Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.5.1: Біноміальна теорема та розширення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55151

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Біноміальна теорема

    Біноміальна теорема розповідає вам, як розширити біном, наприклад,\(\ (2 x-3)^{5}\) без необхідності обчислювати повторний розподіл. Що таке розширена версія\(\ (2 x-3)^{5}\)?

    Вступ до біноміальної теореми

    Біноміальна теорема стверджує:

    \ (\ (a+b) ^ {n} =\ sum_ {i=0} ^ {n}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
    n\
    i
    \ end {масив}\ справа) a^ {i} b^ {n-i}\)

    Виписання декількох термінів символу підсумовування допомагає зрозуміти, як працює ця теорема:

    \ (\ (a+b) ^ {n} =\ left (\ begin {масив} {c}
    n\\
    0
    \ кінець {масив}\ справа) a^ {n} +\ left (\ begin {масив} {c}
    n\
    1
    \ end {масив}\ праворуч) a^ {n-1} b^ {1} +\ left (початок {масив} {c}
    n\\
    2
    \ кінець {масив}\ праворуч ) a^ {n-2} b^ {2} +\ cdots+\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
    n\
    n
    \ end {масив}\ праворуч) b^ {n}\)

    Переходячи від одного терміну до наступного в розширенні, ви повинні помітити, що показники\(\ a\) зменшення в той час як показники\(\ b\) збільшуються. Також слід зауважити, що коефіцієнти кожного члена - це комбінації. Нагадаємо, що\ (\\ left (\ begin {array} {l}
    n
    \\
    0\ end {array}\ right)\) - це кількість способів вибору об'єктів з набору\(\ n\) об'єктів.

    Візьмемо наступні біноміальні:

    \(\ (m-n)^{6}\)

    Його можна розширити за допомогою біноміальної теореми:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    (м-н) ^ {6} =&\ лівий (\ begin {масив} {c}
    6\
    0
    \ кінець {масив}\ праворуч) m^ {6} +\ left (\ begin {масив} {c}
    6\
    1
    \ end {масив}\ праворуч) m^ {5} (-n) ^ {1} +\ left (\ begin {масив} {c}}
    6\\
    2
    \ end {масив}\ праворуч) m^ {4} (-n) ^ {2} +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
    6\
    3
    \ кінець {масив}\ праворуч) m^ {3} (-n) ^ {3}\
    &+\ left (\ begin {масив} {c}
    6\\
    4
    \ кінець {масив}\ праворуч) m^ {2} (-n) ^ {4} +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
    6\
    5
    \ кінець {масив}\ праворуч) m^ {1} (-n) ^ {5} +\ лівий (\ початок {масив} {c}
    6\
    6
    \ end {масив}\ праворуч) (-n) ^ {6}\\
    =& 1 m^ {6} -6 м^ {5} n+15 m^ {4} n^ {2} -20 м^ {3} n^ {3} +15 м^ {2} n^ {4} -6 м^ {1} n^ {5} +1 n^ {6}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Будьте гранично уважні при роботі з біноміалами форми\(\ (a-b)^{n}\). Вам потрібно пам'ятати, щоб зафіксувати негатив з другим терміном, коли ви виписуєте розширення:\(\ (a-b)^{n}=(a+(-b))^{n}\).

    Ще один спосіб думати про коефіцієнти в Біноміальної теоремі полягає в тому, що вони є числами з трикутника Паскаля. Подивіться на розширення\(\ (a+b)^{n}\) нижче і зверніть увагу, як коефіцієнти членів є числами в трикутнику Паскаля.

    \ (\\ почати {масив} {c}
    (a+b) ^ {0} =1\
    (a+b) ^ {1} =1 a+1 b\\
    (a+b) ^ {2} =1 a^ {2} +2 b+1 b^ {2}\\
    (a+b) ^ {3} =1 a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a^ {2} b+3 a {2} +1 b^ {3}\\
    (a+b) ^ {4} =1 а^ {4} +4 а^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +1 b^ {4}\
    \ vdots
    \ end {масив}\)

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили розширити\(\ (2 x-3)^{5}\). Розширена\(\ (2 x-3)^{5}\) версія:

    Рішення

    \ (\\ почати {вирівняний}
    (2 x-3) ^ {5} =&\ ліворуч (\ почати {масив} {c} 5\
    0\ кінець {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {
    5} +
    \ left (\ begin {масив} {c} 5\\ 1\ end {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1}
    +\
    1
    \ end {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +\ 1\ end {масив}\ праворуч (2 x) ^ {4} (-3 почати {масив} {c}
    5\\
    2
    \ end {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\
    &+\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
    5\
    3
    \ кінець {масив}\ праворуч) (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +\ left (\ begin {масив} {c}
    5\\
    4\ end {масив}
    \ праворуч) (2 x) (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
    5\
    5
    \ кінець {масив}\ праворуч) (-3) ^ {6}\
    =& (2 x) ^ {5} +5 (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\ &+10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
    &+10 (2 x) ^ {2 x) 2} (-3) ^ {3} +5 (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} + (-3) ^ {5}\
    =& 32 x^ {5} -240 x^ {4} +720 x^ {3 } -1080 x^ {2} +810 x-243
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад 2

    Який коефіцієнт терміна\(\ x^{7} y^{9}\) при розширенні біноміала\(\ (x+y)^{16}\)?

    Рішення

    Біноміальна теорема дозволяє обчислити саме той коефіцієнт, який вам потрібен.

    \ (\\ left (\ begin {масив} {c}
    16\\
    9
    \ end {масив}\ праворуч) =\ frac {16!} {9! 7!} =\ FRAC {16\ точка 15\ точка 14\ точка 13\ точка 12\ точка 1\ точка 10} {7\ точка 6\ точка 5\ точка 4\ точка 3\ точка 2\ крапка 1} = 1,440\)

    Приклад 3

    Який коефіцієнт\(\ x^{6}\) в розширенні\(\ (4-3 x)^{7}\)?

    Рішення

    Для цієї задачі слід обчислити весь термін, оскільки 3 і 4 in\(\ x^{6}\) також\(\ (3-4 x)\) вплинуть на коефіцієнт.\ (\\ left (\ begin {масив} {l}
    7\
    6
    \ end {масив}\ справа) 4^ {1} (-3 x) ^ {6} =7\ cdot 4\ cdot 729 x^ {6} =20,412 x^ {6}\). Коефіцієнт дорівнює 20,412.

    Приклад 4

    Обчислити наступне підсумовування.

    \ (\\ sum_ {i=0} ^ {4}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
    4\
    i
    \ end {масив}\ праворуч)\)

    Рішення

    Це просить\ (\ left (\ begin {масив} {l}
    4\\
    0
    \ кінець {масив}\ праворуч) +\ лівий (\ begin {масив} {l}
    4\
    1
    \ end {масив}\ праворуч) +\ cdots+\ left (\ begin {масив} {l}

    4\
    \ end {масив}\ праворуч)\) які є сумою всіх коефіцієнтів\(\ (a+b)^{4}\).

    \(\ 1+4+6+4+1=16\)

    Приклад 5

    Згорнути наступний многочлен, використовуючи Біноміальну теорему.

    \(\ 32 x^{5}-80 x^{4}+80 x^{3}-40 x^{2}+10 x-1\)

    Рішення

    Оскільки останній член дорівнює -1, а влада на першому члені дорівнює 5, ви можете зробити висновок, що друга половина біноміала є\(\ (?-1)^{5}\). Перший член є позитивним і\(\ (2 x)^{5}=32 x^{5}\), тому перший член в біноміальному повинен бути\(\ 2 x\). Біноміальний є\(\ (2 x-1)^{5}\).

    Рецензія

    Розгорніть кожне з наступних біномів, використовуючи Біноміальну теорему.

    1. \(\ (x-y)^{4}\)
    2. \(\ (x-3 y)^{5}\)
    3. \(\ (2 x+4 y)^{7}\)
    4. Що таке коефіцієнт\(\ x^{4}\) в\(\ (x-2)^{7}\)?
    5. Що таке коефіцієнт\(\ x^{3} y^{5}\) в\(\ (x+y)^{8}\)?
    6. Що таке коефіцієнт\(\ x^{5}\) в\(\ (2 x-5)^{6}\)?
    7. Що таке коефіцієнт\(\ y^{2}\)
    8. Що таке коефіцієнт\(\ x^{2} y^{6}\) в\(\ (2 x+y)^{8}\)?
    9. Що таке коефіцієнт\(\ x^{3} y^{4}\) в\(\ (5 x+2 y)^{7}\)?

    Обчислити наступні підсумовування.

    1. \ (\\ sum_ {i=0} ^ {9}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
      9\\
      i
      \ end {масив}\ праворуч)\)
    2. \ (\\ sum_ {i=0} ^ {12}\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
      12\\
      i
      \ end {масив}\ праворуч)\)
    3. \ (\\ sum_ {i=0} ^ {8}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
      8\
      i
      \ end {масив}\ праворуч)\)

    Згорнути наступні поліноми, використовуючи Біноміальну теорему.

    1. \(\ 243 x^{5}-405 x^{4}+270 x^{3}-90 x^{2}=15 x-1\)
    2. \(\ x^{7}-7 x^{6} y+21 x^{5} y^{2}-35 x^{4} y^{3}+35 x^{3} y^{4}-21 x^{2} y^{5}+7 x y^{6}-y^{7}\)
    3. \(\ 128 x^{7}-448 x^{6} y+672 x^{5} y^{2}-560 x^{4} y^{3}+280 x^{3} y^{4}-84 x^{2} y^{5}+14 x y^{6}-y^{7}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 12.8.

    Лексика

    Термін Визначення
    комбінація Комбінації - це різні розташування вказаної кількості об'єктів без урахування порядку вибору із зазначеної множини.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: Фонд CK-12; Невідоме
      джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_Pascal_Versailles.JPG
       Ліцензія: CC BY-SA