2.2.4: Вирішіть правильні трикутники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54807

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Використання обернених тригонометричних функцій для розв'язання відсутніх відомостей про правильні трикутники.

Обернені тригонометричні коефіцієнти

У математиці слово зворотне означає «скасувати». Наприклад, додавання та віднімання є оберненнями один одного, оскільки одне скасовує інше. Коли ми використовуємо зворотні тригонометричні коефіцієнти, ми можемо знайти гострі кутові міри до тих пір, поки нам дано дві сторони.

F-D_2A337Ф0ФК303Ф5 ЕАД 45Б9С00АК 0Б99 ФК56Д2875Б59312А4 ББ58А17Д7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Зворотний тангенс: Позначений\(\tan ^{-1}\), «-1» означає зворотний.

\(\tan ^{-1} \left(\dfrac{b}{a}\right)=m\angle B\)і\(\tan ^{-1} \left(\dfrac{a}{b}\right)=m\angle A.\)

Зворотний синус: Позначений\(\sin ^{-1}\).

\(\sin ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle B\)і\(\sin ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle A.\)

Зворотний косинус: Позначений\(\cos ^{-1}\).

\(\cos ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle B\)і\(\cos ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle A.\)

У більшості проблем, щоб знайти міру кутів вам потрібно буде скористатися вашим калькулятором. На більшості наукових і графічних калькуляторів кнопки виглядають як\([\sin ^{-1}]\)\([\cos ^{-1}]\), і\([\(\tan ^{-1}]\). Можливо, вам також доведеться натиснути кнопку зсуву або другу кнопку, щоб отримати доступ до цих функцій.

Тепер, коли ви знаєте як коефіцієнти трига, так і зворотні коефіцієнти трига, ви можете вирішити прямокутний трикутник. Щоб вирішити прямокутний трикутник, потрібно знайти в ньому всі сторони і кути. Зазвичай ви використовуєте синус, косинус або тангенс; зворотний синус, обернений косинус або обернений тангенс; або теорему Піфагора.

Що робити, якщо вам сказали\(\angle Z\) тангенс 0.6494? Як ви могли знайти міру\(\angle Z\)?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розв'яжіть прямокутний трикутник.

Ф-д_10БКА2715А07Ф1262Б6813АА589Д900 ДД2Б47Д6С004111556Д98Ф31А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Рішення

Два гострі кути є конгруентними, що робить їх обидва\(45^{\circ}\). Це трикутник 45-45-90. Ви можете використовувати тригонометричні співвідношення або спеціальні співвідношення прямокутного трикутника.

Тригонометричні коефіцієнти

\ (\ почати {масив} {rlrl}
\ tan 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {B C} &\ sin 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {\
dfrac}} =15 & A C & =\ dfrac {15} {\ tan 45^ {\ circ}} =15 & A C & =\ dfrac {15} {\ sin 45^ {\ circ}}\ приблизно 21.21
\ кінець {масив}\)

Коефіцієнти трикутника 45-45-90

\(BC=AB=15 \text{, } AC=15\sqrt{2} \approx 21.21\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Використовуйте сторони трикутника і ваш калькулятор, щоб знайти значення\(\angle A\). Округлите відповідь до найближчої десятої частки градуса.

Ф-д_8ФК14Е5823880009831Ф118Д39288Б9А2221ЕЕ618779547БА775Б6С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Відносно до\(\angle A\), нам дають протилежну ногу і прилеглу ногу. Це означає, що ми повинні використовувати дотичне співвідношення.

\(\tan A=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}\). Отже,\(\tan ^{-1} \dfrac{4}{5}=m\angle A\). Тепер скористайтеся калькулятором.

Якщо ви використовуєте TI-83 або 84, натискання клавіш буде: [2nd] [TAN] (\(\dfrac{4}{5}\)) [ENTER] і екран виглядає так:

F-D_6CA9C532B643217DC FF944B67F6607A4993E4B951BF3A5ADA594A838+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

\(m\angle A \approx 38.7^{\circ}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(\angle A\)- гострий кут в прямокутному трикутнику. Знайдіть\(m\angle A\) до найближчої десятої градуса для\(\sin A=0.68\)\(\cos A=0.85\), і\(\tan A=0.34\).

Рішення

\(\begin{aligned} m\angle A&=\sin ^{-1} 0.68\approx 42.8^{\circ} \\ m\angle A&=\cos ^{-1} 0.85\approx 31.8^{\circ} \\ m\angle A&=\tan ^{-1} 0.34\approx 18.8^{\circ} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Розв'яжіть прямокутний трикутник.

Ф-д_С654250Б07865Е4А3 А3 ЕФ 16Б81С948 КФФ 7CFF06DA250EC26D3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Рішення

Щоб вирішити цей прямокутний трикутник, нам потрібно знайти\(AB\),\(m\angle C\) і\(m\angle B\). Використовуйте тільки ті значення, які вам задані.

\(\underline{AB}: \text{ Use the Pythagorean Theorem.}\)

\(\begin{aligned} 24^2+AB^2&=30^2 \\ 576+AB^2&=900 \\ AB^2&=324 \\ AB&=\sqrt{324}=18 \end{aligned}\)

\(\underline{m\angle B} : \text{ Use the inverse sine ratio.}\)

\(\begin{aligned} \sin B &=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \\ \sin ^{-1} (45) &\approx 53.1^{\circ} =m\angle B\end{aligned}\)

\(\underline{m\angle C} : \text{ Use the inverse cosine ratio.}\)

\(\cos C=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \rightarrow \cos ^{-1} (\dfrac{4}{5})\approx 36.9^{\circ} =m\angle C\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Коли б ви використовували гріх і коли б ви використовували\(\sin ^{-1}\)?

Рішення

Ви б використали гріх, коли вам дають кут, і ви вирішуєте для відсутньої сторони. Ви б використовувати,\(\sin ^{-1} \) коли вам даються сторони, і ви вирішуєте для відсутнього кута.