7.5.1: Біноміальна теорема та розширення
- Page ID
- 55151
Біноміальна теорема
Біноміальна теорема розповідає вам, як розширити біном, наприклад,\(\ (2 x-3)^{5}\) без необхідності обчислювати повторний розподіл. Що таке розширена версія\(\ (2 x-3)^{5}\)?
Вступ до біноміальної теореми
Біноміальна теорема стверджує:
\ (\ (a+b) ^ {n} =\ sum_ {i=0} ^ {n}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
n\
i
\ end {масив}\ справа) a^ {i} b^ {n-i}\)
Виписання декількох термінів символу підсумовування допомагає зрозуміти, як працює ця теорема:
\ (\ (a+b) ^ {n} =\ left (\ begin {масив} {c}
n\\
0
\ кінець {масив}\ справа) a^ {n} +\ left (\ begin {масив} {c}
n\
1
\ end {масив}\ праворуч) a^ {n-1} b^ {1} +\ left (початок {масив} {c}
n\\
2
\ кінець {масив}\ праворуч ) a^ {n-2} b^ {2} +\ cdots+\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
n\
n
\ end {масив}\ праворуч) b^ {n}\)
Переходячи від одного терміну до наступного в розширенні, ви повинні помітити, що показники\(\ a\) зменшення в той час як показники\(\ b\) збільшуються. Також слід зауважити, що коефіцієнти кожного члена - це комбінації. Нагадаємо, що\ (\\ left (\ begin {array} {l}
n
\\
0\ end {array}\ right)\) - це кількість способів вибору об'єктів з набору\(\ n\) об'єктів.
Візьмемо наступні біноміальні:
\(\ (m-n)^{6}\)
Його можна розширити за допомогою біноміальної теореми:
\ (\\ почати {вирівняний}
(м-н) ^ {6} =&\ лівий (\ begin {масив} {c}
6\
0
\ кінець {масив}\ праворуч) m^ {6} +\ left (\ begin {масив} {c}
6\
1
\ end {масив}\ праворуч) m^ {5} (-n) ^ {1} +\ left (\ begin {масив} {c}}
6\\
2
\ end {масив}\ праворуч) m^ {4} (-n) ^ {2} +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
6\
3
\ кінець {масив}\ праворуч) m^ {3} (-n) ^ {3}\
&+\ left (\ begin {масив} {c}
6\\
4
\ кінець {масив}\ праворуч) m^ {2} (-n) ^ {4} +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
6\
5
\ кінець {масив}\ праворуч) m^ {1} (-n) ^ {5} +\ лівий (\ початок {масив} {c}
6\
6
\ end {масив}\ праворуч) (-n) ^ {6}\\
=& 1 m^ {6} -6 м^ {5} n+15 m^ {4} n^ {2} -20 м^ {3} n^ {3} +15 м^ {2} n^ {4} -6 м^ {1} n^ {5} +1 n^ {6}
\ кінець {вирівняний}\)
Будьте гранично уважні при роботі з біноміалами форми\(\ (a-b)^{n}\). Вам потрібно пам'ятати, щоб зафіксувати негатив з другим терміном, коли ви виписуєте розширення:\(\ (a-b)^{n}=(a+(-b))^{n}\).
Ще один спосіб думати про коефіцієнти в Біноміальної теоремі полягає в тому, що вони є числами з трикутника Паскаля. Подивіться на розширення\(\ (a+b)^{n}\) нижче і зверніть увагу, як коефіцієнти членів є числами в трикутнику Паскаля.
\ (\\ почати {масив} {c}
(a+b) ^ {0} =1\
(a+b) ^ {1} =1 a+1 b\\
(a+b) ^ {2} =1 a^ {2} +2 b+1 b^ {2}\\
(a+b) ^ {3} =1 a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a^ {2} b+3 a {2} +1 b^ {3}\\
(a+b) ^ {4} =1 а^ {4} +4 а^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +1 b^ {4}\
\ vdots
\ end {масив}\)
Приклади
Раніше вас просили розширити\(\ (2 x-3)^{5}\). Розширена\(\ (2 x-3)^{5}\) версія:
Рішення
\ (\\ почати {вирівняний}
(2 x-3) ^ {5} =&\ ліворуч (\ почати {масив} {c} 5\
0\ кінець {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {
5} +
\ left (\ begin {масив} {c} 5\\ 1\ end {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1}
+\
1
\ end {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +\ 1\ end {масив}\ праворуч (2 x) ^ {4} (-3 почати {масив} {c}
5\\
2
\ end {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\
&+\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
5\
3
\ кінець {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +\ left (\ begin {масив} {c}
5\\
4\ end {масив}
\ праворуч) (2 x) (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
5\
5
\ кінець {масив}\ праворуч) (-3) ^ {6}\
=& (2 x) ^ {5} +5 (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\ &+10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+10 (2 x) ^ {2 x) 2} (-3) ^ {3} +5 (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} + (-3) ^ {5}\
=& 32 x^ {5} -240 x^ {4} +720 x^ {3 } -1080 x^ {2} +810 x-243
\ кінець {вирівняний}\)
Який коефіцієнт терміна\(\ x^{7} y^{9}\) при розширенні біноміала\(\ (x+y)^{16}\)?
Рішення
Біноміальна теорема дозволяє обчислити саме той коефіцієнт, який вам потрібен.
\ (\\ left (\ begin {масив} {c}
16\\
9
\ end {масив}\ праворуч) =\ frac {16!} {9! 7!} =\ FRAC {16\ точка 15\ точка 14\ точка 13\ точка 12\ точка 1\ точка 10} {7\ точка 6\ точка 5\ точка 4\ точка 3\ точка 2\ крапка 1} = 1,440\)
Який коефіцієнт\(\ x^{6}\) в розширенні\(\ (4-3 x)^{7}\)?
Рішення
Для цієї задачі слід обчислити весь термін, оскільки 3 і 4 in\(\ x^{6}\) також\(\ (3-4 x)\) вплинуть на коефіцієнт.\ (\\ left (\ begin {масив} {l}
7\
6
\ end {масив}\ справа) 4^ {1} (-3 x) ^ {6} =7\ cdot 4\ cdot 729 x^ {6} =20,412 x^ {6}\). Коефіцієнт дорівнює 20,412.
Обчислити наступне підсумовування.
\ (\\ sum_ {i=0} ^ {4}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
4\
i
\ end {масив}\ праворуч)\)
Рішення
Це просить\ (\ left (\ begin {масив} {l}
4\\
0
\ кінець {масив}\ праворуч) +\ лівий (\ begin {масив} {l}
4\
1
\ end {масив}\ праворуч) +\ cdots+\ left (\ begin {масив} {l}
4\
\ end {масив}\ праворуч)\) які є сумою всіх коефіцієнтів\(\ (a+b)^{4}\).
\(\ 1+4+6+4+1=16\)
Згорнути наступний многочлен, використовуючи Біноміальну теорему.
\(\ 32 x^{5}-80 x^{4}+80 x^{3}-40 x^{2}+10 x-1\)
Рішення
Оскільки останній член дорівнює -1, а влада на першому члені дорівнює 5, ви можете зробити висновок, що друга половина біноміала є\(\ (?-1)^{5}\). Перший член є позитивним і\(\ (2 x)^{5}=32 x^{5}\), тому перший член в біноміальному повинен бути\(\ 2 x\). Біноміальний є\(\ (2 x-1)^{5}\).
Рецензія
Розгорніть кожне з наступних біномів, використовуючи Біноміальну теорему.
- \(\ (x-y)^{4}\)
- \(\ (x-3 y)^{5}\)
- \(\ (2 x+4 y)^{7}\)
- Що таке коефіцієнт\(\ x^{4}\) в\(\ (x-2)^{7}\)?
- Що таке коефіцієнт\(\ x^{3} y^{5}\) в\(\ (x+y)^{8}\)?
- Що таке коефіцієнт\(\ x^{5}\) в\(\ (2 x-5)^{6}\)?
- Що таке коефіцієнт\(\ y^{2}\)
- Що таке коефіцієнт\(\ x^{2} y^{6}\) в\(\ (2 x+y)^{8}\)?
- Що таке коефіцієнт\(\ x^{3} y^{4}\) в\(\ (5 x+2 y)^{7}\)?
Обчислити наступні підсумовування.
- \ (\\ sum_ {i=0} ^ {9}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
9\\
i
\ end {масив}\ праворуч)\) - \ (\\ sum_ {i=0} ^ {12}\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
12\\
i
\ end {масив}\ праворуч)\) - \ (\\ sum_ {i=0} ^ {8}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
8\
i
\ end {масив}\ праворуч)\)
Згорнути наступні поліноми, використовуючи Біноміальну теорему.
- \(\ 243 x^{5}-405 x^{4}+270 x^{3}-90 x^{2}=15 x-1\)
- \(\ x^{7}-7 x^{6} y+21 x^{5} y^{2}-35 x^{4} y^{3}+35 x^{3} y^{4}-21 x^{2} y^{5}+7 x y^{6}-y^{7}\)
- \(\ 128 x^{7}-448 x^{6} y+672 x^{5} y^{2}-560 x^{4} y^{3}+280 x^{3} y^{4}-84 x^{2} y^{5}+14 x y^{6}-y^{7}\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 12.8.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
комбінація | Комбінації - це різні розташування вказаної кількості об'єктів без урахування порядку вибору із зазначеної множини. |
Атрибуції зображень
- [Рисунок 1]
Кредит: Фонд CK-12; Невідоме
джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_Pascal_Versailles.JPG
Ліцензія: CC BY-SA