Оскільки у вас є положення дротиків на дошці як з відстанню від початку, так і з кутом, який вони роблять з горизонталлю, ви можете описати їх за допомогою полярних координат.
![Ф-Д_962ФББ3Е4Э25Д03805БФБ 9151733Б52Ф295485Д25Е04Е2Е265ЕАААА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15185/f-d_962fbb3e41e25d03805bfbe9151733b52f295485d25e04e4e265eaac%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Рішення
Як бачите, позиції дротиків бувають:
\((3,45^{\circ} )\),\((6,90^{\circ} )\)
і
\((4,0^{\circ} )\)
Побудуйте крапку\(M\left(2.5, 210^{\circ} \right)\).
Рішення
![Ф-д_А5Е63Е3Ф6002Ф1С6987660Ф0678Е2А1Б8840Ф57Б3БФ КАДБ51А73ЕАА1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15186/f-d_a5e63e3f6002f1c6987660f0678e2a1b8840f57b3bfcadb51a73eaa1%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Побудуйте крапку\(S\left(−3.5,\dfrac{5\pi }{6}\right)\).
Рішення
![Ф-Д_8А81ДБ Б 93124БФ 1Ф6 ФАА 836А4Б2287 А4742Е3А9СА318ЕДФ 29Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15187/f-d_8a81dbe93124bff1f6faa836a4b2287ea4742e3c553a9ca318edf29f%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Побудуйте крапку\(A\left(1, \dfrac{3\pi }{4}\right)\).
Рішення
![Ф-Д_Е8 Фае 6С569КА0ФДББ50Д0 АЦБ1А207Е463А97188ФД Д 914С8Ц73ДДБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15188/f-d_e8fae6c569ca0fdbb50d0acb1a207e463a97188fde914ceb88c73ddb%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.jpg)
Рецензія
Покладіть наступні точки на полярній координатній сітці.
- \((3,150^{\circ})\)
- \((2,90^{\circ})\)
- \((5,60^{\circ})\)
- \((4,120^{\circ})\)
- \((3,210^{\circ})\)
- \((−2,120^{\circ})\)
- \((4,−90^{\circ})\)
- \((−5,−30^{\circ})\)
- \((2,−150^{\circ})\)
- \((−3,300^{\circ})\)
Дайте три альтернативні набори координат для заданої точки в межах діапазону\(−360^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}\).
- \((3,60^{\circ})\)
- \((2,210^{\circ})\)
- \((4,330^{\circ})\)
- Знайти довжину дуги між точками\((2,30^{\circ})\) і\((2,90^{\circ})\).
- Знайдіть площу сектора, створеного початком і точками\((4,30^{\circ})\) і\((4,90^{\circ})\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.1.