5.1.1: Ділянки полярних координат
- Page ID
- 54932
Точки як відстань від початку та кута від осі.
Граючи в дартс зі своїм другом, ви вирішите побачити, чи можете ви побудувати координати того, де ваші дартс приземляються. Дартс виглядає так
Намагаючись налаштувати прямокутну систему координат, ваш друг каже вам, що було б простіше побудувати позиції ваших дротиків за допомогою «полярної системи координат». Ви можете це зробити?
Ділянки полярних координат
Графічний папір, який ви використовували для побудови точок та ескізів графіків, був прямокутним сітковим папером. Усі точки були побудовані у прямокутній формі,\((x,y)\) посилаючись на набір перпендикулярних\(x\) − і\(y\) − осей. У цьому розділі ви знайдете альтернативу графіку на прямокутному сітковому папері - графіку на круглому сітковому папері.
Подивіться на два варіанти нижче:
Ви всі знайомі з прямокутним сітчастим папером, показаним вище. Однак циркулярний папір піддається новим відкриттям. Стаття складається з ряду концентричних кіл-кіл, які мають спільний центр. Загальний центр\(O\), відомий як полюс або походження, а полярна вісь - це горизонтальна лінія\(r\), яка проводиться від полюса в позитивному напрямку. Точка\(P\), яка нанесена, описується як спрямована відстань\(r\) від полюса і кутом, який\(\overline{OP} \) робить з полярною віссю. Координати\(P\) є\((r,\theta )\).
Ці координати є результатом припущення, що кут повернутий проти годинникової стрілки. Якби кут був повернений за годинниковою стрілкою, то координати були\(P\) б\((r,−\theta )\). Ці значення для\(P\) називаються полярними координатами і мають вигляд,\(P(r,\theta )\) де\(r\) абсолютне значення відстані від полюса до\(P\) і\(\theta \) є кутом, утвореним полярною віссю і кінцевим плечем\(\overline{OP} \).
Графік точок
Побудуйте точку\(A(5,−255^{\circ})\) і точку\(B(3,60^{\circ})\).
Для побудови графіка А, рухайтеся від полюса до кола, яке має,\(r=5\) а потім поверніть\(255^{\circ}\) за годинниковою стрілкою від полярної осі і нанесіть точку на колі. Позначте його\(A\).
Для побудови графіка B, рухайтеся від полюса до кола, який має,\(r=3\) а потім поверніть\(60^{\circ}\) проти годинникової стрілки від полярної осі і нанесіть точку на колі. Позначте його\(B\).
Визначення пар полярних координат
Визначте чотири пари полярних координат, які представляють наступну точку,\(P(r,\theta )\) таку, що\(−360^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}\).
Пара 1\(\rightarrow (4,120^{\circ})\). Пара 2\(\rightarrow (4,−240^{\circ})\) походить від використання\(k=−1\) and\((r,\theta +360^{\circ}k)\), (4,120^ {\ circ} +360 (−1)). Пара 3\(\rightarrow (−4,300^{\circ})\) походить від використання\(k=0\) і\((−r,\theta +[2k+1]180^{\circ}),(−4,120^{\circ}+[2(0)+1]180^{\circ})\). Пара 4\(\rightarrow (−4,−60^{\circ})\) походить від використання\(k=−1\) і\((−r,\theta +[2k+1]180^{\circ})\),\((−4,120^{\circ}+[2(−1)+1]180^{\circ})\).
Побудова полярних координат
Побудуйте наступні координати в полярному вигляді і дайте їх опис в полярному вираженні:\((1,0)\)\((0,1)\),\((-1,0)\),,\((-1,1)\).
Наведені точки показані вище. Оскільки кожна точка знаходиться на відстані 1 одиниці від початку, ми знаємо, що радіус кожної точки в полярній формі буде дорівнює 1.
Перша точка лежить на позитивній осі «x», тому кут у полярних координатах дорівнює\(0^{\circ}\). Друга точка лежить на позитивній осі «y», тому кут у полярних координатах дорівнює\(90^{\circ}\). Третя точка лежить на від'ємній осі «x», тому кут у полярних координатах дорівнює\(180^{\circ}\). Четверта точка лежить на від'ємній осі «y», тому кут у полярних координатах дорівнює\(270^{\circ}\).
Раніше вас попросили побудувати позиції ваших дротиків за допомогою полярної системи координат.
Оскільки у вас є положення дротиків на дошці як з відстанню від початку, так і з кутом, який вони роблять з горизонталлю, ви можете описати їх за допомогою полярних координат.
Рішення
Як бачите, позиції дротиків бувають:
\((3,45^{\circ} )\),\((6,90^{\circ} )\)
і
\((4,0^{\circ} )\)
Побудуйте крапку\(M\left(2.5, 210^{\circ} \right)\).
Рішення
Побудуйте крапку\(S\left(−3.5,\dfrac{5\pi }{6}\right)\).
Рішення
Побудуйте крапку\(A\left(1, \dfrac{3\pi }{4}\right)\).
Рішення
Рецензія
Покладіть наступні точки на полярній координатній сітці.
- \((3,150^{\circ})\)
- \((2,90^{\circ})\)
- \((5,60^{\circ})\)
- \((4,120^{\circ})\)
- \((3,210^{\circ})\)
- \((−2,120^{\circ})\)
- \((4,−90^{\circ})\)
- \((−5,−30^{\circ})\)
- \((2,−150^{\circ})\)
- \((−3,300^{\circ})\)
Дайте три альтернативні набори координат для заданої точки в межах діапазону\(−360^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}\).
- \((3,60^{\circ})\)
- \((2,210^{\circ})\)
- \((4,330^{\circ})\)
- Знайти довжину дуги між точками\((2,30^{\circ})\) і\((2,90^{\circ})\).
- Знайдіть площу сектора, створеного початком і точками\((4,30^{\circ})\) і\((4,90^{\circ})\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.1.