2.2.4: Вирішіть правильні трикутники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.2.3: Прямі трикутники та підшипники
- 2.2.5: Застосування зворотних тригонометричних функцій

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Використання обернених тригонометричних функцій для розв'язання відсутніх відомостей про правильні трикутники.

Обернені тригонометричні коефіцієнти

У математиці слово зворотне означає «скасувати». Наприклад, додавання та віднімання є оберненнями один одного, оскільки одне скасовує інше. Коли ми використовуємо зворотні тригонометричні коефіцієнти, ми можемо знайти гострі кутові міри до тих пір, поки нам дано дві сторони.

F-D_2A337Ф0ФК303Ф5 ЕАД 45Б9С00АК 0Б99 ФК56Д2875Б59312А4 ББ58А17Д7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Зворотний тангенс: Позначений $\tan ^{-1}$ , «-1» означає зворотний.

$\tan ^{-1} \left(\dfrac{b}{a}\right)=m\angle B$ і $\tan ^{-1} \left(\dfrac{a}{b}\right)=m\angle A.$

Зворотний синус: Позначений $\sin ^{-1}$ .

$\sin ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle B$ і $\sin ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle A.$

Зворотний косинус: Позначений $\cos ^{-1}$ .

$\cos ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle B$ і $\cos ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle A.$

У більшості проблем, щоб знайти міру кутів вам потрібно буде скористатися вашим калькулятором. На більшості наукових і графічних калькуляторів кнопки виглядають як $[\sin ^{-1}]$ $[\cos ^{-1}]$ , і $[\(\tan ^{-1}]$ . Можливо, вам також доведеться натиснути кнопку зсуву або другу кнопку, щоб отримати доступ до цих функцій.

Тепер, коли ви знаєте як коефіцієнти трига, так і зворотні коефіцієнти трига, ви можете вирішити прямокутний трикутник. Щоб вирішити прямокутний трикутник, потрібно знайти в ньому всі сторони і кути. Зазвичай ви використовуєте синус, косинус або тангенс; зворотний синус, обернений косинус або обернений тангенс; або теорему Піфагора.

Що робити, якщо вам сказали $\angle Z$ тангенс 0.6494? Як ви могли знайти міру $\angle Z$ ?

Приклад $\PageIndex{1}$

Розв'яжіть прямокутний трикутник.

Ф-д_10БКА2715А07Ф1262Б6813АА589Д900 ДД2Б47Д6С004111556Д98Ф31А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Рішення

Два гострі кути є конгруентними, що робить їх обидва $45^{\circ}$ . Це трикутник 45-45-90. Ви можете використовувати тригонометричні співвідношення або спеціальні співвідношення прямокутного трикутника.

Тригонометричні коефіцієнти

\ (\ почати {масив} {rlrl}
\ tan 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {B C} &\ sin 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {\
dfrac}} =15 & A C & =\ dfrac {15} {\ tan 45^ {\ circ}} =15 & A C & =\ dfrac {15} {\ sin 45^ {\ circ}}\ приблизно 21.21
\ кінець {масив}\)

Коефіцієнти трикутника 45-45-90

$BC=AB=15 \text{, } AC=15\sqrt{2} \approx 21.21$

Приклад $\PageIndex{2}$

Використовуйте сторони трикутника і ваш калькулятор, щоб знайти значення $\angle A$ . Округлите відповідь до найближчої десятої частки градуса.

Ф-д_8ФК14Е5823880009831Ф118Д39288Б9А2221ЕЕ618779547БА775Б6С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Відносно до $\angle A$ , нам дають протилежну ногу і прилеглу ногу. Це означає, що ми повинні використовувати дотичне співвідношення.

$\tan A=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}$ . Отже, $\tan ^{-1} \dfrac{4}{5}=m\angle A$ . Тепер скористайтеся калькулятором.

Якщо ви використовуєте TI-83 або 84, натискання клавіш буде: [2nd] [TAN] ( $\dfrac{4}{5}$ ) [ENTER] і екран виглядає так:

F-D_6CA9C532B643217DC FF944B67F6607A4993E4B951BF3A5ADA594A838+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

$m\angle A \approx 38.7^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{3}$

$\angle A$ - гострий кут в прямокутному трикутнику. Знайдіть $m\angle A$ до найближчої десятої градуса для $\sin A=0.68$ $\cos A=0.85$ , і $\tan A=0.34$ .

Рішення

$\begin{aligned} m\angle A&=\sin ^{-1} 0.68\approx 42.8^{\circ} \\ m\angle A&=\cos ^{-1} 0.85\approx 31.8^{\circ} \\ m\angle A&=\tan ^{-1} 0.34\approx 18.8^{\circ} \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Розв'яжіть прямокутний трикутник.

Ф-д_С654250Б07865Е4А3 А3 ЕФ 16Б81С948 КФФ 7CFF06DA250EC26D3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Щоб вирішити цей прямокутний трикутник, нам потрібно знайти $AB$ , $m\angle C$ і $m\angle B$ . Використовуйте тільки ті значення, які вам задані.

$\underline{AB}: \text{ Use the Pythagorean Theorem.}$

$\begin{aligned} 24^2+AB^2&=30^2 \\ 576+AB^2&=900 \\ AB^2&=324 \\ AB&=\sqrt{324}=18 \end{aligned}$

$\underline{m\angle B} : \text{ Use the inverse sine ratio.}$

$\begin{aligned} \sin B &=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \\ \sin ^{-1} (45) &\approx 53.1^{\circ} =m\angle B\end{aligned}$

$\underline{m\angle C} : \text{ Use the inverse cosine ratio.}$

$\cos C=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \rightarrow \cos ^{-1} (\dfrac{4}{5})\approx 36.9^{\circ} =m\angle C$

Приклад $\PageIndex{5}$

Коли б ви використовували гріх і коли б ви використовували $\sin ^{-1}$ ?

Рішення

Ви б використали гріх, коли вам дають кут, і ви вирішуєте для відсутньої сторони. Ви б використовувати, $\sin ^{-1}$ коли вам даються сторони, і ви вирішуєте для відсутнього кута.