8.4.1: Площа під кривою

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Площа під кривою

Розрахунок площі під пряму можна проводити за допомогою геометрії. Розрахунок площі під кривою лінією вимагає обчислення. Часто площа під кривою може бути інтерпретована як накопичена кількість будь-якої функції моделювання. Припустимо, швидкість автомобіля в метрах в секунду може бути змодельована квадратичним за перші 8 секунд розгону:

$\ s(t)=t^{2}$

Як далеко автомобіль проїхав за 8 секунд?

Пошук площі під кривою

Площа під кривою може бути апроксимована прямокутниками, однаково розташованими під кривою, як показано нижче. Для узгодженості ви можете вибрати, чи повинні поля потрапляти на криву в лівому куті, правому куті, максимальному значенні або мінімальному значенні. Чим більше ящиків ви використовуєте, тим вужчими будуть коробки і, таким чином, тим точніше буде ваше наближення площі.

F-D_0173D06A9BF3DF490EB82F6C3888352704DD6DC2E4DBA6A7653B7B6+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png

Субінтервали створюються, коли інтервал розбивається на менші, однаково величини інтервали. Синє наближення використовує праві коробки для висоти кожного підінтервалу. Червоне наближення призначає висоті поля мінімальним значенням функції в кожному підінтервалі. Зелене наближення призначає висоті поля максимальним значенням функції в кожному підінтервалі. У жовтому наближенні використовуються ліві коробки. Прямокутники над віссю x матимуть позитивну площу, а прямокутники нижче осі x матимуть негативну площу у цьому контексті.

Використання квадратів для оцінки площі під кривою називається Сумою Рімана. Візьміть функцію $\ f(x)=\frac{1}{2} x-2$ . Щоб обчислити суму Рімана (площа під кривою) між 1 та 9 функцією, спочатку намалюйте графік та поля.

F-D_погано BBB 683A64C3E1E32259372937AC9D14B17BA68fc007c5c437670+зображення_thumb_листівка_крихіткий+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

Площа першого ящика в 2 рази перевищує висоту функції, оціненої в 3:

$\ 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot 3-2\right)=3-4=-1$

Оскільки ця коробка знаходиться під віссю x, його площа негативна.

Площа для кожного з решти ящиків в 2 рази перевищує висоту функції, оціненої на 5, 7 і 9.

\ (\\ почати {масив} {l}
2\ cdot\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ cdot 5-2\ праворуч) &=5-4 = 1\\
2\ cdot\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ cdot 7-2\ праворуч) &=7-4=3\
2\ cdot\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ cdot 9-2\ праворуч) &=9-4=5
\ end {масив}\)

Приблизна сума загальної площі під кривою становить: −1+1+3+5=8 квадратних одиниць.

Усі чотири наближення площі, показані раніше, покращуються, оскільки кількість ящиків збільшується. Насправді межа кожного наближення, коли кількість підінтервалів (коробок) збільшується до нескінченності, є точною площею під кривою.

Тут приходить ідея числення інтеграла. Інтеграл - це межа суми, оскільки кількість доданих збільшується до нескінченності. Сумманд - це одна з багатьох частин, які підсумовуються разом.

$\ \int f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}(\text { Area of box } i)$

Символ зліва є символом числення інтеграла.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили визначити, як далеко проїжджає машина за 8 секунд.

Рішення

Ви можете використовувати площу під кривою, щоб знайти загальну відстань, пройдену за перші 8 секунд. Оскільки квадратична крива, ви повинні вибрати кількість підінтервалів, які ви хочете використовувати, і чи потрібні праві або ліві поля для оцінки. Припустимо, ви вибрали 8 лівих коробок шириною один.

F-D_52845ECE4E580261 FA377EF3665FA1C6797783B87DB64647C61AF266+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

х	0	1	2	3	4	5	6	7
Площа коробки праворуч	1⋅0	1⋅1	1⋅4	1⋅9	1⋅16	1⋅25	1⋅36	1⋅49

Приблизна сума - 1+4+9+16+25+36+49=140. Це означає, що автомобіль проїхав приблизно 140 метрів за перші 8 секунд.

Приклад 2

Оцініть точну площу під використовуваною раніше кривою $\ f(x)=\frac{1}{2} x-2$ , використовуючи формулу площі для трикутника.

Рішення

Пам'ятайте, що область під $\ x$ віссю негативна, тоді як площа над $\ x$ віссю позитивна.

F-D_93627 Дабі 7C095A611DAEB8EADE 36A8A1B48DB9E22561BE3A7+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png

Негативна область: $\ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1.5=\frac{9}{4}$

Позитивна область: $\ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2.5=\frac{25}{4}$

Площа під кривою між 1 і 8: $\ \frac{25}{4}-\frac{9}{4}=\frac{16}{4}=4$

Якщо порівняти цю відповідь з наближенням раніше, виявляється, що наближення шириною 2 одиниці виробляють площу зі значною похибкою.

Приклад 3

Логан подорожує на велосипеді зі швидкістю 20 миль/год протягом 3 годин. Потім вона сідає в машину і їздить 60 миль/год протягом 2 годин. Намалюйте як відстань проти часового графіка, так і швидкість проти часового графіка. Використовуйте область під аргументом кривої, щоб з'єднати два графіки.

Рішення

Відстань проти часу:

F-D_59A324DE986DAE A26677c62ec6D77CF52f7b2645FBA9269CAA097764+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

Ставка проти часу:

F-D_088688C669D6FFAED 78B4E111F706E1D32BA2EFA89825A03FBC6B4FE+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

Нахил першого графа дорівнює 20 від 0 до 3, а потім 60 від 3 до 5. Другий графік - це графік нахилів з першого графа. Якщо обчислити площу другого графіка в ключових точках 0, 1, 2, 3, 4 і 5, ви побачите, що вони ідеально вирівнюються з точками на першому графіку.

х	*Площа під кривою від 0 до* x
0	0
1	20
2	40
3	60
4	120
5	180

Приклад 4

Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і праві кінцеві точки.

$\ f(x)=3 x^{2}-1,-1 \leq x \leq 7$

Рішення

Хоча графік корисний для візуалізації проблеми, і малювання кожного поля може допомогти надати значення кожному резюме, це не завжди потрібно. Оскільки на загальному інтервалі −1≤x≤7 буде 8 підінтервалів, кожен інтервал матиме ширину 1. Висота кожного інтервалу буде знаходитися в правій кінцевій точці кожного підінтервалу (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

$\ \sum \text { height } \cdot \text { width }=\sum_{i=0}^{7}\left(3 i^{2}-1\right) \cdot 1=412$

Приклад 5

Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи двадцять субінтервалів і ліві кінцеві точки.

$\ f(x)=x^{x}, 1 \leq x \leq 3$

Рішення

Коли кількість субінтервалів стане великим, а підінтервали стануть надзвичайно вузькими, намалювати точну картинку буде неможливо. Ось чому використання позначень підсумовування та продумування того, якими будуть індекси та аргумент, неймовірно важливо. З 20 субінтервалами між [1,3] кожен інтервал буде шириною 0,1. Ліва кінцева точка означає, що перше поле має висоту, $\ f(1)$ а друге поле має висоту $\ f(1.1)$ .

\ (\\ почати {вирівняний}
\ сума\ текст {висота}\ cdot\ текст {ширина} &= f (1)\ cdot 0.1+f (1.1)\ cdot 0,1+f (1,2)\ cdot 0.1+\ cdots+f (2.9)\ cdot 0,1\\
&= 0,1 (f (1) +f (1.1) +\ cdots f (2.9)\
&=0.1\ cdot\ sum_ {i=10} ^ {29} f\ ліворуч (\ frac {i} {10}\ праворуч)\\
& =0.1\ cdot\ sum_ {i = 10} ^ {29}\ ліворуч (\ frac {i} {10}\ праворуч) ^ {\ ліворуч (\ frac {i} {10}\ праворуч)}\\\
&\ приблизно 12.47144
\ кінець {вирівняний}\)

Ваш калькулятор може обчислити підсумовування, коли ви йдете в меню математики.

F-D_C8E2E8F7B7FB91A1FF281713A14B0AAB707e51a23111c693ed8c7+зображення_thumb_поштова листівка_крихіткий+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png

Рецензія

Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і праві кінцеві точки.
$\ f(x)=x^{2}-x+1,0 \leq x \leq 8$
Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і ліві кінцеві точки.
$\ f(x)=x^{2}-2 x+1,-4 \leq x \leq 4$
Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи двадцять субінтервалів і ліві кінцеві точки.
$\ f(x)=\sqrt{x+3}, 0 \leq x \leq 4$
Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи 100 субінтервалів і лівих кінцевих точок. Порівняйте з вашою відповіддю з #3.
$\ f(x)=\sqrt{x+3}, 0 \leq x \leq 4$
Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і ліві кінцеві точки.
$\ f(x)=\cos (x), 0 \leq x \leq 4$
Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи двадцять субінтервалів і ліві кінцеві точки.
$\ f(x)=\cos (x), 0 \leq x \leq 4$
Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи 100 субінтервалів і лівих кінцевих точок.
$\ f(x)=\cos (x), 0 \leq x \leq 4$

Наступний графік показує швидкість (у милі на годину) проти часу (у годині) для автомобіля.

F-D_FF3D FAA04F88E98EF1C7CAF6F172E5BE18FF6EF67F48D0F369D2D1B5+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png

8. Опишіть, що відбувається з автомобілем.

9. Як далеко проїхала машина за 5 годин?

Наступний графік показує швидкість (у футах в секунду) проти часу (у секундах) для автомобіля.

F-D_011 дБ86ФДБФ FE51CE53ДК81Д2БД67Б97Ф9ДДБ1DAE9630FB4204+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихіткий.PNG

10. Опишіть, що відбувається з автомобілем. Зокрема, що відбувається в перші 3 секунди?

11. Як далеко проїхала машина за 5 секунд?

Наступний графік показує функцію $\ f(x)=-(x-4)^{2}+16$ , яка представляє швидкість (у футах в секунду) проти часу (у секундах) для бігуна.

F-D_ACE 5732E077A1040E6A6a679D3BEF736E162BE5901DB86CB5D6FDE8FA9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палецька_листівка_крихіткий.PNG

12. Опишіть, що відбувається з Раннер. Зокрема, що відбувається через 4 секунди?

13. Використовуйте прямокутники, щоб наблизити загальну відстань (у футах), яку бігун пройшов за 8 секунд. Постарайтеся отримати якомога краще наближення.

14. Поясніть, як інтеграл схожий на протилежність похідної.

15. Як інтеграли співвідносяться з сумами?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.9.

Лексика

Термін	Визначення
Δ	Символ «Δ», читається «дельта», використовується для позначення «зміни в», як в «зміна швидкості з плином часу» $\ =\frac{\Delta v}{t}$ .
певний інтеграл	Певний інтеграл дає площу між віссю x і кривою через певний інтервал.
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
субаінтервали	Субінтервали створюються, коли інтервал розбивається на менші однаково величини інтервали.
виклик	Сума - це вираз, що підсумовується. Вона безпосередньо слідує за символом сигми.

Атрибуції зображень

[Рисунок 1]
Кредит: Фонд CK-12;
Джерело KsmRQ: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png
Ліцензія: CC BY-SA